Mate financie f06

1
Semestre 3
Fascículo
6
Matemáticas
Financieras

Matemáticas
financieras Semestre 3
Matemáticas financieras

Semestre 3
Tabla de contenido Página
Introducción 1
Conceptos previos 1
Mapa conceptual fascículo 6 1
Logros 2
Sistemas de amortización 2
Préstamos con cuotas constantes 3
Préstamos con amortización constante 10
Préstamos con período de gracia 14
Sistemas de crédito de vivienda 15
Actividad de trabajo colaborativo 18
Resumen 18
Bibliografía recomendada 19
Nexo 20
Seguimiento al autoaprendizaje 21
Créditos: 3
Tipo de asignatura: Teórico – Práctica

Matemáticas
financieras Semestre 3
Copyright©2008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN
Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,
“Educación a Través de Escenarios Múltiples”
Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización
por escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA
Tutor Programa Administración de Empresas
Sede Bogotá, D.C.
Revisión de estilo y forma;
ELIZABETH RUIZ HERRERA
Directora Nacional de Material Educativo.
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SÁENZ
ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS
Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Bogotá, D.C., Noviembre de 2009.

1
Fascículo No. 6
Semestre 3
Matemáticas
financieras
Anualidades
Interés
Compuesto
Y operaciones
crediticias
complejasGradientes
En las operaciones de
Sepresentan transacciones de
Que se representan mediante
Tablas de
amortización
Introducción
En el sistema financiero colombiano existen varios sistemas para amortizar
créditos. En el presente fascículo se analizarán amortizaciones para
cancelar créditos con cuotas constantes; créditos con amortización
(abono) constante; se contemplará el otorgamiento de períodos de gracia,
y finalmente se estudiarán los sistemas para crédito de vivienda.
Los ejemplos que se desarrollarán son las representaciones en tablas de
los casos ya estudiados en los fascículos anteriores (4 y 5), para su mejor
comprensión.
Para el gerente financiero, es necesario planear las amortizaciones de los
Pasivos, debido a que, de acuerdo con la modalidad pactada, se afectan
de manera diferente los flujos de caja de la organización.
Conceptos previos
El estudiante deberá estar en capacidad de interpretar, argumentar y
proponer soluciones financieras por medio de operaciones de interés
compuesto, anualidades y gradientes.
Mapa conceptual fascículo 6

2
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capacidad
de:
 Construir tablas de amortización para operaciones que incluyen series de
pagos fijos o variables, en transacciones de corto y largo plazo.
 Interpretar y evidenciar claramente operaciones crediticias descompo-
niendo y planteando sus estructuras de manera propositiva.
 Atender con sentido ético la normatividad vigente en materia de intereses y
liquidaciones de créditos en pesos y UVR.
 Reconocer las operaciones crediticias y los contextos financieros colom-
bianos a partir de postulados universales en la liquidación de operaciones
crediticias.
Sistemas de Amortización
En relación con las matemáticas financieras y en concordancia con los
temas abordados en el curso, se entiende por amortización (de Pasivos), la
reducción gradual de una deuda durante un período de tiempo, a través de
pagos y a una determinada tasa de interés.
Es abundante la clasificación de sistemas de amortización, pero es normal
utilizar dos formas para calcular los pagos: La primera es la de anualidades
o gradientes con sus combinaciones y la segunda es por abonos fijos a
capital.
Dentro de las combinaciones de anualidades o gradientes, es importante
mencionar los créditos cuota fija vencida, que son los más comerciales,
pero también existen de cuota anticipada. Así mismo, aquellos créditos
amortizados con cuotas crecientes o decrecientes que responden a la
teoría de gradientes, es decir, que su comportamiento presenta variaciones
constantes o en proporciones.
En la segunda forma, por abonos fijos a capital, es posible que la tasa de
interés sea fija o variable y esto conlleva a que sea posible o no, conocer
los pagos periódicos.
LogrosLogrosLogros

3
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Todas estas formas de amortizar pueden ser representadas en Tablas,
donde se exprese en cada período: el valor del pago o cuota; su
distribución en intereses y abono a capital, y el saldo insoluto al principio y
al final de cada período.
Es de precisar que en todas las formas de amortización que se estudiarán,
el Valor del Pago o Cuota se conforma por dos partes principales: el abono
realizado al saldo del crédito y los intereses calculados sobre saldos
insolutos.
La utilidad de estas tablas de amortización consiste en que en cada
período es posible conocer el comportamiento de cada uno de los pagos y
determinar con claridad los saldos insolutos, lo que le permitiría al deudor,
cancelar el crédito antes del plazo convenido o reliquidar el crédito según
sus necesidade.
Préstamos con Cuotas Constantes
La construcción de tablas de amortización en este tipo de créditos es
posible cuando la tasa de interés es fija durante toda la vigencia del
crédito. En este aparte se analizarán los créditos con tasas fijas, en las que
es posible predeterminar el comportamiento de los pagos.
Ejemplo 1
¿Cuál era el valor de contado del televisor, si fue negociado por 8 cuotas
mensuales de 150.000 y la tasa de financiación que se aplicó fue del 2,5%
mensual?. (Fascículo 4 Ejemplo 3). Elaborar la Tabla de Amortización.





 


i
i
RVP
n
)1(1
= 1.075.520,58
Saldo insoluto: es la
parte de una deuda que
no ha sido cubierta.

4
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
A B C D E
Saldo insoluto
inicio de período
Cuota Interés Abono a Capital
Saldo insoluto final
de período
0 1.075.520,58
1 1.075.520,58 150.000,00 26.888,01 123.111,99 952.408,59
2 952.408,59 150.000,00 23.810,21 126.189,79 826.218,81
3 826.218,81 150.000,00 20.655,47 129.344,53 696.874,28
4 696.874,28 150.000,00 17.421,86 132.578,14 564.296,13
5 564.296,13 150.000,00 14.107,40 135.892,60 428.403,54
6 428.403,54 150.000,00 10.710,09 139.289,91 289.113,62
7 289.113,62 150.000,00 7.227,84 142.772,16 146.341,46
8 146.341,46 150.000,00 3.658,54 146.341,46 (0,00)
No.
Tabla 6.1
Este ejemplo representa una Anualidad Vencida Inmediata y su tabla de
amortización, es quizás, la más comercial del mercado. Se observan los
pagos de igual valor, a igual intervalo de tiempo y todos ellos calculados
con una sola tasa de interés.
En la fila (horizontal) del período 0, no se registran saldos insolutos al
principio del período, ni pagos, por cuanto es una anualidad vencida.
Solamente aparece el saldo insoluto al final del período, que corresponde
al valor del crédito. Este momento corresponde al del desembolso del
crédito.
Las columnas se llenan de la siguiente manera:
Columna A. Saldo insoluto inicio del período. Normalmente corresponde al
saldo insoluto al final del período anterior. En este caso, en el primer
período el saldo es de $1.075 52058
que corresponde al valor del crédito.
Columna B. Cuota. Es el equivalente al valor de los Pagos o Rentas
calculadas en la anualidad. En un sistema de amortización cuota fija, es lo
primero que se establece en la tabla, y se hace por medio de las fórmulas
de anualidades, en este caso, utilizando las fórmulas de Valor Presente de
una Anualidad y si es el caso se despeja la variable R=Renta. Cuando se
establece el valor de la cuota en una anualidad, esta contiene el pago de
intereses y el abono que amortizará el crédito. Para este ejemplo el Pago o
Cuota es de $150.000 para todo el tiempo del crédito.

5
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Columna C. Interés. Corresponde al costo que se pagado por la utilización
del dinero y en ese sentido se realiza su cálculo. Se liquida siempre
multiplicando la tasa de interés (i) por el saldo del crédito. En este caso en
la Tabla de Amortización se puede calcular sobre el saldo final del período
anterior o sobre el saldo de inicio de periodo. Para el período 1 el cálculo
será:
Interés = 0,025 * $1.075 52058
= 26.88801
Columna D. Abono a Capital. Corresponde a la parte de la cuota destinada
para amortizar el crédito. Se calcula simplemente restando del valor de la
cuota (que es fija y se conoce de antemano) el valor del interés. Para el
período 1 será:
Abono a Capital = $150.000 - 26.88801
= 123.11199
Columna E. Saldo insoluto final de período. Corresponde en cada período
a la parte del crédito que no ha sido pagada o cancelada. En el período 0,
el saldo será igual al valor del crédito y en cada período sucesivo, será el
resultado de tomar el Saldo insoluto inicio de período y restar el abono a
capital. Para el período 1, será:
Saldo insoluto final de período = $1.075 52058
- 123.11199
= 952.40859
En el último período el saldo insoluto será 0oo
, como se aprecia en la Tabla
6.1. Esto quiere decir que se ha amortizado la totalidad del crédito,
quedando éste, cancelado.
Ejemplo 2
La empresa requiere un crédito por valor de $25.000.000 para adquirir una
maquinaria. La tasa de financiación del banco está en el 2,2% mensual. El
gerente desea saber cuál es el valor de los pagos si se planea cancelar el
crédito en 36 meses. (Fascículo 4 Ejemplo 4a). Elaborar la Tabla de
Amortización.

6
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3





 


i
i
VPR
n
)1(1
= 1.012.600,09
Este ejemplo corresponde a una anualidad vencida inmediata donde se ha
calculado el valor de la Renta (Cuota o Pago), a partir de la fórmula de
Renta en Valor Presente, para una anualidad vencida.
La Tabla de amortización se construye de la misma manera que en el
ejemplo 1.
A B C D E
Saldo insoluto
inicio de período
de período
0 25.000.000,00
1 25.000.000,00 1.012.600,09 550.000,00 462.600,09 24.537.399,91
2 24.537.399,91 1.012.600,09 539.822,80 472.777,29 24.064.622,62
3 24.064.622,62 1.012.600,09 529.421,70 483.178,39 23.581.444,23
4 23.581.444,23 1.012.600,09 518.791,77 493.808,32 23.087.635,91
5 23.087.635,91 1.012.600,09 507.927,99 504.672,10 22.582.963,81
6 22.582.963,81 1.012.600,09 496.825,20 515.774,89 22.067.188,92
7 22.067.188,92 1.012.600,09 485.478,16 527.121,93 21.540.066,99
8 21.540.066,99 1.012.600,09 473.881,47 538.718,62 21.001.348,37
9 21.001.348,37 1.012.600,09 462.029,66 550.570,43 20.450.777,95
10 20.450.777,95 1.012.600,09 449.917,11 562.682,98 19.888.094,97
11 19.888.094,97 1.012.600,09 437.538,09 575.062,00 19.313.032,97
12 19.313.032,97 1.012.600,09 424.886,73 587.713,36 18.725.319,61
13 18.725.319,61 1.012.600,09 411.957,03 600.643,06 18.124.676,55
14 18.124.676,55 1.012.600,09 398.742,88 613.857,21 17.510.819,34
15 17.510.819,34 1.012.600,09 385.238,03 627.362,06 16.883.457,28
16 16.883.457,28 1.012.600,09 371.436,06 641.164,03 16.242.293,25
17 16.242.293,25 1.012.600,09 357.330,45 655.269,64 15.587.023,61
18 15.587.023,61 1.012.600,09 342.914,52 669.685,57 14.917.338,04
19 14.917.338,04 1.012.600,09 328.181,44 684.418,65 14.232.919,39
20 14.232.919,39 1.012.600,09 313.124,23 699.475,86 13.533.443,52
21 13.533.443,52 1.012.600,09 297.735,76 714.864,33 12.818.579,19
22 12.818.579,19 1.012.600,09 282.008,74 730.591,35 12.087.987,84
23 12.087.987,84 1.012.600,09 265.935,73 746.664,36 11.341.323,49
24 11.341.323,49 1.012.600,09 249.509,12 763.090,97 10.578.232,51
25 10.578.232,51 1.012.600,09 232.721,12 779.878,97 9.798.353,54
26 9.798.353,54 1.012.600,09 215.563,78 797.036,31 9.001.317,23
27 9.001.317,23 1.012.600,09 198.028,98 814.571,11 8.186.746,11
28 8.186.746,11 1.012.600,09 180.108,41 832.491,68 7.354.254,44
29 7.354.254,44 1.012.600,09 161.793,60 850.806,49 6.503.447,95
30 6.503.447,95 1.012.600,09 143.075,85 869.524,24 5.633.923,71
31 5.633.923,71 1.012.600,09 123.946,32 888.653,77 4.745.269,94
32 4.745.269,94 1.012.600,09 104.395,94 908.204,15 3.837.065,79
33 3.837.065,79 1.012.600,09 84.415,45 928.184,64 2.908.881,15
34 2.908.881,15 1.012.600,09 63.995,39 948.604,70 1.960.276,44
35 1.960.276,44 1.012.600,09 43.126,08 969.474,01 990.802,44
36 990.802,44 1.012.600,09 21.797,65 990.802,44 0,00
No.
Tabla 6.2

7
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Es posible hacer algunas consideraciones sobre el comportamiento de
esta Tabla. (6.2)
- Los saldos insolutos van disminuyendo en cada período por efecto y en
proporción a la realización de abonos periódicos a la deuda.
- El valor de la Cuota es el primero que se llena en la Tabla, por cuanto se
ha establecido por las fórmulas de anualidades. En este caso,
permanece constante.
- Los intereses van disminuyendo en cada período debido a que los
saldos cada vez son menores. Los intereses siempre serán una función
dependiente de los saldos.
- El abono a capital en cada período va en aumento, debido a que, al ser
fija la cuota y disminuir gradualmente los intereses, cada vez se destina
una partida mayor a la amortización de la deuda.
- El saldo insoluto final de período va disminuyendo en cada período de
acuerdo con los abonos que se van realizando sobre la deuda.
Si se presentara el caso de la venta de un activo a crédito, sobre el cual se
realiza un abono de enganche, tipo cuota inicial, este valor se ubicará en el
período 0 sin liquidar intereses y la Tabla de Amortización se construirá de
acuerdo con el saldo insoluto final del período sobre el cual se debe
calcular el valor de los pagos.
Por otra parte, si en algún momento del crédito el deudor decidiera
cancelar la totalidad del saldo insoluto y no contara con la tabla de
amortización, deberá calcular el Valor Presente de las cuotas restantes (no
pagadas aún), por la fórmula de VP de una Anualidad Vencida. Por
ejemplo: se requiere calcular el saldo del crédito una vez cancelada la
cuota No. 12.





 


i
i
RVP
n
)1(1
= 




  
02,0
)02,01(1
09,600.012.1
24
= 18.725.319,61

8
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Este saldo de $18.725.31961
, corresponde al saldo insoluto final de período
del mes 12, como se puede observar en la Tabla de amortización.
El número de períodos utilizado en la fórmula es 24, debido a que el
problema supone que se han cancelado 12 cuotas, sobre un total de 36.
Ejemplo 3
Adquiero un computador de última generación. La forma de pago anun-
ciada es: Tres pagos mensuales de $780.000, el primero al cierre del
negocio. La tasa de financiación que aplica la empresa es del 2,4%
mensual. ¿Cuál es el valor de contado? (Fascículo 4 Ejemplo 7). Elaborar
la Tabla de Amortización.
 i
i
i
RVP
n





 


1
)1(1
= 2.285.584,72
Este caso corresponde a una anualidad anticipada, por cuanto el primer
pago se realiza al momento de la transacción.
A B C D E
Saldo insoluto
inicio de período
de período
0 2.285.584,72 780.000,00 780.000,00 1.505.584,72
1 1.505.584,72 780.000,00 36.134,03 743.865,97 761.718,75
2 761.718,75 780.000,00 18.281,25 761.718,75 0,00
No.
Se puede observar que, como el primer pago se realiza justo en el
momento de la transacción, no hay lugar a liquidar intereses en este
período.
Ejemplo 4
Con el propósito de financiar la compra de una máquina importada, la
empresa puede disponer de su flujo de caja en forma trimestral para saldar
la deuda, así: un pago inicial por valor de $4.000.000 dentro de dos
trimestres; cada trimestre posterior aumentará la cuota del período anterior
en $4.000.000 hasta completar 8 pagos. ¿Cuál es el valor por el que podrá

9
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
constituir el crédito, si la tasa de financiación es del 4,5% trimestral?
(Fascículo 5 Ejemplo 3). Elaborar la Tabla de Amortización.
   
  









 n
n
ii
ini
GVP
1
11
2 = 107.791.168,50
Este caso corresponde a un gradiente aritmético típico creciente y el valor
del crédito se ha obtenido con la fórmula de Valor Presente.
A B C D E
Saldo insoluto
inicio de período
de período
0 107.791.168,50
1 107.791.168,50 4.850.602,58 (4.850.602,58) 112.641.771,08
2 112.641.771,08 4.000.000,00 5.068.879,70 (1.068.879,70) 113.710.650,78
3 113.710.650,78 8.000.000,00 5.116.979,29 2.883.020,71 110.827.630,07
4 110.827.630,07 12.000.000,00 4.987.243,35 7.012.756,65 103.814.873,42
5 103.814.873,42 16.000.000,00 4.671.669,30 11.328.330,70 92.486.542,72
6 92.486.542,72 20.000.000,00 4.161.894,42 15.838.105,58 76.648.437,15
7 76.648.437,15 24.000.000,00 3.449.179,67 20.550.820,33 56.097.616,82
8 56.097.616,82 28.000.000,00 2.524.392,76 25.475.607,24 30.622.009,57
9 30.622.009,57 32.000.000,00 1.377.990,43 30.622.009,57 0,00
No.
Tabla 6.3
Se observa en la tabla 6.3 que las cuotas se incrementan en un valor
constante y en los trimestres en los que no se acordó cancelar cuotas, se
acumulan los intereses, los cuales son sumados al capital. Los intereses
siempre se liquidan sobre saldos insolutos y el abono a capital seguirá
siendo la diferencia entre el valor de la cuota y el pago de intereses. El
saldo final es cero.
Ejemplo 5
En este caso se propone un ahorro inicial de $200.000 al final del primer
mes y este ahorro se realiza en cada uno de los meses siguientes con un
incremento del 20% sobre el depósito anterior: 31 de enero $200.000; 28
de febrero $240.000; 31 de marzo $288.000; 30 de abril 345.600; 31 de
mayo $414.720 y 30 de junio 497.664. La tasa de interés es del 0,4%
mensual. Se requiere calcular el Valor Presente de la serie de pagos
(Fascículo 5 Gradiente Geométrico). Elaborar la Tabla de Amortización.

10
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Este caso corresponde a una operación de Gradiente Geométrico donde
se calcula el Valor Presente de la serie de pagos.
      n
nn
i
ri
ri
KVP











 1
11
= 1.954.401,09
La tabla de amortización representa el comportamiento de cada una de las
cuotas con crecimiento geométrico en forma de crédito.
A B C D E
Saldo insoluto
inicio de período
de período
0 1.954.401,09
1 1.954.401,09 200.000,00 7.817,60 192.182,40 1.762.218,69
2 1.762.218,69 240.000,00 7.048,87 232.951,13 1.529.267,57
3 1.529.267,57 288.000,00 6.117,07 281.882,93 1.247.384,64
4 1.247.384,64 345.600,00 4.989,54 340.610,46 906.774,18
5 906.774,18 414.720,00 3.627,10 411.092,90 495.681,27
6 495.681,27 497.664,00 1.982,73 495.681,27 (0,00)
No.
Tabla 6.4
El interés se calcula con base en el saldo insoluto de la obligación. El
abono a capital es la diferencia entre el saldo y el abono. En el período 6 el
saldo es 0. (Tabla 6.4).
Préstamos con Amortización Constante
En este tipo de amortización pueden presentarse dos situaciones:
1. Que la tasa de interés sea fija durante la vigencia del crédito
2. Que la tasa de interés sea variable en cada período de amortización
La decisión de una u otra modalidad se presenta de acuerdo con las
políticas bancarias crediticias, con el origen de los recursos financieros
(créditos con tasas de fomento), o con la disponibilidad del deudor.
Estas tablas de amortización se diferencian, en cuanto los abonos a capital
son fijos en cada período y se calculan simplemente dividiendo el valor del
crédito entre el número de períodos.

11
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Ejemplo 6
Un crédito por valor de $36.000.000 se ha concedido para ser cancelado
mediante 12 pagos mensuales vencidos con un sistema de abonos fijos a
capital. La tasa de financiación es del 2% mensual. Elaborar la tabla de
amortización.
En este caso la tasa de interés es fija. Lo primero que se debe calcular
para elaborar la tabla es el valor del abono fijo mensual, así:
Abono a capital = $36.000.000 / 12 = $3.000.000
A B C D E
Saldo insoluto
inicio de período
de período
0 36.000.000,00
1 36.000.000,00 3.720.000,00 720.000,00 3.000.000,00 33.000.000,00
2 33.000.000,00 3.660.000,00 660.000,00 3.000.000,00 30.000.000,00
3 30.000.000,00 3.600.000,00 600.000,00 3.000.000,00 27.000.000,00
4 27.000.000,00 3.540.000,00 540.000,00 3.000.000,00 24.000.000,00
5 24.000.000,00 3.480.000,00 480.000,00 3.000.000,00 21.000.000,00
6 21.000.000,00 3.420.000,00 420.000,00 3.000.000,00 18.000.000,00
7 18.000.000,00 3.360.000,00 360.000,00 3.000.000,00 15.000.000,00
8 15.000.000,00 3.300.000,00 300.000,00 3.000.000,00 12.000.000,00
9 12.000.000,00 3.240.000,00 240.000,00 3.000.000,00 9.000.000,00
10 9.000.000,00 3.180.000,00 180.000,00 3.000.000,00 6.000.000,00
11 6.000.000,00 3.120.000,00 120.000,00 3.000.000,00 3.000.000,00
12 3.000.000,00 3.060.000,00 60.000,00 3.000.000,00 -
No.
Tabla 6.5
Este ejemplo (Tabla 6.5) representa un crédito con cuota decreciente, por
efecto de la amortización fija al capital. Su tabla de amortización es
bastante común y se diseña así:
En la fila (horizontal) del período 0, no se registran saldos insolutos al
principio del período, ni pagos, por cuanto se trata de pagos vencidos.
Solamente aparece el saldo insoluto al final del período, que corresponde
al valor del crédito. Este momento corresponde al del desembolso del
crédito.
Las columnas se llenan de la siguiente manera:
Columna A. Saldo insoluto inicio del período. Normalmente corresponde al
saldo insoluto al final del período anterior. En este caso, en el primer
período el saldo es de $36.000.000 que corresponde al valor del crédito.

12
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Columna B. Cuota. En este sistema de amortización, para calcular la cuota,
se suman los intereses y el abono a capital establecido con anterioridad.
Para este ejemplo el cálculo para el primer período será:
Cuota = $720.000 + 3.000.000 = $3.720.000.
Columna C. Interés. Corresponde al costo que se paga por la utilización
del dinero y en ese sentido se realiza su cálculo. Se liquida siempre
multiplicando la tasa de interés (i) por el saldo del crédito. En este caso en
la Tabla de Amortización puede calcularse sobre el saldo final del período
anterior o sobre el saldo de inicio de periodo. Para el período 1 el cálculo
será:
Interés = 0,02 * $36.000.000 = 720.000
Columna D. Abono a Capital. Corresponde a la parte de la cuota destinada
para amortizar el crédito. Se calcula simplemente dividiendo el valor del
crédito entre el número de pagos. Como ya se anunció, para toda la
vigencia del crédito, el Abono a Capital será:
Abono a Capital = $36.000.000 / 12 = 3.000.000
Columna E. Saldo insoluto final de período. Corresponde en cada período
a la parte del crédito que no ha sido pagada o cancelada. En el período 0,
el saldo será igual al valor del crédito y en cada período sucesivo, será el
resultado de tomar el Saldo insoluto inicio de período y restar el abono a
capital. Para el período 1, será:
Saldo insoluto final de período = $36.000.000 – 3.000.000 = 33.000.000
En el último período el saldo insoluto será 0oo
, como se aprecia en la Tabla
6.5. Esto quiere decir que se ha amortizado la totalidad del crédito,
quedando éste, cancelado.
Ahora se abordara la construcción de una tabla de amortización constante,
pero con tasas variables. Esta modalidad es utilizada cuando el plazo es

13
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
muy amplio, como en Colombia con el Sistema de Valor Constante,
situación que se detallará en el siguiente aparte del fascículo. También,
cuando las políticas crediticias apuntan a tasas que respondan a
variaciones del mercado. Es normal tomar estas tasas, como la DTF en
Colombia y añadirle uno o varios puntos porcentuales para calcular la tasa
de interés que se aplicará al crédito.
Con base en el ejemplo anterior se elaborará la tabla de amortización
suponiendo unas tasas mensuales derivadas de la DTF E.A. + 4 puntos
porcentuales.
Ejemplo 7
mediante 12 pagos mensuales vencidos con un sistema de abonos fijos a
capital. La tasa de financiación será la DTF + 4 puntos porcentuales.
Elaborar la tabla de amortización.
Lo primero que se debe calcular para elaborar la tabla es el valor del
abono fijo mensual, así:
Abono a capital = $36.000.000 / 12 = $3.000.000
A i B C D E
Saldo insoluto
inicio de período
Tasa de
Interés
de período
0 36.000.000,00
1 36.000.000,00 1,95% 3.702.000,00 702.000,00 3.000.000,00 33.000.000,00
2 33.000.000,00 1,93% 3.636.900,00 636.900,00 3.000.000,00 30.000.000,00
3 30.000.000,00 1,85% 3.555.000,00 555.000,00 3.000.000,00 27.000.000,00
4 27.000.000,00 1,79% 3.483.300,00 483.300,00 3.000.000,00 24.000.000,00
5 24.000.000,00 1,79% 3.429.600,00 429.600,00 3.000.000,00 21.000.000,00
6 21.000.000,00 1,62% 3.340.200,00 340.200,00 3.000.000,00 18.000.000,00
7 18.000.000,00 1,63% 3.293.400,00 293.400,00 3.000.000,00 15.000.000,00
8 15.000.000,00 1,58% 3.237.000,00 237.000,00 3.000.000,00 12.000.000,00
9 12.000.000,00 1,67% 3.200.400,00 200.400,00 3.000.000,00 9.000.000,00
10 9.000.000,00 1,70% 3.153.000,00 153.000,00 3.000.000,00 6.000.000,00
11 6.000.000,00 1,65% 3.099.000,00 99.000,00 3.000.000,00 3.000.000,00
12 3.000.000,00 1,88% 3.056.400,00 56.400,00 3.000.000,00 -
No.
Tabla 6.6
La mecánica de construcción de la tabla es la misma que con la tasa fija.
Pero en este caso, los intereses se calculan periódicamente mediante el

14
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
producto de la tasa de interés (i) para cada mes y el saldo anterior.
Obsérvese (tabla 6.6)que se ha adicionado una columna i, donde se ha
consignado una tasa de interés mensual.
Si la amortización del crédito es mensual, entonces se debe tomar la DTF
anual, adicionarle los puntos porcentuales pactados en el Pagaré y
determinar su equivalente mensual para ser aplicado en la Tabla.
Préstamos con Período de Gracia
Cuando se conceden períodos de gracia para el pago de los créditos,
estos suelen llamarse créditos diferidos. Lo normal es que en este período
no se realicen abonos al capital, pero en cada período se deben calcular
los intereses. Estos intereses pueden tener dos vías de tratamiento: que se
paguen conforme se van liquidando en cada período; o que se acumulen
al capital para ser considerados al momento de iniciar los pagos.
En el siguiente ejemplo se expondrá una tabla de amortización de un
crédito con amortización constante (abonos iguales a capital) al que se le
ha concedido un período de gracia.
Ejemplo 8
en 12 cuotas mensuales vencidas con abonos fijos a capital. Se concede
un período de gracia de 6 meses. La tasa de interés es del 1,5% mensual.
Elaborar la Tabla de Amortización.

15
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
A B C D E
Saldo insoluto
inicio de período
de período
0 10.000.000,00
1 10.000.000,00 - 150.000,00 (150.000,00) 10.150.000,00
2 10.150.000,00 - 152.250,00 (152.250,00) 10.302.250,00
3 10.302.250,00 - 154.533,75 (154.533,75) 10.456.783,75
4 10.456.783,75 - 156.851,76 (156.851,76) 10.613.635,51
5 10.613.635,51 - 159.204,53 (159.204,53) 10.772.840,04
6 10.772.840,04 - 161.592,60 (161.592,60) 10.934.432,64
7 10.934.432,64 1.075.219,21 164.016,49 911.202,72 10.023.229,92
8 10.023.229,92 1.061.551,17 150.348,45 911.202,72 9.112.027,20
9 9.112.027,20 1.047.883,13 136.680,41 911.202,72 8.200.824,48
10 8.200.824,48 1.034.215,09 123.012,37 911.202,72 7.289.621,76
11 7.289.621,76 1.020.547,05 109.344,33 911.202,72 6.378.419,04
12 6.378.419,04 1.006.879,01 95.676,29 911.202,72 5.467.216,32
13 5.467.216,32 993.210,96 82.008,24 911.202,72 4.556.013,60
14 4.556.013,60 979.542,92 68.340,20 911.202,72 3.644.810,88
15 3.644.810,88 965.874,88 54.672,16 911.202,72 2.733.608,16
16 2.733.608,16 952.206,84 41.004,12 911.202,72 1.822.405,44
17 1.822.405,44 938.538,80 27.336,08 911.202,72 911.202,72
18 911.202,72 924.870,76 13.668,04 911.202,72 0,00
No.
Corrección Monetaria:
Ganacia o Pérdida de valor
como consecuencia de la
inflación.
Tabla 6.7
Como se aprecia en la tabla 6.7, los intereses que se generaron durante el
período de gracia, se fueron sumando periódicamente al saldo insoluto y al
momento del inicio de los pagos, estos se han calculado con base en la
suma acumulada.
En el momento del inicio de los pagos, la construcción de la tabla es
idéntica al de un sistema de amortización sin diferimiento.
Sistemas de Créditos de Vivienda
En Colombia existe lo que se ha denominado el Sistema de Valor
Constante, el cual nació al inicio de la década del 70 y por el que se
pretendió dar impulso al sector de la construcción como dinamizador
determinante de la economía del país. La adquisición de vivienda requería
de préstamos a largo plazo y de un instrumento como el de la corrección
monetaria.
El sistema de valor constante “es aquel que permite la actualización del
valor de las obligaciones dinerarias, con el fin de brindar protección contra
la pérdida del poder adquisitivo de la moneda que genera la inflación, con
base en la corrección monetaria”. http://icav.asobancaria.com

16
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Así las cosas, el UPAC (Unidad de Poder Adquisitivo de Valor Constante),
fue concebida como la unidad de medida de la pérdida de poder
adquisitivo de la moneda. Sin embargo en la década del 90, su cálculo
tomó un mayor peso de la DTF que de la inflación, razón por la cual se
generó un desequilibrio entre el monto de las cuotas del crédito y sus
saldos, y las posibilidades de pagar por parte de los deudores del sistema.
Luego de que la Corte Constitucional declarara inconstitucionales las
normas del Sistema UPAC, se dio origen al UVR (Unidad de Valor Real),
como representante del Sistema de Valor Constante.
La UVR es una Unidad de cuenta que refleja el poder adquisitivo de la
moneda, con base exclusivamente en la variación del Índice de Precios al
Consumidor, IPC, certificado por el DANE.
No obstante, existen dos modalidades para financiar la adquisición de
vivienda: en pesos y en UVR.
En ninguna de estas dos posibilidades se permite la capitalización de
intereses. Es por esto que en cada pago se debe realizar alguna
amortización al capital. La tasa de interés del crédito permanece constante
durante su vigencia.
Las tablas de amortización corresponden a los desarrollos ya expuestos en
el fascículo. Las tasas de interés para créditos en moneda legal se calculan
en una combinación entre la tasa de interés remuneratorio que fija la Junta
Directiva del Banco de la República adicionados con la variación de la UVR
de los últimos 12 meses vigente al perfeccionamiento del contrato.
Las tasas de interés para créditos en UVR se calculan en una combinación
entre la tasa de interés remuneratorio que fija la Junta Directiva del Banco
de la República adicionales a la UVR.

17
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Estos límites se fijan con unas diferencias para las viviendas de interés
social y los créditos de vivienda que no lo son.
A continuación, un ejemplo del Sistema de Amortización en pesos de
cuota constante, publicado por el Instituto Colombiano de Ahorro y
Vivienda (ICAV), para un crédito de $1.000.000, tasa de interés del 1,46%
mensual y a 180 meses:
Nº cuota Saldo Intereses Amortización Cuota
0 1,000,000.00
1 998,840.17 14,601.69 1,159.83 15,761.51
12 984,908.09 14,401.18 1,360.33 15,761.51
24 966,948.73 14,142.72 1,618.80 15,761.51
36 945,577.08 13,835.15 1,926.37 15,761.51
48 920,144.81 13,469.14 2,292.38 15,761.51
60 889,880.42 13,033.59 2,727.93 15,761.51
72 853,865.80 12,515.28 3,246.23 15,761.51
84 811,008.39 11,898.50 3,863.02 15,761.51
96 760,008.08 11,164.52 4,596.99 15,761.51
108 699,317.71 10,291.10 5,470.42 15,761.51
120 627,096.17 9,251.72 6,509.80 15,761.51
132 541,152.53 8,014.85 7,746.66 15,761.51
144 438,879.61 6,542.99 9,218.53 15,761.51
156 317,174.83 4,791.47 10,970.05 15,761.51
168 172,346.14 2,707.16 13,054.35 15,761.51
180 (0.00) 226.83 15,534.68 15,761.51
Como se puede observar, la estructura y composición de esta tabla, es
idéntica a una anualidad vencida, ya explicada en el fascículo.
También se traslada un ejemplo de sistema de amortización constante a
capital en UVR, publicada por la ICAV. Estos son los datos:
Monto Inicial Pesos 1,000,000
Tasa efectiva anual 0.13
Tasa MV 0.01023684
Plazo Meses 180
UVR Inicial 128.2268 / (Valor a nov. 6 de 2002)
Incremento Anual UVR 0.06 / (Inflación anual)
Incremento Mes UVR 0.00486755
Unidades UVR Iniciales 779.868.171
UVR abono mes 433.260.095
Cálculo cuota pesos 1er. mes 158.692.702
La siguiente es la tabla de amortización de muestra:

18
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Valor en pesos Valores en unidades UVR
#Cuota Unidad UVR Saldo Cuota Saldo Cuota Intereses Amortización
0 1.282.268 1000000 779.868.171
1 12.885.095 999.284.953 158.692.702 77.553.557 1.231.599 798.338.909 433.260.095
12 135.920.408 989.333.333 160.768.239 72.787.696 118.281.163 749.551.531 433.260.095
24 144.075.632 973.786.667 162.746.254 675.885.748 112.958.903 696.328.937 433.260.095
36 15.272.017 952812.8 164.382.866 623.894.537 107.636.644 643.106.343 433.260.095
48 161.883.381 925.816.437 165.629.984 571.903.325 102.314.384 589.883.749 433.260.095
60 171.596.383 892.150.385 166.434.979 519.912.114 96.992.125 536.661.155 433.260.095
72 181.892.167 851.111.467 166.740.305 467.920.903 916.698.656 483.438.561 433.260.095
84 192.805.696 801.936.138 166.483.104 415.929.691 863.476.063 430.215.967 433.260.095
96 204.374.038 743.795.768 165.594.773 36.393.848 810.253.469 376.993.374 433.260.095
108 216.636.481 675.791.584 164.000.504 311.947.268 757.030.875 32.377.078 433.260.095
120 229.634.669 596.949.232 161.618.782 259.956.057 703.808.281 270.548.186 433.260.095
132 24.341.275 506.212.949 158.360.851 207.964.846 650.585.687 217.325.592 433.260.095
144 258.017.515 402.439.294 154.130.141 155.973.634 597.363.093 164.102.998 433.260.095
156 273.498.565 284.390.435 148.821.646 103.982.423 544.140.499 110.880.404 433.260.095
168 289.908.479 150726.93 142.321.263 519.912.114 490.917.905 576.578.101 433.260.095
180 307.302.988 1,08E-04 134.505.077 3,52E-07 437.695.311 0.44352162 433.260.095
Para mayor información sobre todos los sistemas de amortización
aprobados por la Superintendencia, se puede remitir a la página
http://icav.asobancaria.com/.
En grupos de tres estudiantes, realicen una consulta en entidades financieras
acerca de los métodos de amortización de créditos de largo plazo para vivienda y
formulen una tabla de amortización de un sistema diferente a los ya expuestos.
Las tablas de amortización constituyen una guía bastante útil para los
deudores y acreedores, en la medida que proporcionan los datos sobre
valor de las cuotas, intereses en cada período, abonos al capital y saldos
periódicos.
Esta información permite en cualquier momento realizar planeación
financiera a nivel personal u organizacional y tomar decisiones posteriores
como refinanciaciones de los créditos vigentes.

19
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
Igualmente estas tablas de amortización están íntimamente ligadas a todas
las operaciones de interés compuesto. Ellas reflejan el comportamiento de
las transacciones, período a período, detallando cada una de las partes en
las que se descompone la transacción financiera. Su uso se extiende a
pagos constantes, pagos con variaciones crecientes o decrecientes, pagos
decrecientes en proporción a las amortizaciones de capital y a sistemas de
valor constante, que hacen parte del contexto colombiano en cuanto hace
referencia a financiar la adquisición de vivienda.
AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc
Graw Hill, 2001.
BACA CURREA. Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá
D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía).
CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones.
Primera edición. Mexico: Trillas, 2004
CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:
CECSA, 1999. (Texto guía).
DIAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc
Graw Hill, 1997.
GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia
finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda,
2000. (Texto guía).
PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.:
Mc Graw Hill, 1997.
SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición.
Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.

20
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
En el Fascículo 7, como resultado de toda la conceptualización de
matemáticas financieras, se introducirá el tema de evaluación financiera de
proyectos de inversión analizando el indicador de Valor Presente Neto, a
partir de tasas de oportunidad.

21
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 6
Semestre 3
SeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizaje
Matemáticas Financieras - Fascículo No. 6
Nombre_______________________________________________________
Apellidos ________________________________ Fecha: _________________
Ciudad __________________________________Semestre: _______________
Resuelva las siguientes preguntas, de las cuales las tres primeras son de
selección múltiple con única respuesta, con el fin de evaluar su proceso de
autoaprendizaje:
1. En una tabla de amortización con pagos constantes:
A. Los intereses liquidados disminuyen por efecto del mayor valor de la
cuota
B. Los intereses liquidados aumentan cada período por el menor saldo a
capital
C. Los intereses liquidados disminuyen por la acumulación de los abonos a
capital
D. Los intereses aumentan por efecto del cambio en la tasa de interés
2. Normalmente el valor de la cuota se compone de dos elementos:
A. La tasa de interés y el interés
B. El saldo insoluto y la tasa de interés
C. El pago y el abono a capital
D. El interés y el abono a capital
3. En los créditos diferidos:
A. No se paga ningún valor durante el período de gracia, debido a que no se
liquidan intereses ni se realizan abonos
B. Solamente se realizan abonos al capital, ya que se suspende la
liquidación de intereses
C. Se liquidan intereses y estos pueden ser cancelados o acumulados al
valor del crédito
D. Se liquidan intereses y estos luego son abonados al saldo insoluto de
capital
4. Mediante la elaboración de una tabla de amortización de un crédito de cuotas
fijas y uno de cuotas variables decrecientes, explique cuál es la mejor
alternativa para el deudor.
5. Explique cuál es el procedimiento para hallar el saldo de un crédito con
amortización en cuotas fijas, en un período x, ante la idea de cancelar el saldo
insoluto de la obligación.

Mate financie f06

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (17)

Similar a Mate financie f06

Similar a Mate financie f06 (20)

Último

Último (20)

Mate financie f06