El documento explica el concepto de movimiento armónico simple. Este tipo de movimiento ocurre cuando una fuerza proporcional al desplazamiento actúa sobre un cuerpo, haciendo que oscile indefinidamente entre dos posiciones sin perder energía. Se dan ejemplos como un resorte o un péndulo. Matemáticamente, la ecuación que describe este movimiento es una ecuación diferencial de segundo orden con soluciones periódicas.

1. Jefferson Verde
07/02/2016

2. Movimiento Armónico Simple
Concepto:
Un tipo de movimiento particular ocurre cuando sobre el cuerpo actúa una fuerza que es
directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. Si dicha
fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un
movimiento de ida y de vuelta respecto de esa posición, por eso a estas fuerzas se les da el nombre
de fuerzas de restitución, porque tratan siempre de restituir o llevar al cuerpo a su posición original
de equilibrio. El movimiento que se produce es un ejemplo de lo que se llama movimiento
periódico u oscilatorio.
El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio estable.
Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que actúa
sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, pequeños desplazamientos darán lugar a la
aparición de una fuerza que tenderá a llevar a la partícula de vuelta hacia el punto de equilibrio.
Tal fuerza se denomina fuerza restauradora.
Ejemplos de movimientos periódicos son la oscilación de una masa acoplada a un resorte, el
movimiento de un péndulo, las vibraciones de las cuerdas de un instrumento musical, la rotación
de la Tierra, las ondas electromagnéticas tales como ondas de luz y de radio, la corriente eléctrica
en los circuitos de corriente alterna y muchísimos otros más.
Un tipo particular es el movimientoarmónico simple. En este tipo de movimiento, un cuerpo oscila
indefinidamente entre dos posiciones espaciales sin perder energía mecánica. Pero en los sistemas
mecánicos reales, siempre se encuentran presente fuerzas de rozamiento, que disminuyen la
energía mecánica a medida que transcurre el tiempo, en este caso las oscilaciones se llaman
amortiguadas. Si se agrega una fuerza externa impulsora de tal manera que la pérdida de energía
se equilibre con la energía de entrada, el movimiento se llama oscilación forzada.
En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable son los mínimos locales de la
misma, y el movimiento oscilatorio tiene lugar en un entorno de un mínimo local.
Desde el punto de vista matemático un movimiento es oscilatorio si la ecuación diferencial que
describe su movimiento es de la forma:

3. ]1[0.
2
0
2
 x
dt
xd

Con solución dada por:
)(.)( 0   tsenAtx
o bien,
)cos(.)( 0   tAtx
Ambas soluciones son válidas por la relación:
)
2
(cos

 xxsen
Luego:
)'´cos(.)
2
cos(.)(.)( 000 

  tAtAtsenAtx
Dónde:
2
'

 
Se Trabajara solo con la primera de estas, el trabajo con la segunda es análogo. De esta manera,
tenemos:
Posición:
)(.)( 0   tsenAtx
Velocidad:
22
000 )()cos(.)( txAtAtv  

4. Aceleración:
)(.)(.)(
2
00
2
0 txtsenAta  
Cinética:
)t(cos.A.v.mK  0
222
0
2
2
1
2
1
Potencial:
)(..
2
1
0
222
0   tsenAU
Mecánica:
22
0 .
2
1
AUKE 
Definición de algunos términos básicos:
Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.
Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.
Elongación, x (t): posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio (x=0). Amplitud
(A): máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la posición de equilibrio.
Frecuencia angular ( ):
f
T
.2
2


 
Fase (  t )
Fase inicial ( )

5. Se puede notar que cualquier movimiento armónico simple esta, bien definido cuando conocemos,
su frecuencia o el periodo.
Elasticidad y resortes
La fuerza electromagnética básica a nivel molecular se pone de manifiesto en el momento
de establecerse contacto entre dos cuerpos. La vida diaria está llena de fuerzas de contacto como
por ejemplo cuerdas, resortes, objetos apoyados en superficies, estructuras, etc. En todos los
cuerpos sólidos existen fuerzas contrarias de atracción y repulsión, pero entre las propiedades más
importantes de los materiales están sus características elásticas.
Si un cuerpo después de ser deformado por una fuerza, vuelve a su forma o tamaño original cuando
deja de actuar la fuerza deformadora se dice que es un cuerpo elástico. Las fuerzas elásticas
reaccionan contra la fuerza deformadora para mantener estable la estructura molecular del sólido.
Fue Robert Hooke (1635-1703), físico-matemático, químico y astrónomo inglés, quien primero
demostró el comportamiento sencillo relativo a la elasticidad de un cuerpo. Hooke estudió los
efectos producidos por las fuerzas de tensión, observó que había un aumento de la longitud del
cuerpo que era proporcional a la fuerza aplicada.
Hooke estableció la ley fundamental que relaciona la fuerza aplicada y la deformación producida.
Para una deformación unidimensional, la Ley de Hooke se puede expresar matemáticamente así:
𝐾⃗⃗ Es la constante de proporcionalidad o de elasticidad.
𝑋 Es la deformación, esto es lo que se ha comprimido o estirado a partir del estado que no tiene
deformación. Se conoce también como el alargamiento de su posición de equilibrio.
(𝐹 ) Es la fuerza del solido
El signo (-) en la ecuación se debe a la fuerza que tiene sentido contrario al desplazamiento. La
fuerza se opone o se resiste a la deformación.
Las unidades son Newton/metro (New/m) – Libras/ pie (Lb/p).

6. La fuerza más pequeña que produce deformación se llama límite de elasticidad.
El límite de elasticidad es la máxima longitud que puede alargarse un cuerpo elástico sin
que pierda sus características originales. Más allá del límite elástico las fuerzas no se pueden
especificar mediante una función de energía potencial, porque las fuerzas dependen de muchos
factores entre ellos el tipo de material.
Para fuerzas deformadoras que sobrepasan el límite de elasticidad no es aplicable la Ley
de Hooke.
Por consiguiente, mientras la amplitud de la vibración sea suficientemente pequeña, esto
es, mientras la deformación no exceda el límite elástico, las vibraciones mecánicas son idénticas a
las de los osciladores armónicos.
Módulo de elasticidad
La relación entre cada uno de los tres tipos de esfuerzo (tensor-normal-tangencial) y sus
correspondientes deformaciones desempeña una función importante en la rama de la física
denominada teoría de elasticidad o su equivalente de ingeniería, resistencias de materiales. Si se
dibuja una gráfica del esfuerzo en función de la correspondiente deformación, se encuentra que el
diagrama resultante esfuerzo-deformación presenta formas diferentes dependiendo del tipo de
material.
En la primera parte de la curva el esfuerzo y la deformación son proporcionales hasta
alcanzar el punto H, que es el límite de proporcionalidad. El hecho de que haya una región en la
que el esfuerzo y la deformación son proporcionales, se denomina Ley de Hooke.
De H a E, el esfuerzo y la deformación son proporcionales; no obstante, si se suprime el
esfuerzo en cualquier punto situado entre O y E, la curva recorrerá el itinerario inverso y el material
recuperará su longitud inicial.

7. En la región OE, se dice que el material es elástico o que presenta comportamiento elástico,
y el punto E se denomina límite de elasticidad o punto cedente. Hasta alcanzar este punto, las
fuerzas ejercidas por el material son conservativas; cuando el material vuelve a su forma original,
se recupera el trabajo realizado en la producción de la deformación. Se dice que la deformación es
reversible.
Si se sigue cargando el material, la deformación aumenta rápidamente, pero si se suprime
la carga en cualquier punto más allá de E, por ejemplo C, el material no recupera su longitud
inicial. El objeto pierde sus características de cohesión molecular. La longitud que corresponde a
esfuerzo nulo es ahora mayor que la longitud inicial, y se dice que el material presenta una
deformación permanente. Al aumentar la carga más allá de C, se produce gran aumento de la
deformación (incluso si disminuye el esfuerzo) hasta alcanzar el punto R, donde se produce la
fractura o ruptura. Desde E hasta R, se dice que el metal sufre deformación plástica.
Una deformación plástica es irreversible. Si la deformación plástica entre el límite de
elasticidad y el punto de fractura es grande, el metal es dúctil. Sin embargo, si la fractura tiene
lugar después del límite de elasticidad, el metal se denomina quebradizo.
La mayor parte de las estructuras se diseñan para sufrir pequeñas deformaciones, que
involucran solo la parte lineal del diagrama esfuerzo-deformación, donde el esfuerzo P es
directamente proporcional a la deformación unitaria D y puede escribirse:
P = Y.D. Donde Y es el módulo de elasticidad o módulo de Young.
Hidrostática
La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que
estudia los fluidos en estado de equilibrio, es decir, sin que existan
fuerzas que alteren su movimiento o posición. Los principales
teoremas y Principios que respaldan el estudio de la hidrostática son
La Ecuación Fundamental de la Hidrostática, el principio de Pascal
y el principio de Arquímedes.

8. Ecuación fundamental de la Hidrostática
Presión
En física y disciplinas afines, la presión es una magnitud física que mide la fuerza por unidad de
superficie, y sirve para caracterizar como se aplica una determinada fuerza resultante sobre una
superficie.
En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la presión se mide en
una unidad derivada que se denomina pascal (Pa) que es equivalente
a una fuerza total de un newton actuando uniformemente en un
metro cuadrado.
La presión es la magnitud que relaciona la fuerza con la superficie
sobre la que actúa, es decir, equivale a la fuerza que actúa sobre la
unidad de superficie. Cuando sobre una superficie plana de área A se aplica una fuerza normal F
de manera uniforme y perpendicularmente a la superficie, la presión p viene dada por:
p = F / A
Presión absoluta y relativa: En determinadas aplicaciones la presión se mide no como la presión
absoluta sino como la presión por encima de la presión atmosférica, denominándose presión
relativa, presión normal, presión de gauge o presión manométrica. Consecuentemente, la presión
absoluta es la presión atmosférica más la presión manométrica (presión que se mide con el
manómetro).

9. Presión hidrostática
Un fluido pesa y ejerce presión sobre las paredes, sobre el fondo del recipiente que lo contiene y
sobre la superficie de cualquier objeto sumergido en él. Esta presión, llamada presión hidrostática,
provoca, en fluidos en reposo, una fuerza perpendicular a las paredes del recipiente o a la superficie
del objeto sumergido sin importar la orientación que adopten las caras. Si el líquido fluyera, las
fuerzas resultantes de las presiones ya no serían necesariamente perpendiculares a las superficies.
Esta presión depende de la densidad del líquido en cuestión y de la altura a la que esté sumergido
el cuerpo y se calcula mediante la siguiente expresión denominada Ecuación fundamental de la
Hidrostática:
Donde, usando unidades del SI,
 es la presión hidrostática (en pascales);

10.  es la densidad del líquido (kg /m3);
 es la aceleración de la gravedad ( m / s2)
 es la altura del fluido (m).
 es la presión atmosférica ó la presión conocida de un unto dentro del fluido
Propiedades de la presión en un medio fluido
1. La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones.
2. La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido
en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es la misma.
3. En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior del fluido una parte de este
sobre la otra es normal a la superficie de contacto.
4. La fuerza asociada a la presión en un fluido ordinario en reposo se dirige siempre hacia el
exterior del fluido, por lo que debido al principio de acción reacción, resulta en una compresión
para el fluido.
5. La superficie libre de un líquido en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es
siempre horizontal pero a cierta escala puesto que se aprecia que la superficie libre de los océanos
es esférica.
6. En los fluidos en reposo, un punto cualquiera de una masa líquida está sometida a una presión
que es función únicamente de la profundidad a la que se encuentra el punto. Otro punto a la misma
profundidad, tendrá la misma presión. A la superficie imaginaria que pasa por ambos puntos se
llama superficie equipotencial de presión o superficie isobárica.

11. Paradoja Hidrostática: La fuerza debida a la presión que ejerce un fluido en la base de un
recipiente puede ser mayor o menor que el peso del líquido que contiene el recipiente, esta es en
esencia la paradoja hidrostática.
La ecuación fundamental de la estática de fluidos establece que la presión solamente depende de
la profundidad por debajo de la superficie del líquido y es independiente de la forma de la vasija
que lo contiene. Como es igual la altura del líquido en todos los vasos, la presión en la base es la
misma y el sistema de vasos comunicantes está en equilibrio.
Presión atmosférica:
La presión atmosférica es la presión ejercida por el aire atmosférico en cualquier punto de la
atmósfera. Normalmente se refiere a la presión atmosférica terrestre, pero el término es
generalizable a la atmósfera de cualquier planeta o satélite.
La presión atmosférica en un punto representa el peso de una columna de aire de área de sección
recta unitaria que se extiende desde ese punto hasta el límite superior de la atmósfera. Como la
densidad del aire disminuye cuando nos elevamos, no podemos calcular ese peso a menos que
seamos capaces de expresar la densidad del aire ρ en función de la altitud z o de la presión p. Por
ello, no resulta fácil hacer un cálculo exacto de la presión atmosférica sobre la superficie terrestre;
por el contrario, es muy fácil medirla.
La presión atmosférica en un lugar determinado experimenta variaciones asociadas con los
cambios meteorológicos. Por otra parte, en un lugar determinado, la presión atmosférica disminuye
con la altitud, a causa de que el peso total de la atmósfera por encima de un punto disminuye
cuando nos elevamos. La presión atmosférica decrece a razón de 1 mmHg o Torr por cada 10 m
de elevación en los niveles próximos al del mar. La presión atmosférica estándar, 1 atmósfera, fue

12. definida como la presión atmosférica media al nivel del mar que se adoptó como igual a 101.325
Pa o 760 Torr.
Principio de Pascal
El hecho de que los fluidos en equilibrio transmiten la presión sin modificar su intensidad fue
establecido por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) y se conoce como
Principio de Pascal:
Los cambios de presión en un fluido incompresible (líquido) en equilibrio dentro de un recipiente
de paredes indeformables se transmiten sin alteración a todo el fluido.
Esta experiencia permite comprobar la validez del principio de Pascal. Al oprimir el émbolo de la
jeringa, el consecuente cambio de presión se transmite a todo el fluido contenido en la esfera rígida
y los chorros de agua salen por los orificios al mismo tiempo.
Aquellos que están en el mismo plano horizontal tienen la misma amplitud.
También se evidencia el principio de Pascal en la prensa hidráulica de la figura: al hacer fuerza en
un extremo, el cambio de presión correspondiente se transmite a través del líquido y se manifiesta
por la acción de una fuerza sobre el objeto que está en el otro extremo.
Los ascensores hidráulicos y los frenos hidráulicos también se basan en ese principio.