Este documento explica conceptos básicos de álgebra vectorial como vectores, ecuaciones paramétricas y su aplicación. Define vectores, clasificaciones y propiedades. Explica que una ecuación paramétrica representa una curva mediante coordenadas como funciones de un parámetro, y cómo transformarlas a cartesianas. Finalmente, aplica ecuaciones paramétricas vectoriales para determinar características cinemáticas como la longitud de un arco.

1. VECTORES EN EL
ESPACIO
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO ´´SANTIAGO MARIÑO´´
SEDE BARCELONA
BACHILLER
Thania Sardiña
CI: 27437637
TUTOR
PEDRO BELTRÁN
Octubre, 2020

2. INTRODUCCIÓN
El algebra vectorial es una rama de la matemática que estudia a los vectores en la cual se encargan en el
estudio de funciones y la resolución de problemas números.
En las siguientes diapositivas explicaremos qué es un vector como tema base de este trabajo, los tipos
de vectores , clasificaciones y sus teoremas.
También hablaremos de ecuaciones paramétricas en la cual ellas permiten representar curvas,
representaremos una curva paramétrica y las diferencias entre una ecuación paramétrica y una
cartesiana. Mediante de este tema nos desglosaremos en la transformación de paramétricas a
cartesianas, la longitud de un arco de forma paramétrica con sus breves ejemplos, y aplicaciones
ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las características cinemáticas de una
partícula en movimiento.

3. VECTORES EN EL ESPACIO
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En un sistema de coordenadas tridimensional se construye
trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas
a los ejes X e Y.
Vector en el espacio.
Un vector en el espacio es todo aquel representado mediante
un sistema de coordenadas dado por X, Y y Z.
Normalmente XY representa el plano de superficie horizontal
y el eje Z representa la altura.
Un punto P viene determinado P (X , Y , Z)
Representa los puntos A(2, -
2, 3) y B(2, 3, 4).

4. GENERALIDADES DEL ALGEBRA VECTORIAL
◦ Geométricamente.
Los vectores son representados por rectas que tienen
una orientación, y las operaciones como suma, resta, y
multiplicación por números reales son definidas a través
de métodos geométricos.
◦ Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es
realizada con números, llamados componentes. Este
tipo de descripción es resultado de una representación
geométrica porque se utiliza un sistema de
coordenadas.
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o Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores,
independientemente del sistema de coordenadas o
de cualquier tipo de representación geométrica.

5. ALGEBRA VECTORIAL
◦ El algebra vectorial es una rama de la matemática que se encarga en estudiar vectores, sistema de ecuaciones
lineales, matrices, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.
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MAGNITUDES; Una magnitud es una cantidad
física que puede ser contada o medida a través de un
valor numérico, se divide en dos tipos.
Magnitud escalar
Son aquellas cantidades que se definen y
representan de forma numérica; es decir, por un
módulo junto con una unidad de medida.
Magnitud vectorial
Son aquellas cantidades que son definidas y representadas
por un módulo junto con una unidad, así como también por
un sentido y dirección. Por ejemplo:
a) Velocidad: (5ȋ – 3ĵ) m/s.
b) Aceleración: 13 m /s2; S 45º E.
c) Fuerza: 280 N, 120º.
d) Peso: -40 ĵ kg-f.
Las magnitudes vectoriales son representadas gráficamente por
vectores

6. GENERALIDADES DE ALGEBRA VECTORIAL
Un vector es un segmento de líneas que con dirección y sentido representa una magnitud física forma parte
fundamental de la geometría, su representación grafica consiste en una flecha, cuya va dirigida en dirección de la
magnitud del estudio.
En estudio de matemática avanzado el vector tiene suma importancia, ya que se utiliza para el estudio de funciones y
la resolución de problemas que busca la representación numérica y grafica de una función.
Un vector en el espacio es un segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en otro.
u = (u1,u2,u3) v = (v1, v2, v3)
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7. ELEMENTOS DE UN VECTOR
◦ Módulo.
Es la distancia que hay desde el origen hasta el
extremo de un vector, representada por un número
real junto con una unidad. Por ejemplo:
|OM| = |A| = A = 6 cm
◦ Dirección.
Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a
partir del positivo) y el vector, así como también se
utilizan los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste).
◦ Sentido.
Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo
del vector, indicando hacia dónde se dirige este.
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8. CLASIFICACIÓN DE VECTORES
◦ Vector fijo
Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es fijo; es
decir, que se mantiene ligado a un punto del espacio,
por lo que no puede desplazarse en este.
◦ Vector libre
Puede moverse libremente en el espacio porque su
origen se traslada a cualquier punto sin cambiar su
módulo, sentido o dirección.
◦ Vector deslizante
Es aquel que puede trasladar su origen a lo largo de su
línea de acción sin cambiar su módulo, sentido o
dirección.
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9. CLASIFICACIÓN DE VECTORES
◦ Los vectores en general pueden ser.
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Comparativamente pueden ser:
• Vectores equipolentes: Son los que tienen igual
módulo, la misma dirección o direcciones paralelas y el
mismo sentido
• Vectores iguales: Son los que tienen la misma
magnitud, dirección y sentido.
• Vectores equivalentes: Son los que producen el mismo
efecto
Atendiendo a lo que representan pueden ser:
• Vectores polares ó
• Vectores axiales

10. PROPIEDADES
◦ Con la definición de vector en términos de componentes y con las propiedades de los números reales, puede
demostrarse el siguiente teorema.
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11. ECUACIONES PARAMETRICAS
◦ Una ecuación paramétrica permite representar una
curva o una superficie en el plano o en el espacio
mediante valores que recorren un intervalo de
números reales, mediante una variable, nombrado
parámetro, considerando cada coordenada de un
punto como una función dependiente del
parámetro.
◦ Cualquier recta r que se pueda dibujar sobre un
plano puede ser determinada analíticamente por
medio del punto A que pertenece a la recta y una
dirección que se puede expresar mediante un vector
nulo.
◦ Cada punto de una curva se puede definir por
un sistema de ecuaciones
X= x(t), Y= y (t), Z= z(t).
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12. ECUACIONES PARAMETRICAS
◦ En general, podemos definir una curva en el plano xy en
términos de ecuaciones paramétricas:
Una curva plana C es un conjunto de puntos P(x, y) cuyas
coordenadas están dadas por las ecuaciones paramétricas
x = f( t ), y = g ( t ),
en donde f y g son funciones continuas en un intervalo [a,b].
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Ejemplos

13. REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA CURVA
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La representación paramétrica en una curva en un espacio n dimensional
consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable
independiente o parámetro de la forma
Xi = fI (tI) fI : [a,b] R
Donde X representa la i-ésima coordenada del punto generador al asignar
valores de intervalos [a, b] a t.
Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones X=
x (t), y = y (t), z = z (t).
Si x y y están expresadas como funciones
X= f (t), y = g(t)
En un intervalo de I de valores t, entonces el conjuntos de puntos (X, Y) =
(f(t), g (t)) definida por esta ecuación es una curva paramétrica. Las
ecuaciones son ecuaciones paramétricas de una curva
La variable t es un paramétro de la curva y
su dominio I es el intervalo paramétrico. Si
I es un intervalo cerrado el
punto es el punto inicial de la
curva y es el punto final.

14. PENDIENTE FUNCIONES PARAMETRICAS
◦ Sean x = f (t), y = g (t) funciones diferenciables.
Entonces:
siempre que f '(t) no sea cero.
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15. Diferencias de una ecuación paramétrica y una cartesiana
ECUACIÓN PARAMÉTRICA
◦ Las ecuaciones paramétricas permiten
representar curvas o superficies en el espacio o
en un plano.
◦ Esta dada por una función (x, y) que depende de
una variable ´t´ o también llamada parámetro
◦ En el campo topográficos las funciones
paramétricas nos facilitan la creación de
carreteras por medio de curvas o de una recta ya
sean elipses, utilizando por ejemplo teodolitos,
niveles, GPS, ect.
ECUACIÓN CARTESIANA
◦ Las ecuaciones cartesianas permiten ubicar
puntos en el espacio o en un plano.
◦ Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los
puntos del espacio (x, y, z) que satisfacen la
ecuación.
◦ En el campo geométrico las funciones
cartesianas suelen ser utilizadas para localizar
sitios en los mapas.
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16. TRANFORMACIÓN DE PARAMÉTRICAS A CARTESIANAS
◦ Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas perpendiculares graduadas a las que llamamos ejes de
coordenadas. Se suele nombrar como X el eje horizontal e Y al eje vertical. Estos dos ejes se cortan en un punto al que se le
denomina origen de coordenadas, O.
TRANSFORMAR PARAMETRICAS A CARTESIANAS
Dada la función en forma paramétrica
Obtener la función en forma cartesiana, determinar dominio y rango, la grafica e identificación a la función
Despejamos
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17. TRANFORMACIÓN DE PARAMÉTRICAS A CARTESIANAS
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Para obtener nuestro dominio y rango debemos hacer una tabla de valores.
De esta manera obtenemos nuestra ecuación cartesiana
Hacemos sustitución de valores en las
funciones x y y
Y así logramos obtener nuestra grafica
de la función

18. TRANFORMACIÓN DE PARAMÉTRICAS A CARTESIANAS
◦ Grafica
Obtenemos una grafica parábola vertical V (0,5)
que abre hacia abajo
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19. Longitud de un arco de forma paramétrica
◦ Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma en el intervalo
(excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por:
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Ejemplo
Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:

20. Longitud de un arco de forma paramétrica
◦ SOLUCIÓN
◦ Derivando la ecuación paramétrica “y”:
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Derivando la ecuación paramétrica “x”:
Entonces los parámetros a utilizar en la fórmula de la longitud
de arco:

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Longitud de un arco de forma paramétrica
Sustituyendo:

22. Longitud de un arco de forma paramétrica
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CONTINUACION DE SOLUCIÓN
GRAFICA

23. Aplicar ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las
características cinemáticas de una partícula en movimiento.
◦ Un cuerpo se halla en movimiento respecto a otro cuanto existe un cambio continuo de su posición
relativa a lo largo de los tiempos. La física que se dedica a al estudio del movimiento de los cuerpos es
la mecánica, y esta se subdivide en las siguientes diciplinas :
◦ Cinemática: Describe el movimiento sin atender sus causas.
◦ Dinámica: Conecta el movimiento y sus características con las fuerzas que produce.
◦ Estática: Establece las condiciones de equilibrio
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24. Aplicar ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las
características cinemáticas de una partícula en movimiento.
◦ Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector en
posición o dos puntos en la recta.
◦ Ejemplo
Hallar a la ecuación a partir de un punto y
un vector de posición, si tuviésemos dos
puntos A, B entonces el vector AB es un
vector de posición
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La ecuación de una recta es una expresión
analítica que permite identificar todos los
puntos de la recta.
Dados un punto de la recta y un vector
de dirección tendrá como vector de posición
OX. Claro que OX=OP+PX, como el vector
PX, por lo tanto OX=OP+Љi esta expresión
se conoce como ecuación vectorial de la recta

25. CONCLUSIÓN
◦ El algebra vectorial como logramos presenciar no solo tiene un
puesto en la matemática, si no que también va de la mano con
la geometría, haciendo que se trabajen juntas con las
ecuaciones cartesianas, polares y paramétricas. Podemos
lograr transformaciones de una ecuación paramétrica a
cartesiana para la facilitación de resolver una función y
conseguir un punto determinado
◦ Las ecuaciones paramétrica tiene varios usos en diferentes
campos, y nos permiten infinitas soluciones, y en futuro
gracias a las ecuaciones paramétricas podemos hacer varios
cálculos en nuestra vida cotidiana, ya que con sus ecuaciones
podemos determinar curvas y rectas que nos permite ya sea
para mejorar la vida de toda una cuidad como la facilitación de
otra.
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26. ANEXOS
◦ YOUTUBE
◦ https://www.youtube.com/watch?v=IADnLFOBWII
◦ https://www.youtube.com/watch?v=KsJfLk6U3Hc
◦ https://www.youtube.com/watch?v=j69HPJac9ZM
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27. BIBLIOGRAFIA
Pajón, Antonio (1999) Algebra vectorial, Bogotá, Creative Commons.
https://www.aacademica.org/javier.pajon.permuy/10.pdf
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