La continuidad de una función se define en tres niveles: 1) En un punto, una función es continua si para cada ε>0 existe un δ>0 tal que si |x-c|<δ entonces |f(x)-L|<ε; 2) En un intervalo abierto, una función es continua si lo es en todos sus puntos; 3) En un intervalo cerrado, una función es continua si lo es en el intervalo abierto y en los puntos extremos.

1. Definición de límite de una función
"para cada número real ε mayor que cero existe número un real δ mayor que cero tal
que, para todo x, si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la
distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Continuidad de una función en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:
Otra manera más simple Si Xo es punto de acumulación del dominio de la función
entonces f es continua en Xo
si y sólo si
Continuidad de una función en un intervalo
Una función, f es continua en un intervalo I, si y solo si la función es continua en todos
los puntos del intervalo, es decir:
f es continua en un intervalo I
Dado que una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es
continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado
[a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua en el punto a
por la derecha y en el punto b por la izquierda.