(1) La probabilidad de que dos personas sean hermanos antes de saber su apellido es 0.1. (2) Si son hermanos, la probabilidad de que tengan el mismo apellido es 0.9. Si no son hermanos, es 0.1. (3) Usando la fórmula de Bayes, la probabilidad de que sean hermanos dado que tienen el mismo apellido (P(h|s)) es 0.9.

1. Benjamín Joaquín Martínez
Lógica proposicional
Considera las siguientes oraciones
"Si llovió, entonces el piso está mojado."
"Llovió."
Di si la siguiente proposición es consecuencia de las oraciones anteriores:
"El piso está mojado"
p= Llovió
q= el piso está mojado
p → q = "Si llovió, entonces el piso está mojado"
p → q Modus
ponens
p
‫؞‬ q
Si es consecuencia.
2.- Considera las siguientes oraciones:
"Si llovió, entonces el piso está mojado"
"El piso está mojado."
Di si la siguiente proposición es consecuencia de las oraciones anteriores:
"Llovió"
p= Llovió
q= el piso está mojado
p → q = "Si llovió, entonces el piso está mojado"
(1) p → q

2. Benjamín Joaquín Martínez
(2) q
(3) (¬p ∨ q) de (1) por implicación
(4) P de (3) y (2) por silogismo disyuntivo al resultar ¬(¬p)
SI es consecuencia
3. Considera las siguientes oraciones:
"Si llovió, entonces el piso está mojado"
"El piso no está mojado"
Di si la siguiente proposición es consecuencia de las oraciones anteriores:
"No llovió"
p= Llovió
q= el piso está mojado
p → q = "Si llovió, entonces el piso está mojado"
p → q Modus
tollens
¬q
‫؞‬ ¬p
Si es consecuencia
4.- Considere las siguientes oraciones:
"Si pongo el despertador y lo oigo cuando suene entonces me voy a despertar a tiempo"
"No me desperté a tiempo"
"Sí puse el despertador"
Di si la siguiente proposición es consecuencia de las oraciones anteriores:
"No oí el despertador"
p= pongo el despertador
q= oigo el despertador cuando suene

3. Benjamín Joaquín Martínez
r= me voy a despertar a tiempo
(1) (p Λ q) → r
(2) ¬r
(3) p
(4) ¬(p Λ q) de (1) y (2) por modus tollens
(5) ¬p ∨ ¬q de (4) por la ley de morgan
(6) (p Λ ¬p) ∨ ¬q de (5) y (3) por ley asociativa
(7) F ∨ ¬q de (6) por contradicción
(8) ¬q de (7) por ley de identidad
Si es consecuencia
5.- Considera las siguientes oraciones
"Si mi gato tiene hambre y me ve, maúlla."
"Mi gato me ve."
"Mi gato no maúlla."
Di si la siguiente proposición es consecuencia de las oraciones anteriores:
"Mi gato no tiene hambre."
p= mi gato tiene hambre
q= mi gato me ve
r= mi gato maúlla
(1) (p Λ q) → r
(2) q
(3) ¬r
(4) ¬(p Λ q) de (1) y (3) por modus tollens
(5) ¬p ∨ ¬q de (4) por la ley de morgan
(6) ¬p ∨ (¬qΛ q ) de (5) y (2) por ley asociativa
(7) F ∨ ¬p de (6) por contradicción
(8) ¬p de (7) por ley de identidad
Si es consecuencia
6.- ¿Cuáles de las siguientes hileras de símbolos son fórmulas de la lógica proposicional?
(¬a)
Fórmula
(a ∨ b) Fórmula

4. Benjamín Joaquín Martínez
Λ
{a,b}
((a ∨ b) Λ a) Fórmula
Porque son variables proposicionales con disyunción, conjunción o negación
Lógica proposicional (parte 2)
1. ¿Cuál de las siguientes asignaciones son modelos con respecto a {x,y,z} ?
{x,y}
𝑥 𝑦
𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜
Suponiendo que z sea falso el modelo con respecto a {x,y,z} es {x,y} el cual enumera solo
los verdaderos, visto de la segunda forma habría que añadir z con la leyenda falso debajo
2. Sea M la asignación en la que x vale cierto y y vale falso.¿ Cuál de las siguientes
afirmaciones se cumplen?
Hace cierto a
M ⊨ (x Λ y )
M ⊨ (x ∨ y )
M ⊨ y Se cumpliría si la variable proposicional es cierto en el modelo
M ⊨ x → y
M ⊨ ⊥ Ningún modelo hace cierto a fondo
x y (x Λ y
)
(x ∨ y ) y x → y
1 0 0 1 0 0
3.- ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones se cumplen?
⊨ Lógicamente implica

5. Benjamín Joaquín Martínez
(p Λ q) ⊨ p se cumple
p q p Λ q p
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
(p ∨ q), (¬p ) ⊨ q se cumple
p q p ∨ q ¬p (p ∨ q) Λ ¬p q
0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0
1 1 1 0 0 1
(p → q ), p ⊨ q se cumple
p q p → q (p → q) Λ p q
0 0 1 0 0
0 1 1 0 1
1 0 0 0 0
1 1 1 1 1
(p ∨ q) ⊨ p no se cumple
p q p ∨ q p
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 1
1 1 1 1
(p → q), q ⊨ p no se cumple
p q p → q (p → q) Λ q p
0 0 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1

6. Benjamín Joaquín Martínez
4- ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones se cumple?
( (¬u ) ∨ v) ≡ ( ¬ (u Λ(¬v ) ) ) se cumple
u v ¬u (¬u ) ∨ v (¬v) u Λ(¬v ) ¬ (u Λ(¬v ))
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1 0
1 1 0 1 0 0 1
( (¬x ) Λ (¬y )) ≡ ( ¬ (xΛy ) ) no se cumple
x y ¬x ¬y (¬x ) Λ (¬y) xΛy ¬ (xΛy)
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0
(aΛ (b∨c)) ≡ ((aΛb) ∨ (aΛc)) se cumple
a b c b∨c aΛ (b∨c)) aΛb (aΛc)) (aΛb) ∨
(aΛc))
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
( (¬x ) ∨ (¬y )) ≡ ( ¬ (x∨y ) ) no se cumple
x y ¬x ¬y (¬x ) ∨ (¬y) x∨y ¬ (x∨y)
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 1 1 1 0
1 1 0 0 0 1 0

7. Benjamín Joaquín Martínez
( (¬u ) ∨ v) ≡ ( ¬ (u Λ(¬v ) ) ) se cumple
u v ¬u (¬u ) Λ v (¬v) u ∨ (¬v ) ¬ (u ∨ (¬v ))
0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 0 1 0
5.- ¿Cuáles de las siguientes formulas son satisfactibles?
((p Λ (¬p )) ∨ q)
((p∨(¬q )) Λ(q∨(¬r )))
((p Λ (¬p )) ∨ (q Λ (¬q ))) en esta la tabla de verdad me da puros falsos en la ultima fila
((p∨q) Λ ( (¬p ) Λ (¬q ))) en esta la tabla de verdad me da puros falsos en la ultima fila
((p Λ (¬q )) ∨ (q∨(¬r )))

8. Benjamín Joaquín Martínez
Lógica temporal
¿Cuáles de las siguientes hileras de símbolos son fórmulas de LTL suponiendo que p y q
son variables proposicionales?
(F(G(p Λ q))
∈
(X(X(Xp)))
⊥
(¬p )
3. Considera la siguiente fórmula de la LTL
α = (F(Gc))
y el modelo
¿Cuáles de las siguientes trayectorias α es cierta?
u,u,u,…
s,t,s,t,u,u,u,…
s,t,s,t,s,t,…
s,t,u,u,u,…
s,u,u,u,u…
S
T U
S U
T U
U
S
Considerando la formula
ya que también son
trayectorias s,t,s,t…

9. Benjamín Joaquín Martínez
Considera la siguiente gráfica de un modelo para la lógica LTL
¿Cuál de los siguientes modelos corresponde con esta gráfica?
P = {a,b,c}
S= {s,t,u}
L(s) = {a,b}, L(t)= {b,c}, L(u) = {c}
R= { (t,s), (s,t), (u,s),(u,t),(u,u) }
P = {a,b,c}
S= {s,t,u}
L(s) = {a,b}, L(t) = {b,c} , L(u) = {c}
R = {(s,t), (t,s),(s,u),(t,u),(u,u)} // estas son las rutas correctas
P = {a,b,c}
S={s,t,u}
L(s) = {a,b, ¬c} , L(t) = {¬a,b,c}, L(u)= {¬a, ¬b,c}
R = { (s,t),(t,s),(s,u),(t,u), (u,u) }

10. Benjamín Joaquín Martínez
Considera el siguiente modelo
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones se cumplen?
M,s ⊨ (a ∨ c) partiendo de s siempre es cierto a o c
M,s ⊨ (F(Gc))
M,s ⊨ (G(Fc))
M,u ⊨ (Gc) partiendo de u siempre es cierto c
M,s ⊨ (Fc)

11. Benjamín Joaquín Martínez
Lógica de predicados
1- ¿Cuáles de las siguientes hileras de símbolos son fórmulas de lógica de predicados,
en donde a,b,f,g, y h son símbolos de función, x, y y z símbolo de parámetros, y P y
Q símbolos de predicado?
(∀x(∃ y (P(h(x)) Λ Q (y))))
(∃Yq(g(y,z)))
( (a∨b) Λ a)
⊥
P(Q(x))
2.- Considera el siguiente modelo:
A = N (el conjunto de los números naturales)
𝑃𝑀
= ≤
0𝑀
= 0
𝑆𝑀(𝑧) = 𝑧 + 1
En donde P es un símbolo de predicados, 0 y s son símbolos de función, y x,y z son
símbolos de parámetro .
¿Cuáles de las siguientes fórmulas son ciertas en ese modelo?
(∀ x (∀ y (P(s(x),s(y)) → P(x,y))))
(∀x(∀y(P(x,y) → P(s(x), s(y)))))
(∀ x (∀y(P(x,y) → P(s(x),y))))
(∀xP(x,0))
(∀xP(0,x))

12. Benjamín Joaquín Martínez
Teorema de Bayes
h s interseccion
Hermanos
0.1
Mismo apellido 0.9 0.1 x 0.9= 0.09
Diferente apellido 0.1 0.1 x 0.1 = 0.01
No hermanos
0.9
Mismo apellido 0.1 0.9 x 0.1 = 0.09
Diferente apellido 0.9 0.9 x 0.9 = 0.81
1- Considera la siguiente situación
Sea P(s) la probabilidad de que A y B tengan el mismo apellido.
La probabilidad de que A y B sean hermanos antes de que sepamos su apellido es P(h)
= 0.1.
Además sabemos que ;
La probabilidad de que dos hermanos tengan el mismo apellido es 0.9 ( y de que lo
tengan, 0.1)
La probabilidad de que dos no hermanos tengan el mismo apellido es 0.1 ( y de que no
lo tengan, 0.9).
Da el valor de :
P(s|h).
P(S ∩ h) = La probabilidad de que dos hermanos tengan el mismo apellido es 0.9 x
la probabilidad de que A y B sean hermanos antes de que sepamos su apellido 0.1
P(h) = La probabilidad de que A y B sean hermanos antes de que sepamos su apellido
0.1
P(s|h)= P(S ∩ h) / P(h) = 0.09 / 0.1
P(s|h) = 0.9
S = mismo
apellido
H=son
hermanos

13. Benjamín Joaquín Martínez
2.- Considera la siguiente situación:
La probabilidad de que A y B sean hermanos antes de que sepamos su apellido es P(h) =
0.1
Sea P(s) la probabilidad de que A y B tengan el mismo apellido
Además sabemos que:
La probabilidad de que dos hermanos tengan el mismo apellido es 0.9 ( y de que lo
tengan, 0.1).
La probabilidad de que dos no hermanos tengan el mismo apellido es 0.1 ( y de que no lo
tengan, 0.9)
Da el valor de :
P (s ∧ h ) =
P(s|h) x P(h) = 0.9 x 0.1 = 0.09
3.- Considera la siguiente situación
La probabilidad de que A y B sean hermanos antes de que sepamos su apellido es P(h) =
0.1
Sea P(s) la probabilidad de que A y B tengan el mismo apellido
Además sabemos que:
La probabilidad de que dos hermanos tengan el mismo apellido es 0.9 ( y de que lo
tengan, 0.1).
La probabilidad de que dos no hermanos tengan el mismo apellido es 0.1 ( y de que no lo
tengan, 0.9)
Da el valor de :
P (s ∧ ¬h )
P (s ∧ ¬h ) = P (s | ¬h ) x P(¬h)
P(s|¬h)= P(S ∩ ¬h) / P(¬h)
P(S ∩ ¬h)= La probabilidad de que dos no hermanos tengan el mismo apellido es 0.1 x La
probabilidad de que A y B no sean hermanos antes de que sepamos su apellido es 0.9
P(¬h )=La probabilidad de que A y B no sean hermanos antes de que sepamos su apellido
es 0.9
P(s|¬h)= 0.09/0.9 = 0.1
P (s ∧ ¬h ) = P (s | ¬h ) x P(¬h) = 0.1 x 0.9 = 0.09

14. Benjamín Joaquín Martínez
4.- Considera la siguiente situación
La probabilidad de que A y B sean hermanos antes de que sepamos su apellido es P(h) =
0.1
Sea P(s) la probabilidad de que A y B tengan el mismo apellido
Además sabemos que:
La probabilidad de que dos hermanos tengan el mismo apellido es 0.9 ( y de que lo
tengan, 0.1).
La probabilidad de que dos no hermanos tengan el mismo apellido es 0.1 ( y de que no lo
tengan, 0.9)
Da el valor de :
P (s)
P (s)= P (s ∧ h ) + P (s ∧ ¬h ) = 0.09+ 0.09= 0.18
5.- Da la probabilidad de que A y B sean hermanos una vez que sabemos que tienen el
mismo apellido. I,e.
P(h|s)
=0.09/0.18=0.5

15. Benjamín Joaquín Martínez
Teoría de decisiones
1- Considera el siguiente problema:
Si llegamos a tiempo a nuestro destino, recibimos $ 1,000.
Podemos ir a nuestro destino ya sea en taxi o en metro
El taxi nos cuesta $200. La probabilidad de llegar a tiempo en taxi es 80% ( y de no
llegar a tiempo, 20 %)
El metro nos cuesta $10. La probabilidad de llegar a tiempo en metro es 50% ( y de no
llegar a tiempo 50%)
Da la utilidad esperada en caso de ir en taxi a nuestro destino.
$640
2. – Considera el siguiente problema
Si llegamos a tiempo a nuestro destino, recibimos $ 1,000.
Podemos ir a nuestro destino ya sea en taxi o en metro
El taxi nos cuesta $200. La probabilidad de llegar a tiempo en taxi es 80% ( y de no
llegar a tiempo, 20 %)
El metro nos cuesta $10. La probabilidad de llegar a tiempo en metro es 50% ( y de no
llegar a tiempo 50%)
Da la utilidad esperada en caso de ir en metro a nuestro destino.
$490
+$1000
+$1000
1000-200=800
(800 x 0.8 – 200 x 0.2)= $640
1000-10=990
(990 x 0.5 – 200 x 0.5)= $490

16. Benjamín Joaquín Martínez
Teoría de juegos
1- Considera el siguiente juego. Hay dos cazadores que quieren cazar un venado.
Solo tendrán éxito en dicha caza si ambos permanecen alertas, pero cada uno
está tentado a abandonar su puesto y cazar una liebre. En cuyo caso, nadie
cazaría el venado. Si cazan el venado, ambos obtienen una ganancia de 2. El
cazador de una liebre obtiene una ganancia de 1. La ganancia de un cazador que
no caza nada es de 0.
La matriz de ganancias es
Di cuantos equilibrios (puros) de Nash tiene este juego.
2 equilibrios de Nash
si A elige cazar un venado a B le conviene cazar un venado y viceversa
Si A elige cazar una liebre a B le conviene cazar una libre y viceversa
A venado - B venado
A libre - B liebre
B venado - A Venado
B liebre - A liebre