1. Se recuerdan propiedades de límites como que el límite de k/x cuando x tiende a cero es cero, mientras que el límite de k/x cuando x tiende a infinito es infinito. 2. Se calculan varios límites utilizando técnicas como simplificar por la variable de grado mayor. 3. Se explica que al calcular límites de expresiones donde hay infinitos de grados iguales, no se puede determinar el resultado directamente y se debe racionalizar la expresión.

1. LÍMITES AL
INFINITO
(Parte 3)

2. Antes que todo recordaremos algunas propiedades que han surgido de las clases anteriores:
1 lim
𝑥→0
𝑥
𝑘
= 0
2 lim
𝑥→0
𝑘
𝑥
= ∞
Considerar: “k constante”
3 lim
𝑥→0
−𝑘
𝑥
= −∞
4 lim
𝑥→∞
±𝑘
𝑥
= 0
Es decir:
0
𝑘
= 0
Es decir:
𝑘
0
= ∞
Es decir:
−𝑘
0
= −∞
Es decir:
±𝑘
∞
= 0
5 lim
𝑥→∞
𝑥
𝑘
= ∞
6 lim
𝑥→∞
𝑥
−𝑘
= −∞
7 lim
𝑥→∞
±𝑘
𝑥𝑛
= 0
8 lim
𝑥→𝑐
±𝑘 = ±𝑘
Es decir:
∞
𝑘
= ∞
Es decir:
∞
−𝑘
= −∞
Es decir:
±𝑘
∞𝑛 = 0

3. I
1 lim
𝑥→∞
9𝑥2 − 3𝑥 + 2
4𝑥2 − 𝑥
=
Usamos la técnica de
“simplificar por la variable de
grado mayor”. (en este caso
se aplica a todo el subradical)
∞
∞
Expresión indeterminada
lim
𝑥→∞
9𝑥2 − 3𝑥 + 2
4𝑥2 − 𝑥
=
Expresión subradical de grado 2
Expresión subradical de grado 2
Simplificamos por 𝒙𝟐
lim
𝑥→∞
9𝑥2 − 3𝑥 + 2
4𝑥2 − 𝑥
=
𝒙𝟐
𝒙𝟐 𝒙𝟐
𝒙𝟐 𝒙𝟐
lim
𝑥→∞
=
9 −
3
𝑥
+
2
𝑥2
4 −
1
𝑥
0 0
0
9 − 0 + 0
4 − 0
=
9
4
=
3
2
∴ lim
𝑥→∞
9𝑥2 − 3𝑥 + 2
4𝑥2 − 𝑥
=
3
2

4. lim
𝑥→∞
=
3
lim
𝑥→∞
27𝑥5 + 5𝑥2 + 3
𝑥 − 𝑥5 + 1
=
2
Expresión subradical de grado 5
Expresión subradical de grado 5
Simplificamos por 𝒙𝟓
𝒙𝟓 𝒙𝟓 𝒙𝟓
𝒙𝟓 𝒙𝟓 𝒙𝟓
27 +
5
𝑥3
+
3
𝑥5
1
𝑥4 −1 +
1
𝑥5
0 0
0 0
3
27
−1
=
3
lim
𝑥→∞
27𝑥5 + 5𝑥2 + 3
𝑥 − 𝑥5 + 1
3
3
−27 = −3
∴ lim
𝑥→∞
27𝑥5 + 5𝑥2 + 3
𝑥 − 𝑥5 + 1
= −3
3
Tener en cuenta siempre que
estamos trabajando dentro
de un mismo radical.
Por eso nos fijamos en el
grado de la expresión
subradical.

5. 2
3 lim
𝑥→∞
1 + 𝑥2
2𝑥2 − 3
Aquí tenemos que tener en
cuenta que el grado de la
expresión radical es distinta al
grado de la expresión sin raíz.
Veamos…
Expresión de grado 2
Expresión de grado 1
𝑥2 = 𝑥
2
2 = 𝑥1
Simplificamos por 𝒙𝟐
lim
𝑥→∞
1 + 𝑥2
2𝑥2 − 3
=
IMPORTANTE DE RECORDAR:
𝑥2
5 = 5 ∙ 𝑥2 2 = 5 ∙ 𝑥4 = 5𝑥4
1
𝑥2
5 = 5 ∙
1
𝑥2
2
= 5 ∙
1
𝑥4
=
5
𝑥4
𝒙𝟐 𝒙𝟐
𝒙𝟒 𝒙𝟒
lim
𝑥→∞
1
𝑥4 +
1
𝑥2
2 −
3
𝑥2
=
0 0
0
0
2
=
0
2
= 0
∴ lim
𝑥→∞
1 + 𝑥2
2𝑥2 − 3
= 0

6. 4
lim
𝑥→∞
3𝑥 + 7
3
𝑥6 + 3𝑥2 Expresión de grado 2
Expresión de grado 1
3
𝑥6 = 𝑥
6
3 = 𝑥2 Simplificamos por 𝒙𝟐
IMPORTANTE DE RECORDAR:
𝑥2 3
7 =
3
7 ∙ 𝑥2 3 =
3
7𝑥6
1
𝑥2
3
7 =
3
7 ∙
1
𝑥2
3
=
3
7 ∙
1
𝑥6
=
3 7
𝑥6
lim
𝑥→∞
3𝑥 + 7
3 𝑥6 + 3𝑥2
=
𝒙𝟐 𝒙𝟐
𝒙𝟔 𝒙𝟔
lim
𝑥→∞
3
𝑥
+
7
𝑥2
3
1 +
3
𝑥4
=
0 0
0
0
3
1
=
0
1
= 0
∴ lim
𝑥→∞
3𝑥 + 7
3
𝑥6 + 3𝑥2
= 0

7. 5 lim
𝑥→∞
5𝑥3
+ 2𝑥2
− 3
3𝑥2 −
3
8𝑥9 + 5𝑥
3
𝑥9 = 𝑥
9
3 = 𝑥3
Expresión de grado 3
Expresión de grado 3
Simplificamos por 𝒙𝟑
∴ lim
𝑥→∞
5𝑥3 + 2𝑥2 − 3
3𝑥2 −
3
8𝑥9 + 5𝑥
= −
5
2
lim
𝑥→∞
5𝑥3
+ 2𝑥2
− 3
3𝑥2 −
3 8𝑥9 + 5𝑥
=
𝒙𝟗 𝒙𝟗
𝒙𝟑
𝒙𝟑 𝒙𝟑
𝒙𝟑
lim
𝑥→∞
5 +
2
𝑥
−
3
𝑥3
3
𝑥
−
3
8 +
5
𝑥8
=
0 0
0
0
5
−
3
8
= 5
−2
=
3
𝑥 = 𝑥
1
3
−
5
2

8. = lim
𝑥→∞
−8
𝑥
1 −
3
𝑥2 + 1 +
5
𝑥2
6 lim
𝑥→∞
𝑥2 − 3 − 𝑥2 + 5 = ∞ − ∞
Grado 1 Grado 1
𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒂
Como son infinitos de grados iguales, no
podemos determinar certeramente cuál
es el resultado de esta resta.
Aquí debemos recordar
“Suma por su diferencia”
𝒂 − 𝒃 𝒂 + 𝒃 = 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
lim
𝑥→∞
𝑥2 − 3 − 𝑥2 + 5 Racionalizamos
lim
𝑥→∞
𝑥2 − 3 − 𝑥2 + 5 ∙
𝑥2 − 3 + 𝑥2 + 5
𝑥2 − 3 + 𝑥2 + 5
=
1
(a – b) (a + b)
𝑥2 − 3
2
− 𝑥2 + 5
2
𝐚𝟐 − 𝐛𝟐
𝑥2 − 3 + 𝑥2 + 5
(𝑥2 − 3) −(𝑥2 + 5)
𝑥2 − 3 + 𝑥2 + 5
lim
𝑥→∞
= lim
𝑥→∞
= lim
𝑥→∞
𝑥2 − 3 − 𝑥2 − 5
𝑥2 − 3 + 𝑥2 + 5
= lim
𝑥→∞
−8
𝑥2 − 3 + 𝑥2 + 5 Expresión de grado 1
Expresión de grado 0
Simplificamos por 𝒙
= lim
𝑥→∞
−8
𝑥2 − 3 + 𝑥2 + 5
𝑥
𝑥2
𝑥2 𝑥2 𝑥2
0
0
0 =
0
1 + 1
=
0
2
= 0
3

9. 7 lim
𝑥→∞
𝑥3
− 5𝑥2 + 3𝑥 = ∞ − ∞ + ∞ = ∞ − ∞ = ∞ − ∞
𝑥2 = 𝑥
2
2 = 𝑥1
∴ lim
𝑥→∞
𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 = ∞
= ∞
lim
𝑥→∞
𝑥3
− 5𝑥2 + 3𝑥
∙
𝑥3
+ 5𝑥2 + 3𝑥
𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥
=
𝟏
(a – b) (a + b) 𝐚𝟐 − 𝐛𝟐
lim
𝑥→∞
𝑥3 2 − 5𝑥2 + 3𝑥
2
𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑥6 − 5𝑥2 + 3𝑥
𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥
=
= lim
𝑥→∞
𝑥6
− 5𝑥2
− 3𝑥
𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥
Expresión de grado 3
Expresión de grado 6
= lim
𝑥→∞
𝑥6 − 5𝑥2 − 3𝑥
𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥
𝑥12 𝑥12
𝑥6
𝑥6 𝑥6 𝑥6
= lim
𝑥→∞
1 −
5
𝑥4 −
3
𝑥5
1
𝑥3 +
5
𝑥10 +
3
𝑥11
0 0
0 0 0 =
1
0
= ∞