El documento describe varios conceptos matemáticos relacionados con las integrales definidas y su aplicación en áreas como la economía y la tecnología. Explica la definición de integral definida como el área delimitada por una curva y los ejes. También cubre temas como la curva de Lorenz para medir la desigualdad, las curvas de aprendizaje y su impacto en los costos, y el cálculo del valor presente para ingresos continuos a lo largo del tiempo. Finalmente, presenta ejercicios sobre estos conceptos.

1.  La importancia de las integrales
definidas en el área tecnológica
Participante:
José Loreto
25938354
Asignatura:
Matemática II

2.  Integral Definida.
 Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la
gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
 La integral definida se representa por .
 ∫ es el signo de integración.
 a límite inferior de la integración.
 b límite superior de la integración.
 f(x) es el integrando o función a integrar.
 dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Definición de integral definida; La integral (denominada algunas veces la integral definida) de
una función f(x). Entre x = a y x = b, se escribe como:
 Inclusive, se interpreta como el área de la región limitada por la gráfica y = f(x) el eje “x” y las
líneas verticales de x = a, y x = b (a<b); Si el área esta por encima del eje “x”, es positiva y si
esta por debajo del eje “x”, es negativa.
 y
 y = f(x)
 + x
 ( - )

3.  Coeficientes de desigualdad para distribución de ingreso
 La curva de Lorenz se utiliza en la economía y ecología para describir la desigualdad de
abundancia o tamaño. La curva de Lorenz es una función de la proporción acumulativa de
individuos pedidos tras sobre la proporción acumulativa correspondiente de su tamaño. Dado
una muestra de n pidió a individuos con el tamaño del individuo i y,
 después está el polígono la curva de Lorenz de la muestra que
 ensambla los puntos, donde h = 0, 1, 2… n, y Alternativamente, la curva de Lorenz se puede
expresar como donde está la función de distribución acumulativa de individuos pedidos y es el
medio F(y) clasificar.
 Si todos los individuos son del mismo tamaño, la curva de Lorenz es una línea diagonal recta,
llamada la línea de la igualdad. Si hay alguna desigualdad de tamaño, entonces la curva de
Lorenz cae debajo de la línea de la igualdad. La cantidad total de desigualdad se puede resumir
por el coeficiente de Gini (también llamado el cociente de Gini), que es el cociente entre el área
incluida por la línea de la igualdad y la curva de Lorenz, y el área triangular total bajo línea de la
igualdad. El grado de la asimetría alrededor del eje de la simetría es medido por el coeficiente
supuesto de la asimetría de Lorenz
 Ejercicio
 Encuentre el coeficiente de desigualdad de la distribución de ingreso dada por la curva
, en donde X es la proporción acumulada de captadores de ingresos y Y es la proporción acumulada
del ingreso nacional.

R//

4.  Curvas de aprendizaje
 Las curvas de aprendizaje, también llamadas economías de escala dinámicas, hacen referencia
al aumento de la productividad que se produce a través de la experiencia acumulada. Cuando
una empresa lleva más de un periodo produciendo un bien aprende a producirlo mejor, se hace
con el knowhowdel proceso productivo, lo que se traduce en una disminución del coste unitario
a medida que aumenta la producción acumulada.
 La importancia de esta relación puede llevar a que determinadas empresas produzcan más que
la cantidad de equilibrio durante los primeros periodos con el fin de bajar por su curva de
aprendizaje más rápidamente que sus competidores, es decir, para crear una barrera de
entrada.
Ejercicio
Después de observar las primeras 400 unidades de su producto, una empresa determina que.
Calcule el total de horas de mano de horas requeridas con el objeto de producir 500 unidades
adicionales el tiempo de mano de obra requerido a fin de ensamblar la unidad (x+1) fue de
10000 R//

5.  Maximización de la utilidad con respecto al tiempo
 En ciertas empresas como la explotación de minas, se tornan no rentables con el tiempo.
En tales operaciones, la tasa de ingreso R´(t) puede ser muy alta al inicio de la operación
pero puede decrecer a medida que transcurre el tiempo debido al agotamiento de
recursos. La tasa de costo C´(t) es pequeña al principio , pero se incrementa con el
tiempo por costo de extracción mas altos ,etc. En tales operaciones existe un instante en
el que el administrador debería cerrar la fabrica antes de perder dinero, lo que resultaría
en la utilidad máxima obtenida.
 Formula
Ejercicio
La función costo marginal e ingreso marginal, de una empresa y , en donde X denota el # de
unidades producidas y los costos fijos son de 25$
Encuentre el nivel de producción que maximizaría las utilidades de la empresa.
Calcule la utilidad total de la empresa con este nivel de producción
Determine la utilidad si el nivel de producción se incrementa en 2 unidades, más allá del nivel de
utilidad máxima
I´(x)=C´(x) U = I – C
x=-8 x=4 r //
= 74.6 r//
-72-72+192 = 48r//

6.  Valor presente de un ingreso continuo
 Donde un ingreso esta repartido a lo largo de un numero de años futuros , a veces es útil
calcular el valor presente de este ingreso. Esto puede ser particularmente valioso cuando una
compañía tiene que elegir entre tasas alternativas para explotar recursos.
 Como en estos casos el ingreso se obtiene continuamente sobre un periodo, es necesario
utilizar descuentos continuos para calcular el valor presente.
 Formula
 VP =
 Ejercicio
 Una inversión inicial de P dólares, crece continuamente a una tasa anual del 6%. Si la inversión
tiene un valor de 26997 $ después de 5 Años, determina la inversión inicial
 u = -0.06t
 du = -0.06dt
 (-33333.1)-(-449950)
 116618.85 r//
 Superávit del consumidor y del productor
 El superavit de los consumidores esta dado por el área entre la curva de demanda p =
F(x) y la línea horizontal P = Po
 En un mercado de libre competencia existen también productores que estarían
dispuestos a vender el articulo a un precio menor que el de los productores también se
benefician: este beneficio de los productores se denomina el superávit de los
productores.
 Formula
 SC =
 SP =

7.  Ejercicio
 No existe demanda para una nueva marca de filmadoras, si el precio por cámara es de 1700$ o
mas, por cada disminución de 100 $ en el precio la demanda se incrementará en 200 unidades.
El fabricante no esta dispuesto a considerar un precio unitario de 500 $ para empezar su oferta,
y ofrecerán 1400 cámaras a un precio de 850 $
 Determine las ecuaciones de ofertas y demandas
 Cual es la cantidad y precio de equilibrio
 Cuanto están dispuestos a gastar los consumidores por el producto
 Determine el superávit del consumidor y del productor para el caso
 Demanda ferta
 PQPQ
 1600 200 500 0
 1700 0 850 1400
-0.5x-0.25x=500-1700
(-) -0.75x=-1200
x=1600 R//
p=900 R//

8.  160000 R//
 SC= SP =
-2560000+2720000
160000 R//
SC= SP =
1440000-320000-800000
320000 R//
-640000+2720000-1440000
640000 R//