Este documento introduce las relaciones de equivalencia y particiones. Explica que una relación es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva, y provee ejemplos. También define una partición como un conjunto de subconjuntos disjuntos cuyo conjunto es la unión de todos los subconjuntos.

1. OBJETIVO GENERAL.-
Conocer el fundamento teórico que
corresponde a relaciones de equivalencia y
particiones.

2.  Establecer las características que hacen de
una relación, ésta sea una relación de
equivalencia.
 Determinar los subconjuntos que se obtienen
de un conjunto, mediante la partición.
 Aplicar la teoría de relación de equivalencia y
partición en la resolución de ejercicios.

3. RELACIONES
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
REFLEXIVA SIMÉTRICA TRANSITIVA
aRa aRb ∧ bRa aRb ∧ bRc →aRc

4. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Una relación binaria, definida en un conjunto E≠Ф, es una relación
de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Si ℜ una relación de equivalencia, para traducir que una
es
pareja (x,y) verifica la relación ℜ reemplaza la notación
se
general xℜpor
y
x = y (mod ℜ); que se lee “x es equivalente a y módulo de ℜ ”

5. Entonces si x, y e z son elementos cualesquiera de un conjunto E,
y si ℜ es una relación de equivalencia en E,
∀x ∈ E , x = y (mod ℜ)
x = y (mod ℜ) → y = x(mod ℜ)
x = y (mod ℜ) ∧ y = z (mod ℜ) → x = z (mod ℜ)

6. EJEMPLO 1
Sea Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,...}
Considere en Z la relación binaria “la diferencia de dos
enteros es un múltiplo de 3 ”. (Relación llamada congruencia)
REFLEXIVA ∀a, a − a = 0
SIMÉTRICA Si a – b es múltiplo de 3,→ (b – a) es múltiplo de 3.
TRANSITIVA Si a – b es múltiplo de 3, y (b – c ) es múltiplo
de3, → a – c es múltiplo de 3.

7. EJEMPLO 2
Relación de paralelismo
Sean las rectas l1 , l2 y l3
Determinar si dichas rectas cumplen con la relación de
equivalencia.
REFLEXIVA
l1 // l1
SIMÉTRICA Si l1 // l2 → l2 // l1
TRANSITIVA Si l1 // l2 ∧ l2 // l3 → l1 // l3

8. S1 ≠φ S1 ∩ S 2 ,..., ∩ S n = φ E = S1 ∪ S 2 ,...,∪ S n

9. Sea E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, entonces
S = {{1,9}; { 2,8}; {3,4,5,6,7}}
Es una partición de E en tres conjuntos
Note que: Q = {{1,2,9}; { 2,8}; { 3,4,5,6,7}}
No es una partición

10. Hallar todas las particiones del conjunto X = { a, b, c, d }
S1 = {{ a}; { b}; { c}; { d }} S8 = {{ a, c}; { b, d }}
S 2 = {{ a, b}; { c, d }} S9 = { { c} ; { a, b, d } }
S3 = {{ a}; { b, c, d }} S10 = {{ a, d } ; { b, c}}
S 4 = {{ b}; { a, c, d }} S11 = {{ d } ; { a, b, c}}
S 5 = {{ a} ; { b}; { c, d }} S12 = {{ a}; { d }; { b, c}}
S13 = {{ c}; { d }; { a, b}}
S 6 = {{ b}; { c}; { a, d }}
S14 = {{ a}; { c}; { b, d }}
S 7 = {{ b}; { d }; { a, c}}
S15 = {{ a, b, c, d }}

11.  LIPSCHUTZ, Seymour. Teoría de Conjuntos.
Editorial McGraw – Hill. México. 1992.
 Pág. Web. http://elcentro.uniandes.edu.co
 LOVAL, Service. Diccionario de matemática.
Nuevodia. Ecuador. 2003.
 Quinet, J. Curso de Matemáticas Superiores.
Edit. Paraninfo. Madrid. 1983.