El documento describe las curvas en matemáticas. Explica que una curva es una línea continua de una dimensión cuya dirección varía gradualmente. También describe las ecuaciones paramétricas que permiten representar curvas mediante el uso de un parámetro, y define una curva plana como el conjunto de puntos obtenidos al variar el parámetro sobre un intervalo. Además, explica cómo trazar curvas y eliminar el parámetro para obtener la ecuación rectangular de una curva dada.
Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.
Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.
2. Los distintos registros de representación de la recta.
2.1 Ecuación pendiente-ordenada al origen de una recta (Forma ordinaria).
2.2 Conversión de registros: verbal, algebraico, gráfico y tabular de la recta.
2.3 Ecuación punto-pendiente de una recta.
2.4 Ecuación simétrica de la recta.
2.5 Ecuación general de la recta.
Nos centraremos en las ecuaciones paramétricas, las cuales nos permiten el representar curvas o superficies en el plano o espacio, mediante una variable llamada parámetro.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
1. CURVAS
En la matemática (inicialmente estudiado en la geometría elemental y, en forma más
rigurosa, en la geometría diferencial), la curva (o línea curva) es una línea continua de
una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas
cerradas simples son la elipse o la circunferencia o el óvalo, el cicloide; ejemplos de
curvas abiertas, la parábola, la hipérbola y la catenaria y una infinidad de curvas
estudiadas en la geometría analítica plana.
ECUACIONES PARAMÉTRICAS:
Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en
el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números
reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando cada coordenada de
un punto como una función dependiente del parámetro.
. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro
de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
DEFINICIÓN DE UNA CURVA PLANA :
Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones
x=f(t) , y= g(t) se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al
conjunto de puntos (x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo se le llama la
gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica,
juntas, es a lo que se le llama una curva plana, que se denota por C.
2. Trazado de una curva
Para trazar una curvas se necesitan muchas cosas como: dominio, intervalo, simetría.
límites, continuidad, asíntotas, derivadas, tangentes, valores extremos, intervalos de
incremento y decremento, concavidad y puntos de inflexión; todo esto nos revela las
características importantes de las funciones.
t -2 -1 0 1 2 3
x 0 -3 -4 -3 0 5
y -1 -1/2 0 1/2 1 3/2
2
4 , 2 3
2
t
x t y t y
3. Eliminación del parámetro
Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación representa una parábola con un
eje horizontal y vértice en cómo se ilustra en la figura anterior. El rango de x e y
implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a la forma
rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse de
manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En el
ejemplo siguiente se muestra esta situación:
Ajustar el dominio después de la E.P
Es eliminar el parámetro y ajustar el dominio de la ecuación rectangular resultante
Dibujar la curva representada por las ecuaciones
Solución: Despejar t de la ecuación para x
2
4
2
x t
t
y
2t y
2
2 4x y 2
4 4x y
1
11
t
x y
tt
y
2
2
1 x
t
x
1
1
x
t
2 1
1
x
t
4. Sustituyendo t en la ecuación de y:
La ecuación rectangular, está definida para todos los valores de x, sin
embargo en la ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida para
t>-1
Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos, como
se ilustra en la figura.
2
2
2
1 1
1 1 1
11 1
1
t
y x
xt t
x
2
1y x
5. Identidades para eliminar el parámetro
Hallar ecuaciones paramétricas
¿Cómo determinar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una
gráfica o una descripción física dadas? Por el ejemplo anterior ya se sabe que tal
representación no es única. Esto se demuestra más ampliamente en el ejemplo
siguiente, en
el que se encuentran dos representaciones paramétricas diferentes para una gráfica
dada.
Ejm:
Hallar el conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la grafica de y=1-x2,
usando cada uno de los parámetros siguientes
122
CosSen
2 2
1Sec Tg
6. a) t= x b) la pendiente de 𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
en el punto (x,y)
SOLUCION:
.Haciendo x=t se obtienen las ecuaciones parametricas
x=t , y=1-t2
.Para expresar x , y en terminos del parametro m, se puede proceder asi:
m =
dy
dx
=-2x (derivada de y=1-x2)
x =
−m
2
(despejar x)
Con esto se obtiene la ecuacion parametrica para x. Para obtener la ecuacion
parametrica para y, en la ecuacion original se sustituye x por -m/2
y=1-x2
y=1-( -m/2)2
y=1-m2/4
Por lo tanto las ecuaciones paramétricas son : x=-m/2 , y=1-m2/4
m=0
1
m=2 -1 1 m= -2
m=4 m=-4
En la figura obsérvese que la orientación de la curva resultante es de derecha
a izquierda, determinada por la dirección de los valores crecientes de la pendiente m.
En el apartado , la curva puede haber tenido la orientación opuesta