Este documento describe cuatro métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: el método gráfico, reducción, sustitución e igualación. Explica que todos los métodos algebraicos eliminan una incógnita para resolver una ecuación de primer grado con una sola incógnita. Además, presenta ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método gráfico para resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones.
El documento presenta un mapa conceptual sobre el proceso de construcción de la noción del número, sus cualidades y operaciones. Se destaca que es importante el uso de representaciones icónicas y material concreto para que los niños desarrollen primeras nociones sobre la suma y la resta a través de la manipulación de objetos. Asimismo, se introduce el concepto de algoritmo y se explican los procedimientos para realizar las operaciones de suma y resta de forma correcta.
El documento presenta un mapa conceptual sobre el proceso de construcción de la noción del número. El mapa incluye los siguientes conceptos principales: 1) el proceso de construcción de la noción del número, 2) las operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división, y 3) las cualidades y propiedades de cada operación. El mapa también incluye conceptos subordinados y enlaces entre conceptos para mostrar la relación jerárquica entre ellos.
El documento presenta 10 problemas de sistemas de ecuaciones lineales para resolver. Los problemas involucran temas como puntos de equilibrio, mezcla de productos, inversiones, producción industrial, salarios y velocidad. Se provee una rúbrica de 17 puntos para calificar cada respuesta.
Break even point two linear equations systemEdgar Mata
Este documento presenta cuatro problemas relacionados con el cálculo del punto de equilibrio para una empresa. El primer problema determina el punto de equilibrio inicial dado los costos fijos, costo unitario de producción y precio de venta. El segundo problema calcula un nuevo punto de equilibrio dada un aumento en el costo unitario. El tercer problema analiza si es conveniente mantener el precio actual dado la demanda pronosticada. El cuarto problema evalúa si es mejor comprar o fabricar internamente un componente para reducir costos.
Evidencia 2.1.1 mapa proceso de construccion del numeroAlee Carrillo
El documento describe el proceso de construcción de la noción del número, incluyendo sus cualidades y operaciones básicas. Explica que los números naturales son la base de las operaciones aritméticas y que cada número natural tiene un antecesor y sucesor. También define conceptos como suma, resta, algoritmos y propiedades de las operaciones como la cerradura y conmutativa de la suma.
Template 2 1 the stright line 2020 - solvedEdgar Mata
Este documento explica cómo calcular el punto de equilibrio financiero para una empresa. Primero, se identifican las cantidades desconocidas como el número de piezas a fabricar y vender y el costo total de producción. Luego, se derivan dos ecuaciones: la primera relaciona el costo total con los costos fijos, costos variables y número de piezas, y la segunda relaciona los ingresos con el precio de venta y número de piezas vendidas. Finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar que el punto de equilibrio ocurre cuando se fabric
Este documento presenta un resumen de un curso de Análisis Numérico. Incluye temas como la propagación de errores, solución de ecuaciones, integración numérica y bibliografía recomendada. También describe conceptos clave como problemas y algoritmos numéricos, y los pasos generales para resolver problemas matemáticos numéricamente.
La regresión lineal simple ajusta una recta a datos (xi, yi) para modelar la relación entre una variable independiente X e independiente Y. Se calculan los estimadores de los parámetros β0 y β1 usando el método de mínimos cuadrados. Esto permite predecir y estimar intervalos de confianza para nuevos valores de X. La pendiente β1 indica la fuerza de la asociación lineal entre las variables.
El documento presenta un mapa conceptual sobre el proceso de construcción de la noción del número, sus cualidades y operaciones. Se destaca que es importante el uso de representaciones icónicas y material concreto para que los niños desarrollen primeras nociones sobre la suma y la resta a través de la manipulación de objetos. Asimismo, se introduce el concepto de algoritmo y se explican los procedimientos para realizar las operaciones de suma y resta de forma correcta.
El documento presenta un mapa conceptual sobre el proceso de construcción de la noción del número. El mapa incluye los siguientes conceptos principales: 1) el proceso de construcción de la noción del número, 2) las operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división, y 3) las cualidades y propiedades de cada operación. El mapa también incluye conceptos subordinados y enlaces entre conceptos para mostrar la relación jerárquica entre ellos.
El documento presenta 10 problemas de sistemas de ecuaciones lineales para resolver. Los problemas involucran temas como puntos de equilibrio, mezcla de productos, inversiones, producción industrial, salarios y velocidad. Se provee una rúbrica de 17 puntos para calificar cada respuesta.
Break even point two linear equations systemEdgar Mata
Este documento presenta cuatro problemas relacionados con el cálculo del punto de equilibrio para una empresa. El primer problema determina el punto de equilibrio inicial dado los costos fijos, costo unitario de producción y precio de venta. El segundo problema calcula un nuevo punto de equilibrio dada un aumento en el costo unitario. El tercer problema analiza si es conveniente mantener el precio actual dado la demanda pronosticada. El cuarto problema evalúa si es mejor comprar o fabricar internamente un componente para reducir costos.
Evidencia 2.1.1 mapa proceso de construccion del numeroAlee Carrillo
El documento describe el proceso de construcción de la noción del número, incluyendo sus cualidades y operaciones básicas. Explica que los números naturales son la base de las operaciones aritméticas y que cada número natural tiene un antecesor y sucesor. También define conceptos como suma, resta, algoritmos y propiedades de las operaciones como la cerradura y conmutativa de la suma.
Template 2 1 the stright line 2020 - solvedEdgar Mata
Este documento explica cómo calcular el punto de equilibrio financiero para una empresa. Primero, se identifican las cantidades desconocidas como el número de piezas a fabricar y vender y el costo total de producción. Luego, se derivan dos ecuaciones: la primera relaciona el costo total con los costos fijos, costos variables y número de piezas, y la segunda relaciona los ingresos con el precio de venta y número de piezas vendidas. Finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar que el punto de equilibrio ocurre cuando se fabric
Este documento presenta un resumen de un curso de Análisis Numérico. Incluye temas como la propagación de errores, solución de ecuaciones, integración numérica y bibliografía recomendada. También describe conceptos clave como problemas y algoritmos numéricos, y los pasos generales para resolver problemas matemáticos numéricamente.
La regresión lineal simple ajusta una recta a datos (xi, yi) para modelar la relación entre una variable independiente X e independiente Y. Se calculan los estimadores de los parámetros β0 y β1 usando el método de mínimos cuadrados. Esto permite predecir y estimar intervalos de confianza para nuevos valores de X. La pendiente β1 indica la fuerza de la asociación lineal entre las variables.
Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento
Activity for development of habilities in word problems solving
Este documento presenta un examen de métodos estadísticos de ingeniería que consta de dos partes. La primera parte contiene preguntas y ejercicios sobre probabilidad, variables aleatorias y regresión lineal. La segunda parte presenta problemas sobre distribuciones de probabilidad conjunta y de pruebas de hipótesis. El documento también incluye las soluciones al examen.
Este documento presenta el método de Polya para la resolución de problemas en 4 pasos: 1) Entender el problema, 2) Configurar un plan, 3) Ejecutar el plan, 4) Revisar. A continuación, aplica este método a un ejemplo para determinar el número de pantalones de diferentes talles que debe fabricar una fábrica. El problema se resuelve mediante la construcción de un modelo matemático y la solución de una ecuación, obteniendo como resultado que deben fabricarse 1637 pantalones de talla grande.
Este documento proporciona estrategias para resolver problemas geométricos. Explica que no hay una fórmula única para resolver todos los problemas, pero sí pasos como comprender el enunciado, hacer un diagrama, pensar un plan y redactar la solución. También da ejemplos de cómo aplicar métodos como reconocer conceptos familiares, dividir el problema en partes más simples, o buscar analogías con problemas resueltos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la programación lineal entera. Explica que en este tipo de problemas todas o algunas variables deben ser enteros o binarios. También introduce el concepto clave de relajación de un problema, el cual elimina las restricciones de valores enteros o binarios. Finalmente, proporciona algunos ejemplos comunes de problemas de programación lineal entera como la asignación de capital y problemas de costos fijos.
Este documento presenta el modelo matemático Lotka-Volterra para describir la dinámica poblacional de conejos y linces. El modelo consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales que describe cómo las tasas de cambio de las poblaciones dependen de la interacción entre presas y depredadores. El análisis cualitativo muestra que el sistema tiene dos puntos de equilibrio, uno inestable y otro que predice oscilaciones periódicas consistentes con los datos históricos sobre capturas de conejos y linces.
El documento describe la historia del desarrollo del concepto de límite y continuidad de funciones en matemáticas. Inicialmente, el cálculo carecía de fundamentos teóricos sólidos. Más tarde, Cauchy desarrolló en 1821 un enfoque lógico y adecuado al cálculo mediante la definición de los conceptos de límite y función continua. El documento también presenta ejemplos intuitivos para explicar el concepto de límite, como la deformación de un resorte bajo diferentes cargas.
Unidad 2 formato 7-razonamiento tres incógnitasEdgar Mata
El documento presenta un problema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Proporciona una tabla para registrar la información relevante como las cantidades desconocidas, los datos disponibles y las ecuaciones. También incluye espacios para anotar los pasos de resolución del sistema de ecuaciones y la solución final.
Este documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros números utilizados para contar hasta los números complejos. Explica los números naturales, enteros, racionales y reales, así como sus propiedades. Finalmente, introduce los números imaginarios y complejos, y describe operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división con números complejos.
Este documento trata sobre la matriz inversa. Primero introduce el concepto de matriz inversa y explica que para que una matriz tenga inversa debe ser cuadrada. Luego describe métodos para calcular la inversa, como el método de Gauss, determinantes y el uso de Mathcad. Finalmente menciona algunas aplicaciones de la matriz inversa como la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta el Bloque 2 de un curso sobre desarrollo del pensamiento algebraico. El bloque aborda la jerarquía de las operaciones aritméticas, el uso de paréntesis, y la transformación y equivalencia de expresiones algebraicas. El propósito es que los estudiantes aprendan a construir y leer expresiones algebraicas usando la jerarquía correcta de operaciones y a modificarla usando paréntesis. También se busca que inicien el estudio de cómo transformar expresiones algebraicas de manera equivalente.
1. El documento presenta una unidad sobre la solución de triángulos oblicuángulos. 2. Define un triángulo oblicuángulo como uno sin ángulos rectos y explica los teoremas del seno y coseno para resolver este tipo de triángulos. 3. Detalla los objetivos de aprendizaje como definir un triángulo oblicuángulo, enunciar los teoremas del seno y coseno, y resolver triángulos oblicuángulos usando estos teoremas.
Este documento describe cómo resolver triángulos de cualquier tipo usando los teoremas del seno y del coseno. Explica que el teorema del seno se usa cuando se conoce un lado y dos ángulos o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Luego, detalla que el teorema del coseno se aplica cuando se conocen los tres lados o dos lados y el ángulo entre ellos. Finalmente, presenta un ejemplo de cómo usar el teorema del coseno para hallar la longitud de un lado de un triángulo no rectá
Este documento presenta nueve problemas resueltos que involucran sistemas de ecuaciones. Cada problema se resume en tres pasos: 1) elegir las incógnitas, 2) plantear las ecuaciones, 3) resolver el sistema. Los problemas abarcan diversas situaciones como aparcamientos, precios de productos, animales en un corral y más.
El documento explica los teoremas de los senos y cosenos, que son útiles para calcular ángulos y lados de cualquier triángulo cuando no se puede formar un ángulo recto. El teorema de senos se aplica cuando se conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo que no es el formado por los lados conocidos. El teorema de cosenos se aplica cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos.
El documento explica los teoremas del seno y coseno. El teorema del seno establece que la razón entre un lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es constante. El teorema del coseno relaciona los lados de un triángulo con los cosenos de sus ángulos. Ambos teoremas son utilizados para resolver problemas de triangulación cuando se conocen ciertos datos del triángulo.
Este documento explica los conceptos de triángulos oblicuángulos y cómo resolverlos utilizando la ley del seno y la ley del coseno. Proporciona ejemplos de cómo aplicar estas leyes para encontrar lados y ángulos desconocidos en diferentes tipos de triángulos oblicuángulos. También incluye problemas resueltos y ejercicios propuestos para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Ejemplos y explicaciones acerca del proceso de solución de problemas de razonamiento mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método Gráfico.
Este documento presenta un problema de punto de equilibrio para una fábrica de playeras. Explica cómo formular el problema como un sistema de ecuaciones para determinar el número de playeras que maximiza las ganancias. Se describen los pasos para tabular los valores de costos e ingresos para diferentes niveles de producción y graficar las ecuaciones resultantes, encontrando que el punto de equilibrio ocurre cuando se producen 850 playeras.
Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento
Activity for development of habilities in word problems solving
Este documento presenta un examen de métodos estadísticos de ingeniería que consta de dos partes. La primera parte contiene preguntas y ejercicios sobre probabilidad, variables aleatorias y regresión lineal. La segunda parte presenta problemas sobre distribuciones de probabilidad conjunta y de pruebas de hipótesis. El documento también incluye las soluciones al examen.
Este documento presenta el método de Polya para la resolución de problemas en 4 pasos: 1) Entender el problema, 2) Configurar un plan, 3) Ejecutar el plan, 4) Revisar. A continuación, aplica este método a un ejemplo para determinar el número de pantalones de diferentes talles que debe fabricar una fábrica. El problema se resuelve mediante la construcción de un modelo matemático y la solución de una ecuación, obteniendo como resultado que deben fabricarse 1637 pantalones de talla grande.
Este documento proporciona estrategias para resolver problemas geométricos. Explica que no hay una fórmula única para resolver todos los problemas, pero sí pasos como comprender el enunciado, hacer un diagrama, pensar un plan y redactar la solución. También da ejemplos de cómo aplicar métodos como reconocer conceptos familiares, dividir el problema en partes más simples, o buscar analogías con problemas resueltos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la programación lineal entera. Explica que en este tipo de problemas todas o algunas variables deben ser enteros o binarios. También introduce el concepto clave de relajación de un problema, el cual elimina las restricciones de valores enteros o binarios. Finalmente, proporciona algunos ejemplos comunes de problemas de programación lineal entera como la asignación de capital y problemas de costos fijos.
Este documento presenta el modelo matemático Lotka-Volterra para describir la dinámica poblacional de conejos y linces. El modelo consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales que describe cómo las tasas de cambio de las poblaciones dependen de la interacción entre presas y depredadores. El análisis cualitativo muestra que el sistema tiene dos puntos de equilibrio, uno inestable y otro que predice oscilaciones periódicas consistentes con los datos históricos sobre capturas de conejos y linces.
El documento describe la historia del desarrollo del concepto de límite y continuidad de funciones en matemáticas. Inicialmente, el cálculo carecía de fundamentos teóricos sólidos. Más tarde, Cauchy desarrolló en 1821 un enfoque lógico y adecuado al cálculo mediante la definición de los conceptos de límite y función continua. El documento también presenta ejemplos intuitivos para explicar el concepto de límite, como la deformación de un resorte bajo diferentes cargas.
Unidad 2 formato 7-razonamiento tres incógnitasEdgar Mata
El documento presenta un problema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Proporciona una tabla para registrar la información relevante como las cantidades desconocidas, los datos disponibles y las ecuaciones. También incluye espacios para anotar los pasos de resolución del sistema de ecuaciones y la solución final.
Este documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros números utilizados para contar hasta los números complejos. Explica los números naturales, enteros, racionales y reales, así como sus propiedades. Finalmente, introduce los números imaginarios y complejos, y describe operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división con números complejos.
Este documento trata sobre la matriz inversa. Primero introduce el concepto de matriz inversa y explica que para que una matriz tenga inversa debe ser cuadrada. Luego describe métodos para calcular la inversa, como el método de Gauss, determinantes y el uso de Mathcad. Finalmente menciona algunas aplicaciones de la matriz inversa como la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta el Bloque 2 de un curso sobre desarrollo del pensamiento algebraico. El bloque aborda la jerarquía de las operaciones aritméticas, el uso de paréntesis, y la transformación y equivalencia de expresiones algebraicas. El propósito es que los estudiantes aprendan a construir y leer expresiones algebraicas usando la jerarquía correcta de operaciones y a modificarla usando paréntesis. También se busca que inicien el estudio de cómo transformar expresiones algebraicas de manera equivalente.
1. El documento presenta una unidad sobre la solución de triángulos oblicuángulos. 2. Define un triángulo oblicuángulo como uno sin ángulos rectos y explica los teoremas del seno y coseno para resolver este tipo de triángulos. 3. Detalla los objetivos de aprendizaje como definir un triángulo oblicuángulo, enunciar los teoremas del seno y coseno, y resolver triángulos oblicuángulos usando estos teoremas.
Este documento describe cómo resolver triángulos de cualquier tipo usando los teoremas del seno y del coseno. Explica que el teorema del seno se usa cuando se conoce un lado y dos ángulos o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Luego, detalla que el teorema del coseno se aplica cuando se conocen los tres lados o dos lados y el ángulo entre ellos. Finalmente, presenta un ejemplo de cómo usar el teorema del coseno para hallar la longitud de un lado de un triángulo no rectá
Este documento presenta nueve problemas resueltos que involucran sistemas de ecuaciones. Cada problema se resume en tres pasos: 1) elegir las incógnitas, 2) plantear las ecuaciones, 3) resolver el sistema. Los problemas abarcan diversas situaciones como aparcamientos, precios de productos, animales en un corral y más.
El documento explica los teoremas de los senos y cosenos, que son útiles para calcular ángulos y lados de cualquier triángulo cuando no se puede formar un ángulo recto. El teorema de senos se aplica cuando se conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo que no es el formado por los lados conocidos. El teorema de cosenos se aplica cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos.
El documento explica los teoremas del seno y coseno. El teorema del seno establece que la razón entre un lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es constante. El teorema del coseno relaciona los lados de un triángulo con los cosenos de sus ángulos. Ambos teoremas son utilizados para resolver problemas de triangulación cuando se conocen ciertos datos del triángulo.
Este documento explica los conceptos de triángulos oblicuángulos y cómo resolverlos utilizando la ley del seno y la ley del coseno. Proporciona ejemplos de cómo aplicar estas leyes para encontrar lados y ángulos desconocidos en diferentes tipos de triángulos oblicuángulos. También incluye problemas resueltos y ejercicios propuestos para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Ejemplos y explicaciones acerca del proceso de solución de problemas de razonamiento mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método Gráfico.
Este documento presenta un problema de punto de equilibrio para una fábrica de playeras. Explica cómo formular el problema como un sistema de ecuaciones para determinar el número de playeras que maximiza las ganancias. Se describen los pasos para tabular los valores de costos e ingresos para diferentes niveles de producción y graficar las ecuaciones resultantes, encontrando que el punto de equilibrio ocurre cuando se producen 850 playeras.
Este documento describe un método gráfico para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se tabulan las ecuaciones despejadas, se trazan las gráficas correspondientes en el mismo plano cartesiano, y se identifica el punto de intersección que resuelve el sistema sustituyendo en ambas ecuaciones originales.
1) El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones de un sistema, igualar los resultados y obtener una ecuación de primer grado que se resuelve para hallar el valor de dicha incógnita.
2) Luego, se sustituye este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.
3) El método permite resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Este documento presenta un bloque de actividades sobre las funciones trigonométricas seno y coseno. El bloque tiene como objetivos identificar el dominio y contradominio de estas funciones, expresarlos como intervalos, y aplicar transformaciones a sus gráficas. Las actividades usan la calculadora para explorar gráficamente las funciones y conceptos como periodo, amplitud y frecuencia. También sugiere actividades futuras relacionadas con las funciones trigonométricas para la formación de docentes.
Este documento presenta un bloque de actividades sobre las funciones trigonométricas seno y coseno. El bloque tiene como objetivos identificar el dominio y contradominio de estas funciones, expresarlos como intervalos, y aplicar transformaciones a sus gráficas. Las actividades usan la calculadora para explorar las gráficas y reconocer propiedades como el periodo, amplitud y frecuencia. También se comparan las funciones seno y coseno y se sugieren actividades futuras relacionadas con estas funciones y su enseñanza.
Este documento presenta un bloque de actividades sobre las funciones trigonométricas seno y coseno. El bloque tiene como objetivos identificar el dominio y contradominio de estas funciones, expresarlos como intervalos, y aplicar transformaciones a sus gráficas. Las actividades usan la calculadora para explorar gráficamente las funciones y conceptos como periodo, amplitud y frecuencia. También sugiere actividades futuras relacionadas con las funciones trigonométricas para la formación de docentes.
Este documento presenta un módulo sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas de ecuaciones son herramientas útiles en matemáticas y otras áreas. Luego, describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones 2x2, incluyendo sustitución, eliminación y gráficos. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios resueltos para que los estudiantes practiquen estos conceptos.
Este documento explica el método de igualación para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. El método implica igualar las dos ecuaciones después de despejar la misma incógnita en ambas, resultando en una ecuación de primer grado con una sola incógnita que puede ser despejada para determinar el valor de una de las incógnitas originales y luego sustituir en una de las ecuaciones para encontrar el otro valor.
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método utiliza transformaciones elementales sobre la matriz del sistema para obtener un sistema equivalente en forma escalonada, el cual puede resolverse fácilmente mediante sustitución regresiva. También clasifica los sistemas en determinados, indeterminados e incompatibles dependiendo del número de soluciones.
Este documento presenta una unidad sobre inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Incluye definiciones de desigualdades, procedimientos para resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita, inecuaciones con valor absoluto e inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. También contiene ejemplos y ejercicios para que los estudiantes practiquen estos conceptos.
Pautas de Ayudantías (Introducción a la Microeconomía - UChile)Mauricio Vargas 帕夏
Ayudantías 1 a 9 (la totalidad de las ayudantías del curso)
Competencia perfecta, Monopolio, Teoría del consumidor, Teoría de la producción, Teoría de precios.
Este documento describe los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, incluyendo el método de igualación, sustitución, reducción, determinantes y gráfico. Explica cada método de forma concisa y proporciona ejemplos para ilustrarlos.
Este documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas y los sistemas de ecuaciones, y define conceptos como solución de un sistema y sistemas equivalentes. Luego describe los diferentes tipos de sistemas según el número de soluciones, como sistemas sin solución, con infinitas soluciones o con una solución única. Finalmente, introduce tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - ilustrándolos con ejemplos resuelt
Este documento presenta la unidad 4 de aritmética y álgebra. Cubre ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y sistemas de ecuaciones, incluyendo métodos para resolver sistemas gráficamente y algebraicamente. También incluye ejemplos y actividades para practicar estos conceptos.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y el método de Gauss para resolver sistemas. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones donde las incógnitas aparecen de forma lineal. También describe cómo el método de Gauss transforma un sistema en uno escalonado para facilitar su resolución.
Este documento describe el estudio de funciones cuadráticas de la forma ax^2 + bx + c. Se analizan las representaciones algebraica, gráfica y tabular de estas funciones, así como el comportamiento de sus gráficas (parábolas). Las actividades conducen a identificar cómo los parámetros de las funciones afectan la forma de las parábolas, incluyendo su traslación, abertura y orientación. El uso de la calculadora permite pasar fácilmente entre las diferentes representaciones y desarrollar habilidades algebraicas.
El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por el ser humano, comenzando con sistemas no posicionales como la numeración romana y progresando hacia sistemas posicionales como la numeración maya. Explica que la introducción del cero fue fundamental para los sistemas posicionales y que los números complejos se desarrollaron para incluir raíces cuadradas de números negativos mediante la adición de los números imaginarios.
Este documento explica cómo convertir números complejos de la forma binómica a la forma trigonométrica y aplicar el Teorema de De Moivre para elevar números complejos a potencias o extraer raíces. Primero se describen las fórmulas para la conversión. Luego, se muestra un ejemplo detallado de la conversión. Finalmente, se explica cómo usar el Teorema de De Moivre para elevar números complejos a potencias usando su forma trigonométrica.
Este documento presenta los conceptos básicos de las operaciones con números complejos, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Explica que la suma y resta se tratan como la misma operación y muestra ejemplos de cómo aplicar las reglas de signos. También muestra cómo se llevan a cabo la multiplicación y división de números complejos a través de ejemplos paso a paso.
Este documento presenta 8 ejercicios que involucran el cálculo de límites matemáticos y la traza de gráficas correspondientes, identificando discontinuidades. Se pide resolver los ejercicios aplicando estrategias aritméticas, anotando solo las soluciones de cada límite calculado.
Este documento describe la importancia de identificar correctamente el problema como el primer paso para escribir una tesis o tesina. Explica que un problema surge cuando una situación se aparta de lo deseado y no es simplemente lo contrario de lo deseado. Además, recomienda cuantificar el problema mediante datos como números, gráficas y tendencias para comprender su gravedad e impacto, así como señalar cómo afecta el problema a procesos, áreas y el entorno.
Este documento proporciona instrucciones para un ejercicio de cálculo que involucra la aproximación numérica de límites. Los estudiantes deben obtener valores de una función para valores de x cercanos al límite por la izquierda y la derecha, tabular los datos y graficar la función para visualizar el límite. Se especifican los requisitos para completar cada sección de la actividad y obtener la puntuación máxima.
Este documento presenta información sobre los números reales y la notación científica. Explica la importancia de los números en la civilización y el desarrollo de la numeración. Define los números reales e introduce conceptos como operaciones con números reales, porcentajes, localización en la recta numérica y notación científica. Incluye ejercicios para practicar estos temas.
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
Este documento introduce el concepto de límite matemático de manera intuitiva a través de ejemplos. Explica que el desarrollo del cálculo carecía de rigor teórico inicialmente y fue necesario formalizar los conceptos de límite y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite usando una deformación de resorte, operaciones aritméticas y gráficas de funciones.
Course presentation differential calculus ea2021Edgar Mata
Este documento presenta la asignatura de Cálculo Diferencial dictada por el profesor G. Edgar Mata Ortiz. Explica que se trata de un curso no presencial basado en competencias que utiliza tecnologías de la información. Describe los contenidos, objetivos y forma de evaluación del desempeño de los estudiantes a través de tareas, trabajos y participación en videoconferencias utilizando las plataformas Moodle y Microsoft Teams.
Course presentation linear algebra ea2021Edgar Mata
Este documento presenta la asignatura de Álgebra Lineal que será impartida de forma no presencial. Se describen los objetivos y contenidos de la asignatura, el modelo educativo basado en competencias, la evaluación y entrega de tareas a través de la plataforma Moodle, y los recursos tecnológicos como Moodle, Teams, blogs y redes sociales que se utilizarán.
Este documento presenta los pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Cramer. Primero se anotan las tres ecuaciones y luego los determinantes formados por las ecuaciones y las incógnitas. A continuación, se calculan los valores de los determinantes y se sustituyen en las ecuaciones originales para encontrar los valores de las tres incógnitas.
Exercise 2 2 - area under the curve 2020Edgar Mata
El documento presenta un ejercicio de cálculo integral que pide determinar el área bajo la curva para tres funciones entre diferentes límites usando integración. Proporciona enlaces a artículos que explican las fórmulas de integración necesarias y pide trazar gráficas con toda la información requerida.
Este documento presenta varios ejercicios sobre álgebra vectorial. Instruye al lector a resolver problemas de vectores en dos y tres dimensiones utilizando solo una calculadora. Incluye ejemplos de sumas, restas, multiplicaciones y productos cruzados de vectores, así como representaciones gráficas. También cubre representaciones vectoriales de números complejos y transformaciones lineales como reflexión, rotación, traslación, expansión y contracción.
Este documento presenta dos problemas matemáticos que involucran funciones cúbicas. El primer problema proporciona cuatro puntos de datos y pide encontrar la función cúbica que pasa a través de ellos. El segundo problema presenta cuatro puntos de datos corregidos y pide lo mismo. Se pide graficar ambas funciones cúbicas y entregar las respuestas en formato PDF.
The document contains 32 systems of linear equations with 3 unknown variables (x1, x2, x3) each. Each system has 3 equations with coefficients for the variables and a constant. The goal is to solve for the unknown variables.
Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas utilizando el método de Cramer en Excel. Explica que el método de Cramer puede automatizarse fácilmente en Excel y muestra un ejemplo de cómo calcular los determinantes principales y de las incógnitas y luego dividir para obtener las soluciones utilizando fórmulas de referencia de celdas.
Este documento describe el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra calcular cuatro determinantes: el determinante principal y un determinante para cada incógnita. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo calcular cada determinante y usar sus valores para encontrar las soluciones del sistema.
Exercise 2 1 - area under the curve 2020Edgar Mata
El documento presenta un ejercicio de cálculo integral que pide determinar el área bajo la curva para tres funciones entre diferentes límites usando integración. Proporciona enlaces a artículos que explican las fórmulas de integración y pide trazar gráficas con toda la información requerida.
Este documento presenta las instrucciones para resolver problemas de razonamiento con dos incógnitas. Se divide en 4 pasos: 1) entender el problema y crear un diagrama con las cantidades desconocidas, 2) configurar un plan para obtener ecuaciones, 3) resolver el sistema de ecuaciones gráficamente o algebraicamente para encontrar los valores de las incógnitas, y 4) verificar la respuesta y comprobar que se cumplan las condiciones del problema original.
1. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Resolución de sistemas de 2x2.
Los métodos que estudiaremos son cuatro:
Los métodos de solución. 1. Método gráfico
Los sistemas de 2x2 pueden ser re- Métodos analíticos o algebraicos:
sueltos por diferentes métodos.
2. Reducción o suma—resta
Con excepción del método gráfico, en
todos los casos se trata de eliminar 3. Sustitución
una de las incógnitas y resolver una 4. Igualación
ecuación de primer grado con una
incógnita. Durante la resolución de los ejercicios identifica las ventajas y desventajas de
cada método. Además observa cómo, en cualquiera de los métodos algebraicos ,
Dependiendo del artificio que se se elimina una de las incógnitas y sólo hay que resolver una ecuación de primer
emplea para eliminar una de las in- grado con una incógnita.
cógnitas, es el nombre que recibe el Independientemente del método empleado, el valor de la incógnita que se obtie-
método: reducción, sustitución o ne primero, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obte-
igualación. ner el valor de la segunda incógnita.
Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas también surgen de problemas
de razonamiento. Completa el siguiente problema desde su planteamiento hasta la
solución por el método gráfico.
El método gráfico.
Como su nombre lo indica, consiste en representar gráficamente las ecuaciones y determinar,
por observación, las coordenadas del punto de intersección. Estas coordenadas son la solución
del problema.
1. La fábrica de playeras “Juana Watson” tiene costos fijos de $17000 por mes y el costo unitario
es de $100. El precio de venta de las playeras es de $120 la pieza. Encuentra las ecuaciones de
costo y de ingreso para esta fábrica, determina las ganancias mensuales si se venden 1200
piezas y encuentra el punto de equilibrio, es decir, la cantidad de piezas que se deben fabricar
y vender para que no haya pérdidas ni ganancias.
* Para simplificar el modelo, se supondrá que todas las piezas fabricadas, se venden
La ecuación de costo o función de costo se determina sumando el costo fijo más el costo va-
riable, pero debemos tener en cuenta que el costo variable depende del número de piezas
que se fabriquen, este número de piezas será la incógnita equis (x). El costo total se puede
representar como CT.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
http://licmata-math.blogspot.mx 15
2. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Vamos a utilizar la tabla que siempre hemos empleado para organizar la información.
Información que podemos Expresada en len-
Cantidad desconocida Argumentos o razones
utilizar guaje algebraico
No tenemos información acerca del núme-
Piezas producidas Incógnita x
ro de piezas que se van a producir.
Se supone que se venden Cantidades iguales se representan con la
Piezas vendidas x
todas las piezas fabricadas misma incógnita
Cantidades diferentes se representan
Costo total Incógnita y
con distintas incógnitas
En el punto de equilibrio, los ingre- Se representa con la misma incógnita que
Ingresos y
sos son iguales al costo total el costo total.
Conocimientos o información complementaria: Obtención de la ecuación:
El costo total se calcula sumando los costos fijos y los varia- CT = CF + CU (NP)
bles. Los costos variables se obtiene multiplicando el costo
unitario por la cantidad de piezas producidas. Costo total: y = 17000 + 100 (x)
C Total = C Fijo + C Unitario x Número de piezas.
El ingreso se obtiene multiplicando número de piezas vendi- Ingreso: ______________________________
das por el precio de venta.
Resolución del sistema de 2x2: Solución del problema:
La solución se lleva a cabo por separado, en este recuadro anota solamente
las ecuaciones con la variable ‘y’ despejada, y la solución del sistema, es
decir, los valores de x, y.
Ecuación 1: y = _____________________________
Ecuación 2: y = _____________________________
Valores de las incógnitas:
x = _______________
y = _______________
Procedimiento de solución de un sistema de 2x2 por el método gráfico.
Tabulación de las ecuaciones ya despejadas. Tomar tres valores de equis para asegurar que
el trazo es correcto.
Recta 1 Recta 2
x y = __________________ x y = ____________________
http://licmata-math.blogspot.mx 16
3. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Trazo de las gráficas de las dos rectas. Cada división de los ejes de coordenadas puede ser
igual a 1, 2, 500 ó lo que haga falta, sólo es necesario que todas tengan el mismo valor.
Coordenadas del punto de intersec-
ción, a simple vista.
x = ______________
y = ______________
Comprueba el resultado del sistema
sustituyendo en ambas ecuaciones.
Anota el resultado del problema. Recuerda que debes responder la pregunta o preguntas plantea-
das en el mismo.
Competencias básicas. El uso de dos incógnitas, ¿facilita o dificulta el análisis del
problema? Explica tu respuesta.
Análisis del procedimiento
Comparación del uso de una
incógnita contra el uso de dos.
Nivel de dificultad para plantear ¿Qué opinas acerca del método gráfico?
el problema con dos incógnitas.
Comentarios generales acerca
del método gráfico. Al trazar las rectas puede ocurrir que no se corten en nin-
¿Qué sucede si las rectas no se gún punto. ¿Cómo se determina la solución en este caso?
cortan en ningún punto? ¿Cómo
se encuentra la solución
¿Qué sucede cuando las rectas
se empalman una con otra? Es
También puede suceder que las rectas queden una sobre
decir, coinciden en todos sus
puntos. la otra. ¿Cuál es la solución?
http://licmata-math.blogspot.mx 17
4. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
(Continuación) Resuelve los siguientes problemas empleando el
método gráfico (utiliza el formato F2).
1. En la fábrica de radiadores “Bryan Sandoval” se ha determinado que las ventas de radiado-
res serán de 900 unidades el próximo mes. El precio de venta por unidad es de $1,650. Los
costos fijos ascienden a $750,000 y los variables son de $990 por pieza. ¿Habrá pérdidas o
ganancias el próximo mes? ¿Cuál es el número de piezas mínimo que se debe vender para
que no haya pérdidas ni ganancias? Si las ventas aumentan 200 unidades por mes ¿en cuán-
tos meses la ganancia será mayor o igual a $1’000,000?
2. El gerente de ingeniería propone llevar a cabo una mejora en el proceso de fabricación de
los radiadores “Bryan Sandoval”. Esta mejora reducirá el costo variable a $900 por pieza,
pero a costa de elevar los costos fijos a $900,000 por mes. Resuelve nuevamente el proble-
ma considerando que los demás datos permanecen constantes y determina si la propuesta
del gerente es conveniente o no para la empresa. Argumenta claramente tu respuesta.
3. El gerente de ingeniería propone llevar a cabo una mejora en el proceso de fabricación de
las playeras “Juana Watson”. Esta mejor reducirá el costo variable a $85 por pieza, pero a
costa de elevar los costos fijos a $20,000 por mes. Resuelve nuevamente el problema de las
playeras considerando que los demás datos permanecen constantes y determina si la pro-
puesta del gerente es conveniente o no para el empresa. Argumenta claramente tu respues-
ta.
4. En la fabrica de impresoras “Dariela Espinoza” se ha determinado que las ventas de impre-
soras láser a color serán de 1700 unidades el próximo mes. El precio de venta por unidad es
de $3,970. Los costos fijos ascienden a $1’860,000 y los variables son de $2,720 por pieza.
¿Habrá pérdidas o ganancias el próximo mes? ¿Cuál es el número de piezas mínimo que se
debe vender para que no haya pérdidas ni ganancias? Si las ventas aumentan 200 unidades
por mes ¿en cuántos meses la ganancia será mayor o igual a $1’500,000?
5. El gerente de ingeniería propone llevar a cabo una mejora en el proceso de fabricación de
las impresoras láser a color “Dariela Espinoza”. Esta mejor reducirá el costo variable a $2500
por pieza, pero a costa de elevar los costos fijos a $2’000,000 por mes. Resuelve nuevamen-
te el problema de las impresoras láser a color considerando que los demás datos permane-
cen constantes y determina si la propuesta del gerente es conveniente o no para el empre-
sa. Argumenta claramente tu respuesta.
6. En la fabrica de impresoras “Dariela Espinoza” se ha estado comprando un componente cu-
yo costo unitario es de $1100 por pieza, más costos de manejo y transporte de $200 por
pieza. Se está estudiando la posibilidad de fabricar el componente en la empresa, lo cual
requiere un costo fijo de $500,000 y un costo variable de 890 por pieza. ¿Es conveniente
fabricar el componente o seguir comprándolo como hasta ahora?
http://licmata-math.blogspot.mx 18
5. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Resuelve los siguientes ejercicios por el método gráfico.
1. Ecuación uno: 2x - y = 4 Ecuación dos: x + y = 5
Tabulación de las ecuaciones ya despejadas. Tomar tres valores para asegurar que el trazo
es correcto.
Recta 1 Recta 2
x y = __________________ x y = ____________________
Trazo de las gráficas de las dos rectas. Cada división de los ejes de coordenadas puede ser
igual a 1, 2, ó lo que haga falta, sólo es necesario que todas tengan el mismo valor.
Coordenadas del punto de
intersección, a simple vista.
x = ______________
y = ______________
Comprueba el resultado del
sistema sustituyendo en am-
bas ecuaciones.
http://licmata-math.blogspot.mx 19
6. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
2. Ecuación uno: 2x + y = -5 Ecuación dos: x + 3y = 6
Tabulación de las ecuaciones ya despejadas. Tomar tres valores para asegurar que el trazo
es correcto.
Recta 1 Recta 2
x y = __________________ x y = ____________________
Trazo de las gráficas de las dos rectas. Cada división de los ejes de coordenadas puede ser
igual a 1, 2, ó lo que haga falta, sólo es necesario que todas tengan el mismo valor.
Coordenadas del punto de
intersección, a simple vista.
x = ______________
y = ______________
Comprueba el resultado del
sistema sustituyendo en am-
bas ecuaciones.
Asegúrate de trazar las rectas con la mayor precisión posible, de otra forma la solución no es correcta y
tendremos que estar “ajustando” el valor de las incógnitas para que la comprobación sea correcta.
http://licmata-math.blogspot.mx 20
7. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
3. Ecuación uno: 2x + 3y = 3 Ecuación dos: 4x + 6y = 12
Tabulación de las ecuaciones ya despejadas. Tomar tres valores para asegurar que el trazo
es correcto.
Recta 1 Recta 2
x y = __________________ x y = ____________________
Trazo de las gráficas de las dos rectas. Cada división de los ejes de coordenadas puede ser
igual a 1, 2, ó lo que haga falta, sólo es necesario que todas tengan el mismo valor.
Coordenadas del punto de
intersección, a simple vista.
x = ______________
y = ______________
Comprueba el resultado del
sistema sustituyendo en am-
bas ecuaciones.
Si la solución del sistema es el punto de intersección de las rectas, ¿cómo podemos interpretar el hecho de
que las rectas no se tocan en ningún punto?
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
http://licmata-math.blogspot.mx 21
8. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Soluciones de sistemas de 2x2.
La solución de un sistema de ecuaciones por el método gráfico
tiene la ventaja de mostrar visualmente el comportamiento de las
ecuaciones.
Sólo es cuestión de interpretar la información visual y ponerla en
términos matemáticos.
Cuando las rectas se cortan en un punto, las coordenadas de ese
punto son la solución del sistema.
Clasificación de sistemas de 2x2.
Cuando las rectas son paralelas, no se tocan en ningún punto, así
Los sistemas de ecuaciones se que el sistema no tiene solución.
clasifican de acuerdo con el
Cuando las rectas se empalman una con otra, se tocan en todos
comportamiento de las solucio-
sus puntos, de modo que el sistema tiene infinidad de soluciones.
nes del mismo: Consistentes,
independientes, etc.
Consulta la clasificación de los sistemas de ecuaciones, resuelve los siguientes ejer-
cicios y clasifícalos de acuerdo a la consulta realizada..
Resuelve los ejercicios obteniendo 10 fotocopias del Formato 2 y anota aquí solamente lo que se
indica.
Ecuación 1 Ecuación 2 Solución Clasificación
1. 4x - 6y = 2 -6x + 9y = -3 x = _____ y = _____ ______________________________
2. 2x + 5y = – 6 – x + 3y = 3 x = _____ y = _____ ______________________________
3. 5x + 3y = 3 3x – y = 13 x = _____ y = _____ ______________________________
4. 4x – 6y = 8 – 6x + 9y = – 12 x = _____ y = _____ ______________________________
5. – 2x + y = 3 4x – 2y = – 5 x = _____ y = _____ ______________________________
6. 12x-10 y =5 -3x + 2.5y = 4 x = _____ y = _____ ______________________________
7. 4x + 3y = – 2 x+y=1 x = _____ y = _____ ______________________________
8. – 2x + 7y = 1 4x – 14y = – 2 x = _____ y = _____ ______________________________
9. 3x – 2y = 1 –x+y=2 x = _____ y = _____ ______________________________
10. 2x – 7y = – 2 – 2x + 9y = – 2 x = _____ y = _____ ______________________________
http://licmata-math.blogspot.mx 22
9. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Otros métodos de solución de
sistemas de 2x2. Soluciones algebraicas de sistemas de 2x2.
Anota tres desventajas del método gráfico:
1. _________________________________________________
2. _________________________________________________
3. _________________________________________________
El método gráfico tiene venta-
jas para resolver sistemas de Por estas y otras desventajas, vamos a estudiar tres métodos algebraicos para la
2x2, pero también presenta solución de sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
algunas desventajas, por ello, Los tres métodos emplean algún artificio algebraico para eliminar una de las
se recurre frecuentemente a incógnitas y obtener una ecuación de primer grado con una incógnita, que se
resuelve despejando.
métodos analíticos o algebrai-
cos de solución. Uno de los pasos del procedimiento en cada caso es el que le da nombre al mé-
todo.
Resuelve el siguiente problema de razonamiento empleando dos incógnitas. Des-
pués trata de resolver el sistema resultante por el método gráfico y toma nota de
las dificultades que encuentres.
1. La fábrica de artefactos UTT cuenta con dos plantas de producción. En la planta 1 los costos
fijos son de $ 12000 por año y los costos variables son de $70 por pieza. En la planta 2 los cos-
tos fijos son de $15000 por año y los variables de $60 por pieza producida. El año próximo se
requiere producir un total de 1200 piezas. Si se desea que el costo total sea el mismo en las
dos plantas, ¿cuántas piezas deben fabricarse en cada planta?
El planteamiento del problema ya lo conocemos, completa la tabla siguiente.
Cantidad desconoci- Información que podemos Expresada en len-
Argumentos o razones
da utilizar guaje algebraico
Piezas producidas en
la planta 1
Piezas fabricadas en
la planta 2
Costo total en la
planta 1
Costo total en la
planta 2
*No olvides considerar dos incógnitas.
http://licmata-math.blogspot.mx 23
10. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ahora vamos a obtener las ecuaciones y resolver por el método gráfico.
Conocimientos o información complementaria: Obtención de las ecuaciones:
El costo total se calcula sumando los costos fijos y los varia- CT = CF + CU (NP)
bles. Los costos variables se obtiene multiplicando el costo
unitario por la cantidad de piezas producidas. Planta 1: y =
C Total = C Fijo + C Unitario x Número de piezas. Planta 2: y =
Deben obtenerse dos ecuaciones, una para cada planta.
Resolución del sistema de 2x2: Solución del problema:
La solución se lleva a cabo por separado, en este recuadro anota solamente
las ecuaciones con la variable ‘y’ despejada, y la solución del sistema, es
decir, los valores de x, y.
Ecuación 1: y = _____________________________
Ecuación 2: y = _____________________________
Valores de las incógnitas:
x = _______________
y = _______________
Ahora vamos a resolver el sistema por el método gráfico.
Tabulación de las ecuaciones ya despejadas. Tomar tres valores para asegurar que el trazo
es correcto.
Recta 1 Recta 2
x y = __________________ x y = ____________________
Trazo de las gráficas de las dos rectas. Cada división de los ejes de coordenadas puede ser
igual a 1, 2, ó lo que haga falta, sólo es necesario que todas tengan el mismo valor.
La gráfica está a la vuelta.
http://licmata-math.blogspot.mx 24
11. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Gráfica del sistema:
Coordenadas del punto de intersección, a simple vista. Comprobación
x = ______________ y = ______________
Justamente esta es una de las desventajas del método gráfico; no siempre es sencillo determinar las coor-
denadas del punto de intersección. Tal vez podamos acertar en algunos casos probando valores y ajustan-
do hasta que la comprobación nos indique que la respuesta es correcta, pero es preferible emplear otros
métodos.
http://licmata-math.blogspot.mx 25
12. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Cuando las coordenadas del punto de intersección de las rectas no son fáciles de estimar a simple vista, es
preferible recurrir a métodos algebraicos, veamos el procedimiento para el método de igualación.
Como ya dijimos, en los métodos algebraicos la estrategia consiste en tomar las dos ecuaciones con dos
incógnitas y obtener una ecuación de primer grado con una incógnita.
Despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita. En este caso ya está despejada la ‘y’, así que sim-
plemente escribimos las dos ecuaciones:
Ecuación Ecuación
1 2
“Igualar” las dos ecuaciones,
aplicando la propiedad transiti-
va de la igualdad.
=
Resolver la ecuación de primer grado que se obtuvo en el paso anterior, obtener el valor de equis.
Valor de la
incógnita:
___ =
Sustituir el valor de equis en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas para obtener el valor de
ye.
Valor de la
incógnita:
___ =
Comprobar el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones.
http://licmata-math.blogspot.mx 26
13. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Resuelve los siguientes ejercicios por el método de igualación. Com-
prueba el resultado en todos los problemas. Utiliza el Formato 3 para
el planteamiento del problema y el 4 para la solución del sistema.
1. La máquina de Atwood consiste de una polea simple con dos masas suspendidas de
ambos extremos de una cuerda (ver figura). Determina la tensión en la cuerda y la
aceleración del sistema al ser liberado. Las ecuaciones se obtendrán por medio de
conocimientos de física, específicamente del la segunda ley de Newton. En vista de
que la finalidad es dar un ejemplo de aplicación, se proporcionan las ecuaciones que
describen el comportamiento del sistema para ambas masas:
T = m1 g + m1 a T = m 2 g – m2 a
T = Tensión en la cuerda g = aceleración de la gravedad a = aceleración del sistema
2. Secundino, la tortuga, sale del punto de partida y mantiene una velocidad de 9 km/h. Cinco minutos
más tarde, Vittorio, la liebre, sale del mismo lugar y hace el mismo recorrido con una velocidad de 12
km/h. ¿En cuánto tiempo alcanza el segundo corredor al primero? ¿Qué distancia han recorrido cuando
lo alcanza?
Los siguientes ejercicios solamente son sistemas de 2x2, resuélvelos por igualación en el formato 4.
3. Ecuación 1: x - 2y = 6 Ecuación 2: x + 3y = -9
4. Ecuación 1: 3x - y = 5 Ecuación 2: x + 7y = -4
5. Ecuación 1: 6x - 7y = 2 Ecuación 2: 4x + 8y = 11
6. Ecuación 1: -9x - 5y = 2 Ecuación 2: 4x - 7y = -12
7. Ecuación 1: 2x = 5y - 4 Ecuación 2: 5x = -7y -10
8. Ecuación 1: 2x = 5y - 3 Ecuación 2: 7y = -5x -10
9. Ecuación 1: 3y = 5x - 9 Ecuación 2: 6y = -4x -11
10.Ecuación 1: 7x = 5y + 6 Ecuación 2: 10y = 14x -12
Este último ejercicio (10) presenta características espe-
ciales. Resuélvelo gráficamente en el formato 2 y podrás
entender qué sucede. Traza la gráfica en el plano de
coordenadas de la derecha.
Explica detalladamente qué sucede con este problema.
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
http://licmata-math.blogspot.mx 27
14. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
El método de reducción emplea un artificio de suma algebraica para eliminar una de las incógnitas, por eso
recibe el nombre de suma-resta o de eliminación.
Independientemente del método que utilicemos para resolver el sistema de ecuaciones, estos provienen
del planteamiento de un problema.
Plantea el siguiente problema empleando un sistema de 2x2 , luego re-
suélvelo por el método de reducción.
1. ¿Qué cantidad de ácido clorhídrico al 22% se debe mezclar con 60
ml de ácido clorhídrico al 8% para obtener el ácido al 12% que se
requiere en cierto experimento?
Para plantear el problema debes recordar que el porcentaje de
concentración indica el contenido de ácido por unidad de volumen,
es decir, de cada litro sólo un 22% es ácido (220 ml), el resto es di-
solvente.
Vamos a considerar dos cantidades desconocidas, ¿cuáles son?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Además de estas dos cantidades desconocidas, será necesario emplear otras dos, relacionadas con la
concentración (contenido) del ácido en cuestión.
Cantidad desconoci- Información que podemos Expresada en len-
Argumentos o razones
da utilizar guaje algebraico
Obtención de las ecuaciones a la vuelta.
http://licmata-math.blogspot.mx 28
15. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Completa la información faltante en la siguiente tabla.
Conocimientos o información complementaria: Obtención de las ecuaciones:
Resolución del sistema de 2x2: Solución del problema:
La solución se lleva a cabo por separado, en este recuadro anota solamente
las ecuaciones con la variable ‘y’ despejada, y la solución del sistema, es
decir, los valores de x, y.
Ecuación 1: y = _____________________________
Ecuación 2: y = _____________________________
Valores de las incógnitas:
x = _______________
y = _______________
Aplicación del método de reducción para determinar el valor de las incógnitas.
Ordenar las ecuaciones en forma general: Ax + By = C
Ecuación 1 Ecuación 2
Multiplicar cada ecuación por un número tal que, al sumarse algebraicamente, se elimine una de las
incógnitas.
Multiplicada
Ecuación 1
por _____
Multiplicada
Ecuación 2
por _____
Se obtiene sumando algebraicamente las dos ecuacio-
Ecuación 3
nes de la derecha.
Tercer paso a la vuelta.
http://licmata-math.blogspot.mx 29
16. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Resolver la ecuación de primer grado que se obtuvo en el paso anterior
Valor de la
(Ecuación 3) para obtener el valor de una de las incógnitas (despejar). ___ =
incógnita:
Sustituir el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las
Valor de la
otras dos ecuaciones para obtener el valor de la incógnita faltante. incógnita:
___ =
Comprobar el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones.
Explica el procedimiento para elegir por cuánto debe multiplicarse cada ecuación para eliminar una de las
incógnitas.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
http://licmata-math.blogspot.mx 30
17. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Resuelve los siguientes ejercicios por el método de reducción. Com-
prueba el resultado en todos los problemas. Utiliza el Formato 3 para
el planteamiento del problema y el 5 para la solución del sistema.
1. Dos automóviles salen del mismo punto y viajan en direcciones opuestas. El auto ‘A’ viaja 15 km/h más
rápido que el ‘B’. Después de tres horas se encuentran a una distancia de 465 km uno de otro. ¿A qué
velocidad está viajando cada automóvil? ¿Y qué distancia recorrió cada automóvil?
2. Piolín Adame tiene $15,000 invertidos al 5.4% de interés. ¿Cuánto debe invertir al 12% para que su in-
versión total le deje una ganancia del 6.6%?
Los siguientes ejercicios solamente son sistemas de 2x2, resuélvelos por reducción en el formato 5.
3. Ecuación 1: 3x + 4y = -1 Ecuación 2: 2x - 2y = 11
4. Ecuación 1: 3x + 2y = 2 Ecuación 2: 4x - 5y = -28
5. Ecuación 1: x - y = 2 Ecuación 2: -5x + 5y = -10
¿Qué sucedió en este último ejercicio? _______________________________________________________
¿Cómo vamos a despejar ? _________________________________________________________________
Seguramente tienes una idea de lo que está sucediendo. Explícalo:
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Resuelve el ejercicio gráficamente en
el formato 2 para entender qué suce-
de. Traza la gráfica en el plano de
coordenadas de la derecha.
Explica detalladamente qué sucede
con este problema.
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
http://licmata-math.blogspot.mx 31
18. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Al igual que en los otros métodos analíticos, la estrategia consiste en obtener una ecuación con una sola
incógnita. El procedimiento se basa en despejar una de las incógnitas y sustituir el resultado en la otra
ecuación.
Plantea el siguiente problema con un sistema de 2x2, luego resuélvelo
por el método de sustitución.
1. Los boletos para el concierto de Mago de Oz se vendieron a $550 los de VIP y a
$375 los numerados. Si la venta total de 520 boletos fue de $244,875 ¿cuántos
boletos de cada clase se vendieron?
¿Cuáles son las cantidades desconocidas?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Completa las tablas siguientes.
Cantidad desconoci- Información que podemos Expresada en len-
Argumentos o razones
da utilizar guaje algebraico
Conocimientos o información complementaria: Obtención de las ecuaciones:
http://licmata-math.blogspot.mx 32
19. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Completa la tabla siguiente después de resolver el sistema de ecuaciones.
Resolución del sistema de 2x2: Solución del problema:
La solución se lleva a cabo por separado, en este recuadro anota solamente
las ecuaciones con la variable ‘y’ despejada, y la solución del sistema, es
decir, los valores de x, y.
Ecuación 1: y = _____________________________
Ecuación 2: y = _____________________________
Valores de las incógnitas:
x = _______________
y = _______________
Aplicación del método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.
Despejar en cualquiera de las dos ecuaciones una de las incógnitas, puede ser equis o ye.
Ecuación Despejar incóg-
número ___ nita _____
Sustituir en la otra ecuación.
Ecuación
Sustituyendo
número ___
Resolver la ecuación de primer grado que se obtuvo en el paso anterior para obtener el valor de una
de las incógnitas (despejar).
Valor de la
incógnita:
___ =
Sustituir el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas para ob-
tener el valor de la incógnita faltante.
Valor de la
incógnita:
___ =
http://licmata-math.blogspot.mx 33
20. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Comprobar el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones.
Plantea los siguiente problemas de razonamiento empleando dos in-
cógnitas (Formato 3), luego resuelve el sistema por el método de sus-
titución (Formato 6).
1. Leonorildo Daniel compró un automóvil que, según la publicidad, ofrecía un rendi-
miento de 12 km por litro de gasolina en la ciudad y 18 km/l en la carretera. En un
viaje de negocios utilizó 51 litros de gasolina ara recorrer 840 km. Si suponemos que
el rendimiento anunciado es correcto, ¿cuántos kilómetros recorrió en la ciudad y
cuántos en carretera?
2. Abigail Ford y Alejandro Chevrolet tienen radiotransmisores con un alcance máximo de 4.5
km. Abigail comienza a caminar hacia el oeste a las 2:00 de la tarde con una velocidad de 4
km/h. Alejandro sale del mismo lugar 18 minutos más tarde y camina hacia el este con una
velocidad de 5 km/h. ¿A qué hora los radios van a estar fuera de alcance?
3. Ecuación 1: x - 2y = 6 Ecuación 2: x + 3y = -9 En los ejercicios del 3 al 10 sólo resuélve-
los por el método de sustitución.
4. Ecuación 1: 3x - y = 5 Ecuación 2: x + 7y = -4
Si se presenta algún sistema que no tenga
5. Ecuación 1: 6x - 7y = 2 Ecuación 2: 4x + 8y = 11 solución, o tenga infinidad de ellas, resuél-
velo también por método gráfico (Formato
6. Ecuación 1: -9x - 5y = 2 Ecuación 2: 4x - 7y = -12 2) para observar que sucede.
7. Ecuación 1: 2x = 5y - 4 Ecuación 2: 5x = -7y -10 No olvides clasificar los sistemas con base
en el número de soluciones que tiene: Con-
8. Ecuación 1: 2x = 5y - 3 Ecuación 2: 7y = -5x -10 sistentes, dependientes, etc.
9. Ecuación 1: 3y = 5x - 9 Ecuación 2: 6y = -4x -11
10.Ecuación 1: 7x = 5y + 6 Ecuación 2: 10y = 14x -12
Competencias básicas. Inventa un problema de razonamiento que se pueda resolver con un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas.
Capacidad de síntesis
Elabora el planteamiento en el formato 3, y resuélvelo por todos los métodos em-
Observa atentamente las carac-
terísticas de los problemas de
pleando los formatos 2,4,5 y 6.
razonamiento.
Compara los procedimientos y resultados obtenidos destacando los puntos más
Identifica qué datos se necesita difíciles del proceso de solución.
proporcionar Trata de ser original, no solamente cambies los datos.
http://licmata-math.blogspot.mx 34
21. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Espacio para el problema inventado por el alumno.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Competencias básicas. ¿Cómo afecta el uso de dos incógnitas al planteamiento de cualquier problema?
Análisis de los métodos
Análisis de la solución de proble-
mas con una y dos incógnitas. ¿Qué ventajas presenta el método gráfico contra los métodos algebraicos?
Comparación entre el método
gráfico y los métodos algebrai-
cos.
¿Qué desventajas presenta el método gráfico contra los métodos algebraicos?
Análisis de los métodos algebrai-
cos
Comparación entre los diversos
¿Cuál es la estrategia fundamental de los métodos algebraicos?
métodos algebraicos.
Sistemas con una solución, infini-
dad de soluciones y sin solución
en cada método ¿Qué sucede en cada método cuando el sistema no tiene solución?
Clasificación de los sistemas con
M. de igualación: _____________________________________________________
base en sus soluciones. M. de reducción: _____________________________________________________
Una solución: M. de sustitución: ____________________________________________________
___________________________
Infinidad de Soluciones:
¿Qué sucede en cada método cuando el sistema tiene infinidad de soluciones?
___________________________
Ninguna solución: M. de igualación: _____________________________________________________
___________________________ M. de reducción: _____________________________________________________
M. de sustitución: ____________________________________________________
Comentarios generales:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
http://licmata-math.blogspot.mx 35
22. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Proyecto integrador: Elabora una hoja de cálculo en Excel que resuelva sistemas de
dos ecuaciones con dos incógnitas por el método que se te indique.
Características del proyecto, lista de verificación.
1. Entregar a tiempo, valor total del trabajo = 100 puntos
2. Entregar un día después, valor total = 50 puntos
3. Enviar por email 10 puntos
4. Funciona con un ejemplo 10 puntos
5. Funciona con diferentes ejemplos 20 puntos
6. No indica errores al faltar datos 15 puntos
7. Contiene explicaciones acerca del método 10 puntos
8. Contiene explicaciones acerca del uso 10 puntos
9. Incluye las gráficas de las rectas 15 puntos
10.Muestra claramente todos los pasos 10 puntos
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolver el sistema por el método gráfico.
Sistema de ecuaciones que se va a resolver.
+1 x +3 y = -5
+5 x -5 y = + 15 Comprobación:
Tabulación: En la ecuación 1
Recta 1 Recta 2 +1 x +3 y = -5
x y x y +1 (1) +3 ( -2 ) = -5
-8 1.00 -8 -11.00 + 1.0 - 6.0 = -5
-2 -1.00 -2 -5.00 - 5.0 = -5
-1 -1.33 -1 -4.00 Exacto
0 -1.67 0 -3.00
+1 -2.00 +1 -2.00
+2 -2.33 +2 -1.00
+8 +8 En la ecuación 2
-4.33 5.00
La solución se encuentra en el punto +5 x -5 y = + 15
de intersección de las rectas: +5 (1) -5 ( -2 ) = + 15
+ 5.0 + 10.0 = + 15
x = + 1.0 + 15.0 = + 15
y= - 2.0 Exacto
En todos los métodos debe aparecer la gráfica para mostrar visualmente cuando el sistema no tiene
solución, cuando tiene una solución y cuando tiene infinidad de soluciones.
Utiliza la herramienta de Excel “Insertar comentario” para incluir explicaciones más detalladas cuando sea
pertinente.
http://licmata-math.blogspot.mx 36