El documento define diferentes tipos de regiones (poligonales, circulares y compuestas) y establece cuatro postulados sobre el área de regiones. Luego presenta teoremas para calcular el área de regiones rectangulares, paralelogramos, triángulos, trapecios y la relación entre el área de triángulos semejantes. Incluye demostraciones indicativas basadas en propiedades geométricas.

1. AREAS Definición : una región poligonal es la unión de un polígono y su interior. Definición : una región circular es la unión de una circunferencia y su interior. Definición : una región es : (1) La unión de un número finito de regiones poligonales o circulares, o bien: (2) La intersección de un número finito de regiones poligonales y circulares con la intersección de sus interiores no vacía, o bien: (3) La unión de un número finito de combinaciones de los tipos (1) o (2).

2. Postulados de áreas de regiones P1 : A cada región le corresponde un único número real positivo. P2 : Si dos triángulos son congruentes, entonces la regiones determinados por ellos tienen la misma área. P3 : Si la intersección de los interiores de dos regiones es vacía, entonces el área de la unión de las dos regiones es igual a la suma de las áreas de cada una de ellas. P4 : El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. R a la región R se le puede asociar un único número real positivo a( R ) llamado área de la región R.  T 1 T 2 T 1  T 2 a( T 1 ) = a ( T 2 ) R 2 int(R 1 )  int(R 2 ) =   a( R 1  R 2 ) = a (R 1 )+ a (R 2 ) R 1 C C cuadrado con lado de longitud l  a( C) = l 2 l

3. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Demostración: Indicación Formalizar la siguiente idea: Armar un “rompecabezas “ mediante regiones yuxtapuestas como en la figura adjunta, usar los postulados sobre áreas y el cuadrado de un binomio. A B C D a b a b Teorema El área de una región rectangular es el producto de las longitudes de los lados del rectángulo que la delimitan. A B C D Dado : ABCD rectángulo que delimita región R AB = a BC = b Demostrar : área( R ) =ab a b R

4. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Teorema: El área de una región delimitada por un paralelogramo es el producto de las longitudes de un lado y de la altura correspondiente a dicho lado. Demostración: Indicación Formalizar la siguiente idea: Si se traza el segmento CF perpendicular al prolongación del lado AB se obtiene un triángulo rectángulo CFB congruente con AED y un rectángulo EFCD de área ah , luego por el problema 24 de la página 199… A B C D Dado : ABCD paralelogramo que delimita región P AB = a DE  AB DE = h Demostrar : área( P ) =ah a P E h A B C D a h P E F

5. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Teorema: El área de una región delimitada por un triángulo es el semiproducto de las longitudes de un lado y de la altura correspondiente a dicho lado. Demostración: Indicación Formalizar la siguiente idea: Por el vértice B se traza recta paralela al lado AC y por el vértice C una recta paralela al lado AB. Se forma así un paralelogramo ABEC, y dos triángulos congruentes ABC y ECB. T Dado : ABC triángulo que delimita la región T AB = c CD  AB CD = h Demostrar : área( T ) =ch/2 D c A B C h T D c A B C h T E

6. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Corolario 1: El área de una región poligonal regular es el semiproducto de su apotema lateral por su perímetro. Corolario 2: Todos los triángulos que tienen respectivamente congruentes un lado y la altura correspondiente a dicho lado tienen la misma área. Indicaciones : Escriba, haciendo referencia a una figura, lo dado y lo que debe demostrarse Visualice y formalice la siguiente idea: si el polígono regular tiene n lados, uniendo el centro con cada uno de los vértices del polígono se forman n triángulos con “base” cada lado y altura la apotema. Indicaciones : Escriba, haciendo referencia a una figura, lo dado y lo que debe demostrarse. Aplique la fórmula que permite calcular el área de una región triangular.

7. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Definición La altura de un trapezoide es el segmento perpendicular a las bases del trapezoide y con sus extremos en dichas bases. Teorema : El área de una región trapezoidal es el semiproducto entre la longitud de la altura y la suma de las longitudes de sus bases. Dado : ABCD trapecio AB || CD AB = b 1 , CD = b 2 DE  AB , DE = h Demostrar : a( T ) = h(b 1 +b 2 )/2 Demostración : Trace una diagonal del trapecio, por ejemplo CA, obteniendo dos triángulos ABC y ACD con bases b 1 y b 2 y altura común h A B C D E b 1 b 2 h T A B C D E b 1 b 2 h

8. Cálculo de áreas de ciertas regiones poligonales Teorema: Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es igual a la razón entre los cuadrados de las longitudes entre dos lados correspondientes o igual a la razón entre los cuadrados de dos alturas correspondientes cualesquiera. 4. Sustituyendo convenientemente (*) en (**) se tiene la tesis. Demostración : ( Indicaciones ) Los triángulos BDC y QSR son semejantes ¿Por qué? Dado : ABC  PQR BD y QS alturas correspondientes Demostrar : a( ABC)/a( PQR)=AC 2 /PR 2 =BD 2 /QS 2 2. Luego se tiene, por ejemplo: 3.