Este documento presenta resúmenes de varios teoremas matemáticos importantes relacionados con ecuaciones lineales, límites, derivadas e integrales. Incluye teoremas como el Teorema de Rouché-Frobenius sobre la solución de sistemas de ecuaciones lineales, el Teorema de Bolzano sobre la existencia de raíces reales, y el Teorema Fundamental del Cálculo sobre la relación entre derivación e integración. Explica cada teorema de manera concisa con ejemplos gráficos.

1. TEOREMAS
MATEMÁTICOS
SELECTIVIDAD (GALICIA)
FERNANDO LIAÑO
CALLAHAN

2. O DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES
O LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD
O APLICACIONES DE LAS DERIVADAS AL
ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE UNA
FUNCIÓN
O INTEGRAL DEFINIDA
ÍNDICE

3. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
O TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS
O REGLA DE CRAMER
O TEOREMA DE GAUSS

4. TEOREMA ROUCHÉ-FROBENIUS
O La condición necesaria y suficiente para
que un sistema de m ecuaciones y n
incógnitas tenga solución es que el rango
de la matriz de los coeficientes y el de la
matriz ampliada sean iguales.
• r = r' Sistema compatible.
• r = r' = n Sistema compatible determinado.
• r = r' ≠ n Sistema compatible
indeterminado.
• r ≠ r' Sistema incompatible.

5. REGLA DE CRAMER
1) Sustituir la primera columna del
determinante de (A) por los términos
independientes.
2) Dividir el resultado de este determinante
entre el determinante de (A) para hallar
el valor de la primera incógnita.
3) Continuar sustituyendo los términos
independientes en las distintas
columnas para hallar el resto de las
incógnitas.
Explicación en vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=1XPsvlSVOlk

6. MÉTODO DE GAUSS
O Esto se logra aplicando a las distintas filas
y columnas de las matrices
simples operaciones de suma, resta,
multiplicación y división; teniendo en
cuenta que una operación se aplicara a
todos los elementos de la fila o de la
columna, sea el caso.
Explicación en vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=klWAnkzOIbo

7. LÍMITES DE FUNCIONES Y
CONTINUIDAD
O TEOREMA DE BOLZANO
O TEOREMA DE WEIERSTRASS

8. TEOREMA DE BOLZANO
O Sea f una función
continua en un
intervalo cerrado [a,
b] y toma valores de
signo contrario en los
extremos, entonces
existe al menos un c
∈ (a, b) tal que f(c) =
0.
Explicación en vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=swSl2AWhgYA

9. TEOREMA DE WEIERSTRASS
O Si una función f(x)
está definida y es
continua en un
intervalo cerrado [a,
b], entonces f(x)
alcanza al menos un
máximo y un mínimo
absolutos en el
intervalo [a, b].

10. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS AL
ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DE UNA
FUNCIÓN
O TEOREMA DE ROLLE
O TEOREMA DE VALOR MEDIO DEL
CALCULO DIFERENCIAL

11. TEOREMA DE ROLLE
Si una función es:
Entonces, existe algún
punto c (a, b) en el que f'(c)
= 0.
• Continua en [a, b]
• Derivable en (a, b)
• Y si f(a) = f(b)
La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice
que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje
de abscisas.

12. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
DEL CALCULO DIFERENCIAL
Si una función es:
Entonces, existe algún
punto c (a, b) tal que:
• Continua en [a, b]
• Derivable en (a, b)
La interpretación geométrica del teorema de Valor
medio nos dice que hay un punto en el que la
tangente es paralela a la secante.

13. INTEGRAL DEFINIDA
O TEOREMA VALOR MEDIO AL CALCULO
INTEGRAL
O TEOREMA DEL CALCULO INTEGRAL
O REGLA DE BARROW

14. TEOREMA VALOR MEDIO AL
CALCULO INTEGRAL
Si una función es
continua en un
intervalo cerrado [a,
b], existe un punto c
en el interior del
intervalo tal que:

15. TEOREMA DEL CALCULO
INTEGRAL
El teorema fundamental del cálculo dice que
la derivada de la función integral de la función
continua f(x) es la propia f(x).
f'(x) = f(x)
Nos indica que la derivación y la integración son
operaciones inversas.
Al integrar una función continua y luego derivarla se
recupera la función original.

16. REGLA DE BARROW
Dice que la integral definida de una función
continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b]
es igual a la diferencia entre los valores que
toma una función primitiva G(x) de f(x), en
los extremos de dicho intervalo.

17. FERNANDO LIAÑO