ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1ER ORDEN
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1) Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son ecuaciones de la forma dφ/dx + p(x)φ = q(x). Pueden ser homogéneas, si q(x) = 0, o no homogéneas. 2) Se presentan dos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y se resuelven aplicando la fórmula general. 3) La solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden depende de integrales de funciones p(x) y q(x).
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- 1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE
- 2. E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN A. DEFINICION: Consideremos la ecuación diferencial ordinaria: 푎1 푥 푑푦 푑푥 + 푎2 푥 푦 = 푓 푥 … … … … … … (1) Donde 푎1, 푎2 푦 푓 son funciones solamente de 푥 o constantes. Supongamos que 푎1 푥 ≠ 0 entonces, al dividir la ecuación (1) por 푎1 푥 , se obtiene: ⇨ 푎1 푥 푎1 푥 푑푦 푑푥 + 푎2 푥 푎1 푥 푦 = 푓 푥 푎1 푥 푃 푥 푄 푥 ⇨ 푑푦 푑푥 + 푃 푥 푦 = 푄 푥 … … … … … … … … … . (2) A la ecuación (2) llamaremos Ecuación Diferencial Lineal del Primero Orden en "푦" Si 푄 푥 = 0, la ecuación (2) toma la forma siguiente: ⇨ 푑푦 푑푥 + 푃 푥 푦 = 0 … … … … … … … … … . (3) A la ecuación (3) llamaremos E. D. Lineal Homogénea y es una E. D. de Variable Separable, y su solución es: 푦 = 퐶푒− 푃 푥 푑푥 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 2
- 3. E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN Si 푄 푥 ≠ 0, a la ecuación (2), es decir: 푑푦 푑푥 + 푃 푥 푦 = 푄 푥 llamaremos E. D. Linenal No homogéna, por lo tanto no es exacta. Su solución se obtiene aplicando el siguiente Factor de Integración: 풚 = 풆− 푷 풙 풅풙 풆 푷 풙 풅풙. 푸 풙 풅풙 + 푪 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 3
- 4. E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1). 푥2 + 1 푑푦 = 푥3 + 푥푦 + 푥 푑푥 SOLUCION 1º Identificar 푷 풙 풚 푸(풙) de la E.D. ⇨ 푥2 + 1 푑푦 = 푥3 + 푥푦 + 푥 푑푥 ⇨ 푥2 + 1 푑푦 푑푥 = 푥3 + 푥푦 + 푥 ⇨ 푥2 + 1 풙ퟐ + ퟏ 푑푦 푑푥 = 푥3 + 푥푦 + 푥 풙ퟐ + ퟏ 푑푦 푑푥 + 푃 푥 푦 = 푄 푥 푑푖푣푖푑푖푒푛푑표 푝표푟 푥2 + 1 ⇨ 푑푦 푑푥 = 푥3 + 푥푦 + 푥 풙ퟐ + ퟏ ⇨ 푑푦 푑푥 = 푥3 풙ퟐ + ퟏ + 푥푦 풙ퟐ + ퟏ + 푥 풙ퟐ + ퟏ 푎푝푙푖푐푎푛푑표 푙푎 푝푟표푝푖푒푑푎푑 푑푖푠푡푟푖푏푢푡푖푣푎 ⇨ 푑푦 푑푥 = 푥푦 푥2 + 1 + 푥3 + 푥 풙ퟐ + ퟏ 푑푎푛푑표 푓표푟푚푎 푎 푢푛푎 퐸퐷 푑푒 1푒푟 표푟푑푒푛 ⇨ 푑푦 푑푥 − 푥푦 푥2 + 1 = 풙 풙ퟐ + ퟏ 풙ퟐ + ퟏ ⇨ 푑푦 푑푥 − 푥 푥2 + 1 풚 = 푥 푓표푟푚푎 푎 푢푛푎 퐸퐷 푑푒 1푒푟 표푟푑푒푛 푷 풙 푸 풙 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 4
- 5. E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN 2º Aplicar la fórmula cuando 푸 풙 ≠ ퟎ 푦 = 푒− 푃 푥 푑푥 푒 푃 푥 푑푥 . 푄 푥 푑푥 + 퐶 ⇨ y = 푒− − 푥 푥2+1 푑푥 푒 − 푥 푥2+1 푑푥. 풙푑푥 + 퐶 푟푒푒푚푝푙푎푧푎푛푑표 푃 푥 푦 푄 푥 ∗ퟏ ⇨ 푦 = 푒 푥 푥2+1 푑푥 푒− 푥 푥2+1 푑푥. 푥푑푥 + 퐶 ⇨ ∗1= 푥 푥2 + 1 푑푥 푟푒푠표푙푣푖푒푛푑표 푒푙 푖푛푡푒푔푟푎푙 푝표푟 푠푒푝푎푟푎푑표 ⇨ 푆푒푎 푢 = 푥2 + 1 ⇨ 푑푢 = 2푥푑푥 ⇨ 푑푢 2푥 = 푑푥 ⇨ ∗1= 푥 푢 푑푢 2푥 = 1 2 푑푢 푢 = 1 2 퐿푛 푢 = 1 2 퐿푛 푥2 + 1 ⇨ 푦 = 푒 1 2 퐿푛 푥2+1 푒− 1 2 퐿푛 푥2+1 . 푥푑푥 + 퐶 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 5
- 6. E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN ⇨ 푦 = 푒퐿푛 푥2+1 1 2 푒퐿푛 푥2+1 1 2 . 푥푑푥 + 퐶 푎푝푙푖푐푎푛푑표 푦퐿푛푥 = 퐿푛푥 푦 − ⇨ 푦 = 푥2 + 1 1 2 푥2 + 1 − 1 2. 푥푑푥 + 퐶 푎푝푙푖푐푎푛푑표 푒퐿푛푥 = 푥 ⇨ 푦 = 푥2 + 1 1 2 푥푑푥 푥2 + 1 + 퐶 푎푝푙푖푐푎푛푑표 푒퐿푛푥 = 푥 ∗2 ⇨ ∗2= 푥푑푥 푥2 + 1 + 퐶 푟푒푠표푙푣푖푒푛푑표 푒푙 푖푛푡푒푔푟푎푙 푝표푟 푠푒푝푎푟푎푑표 ⇨ 푆푒푎 푢 = 푥2 + 1 ⇨ 푑푢 = 2푥푑푥 ⇨ 푑푢 2푥 = 푑푥 ⇨ ∗2= 푥 푢 푑푢 2푥 + 퐶 = 1 2 푑푢 푢 + 퐶 = 1 2 푢− 1 2푑푢 + 퐶 = 1 2 1 2 1 2 푢 + 퐶 = 푢 1 2 + 퐶 ⇨ ∗2= 푥2 + 1 1 2 + 퐶 ⇨ 푦 = 푥2 + 1 1 2 푥2 + 1 1 2 + 퐶 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 6
- 7. E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN ⇨ 푦 = 푥2 + 1 2 + 퐶 푥2 + 1 ⇨ 풚 = 풙ퟐ + ퟏ + 푪 풙ퟐ + ퟏ 2). 푥2푑푦 − 푠푒푛2푥푑푥 + 3푥푦푑푥 = 0 SOLUCION 1º Identificar 푷 풙 풚 푸(풙) de la E.D. ⇨ 푥2푑푦 = 푠푒푛2푥푑푥 − 3푥푦푑푥 ⇨ 푥2푑푦 = 푠푒푛2푥 − 3푥푦 푑푥 ⇨ 푥2 푑푦 푑푥 = 푠푒푛2푥 − 3푥푦 ⇨ 푥2 푥2 푑푦 푑푥 = 푠푒푛2푥 푥2 − 3푥푦 푥2 푑푖푣푖푑푖푒푛푑표 푝표푟 푥2 + 1 ⇨ 푑푦 푑푥 + 3푦 푥 = 푑푦 푑푥 + 푃 푥 푦 = 푄 푥 푠푒푛2푥 푥2 푑푎푛푑표 푓표푟푚푎 푎 푢푛푎 퐸퐷 푑푒 1푒푟 표푟푑푒푛 ⇨ 푑푦 푑푥 + 3 푥 푦 = 푠푒푛2푥 푥2 푷 풙 푸 풙 2º Aplicar la fórmula cuando 푸 풙 ≠ ퟎ 푦 = 푒− 푃 푥 푑푥 푒 푃 푥 푑푥 . 푄 푥 푑푥 + 퐶 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 7
- 8. E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN 2º Aplicar la fórmula cuando 푸 풙 ≠ ퟎ 푦 = 푒− 푃 푥 푑푥 푒 푃 푥 푑푥 . 푄 푥 푑푥 + 퐶 ⇨ 푦 = 푒− 3 푥 푑푥 푒 3 푥 푑푥. 푠푒푛2푥 푥2 푑푥 + 퐶 ⇨ 푦 = 푒−3퐿푛푥 푒3퐿푛푥 . 푠푒푛2푥 푥2 푑푥 + 퐶 ⇨ 푦 = 푒퐿푛푥−3 푒퐿푛푥3 . 푠푒푛2푥 푥2 푑푥 + 퐶 ⇨ 푦 = 푥−3 푥3. 푠푒푛2푥 푥2 푑푥 + 퐶 ⇨ 푦 = 푥−3 푥 푠푒푛2푥푑푥 + 퐶 ∗2 ⇨ ∗2= 푥 푠푒푛2푥푑푥 + 퐶 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 8
- 9. E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN ⇨ 푆푒푎 푢 = 푥; 푑푣 = 푠푒푛2푥푑푥 ⇨ 푑푢 = 푑푥; 푣 = − 1 2 푐표푠2푥 ⇨ ∗2= − 푥 2 푐표푠2푥 + 1 2 푐표푠2푥푑푥 + 퐶 ⇨ ∗2= − 푥 2 푐표푠2푥 + 1 2 1 2 푠푒푛2푥 + 퐶 ⇨ ∗2= − 푥 2 푐표푠2푥 + 1 4 푠푒푛2푥 + 퐶 ⇨ 푦 = 푥−3 − 푥 2 푐표푠2푥 + 1 4 푠푒푛2푥 + 퐶 ⇨ 4푦 = 1 푥3 −2푥푐표푠2푥 + 푠푒푛2푥 + 4퐶 ⇨ 4푥3푦 = −2푥푐표푠2푥 + 푠푒푛2푥 + 4퐶 ⇨ ퟒ풙ퟑ풚 + ퟐ풙풄풐풔ퟐ풙 − 풔풆풏ퟐ풙 = ퟒ푪 ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 9
- 10. E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN 1). 푑푦 푑푥 + 2푦 = 푥2 + 2푥 푅푝푡푎. 푦 = 2푥2 + 2푥 − 1 4 + 퐶푒−2푥 2). 푥푦′ + 1 + 푥 푦 = 푒−푥 푅푝푡푎. 푦 = 푒−푥 1 + 퐶 푥 3). 푥5 + 3푦 푑푥 − 푥푑푦 = 0 푅푝푡푎. y = 푥5 2 + 퐶푥3 4). 푑푦 푑푥 + 2푦 = 푥2 + 2푥 푅푝푡푎. 푦 = 2푥2 + 2푥 − 1 4 + 퐶푒−2푥 5). 푥2 + 9 푑푦 푑푥 + 푥푦 = 0 푅푝푡푎. 푦 = 퐶 푥2 + 9 Resuelva las siguientes E. D ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 10