Los números complejos amplían el conjunto de los números reales para incluir números como la raíz cuadrada de -1. Un número complejo consiste de una parte real y una parte imaginaria y puede representarse como z = a + bi, donde a es la parte real e i es la unidad imaginaria cuya cuadrado es -1. Las operaciones con números complejos, como suma, resta, multiplicación y división siguen reglas algebraicas similares a los números reales.

1. Los números complejos Por Manuel Jesús Quidiello

2. La ecuación x 2 +1=0 carece de soluciones en el cconjunto de los números reales. log e (-2) no es un número real. Tampoco es un número real (-2)  En el siglo XVII se descubrió un nuevo tipo de número denominado: “ unidad imaginaria” Designada por “ i ” Y que corresponde al “valor”:

3. El conjunto C Los números complejos o imaginarios amplían al conjunto de los números reales.

4. Representación numérica Un número complejo z  viene dado por un par ordenado (a, b) de números reales. El primero se llama parte real , y se escribe a=Re(z) El segundo se llama parte imaginaria , y se escribe b  Im(z  Se denomina representación binómica de un número complejo a la expresión: z  a+bi

5. Representación numérica binómica Esto significa que el número real 6 se pondría en binómica compleja como: z = 6+0i o simplemente z = 6 Un número complejo en el que a  , se denomina “complejo puro”, como por ejemplo: z 1 = 8i z 2 = -12i

6. Tipos de complejos Opuestos: Aquellos cuya suma resulta igual a cero: z   9i  su opuesto será z   9i Conjugados: Aquellos cuya parte imaginaria es opuesta y la real es la misma: z   9i  su opuesto será z   9i

7. Representación gráfica El número complejo z  (a,b) representa el punto P (llamado afijo ), cuyas coordenadas son precisamente a y b, representados en los ejes cartesianos y donde el eje x corresponde a la parte real y el eje Y a la parte imaginaria .

8. Representación numérica polar Un complejo z  i  en coordenadas rectangulares . O en polares , esto es, conociendo la distancia al origen ( módulo r ) y el ángulo respecto al eje real o Eje X ( argumento  ) y se expresa: Z=r   Por tanto: z  i es lo mismo que Z=5  53’1º

9. Paso de rectangulares a polares Si tenemos un complejo  =a+bi, la distancia al centro es el módulo del vector (a,b), o sea, Y el ángulo es arco tangente del cociente entre la parte imaginaria y la real Ejemplo: Sea z=3+4i. ¿cuál es su representación polar? Solución:

10. Paso de polares a rectangulares Si tenemos un complejo  =r  , aplicamos las definiciones básicas de trigonometría para hallar sus coordenadas rectangulares Ejemplo: Sea z=5 53’1º . ¿cuál es su representación binómica? Solución: Se denomina forma trigonométrica si se expresa:

11. Operaciones con complejos Suma y resta: Ejemplo: (3-5i) + (7+2i) = (3+7) + (-5+2)i = 10-3i

12. Operaciones con complejos Producto: Si está en forma binómica: tenemos que recordar que y aplicar la propiedad distributiva de los números. Ejemplo : (3-5i)+(7+2i)=(3·7) + (3·2i) - (5i·7) - (5i·2i)= = 21 + 6i - 35i - 10i 2 = 21 -29i -10(-1)= 21 -29i +10=31-29i Si está en forma polar: la razón del producto es el producto de razones y el ángulo es la suma de ángulos. Ejemplo : 5 22º · 7 130º =(5·7) (22º+130º) =35 152º

13. Operaciones con complejos Cociente: Si está en forma binómica: Ejemplo: Si está en forma polar: la razón del cociente es el cociente de razones y el ángulo es la resta de ángulos. Ejemplo:

14. Operaciones con complejos Inverso de un número: Ejemplo:

15. Operaciones con complejos Potenciación En forma binómica: Hay que desarrollar el binomio, teniendo en cuenta las potencias del número imaginario: Ejemplo: En forma polar: la razón de la potencia es la potencia de la razón y el ángulo es producto del exponente por el ángulo. Ejemplo:

16. Operaciones con complejos Radicación en forma polar: Ejemplo: