Este documento explica las ecuaciones paramétricas y su uso para representar curvas. Introduce los conceptos de álgebra vectorial, sistemas de coordenadas y ecuaciones paramétricas. Explica cómo transformar ecuaciones paramétricas a cartesianas y calcular la longitud de un arco usando ecuaciones paramétricas. Finalmente, compara las representaciones gráficas de ecuaciones paramétricas y cartesianas.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN: BARCELONA
CARRERA: ARQUITECTURA
ASIGNATURA: MATEMÁTICA III
TEMA I
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
PARTICIPANTE: LORIANNYS SEMIAO
C.I. 28512341
DOCENTE: PROF. PEDRO BELTRÁN

2. INTRODUCCIÓN
El Algebra Vectorial, tuvo su origen en el estudio de la Geometría
Cartesiana.
A su vez dio origen a un sistema de ecuaciones
Como las Ecuaciones Paramétricas.
La cual es una función X , Y, que depende de una variable T, o también llamada
parámetro.
La cual permite representar una o varias curvas en un plano o en el
espacio.
Además, de transformarse en ecuaciones cartesianas, lo cual implica, sustituir
la «t», del tiempo.
Pudiendo también medir la longitud de los arcos.

3. El álgebra vectorial
Es una rama de las matemáticas
Encargada de estudiar sistemas de ecuaciones
lineales
vectores
matrices
Espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales

4. El álgebra vectorial
Es estudiada a través de tres fundamentos:
Geométricamentedefinidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente utiliza un sistema de coordenadas
AxiomáticamenteSe hace una descripción de los vectores

5. El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su
representación en un sistema de referencia
que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales
sistemas se encuentran:
Sistema unidimensional, que se trata de una recta donde un punto
(O) representa el origen y otro punto (P) determina la escala
(longitud)

6. Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional):
que está compuesto por dos rectas perpendiculares
llamadas eje x y eje y, que pasan por un punto (O) origen;
de esa forma el plano queda divido en cuatro regiones
llamadas cuadrantes. En este caso un punto (P) en el plano
es dado por las distancias que existen entre los ejes y P.

7. Las Ecuaciones paramétricas
Permiten representar una curva o superficie en el plano
o en el espacio, mediante valores que recorren un
intervalo de números reales, mediante una variable ,
llamada parámetro, considerando cada coordenada de
un punto como una función dependiente del parámetro.

8. Las Ecuaciones paramétricas

9. Transformar ecuaciones paramétricas a cartesiana.

10. Longitud de arco en ecuaciones paramétrica
Hallar la longitud del arco mediante las ecuaciones paramétrica

11. Continuación de la longitud del arco

12. Representación gráfica de la longitud de
arco con las ecuaciones paramétricas.

14. LONGITUD DE UNA CURVA PARAMETRICA.
Dados dos puntos P1 = (x1, x2, ..., xn), P2 =
(y1, y2, ..., yn) ∈ R n
(pensemos en puntos del espacio, de R 3 )
sabemos calcular la distancia que los
separa
||P1 − P2|| = p < P1 − P2, P1 − P2 > =
vuutXn k=1 (xk − yk) 2.

15. curva paramétrica
Una curva plana C es un conjunto de puntos P(x,
y) cuyas coordenadas están dadas por las ecuaciones
paramétricas
x = f( t ), y = g ( t ),
en donde f y g son funciones continuas en un intervalo
[a,b].
Ejemplos
x = f (t) = t2 y = g(t) = t3 en [-1,2]

16. x = f (t) = 3cos(t) y = g(t) = 3sen(t) en [0,2 ]

17. curva paramétrica
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional
consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable
independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número
real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n
coordenadas reales)
Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x =
x(t), y = y(t), z = z(t)
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es
un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y
son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0
Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se
denomina suave.

18. Se dice que una curva paramétrica γ es
rectificable (es decir, que tiene longitud finita) si
existe sup { S(γ, P) : P ∈ P([a, b]) }.
Al número anterior, si existe, lo llamamos
longitud de la curva γ (Escribimos: long γ).
Ejemplo. 1. Se considera la curva plana (en R 2 )
paramétrica γ : [0, 1] → R 2 r → γ(r) = (r cos 1 r ,
r sea 1 r ), si r 6= 0 y γ(0) = (0, 0).
Veamos que aunque la curva está acotada, su
longitud es finita.

19. Demostración:
Tomando límites, es fácil ver
que es una curva continua.
Además con un poco de
trabajo vemos que es una
espiral.

20. COMPARACIÓN DE GRÁFICA DE ECUACIONES
PARAMÉTRICAS CON LA GRÁFICA DE LA ECUACIÓN
CARTESIANA
GRAFICA PARAMETRICA GRÁFICA CARTESIANA

21. Cinemática
Describe geométricamente el movimiento sin
atender a sus causas Dinámica:
Cuando una partícula cambia de posición pasando de encontrarse en x1
en el instante t1 a una posición x2 en el instante t2 se dice que en el
intervalo de tiempo Δt = t2 − t1 ha experimentado un desplazamiento El
desplazamiento que, como la posición, se mide en unidades de distancia
(m, en el SI), posee la propiedad de que es independiente de que punto
se toma como origen de posiciones. Velocidad media Si una partícula
realiza un desplazamiento Δx en un intervalo Δt, se define la velocidad
media (en una dimensión) como el cociente entre el desplazamiento y el
intervalo empleado en realizarlo

22. Cinemática del movimiento rectilíneo:
Antes de considerar el problema completo del movimiento de una partícula en el
espacio de tres dimensiones, se examina el problema unidimensional más simple,
de una partícula que realiza un movimiento
Posición:
Cuando tenemos una partícula cuyo movimiento se ciñe a una recta, no
necesitamos el álgebra vectorial para identificar las diferentes posiciones de la
partícula. Nos basta con una etiqueta x(t) que designa la posición a lo largo de la
recta. Esta cantidad tiene un signo que indica si nos encontramos a la izquierda o a
la derecha de la posición a lo largo de la recta que hayamos etiquetado como x= 0.

23. conclusión
Las Ecuaciones paramétricas tienen infinidad de uso en
la vida diaria.
En la topografía, permite ubicarse en el espacio, ya sea
vectorial.
De esta forma, su importancia radica en que en la
actualidad, es aplicada en diferentes disciplinas
geográficas, como hidrología, ecología del paisaje, entre
otras.
Además, de facilitar el levantamiento de obras, como
plazas o áreas circulares.
Además de ello, para la construcción de carreteras
facilita a través del uso de las curvas, rectas, elipses,
entre otras ecuaciones.

24. https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-magnitudes-
vectores/. 19-10-2020.
https://ekuatio.com/ecuaciones-vectorial-y-parametricas-de-la-recta-
ejercicios-resueltos/. 19-10.2020.
VIDEO ECUACIONES PARAMÉTRICAS.
https://www.youtube.com/watch?v=gWz1HHNiaVQ. 19-10-2020.
VIDEO TRANSFORMAR ECUACIONES PARAMÉTRICAS A CARTESIANA.
https://www.youtube.com/watch?v=uCm3HvF-EtQ. 19-10-2020.
LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA.
https://temasdecalculo2.wordpress.com/2017/10/25/2-3-longitud-de-arco-en-
forma-parametrica-calculo-vectorial/. 19-10-2020.
Análisis Matemático Básico. http://blogs.mat.ucm.es/cruizb/wp-
content/uploads/sites/48/2019/07/Ap-Integral-18.pdf
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

25. Slideshare. https://es.slideshare.net/daisy_hernandez/aplicacin-de-ecuaciones-
vectoriales-paramtricas-para-la-determinacin-de-las-caractersticas-cinemticas-de-
una-partcula-en-movimiento. 20-10-2020.
Wikipedia. Ecuación Paramétrica. https://es.slideshare.net/japsnov/longitud-de-
arco-wilson-alvarez. 20-10-2020.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANEXOS VIDEOS
https://www.youtube.com/watch?v=gWz1HHNiaVQ
https://www.youtube.com/watch?v=uCm3HvF-EtQ
https://www.youtube.com/watch?v=aulW_YUeCRg