Este documento describe la distribución tetraédrica de los coeficientes de un tetranomio (x1 + x2 + x3 + x4) elevado a la potencia m. Explica que estos coeficientes, llamados coeficientes tetranomiales, se distribuyen en uno o más tetraedros regulares de caras y base triangular. Presenta gráficos de esta distribución para valores de m de 1 a 8, mostrando cómo los coeficientes se agrupan en tetraedros principales y secundarios de acuerdo con el número de veces que aparecen.
Coeficientes multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m .teore...Enrique Ramon Acosta Ramos
1) El documento describe el teorema multinomial y cómo se pueden calcular los coeficientes multinomiales para expandir un polinomio elevado a la potencia m. 2) Presenta una nueva versión del teorema multinomial que especifica los valores que toman las variables ni de manera explícita. 3) Muestra un ejemplo numérico para r=4 y m=6.
El documento explica cómo generalizar el triángulo de Pascal mediante el uso de coeficientes multinomiales. Define multinomiales como el producto de coeficientes binomiales sucesivos y muestra cómo esto permite construir triángulos de coeficientes para trinomiales, tetranomiales y polinomiales más altos como análogos del triángulo de Pascal. También resume brevemente la historia y propiedades básicas del triángulo de Pascal.
En este trabajo, sacamos a la luz algunas propiedades prácticamente desconocidas del triángulo de Pascal en referencia a ciertos productos internos curiosos como el producto escalar de las sucesiones paralelas y la multiplicación triangular, y a algunos productos externos importantes como el producto de ampliación dimensional, donde establecemos una forma práctica y sencilla de obtener los coeficientes de un polinomio de r elementos, elevado a una potencia m, a partir de los coeficientes de un polinomio de r-1 elementos elevado a la misma potencia m, aplicado a la cadena de coeficientes binomiales-trinomiales y tetranomiales, y su generalización dada por la propiedad extensiva del producto de ampliación dimensional. Adicionalmente, abordamos el producto de nivel incremental, que nos permite pasar de un plano ∆_k, a otro de un valor superior de k.
Como obtener expresiones que contengan al número π y al logaritmo natural de ...Enrique Ramon Acosta Ramos
El documento describe métodos para obtener expresiones de π y el logaritmo natural de 2 a partir del triángulo numérico de Pascal. Explica que el triángulo de Pascal puede representar los coeficientes del binomio de Newton y que sus elementos pueden escribirse como números combinatorios. También describe sucesiones diagonales en el triángulo y cómo la suma de sus términos está relacionada con combinaciones con repetición. Finalmente, menciona una fórmula antigua para obtener π a partir de una serie infinita de fracciones basadas
Trata de la distribución 3D de las permutaciones con repetición en un espacio prismático, ello permite entre otras aplicaciones la obtención del n⁰ de posibles caminos unitarios, en redes espaciales cúbicas o prismáticas.
La distribución espacial de permutaciones con repetición, asociadas a la distribución de puntos de coordenadas enteras y positivas en un espacio 3D, es interpretada como el número de caminos posibles y diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos en dirección Z⁺.
Esta distribución prismática de permutaciones con repetición resulta confinada en planos ∆_k, paralelos al plano 〖0X⁺Y〗^+ , y puede interpretarse como una expansión 3D de los números figurados o combinatorios, donde la distribución plana correspondiente a ∆_0, o triángulo de Pascal, corresponde solo al caso particular, cuando k=0.
Los resultados obtenidos, conectan directamente al “Prisma Combinatorio”, con las Sucesiones Paralelas que conforman la estructura interna de ∆_0, (y la del propio Prisma), y también con los procedimientos ya estudiados, respecto a la determinación y cálculo de los coeficientes básicos de un polinomio potenciado, y del n⁰ de veces en que aparece c/u de ellos en el desarrollo del mismo.
El documento describe diferentes formas de representar una recta en el plano, incluyendo la ecuación vectorial, paramétrica, continua y general. También explica cómo determinar la posición relativa de dos rectas y calcular distancias entre puntos y un punto a una recta.
Coeficientes multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m .teore...Enrique Ramon Acosta Ramos
1) El documento describe el teorema multinomial y cómo se pueden calcular los coeficientes multinomiales para expandir un polinomio elevado a la potencia m. 2) Presenta una nueva versión del teorema multinomial que especifica los valores que toman las variables ni de manera explícita. 3) Muestra un ejemplo numérico para r=4 y m=6.
El documento explica cómo generalizar el triángulo de Pascal mediante el uso de coeficientes multinomiales. Define multinomiales como el producto de coeficientes binomiales sucesivos y muestra cómo esto permite construir triángulos de coeficientes para trinomiales, tetranomiales y polinomiales más altos como análogos del triángulo de Pascal. También resume brevemente la historia y propiedades básicas del triángulo de Pascal.
En este trabajo, sacamos a la luz algunas propiedades prácticamente desconocidas del triángulo de Pascal en referencia a ciertos productos internos curiosos como el producto escalar de las sucesiones paralelas y la multiplicación triangular, y a algunos productos externos importantes como el producto de ampliación dimensional, donde establecemos una forma práctica y sencilla de obtener los coeficientes de un polinomio de r elementos, elevado a una potencia m, a partir de los coeficientes de un polinomio de r-1 elementos elevado a la misma potencia m, aplicado a la cadena de coeficientes binomiales-trinomiales y tetranomiales, y su generalización dada por la propiedad extensiva del producto de ampliación dimensional. Adicionalmente, abordamos el producto de nivel incremental, que nos permite pasar de un plano ∆_k, a otro de un valor superior de k.
Como obtener expresiones que contengan al número π y al logaritmo natural de ...Enrique Ramon Acosta Ramos
El documento describe métodos para obtener expresiones de π y el logaritmo natural de 2 a partir del triángulo numérico de Pascal. Explica que el triángulo de Pascal puede representar los coeficientes del binomio de Newton y que sus elementos pueden escribirse como números combinatorios. También describe sucesiones diagonales en el triángulo y cómo la suma de sus términos está relacionada con combinaciones con repetición. Finalmente, menciona una fórmula antigua para obtener π a partir de una serie infinita de fracciones basadas
Trata de la distribución 3D de las permutaciones con repetición en un espacio prismático, ello permite entre otras aplicaciones la obtención del n⁰ de posibles caminos unitarios, en redes espaciales cúbicas o prismáticas.
La distribución espacial de permutaciones con repetición, asociadas a la distribución de puntos de coordenadas enteras y positivas en un espacio 3D, es interpretada como el número de caminos posibles y diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos en dirección Z⁺.
Esta distribución prismática de permutaciones con repetición resulta confinada en planos ∆_k, paralelos al plano 〖0X⁺Y〗^+ , y puede interpretarse como una expansión 3D de los números figurados o combinatorios, donde la distribución plana correspondiente a ∆_0, o triángulo de Pascal, corresponde solo al caso particular, cuando k=0.
Los resultados obtenidos, conectan directamente al “Prisma Combinatorio”, con las Sucesiones Paralelas que conforman la estructura interna de ∆_0, (y la del propio Prisma), y también con los procedimientos ya estudiados, respecto a la determinación y cálculo de los coeficientes básicos de un polinomio potenciado, y del n⁰ de veces en que aparece c/u de ellos en el desarrollo del mismo.
El documento describe diferentes formas de representar una recta en el plano, incluyendo la ecuación vectorial, paramétrica, continua y general. También explica cómo determinar la posición relativa de dos rectas y calcular distancias entre puntos y un punto a una recta.
Este documento describe el método de Frobenius para encontrar soluciones en serie de potencias para ecuaciones diferenciales ordinarias con singularidades regulares. Explica que las singularidades son puntos donde las funciones de la ecuación no son analíticas y divide las singularidades en regulares e irregulares. Para singularidades regulares, el método de Frobenius busca soluciones en la forma de una serie de Frobenius centrada en el punto singular, lo que permite determinar valores para los coeficientes que hacen que la serie sea una solución válida localmente.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
El triangulo de pascal o triangulo aritmetico y sus propiedades o caracterist...Enrique Ramon Acosta Ramos
Características o propiedades clásicas del Triángulo de Pascal recogidas en su tratado sobre el Triángulo Aritmético, en una version actualizada adaptada al lenguaje moderno de la combinatoria
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
1. El documento describe el método de series de potencias para encontrar soluciones analíticas a ecuaciones diferenciales ordinarias alrededor de puntos ordinarios.
2. Un punto es ordinario si los coeficientes de la ecuación pueden representarse como series de potencias convergentes en dicho punto.
3. El teorema fundamental establece que si el punto es ordinario, existe una única solución analítica representable como serie de potencias convergente en un intervalo alrededor de ese punto.
Este documento presenta la resolución de un ejercicio sobre flujo laminar de fluidos newtonianos entre dos cilindros coaxiales. Se describen las ecuaciones de continuidad y movimiento en coordenadas cilíndricas. Al aplicar las condiciones de flujo estacionario y circular, se obtienen expresiones para el perfil de velocidad tangencial. Finalmente, se integran estas ecuaciones y aplican las condiciones de frontera para hallar la velocidad tangencial como función del radio.
Este documento proporciona una introducción a las sucesiones, incluyendo definiciones de términos como término general, monotonía, acotación y límite de una sucesión. Explica cómo calcular el término de una posición dada y analiza ejemplos de sucesiones convergentes, divergentes y sin límite. También cubre operaciones con sucesiones convergentes y casos de indeterminación al calcular límites.
El triangulo de pascal o triangulo aritmetico sus 19 propiedades clasicas y s...Enrique Ramon Acosta Ramos
La idea central de este nuevo trabajo, es intentar hacer una analogía, entre las 19 “características” o propiedades del “Triángulo Aritmético” (que referiremos como T.A., y simbolizaremos como ∆_0), que describe Pascal en su famoso tratado, y las propiedades equivalentes, que podemos describir en nuestro “Prisma Combinatorio” (que referiremos como P.C.), considerado como una expansión espacial a la 3D, de dicho triángulo. *
Estas 19 propiedades o características del T.A., las hemos enunciado y demostrado, en un trabajo anterior (2018), que referenciaremos como “Actualizando las fuentes”, que pretende presentar y desarrollar dichas propiedades en un lenguaje matemático más actual, y característico de la ciencia Combinatoria, introduciendo algunas originalidades con respecto a la nomenclatura utilizada para el caso correspondiente de las sucesiones paralelas (S_m), o elementos básicos que conforman la estructura interna de dicho T.A.
Prisma combinatorio y su relacion con los coeficientes trinomiales 2016 revis...Enrique Ramon Acosta Ramos
Este documento describe el prisma combinatorio y su relación con los coeficientes trinomiales. Explica que el prisma combinatorio representa las permutaciones con repetición para avanzar en tres dimensiones (X+, Y+, Z+), y que la capa triangular Δ0 corresponde al triángulo de Pascal. También muestra que los coeficientes del desarrollo del trinomio (x1 + x2 + x3)m corresponden a los valores combinatorios espaciales en el prisma, relacionando así el prisma con los coeficientes trinomiales.
Este documento discute las conjeturas de Taniyama-Shimura y Langlands, las cuales fueron parcialmente demostradas por Andrew Wiles en su demostración del Teorema de Fermat. La conjetura de Taniyama-Shimura establece que todas las curvas elípticas son modulares, mientras que la conjetura de Langlands propone una correspondencia entre representaciones de Galois y formas automorfas. El documento también presenta ejemplos simples de cómo estas conjeturas se relacionan con la teoría de números y la demostra
En 1814 presentó un documento titulado "Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi“ donde introduce las fórmulas de cuadratura con el grado de exactitud mejorado considerablemente en comparación con las fórmulas de Newton-Cotes. Ésta será la cuadratura Gaussiana.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuación de una recta, pendiente de una recta, ecuaciones de una recta principal, general y canónica. Luego introduce sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como sustitución, igualación y reducción. Finalmente describe el método de Cramer para resolver sistemas. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
El documento define los números complejos, incluyendo su parte real e imaginaria. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos, así como expresarlos en forma polar usando el módulo y argumento. También cubre propiedades como el conjugado, opuesto y potencias de i.
El documento describe el método de Cholesky para descomponer una matriz simétrica definida positiva en el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta. Explica que la descomposición se realiza resolviendo ecuaciones de recurrencia y muestra un ejemplo numérico para ilustrar los pasos. También discute aplicaciones del método en ingeniería.
El documento explica los determinantes de matrices, incluyendo su cálculo para matrices de 2x2, 3x3 y más. Define los menores, cofactores y propiedades de los determinantes al realizar operaciones en filas/columnas. Explica que una matriz es singular si su determinante es 0 y da ejemplos de cuando esto ocurre.
Resumen de la unidad iii (analisis numerico) Mirian Rodriguezthaiz050681
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, descomposición LU, factorización de Cholesky, factorización QR, métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cada método con ejemplos para ilustrar los pasos de cada uno.
Este documento describe las particiones de números enteros, incluyendo particiones con repetición (composición de enteros) y particiones discretas. Explica que una partición es la forma de descomponer un número en una suma de uno o más sumandos positivos. Luego presenta una tabla triangular que muestra el número de particiones discretas de un número entero m en r cifras para cada caso de 0 < r ≤ m.
Este documento presenta una tabla que muestra las particiones de números enteros positivos m en r cifras significativas, para valores de m entre 0 y 18 y valores de r entre 1 y m. La tabla permite obtener tres tipos de particiones de un número entero m: particiones de m, particiones de m en r cifras significativas, y particiones discretas de m en r cifras. El documento analiza propiedades matemáticas de la tabla como patrones, sucesiones y relaciones entre los valores.
La distribución hiperespacial de los coeficientes de un pentanomio potenciado, en un cuerpo 4D, o Híper-tetraedro, es una inferencia casi automática de la cadena previa, establecida para la distribución lineal en el caso del binomio, la distribución plana triangular en el caso del trinomio, y la distribución tetraédrica 3D en el caso del tetranomio. El encadenamiento analógico, nos permitió plantear esta hipótesis, la cual pudo comprobarse (de una manera práctica), desglosando la estructura de cebolla de dicho híper-tetraedro, ya esbozada en el desarrollo del triángulo de Pascal extendido al caso pentanomial, para el cual, ya habíamos determinado todos los valores de cada nivel.
Es “evidente”, que para el caso de un hexsanomio potenciado, la distribución de sus coeficientes seguirá un patrón híper-híper tetraédrico, y así sucesivamente, para cualquier caso, un grado mayor.
Este documento describe el método de Frobenius para encontrar soluciones en serie de potencias para ecuaciones diferenciales ordinarias con singularidades regulares. Explica que las singularidades son puntos donde las funciones de la ecuación no son analíticas y divide las singularidades en regulares e irregulares. Para singularidades regulares, el método de Frobenius busca soluciones en la forma de una serie de Frobenius centrada en el punto singular, lo que permite determinar valores para los coeficientes que hacen que la serie sea una solución válida localmente.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
El triangulo de pascal o triangulo aritmetico y sus propiedades o caracterist...Enrique Ramon Acosta Ramos
Características o propiedades clásicas del Triángulo de Pascal recogidas en su tratado sobre el Triángulo Aritmético, en una version actualizada adaptada al lenguaje moderno de la combinatoria
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
1. El documento describe el método de series de potencias para encontrar soluciones analíticas a ecuaciones diferenciales ordinarias alrededor de puntos ordinarios.
2. Un punto es ordinario si los coeficientes de la ecuación pueden representarse como series de potencias convergentes en dicho punto.
3. El teorema fundamental establece que si el punto es ordinario, existe una única solución analítica representable como serie de potencias convergente en un intervalo alrededor de ese punto.
Este documento presenta la resolución de un ejercicio sobre flujo laminar de fluidos newtonianos entre dos cilindros coaxiales. Se describen las ecuaciones de continuidad y movimiento en coordenadas cilíndricas. Al aplicar las condiciones de flujo estacionario y circular, se obtienen expresiones para el perfil de velocidad tangencial. Finalmente, se integran estas ecuaciones y aplican las condiciones de frontera para hallar la velocidad tangencial como función del radio.
Este documento proporciona una introducción a las sucesiones, incluyendo definiciones de términos como término general, monotonía, acotación y límite de una sucesión. Explica cómo calcular el término de una posición dada y analiza ejemplos de sucesiones convergentes, divergentes y sin límite. También cubre operaciones con sucesiones convergentes y casos de indeterminación al calcular límites.
El triangulo de pascal o triangulo aritmetico sus 19 propiedades clasicas y s...Enrique Ramon Acosta Ramos
La idea central de este nuevo trabajo, es intentar hacer una analogía, entre las 19 “características” o propiedades del “Triángulo Aritmético” (que referiremos como T.A., y simbolizaremos como ∆_0), que describe Pascal en su famoso tratado, y las propiedades equivalentes, que podemos describir en nuestro “Prisma Combinatorio” (que referiremos como P.C.), considerado como una expansión espacial a la 3D, de dicho triángulo. *
Estas 19 propiedades o características del T.A., las hemos enunciado y demostrado, en un trabajo anterior (2018), que referenciaremos como “Actualizando las fuentes”, que pretende presentar y desarrollar dichas propiedades en un lenguaje matemático más actual, y característico de la ciencia Combinatoria, introduciendo algunas originalidades con respecto a la nomenclatura utilizada para el caso correspondiente de las sucesiones paralelas (S_m), o elementos básicos que conforman la estructura interna de dicho T.A.
Prisma combinatorio y su relacion con los coeficientes trinomiales 2016 revis...Enrique Ramon Acosta Ramos
Este documento describe el prisma combinatorio y su relación con los coeficientes trinomiales. Explica que el prisma combinatorio representa las permutaciones con repetición para avanzar en tres dimensiones (X+, Y+, Z+), y que la capa triangular Δ0 corresponde al triángulo de Pascal. También muestra que los coeficientes del desarrollo del trinomio (x1 + x2 + x3)m corresponden a los valores combinatorios espaciales en el prisma, relacionando así el prisma con los coeficientes trinomiales.
Este documento discute las conjeturas de Taniyama-Shimura y Langlands, las cuales fueron parcialmente demostradas por Andrew Wiles en su demostración del Teorema de Fermat. La conjetura de Taniyama-Shimura establece que todas las curvas elípticas son modulares, mientras que la conjetura de Langlands propone una correspondencia entre representaciones de Galois y formas automorfas. El documento también presenta ejemplos simples de cómo estas conjeturas se relacionan con la teoría de números y la demostra
En 1814 presentó un documento titulado "Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi“ donde introduce las fórmulas de cuadratura con el grado de exactitud mejorado considerablemente en comparación con las fórmulas de Newton-Cotes. Ésta será la cuadratura Gaussiana.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuación de una recta, pendiente de una recta, ecuaciones de una recta principal, general y canónica. Luego introduce sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como sustitución, igualación y reducción. Finalmente describe el método de Cramer para resolver sistemas. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
El documento define los números complejos, incluyendo su parte real e imaginaria. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos, así como expresarlos en forma polar usando el módulo y argumento. También cubre propiedades como el conjugado, opuesto y potencias de i.
El documento describe el método de Cholesky para descomponer una matriz simétrica definida positiva en el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta. Explica que la descomposición se realiza resolviendo ecuaciones de recurrencia y muestra un ejemplo numérico para ilustrar los pasos. También discute aplicaciones del método en ingeniería.
El documento explica los determinantes de matrices, incluyendo su cálculo para matrices de 2x2, 3x3 y más. Define los menores, cofactores y propiedades de los determinantes al realizar operaciones en filas/columnas. Explica que una matriz es singular si su determinante es 0 y da ejemplos de cuando esto ocurre.
Resumen de la unidad iii (analisis numerico) Mirian Rodriguezthaiz050681
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, descomposición LU, factorización de Cholesky, factorización QR, métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cada método con ejemplos para ilustrar los pasos de cada uno.
Este documento describe las particiones de números enteros, incluyendo particiones con repetición (composición de enteros) y particiones discretas. Explica que una partición es la forma de descomponer un número en una suma de uno o más sumandos positivos. Luego presenta una tabla triangular que muestra el número de particiones discretas de un número entero m en r cifras para cada caso de 0 < r ≤ m.
Este documento presenta una tabla que muestra las particiones de números enteros positivos m en r cifras significativas, para valores de m entre 0 y 18 y valores de r entre 1 y m. La tabla permite obtener tres tipos de particiones de un número entero m: particiones de m, particiones de m en r cifras significativas, y particiones discretas de m en r cifras. El documento analiza propiedades matemáticas de la tabla como patrones, sucesiones y relaciones entre los valores.
La distribución hiperespacial de los coeficientes de un pentanomio potenciado, en un cuerpo 4D, o Híper-tetraedro, es una inferencia casi automática de la cadena previa, establecida para la distribución lineal en el caso del binomio, la distribución plana triangular en el caso del trinomio, y la distribución tetraédrica 3D en el caso del tetranomio. El encadenamiento analógico, nos permitió plantear esta hipótesis, la cual pudo comprobarse (de una manera práctica), desglosando la estructura de cebolla de dicho híper-tetraedro, ya esbozada en el desarrollo del triángulo de Pascal extendido al caso pentanomial, para el cual, ya habíamos determinado todos los valores de cada nivel.
Es “evidente”, que para el caso de un hexsanomio potenciado, la distribución de sus coeficientes seguirá un patrón híper-híper tetraédrico, y así sucesivamente, para cualquier caso, un grado mayor.
Trata de la distribución 3D de las permutaciones con repetición en un espacio prismático, ello permite entre otras aplicaciones la obtención del n⁰ de posibles caminos unitarios, en redes espaciales cúbicas o prismáticas.
La distribución espacial de permutaciones con repetición, asociadas a la distribución de puntos de coordenadas enteras y positivas en un espacio 3D, es interpretada como el número de caminos posibles y diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos en dirección Z⁺.
Esta distribución prismática de permutaciones con repetición resulta confinada en planos ∆_k, paralelos al plano 〖0X⁺Y〗^+ , y puede interpretarse como una expansión 3D de los números figurados o combinatorios, donde la distribución plana correspondiente a ∆_0, o triángulo de Pascal, corresponde solo al caso particular, cuando k=0.
Los resultados obtenidos, conectan directamente al “Prisma Combinatorio”, con las Sucesiones Paralelas que conforman la estructura interna de ∆_0, (y la del propio Prisma), y también con los procedimientos ya estudiados, respecto a la determinación y cálculo de los coeficientes básicos de un polinomio potenciado, y del n⁰ de veces en que aparece c/u de ellos en el desarrollo del mismo.
Métodos para obtener los coeficientes y/o el desarrollo de un polinomio eleva...Enrique Ramon Acosta Ramos
Este documento presenta tres métodos para obtener los coeficientes de un polinomio elevado a una potencia entera: 1) Usando la forma newtoniana del teorema multinomial, 2) Mediante particiones discretas de un entero en un número fijo de cifras, y 3) A través de la cadena multidimensional entre los coeficientes de polinomios con diferentes números de elementos. Se ilustran los métodos con ejemplos como (x1 + x2 + x3)5 y se explica cuando cada uno es más adecuado.
La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales donde cada término es la suma de los dos anteriores. Comienza con 0 y 1 y continúa como 1, 2, 3, 5, 8, etc. Esta sucesión se encuentra en configuraciones biológicas como las ramas de los árboles y la estructura espiral de los caparazones de los animales.
Este documento describe el método de interpolación polinómica de Newton en diferencias divididas. Explica que dado un conjunto de puntos (x, f(x)), existe un único polinomio de grado n que pasa por todos los puntos. Luego detalla cómo calcular los coeficientes del polinomio de interpolación usando diferencias divididas finitas de los valores de la función en los puntos de datos. Finalmente, muestra un ejemplo numérico donde se aplica el método para diferentes grados de polinomios e interpolar un valor intermedio.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones de la transformación lineal. Presenta a los integrantes del proyecto y explica brevemente que una transformación lineal T de un espacio vectorial V a otro W es una función que asigna a cada vector v en V un vector único Tv en W y cumple con ciertas propiedades de linealidad. Además, presenta algunos ejemplos para ilustrar transformaciones lineales y cómo encontrar la matriz asociada.
El documento explica las ecuaciones paramétricas y su relación con el álgebra vectorial. Las ecuaciones paramétricas permiten representar curvas y superficies mediante valores que varían a lo largo de un parámetro. El álgebra vectorial estudia sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones lineales. Ambos campos están relacionados a través de las ecuaciones de rectas, donde las ecuaciones paramétricas y vectoriales pueden representar una misma recta.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Estadística, medidas de tendencia central 10º pii 2013Jose Castellar
Este documento describe diferentes medidas de tendencia central como la media armónica, geométrica, aritmética y cuadrática. Explica cómo calcular cada una de estas medidas a partir de datos agrupados en una tabla de frecuencias. También describe cómo calcular la mediana y la moda en este tipo de tabla. Por último, presenta dos ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de estas medidas.
Este documento trata sobre el núcleo y la imagen de una transformación lineal. Explica las definiciones de núcleo, inyectividad, rango e imagen de una transformación lineal. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular el núcleo de diferentes transformaciones lineales entre espacios vectoriales.
La serie de Fourier permite expresar una función periódica como la suma de una componente continua y términos en seno y coseno que representan las componentes armónicas. Los coeficientes de Fourier se pueden determinar mediante integrales de la función en el periodo. Existen diferentes tipos de ondas en función de si cumplen condiciones de paridad: ondas simétricas pares tienen solo términos en coseno, las impares solo en seno, y las alternadas solo términos impares. La serie de Fourier exponencial reduce los coeficientes a una
Este documento presenta definiciones y ejemplos sobre vectores tangente, normal y binormal para curvas en el espacio. Explica que el vector tangente apunta en la dirección de la tangente a la curva, el vector normal apunta en la dirección de la normal principal y el vector binormal es perpendicular al plano formado por los otros dos vectores. Incluye ejemplos para calcular estos vectores para curvas dadas por funciones parametrizadas.
1) El documento trata sobre series de funciones complejas, especialmente series de potencias y series de Laurent.
2) Las series de potencias complejas tienen un radio de convergencia R, y convergen dentro de un círculo centrado en el punto z0.
3) Cuando una función no es analítica en un punto, se puede hallar su representación mediante una serie de Laurent que contiene potencias positivas y negativas de z - z0.
1) La serie de Fourier representa funciones periódicas mediante combinaciones de senos y cosenos. 2) Si f es una función periódica continua, admite la representación como suma infinita de términos que involucran los coeficientes a_n y b_n. 3) La serie compleja de Fourier representa la misma función mediante una suma infinita de exponenciales que involucran los coeficientes c_n.
Este documento describe funciones vectoriales y sus propiedades. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y provee ejemplos de funciones vectoriales y cómo calcular sus derivadas y integrales. También cubre conceptos como curvas paramétricas, vectores tangentes, y ecuaciones de líneas tangentes.
Este experimento estudia el movimiento rectilíneo uniforme de un móvil sobre un riel. Los estudiantes medirán la posición del móvil en intervalos de tiempo y graficarán la posición contra el tiempo. Calcularán la velocidad media en diferentes intervalos y compararán los resultados para determinar si el movimiento es uniforme. Finalmente, deducirán la ecuación que describe el movimiento rectilíneo uniforme del móvil.
Distribuciones poisson, rayleigh y studentRosa E Padilla
El documento presenta tres distribuciones de probabilidad: Poisson, Rayleigh y Student. La distribución de Poisson describe la probabilidad de eventos que ocurren a un ritmo constante. La distribución de Rayleigh modela variables aleatorias con valores positivos. La distribución t de Student generaliza la distribución normal para cuando la varianza es desconocida.
Similar a Distribución tetraédrica de los coeficientes de un tetranomio elevado a la m (20)
Combinatorios con numerador fraccionario o negativo y binomio de newton (Repa...Enrique Ramon Acosta Ramos
Explicación y ejemplos sobre los coeficientes binomiales de "numerador" fraccionario, o negativo. Gráfica de la distribución de los coeficientes binomiales en el plano real. Binomios de Newton asociados
Este documento describe los pasos para construir una espiral verdadera a partir de la caracola pitagórica usando solo una regla y un compás. Explica que se trazan ejes cartesianos y se construyen triángulos rectángulos con lados crecientes de 1, √2, √3, √4, etc., determinando así puntos sucesivos sobre los que se trazan arcos circulares de radios incrementales que forman la espiral.
Notas sobre combinattttttoria con repetición, series paralelas, triángulo de Pascal,series aritmeticas de orden superior, series de potencias m-esimas de los números naturales, números de Stirling de primera especie y números de Bernoulli
1) Un viajero se encuentra con tres niñas y su padre sentados en la calle. El padre dice que la suma de las edades de las niñas es igual al número de la casa de enfrente.
2) Existen dos posibles casos para resolver el problema: que las niñas tengan edades iguales o diferentes.
3) Solo hay soluciones únicas cuando el número de la casa es un múltiplo de 3 o es un múltiplo de 3 más 1, y las ecuaciones que relacionan la edad mayor con el número de la casa son y=N
Este documento contiene varios cuentos cortos narrados por la abuela del autor sobre sus experiencias de vida en su pueblo natal en Venezuela a principios del siglo XX. Los cuentos transmiten expresiones culturales, costumbres y prejuicios de la época y contienen moralejas y enseñanzas.
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¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
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1891 - Primera discusión semicientífica sobre Una Nave Espacial Propulsada po...Champs Elysee Roldan
La primera discusión semicientífica sobre una nave espacial propulsada por cohetes la realizó el alemán Hans Ganswindt, quien abordó los problemas de la propulsión no mediante la fuerza reactiva de los gases expulsados sino mediante la eyección de cartuchos de acero que contenían dinamita. Supuso que la explosión de una carga transferiría energía cinética a la pared de la nave espacial y la impulsaría en la dirección deseada. Supuso que múltiples explosiones proporcionarían suficiente velocidad para alcanzar la órbita y la velocidad de escape.
El 27 de mayo de 1891, pronunció un discurso público en la Filarmónica de Berlín, en el que introdujo su concepto de un vehículo galáctico(Weltenfahrzeug).
Ganswindt también exploró el uso de una estación espacial giratoria para contrarrestar la ingravidez y crear gravedad artificial.
"Abordando la Complejidad de las Quemaduras: Desde los Orígenes y Factores de...AlexanderZrate2
Las quemaduras, una de las lesiones traumáticas más comunes, representan un desafío significativo para el cuerpo humano. Estas lesiones pueden ser causadas por una variedad de agentes, desde el contacto con el calor extremo hasta la exposición a productos químicos corrosivos, la electricidad y la radiación. Independientemente de su origen, las quemaduras pueden provocar un amplio espectro de daños, que van desde lesiones superficiales de la piel hasta afectaciones graves de tejidos más profundos, con potencial para comprometer la vida del individuo afectado.
La incidencia y gravedad de las quemaduras pueden variar según factores como la edad, la ocupación, el entorno y la atención médica disponible. Las quemaduras son un problema global de salud pública, con impacto no solo en la salud física, sino también en la calidad de vida y la salud mental de los afectados. Además del dolor y la discapacidad física que pueden ocasionar, las quemaduras pueden dejar cicatrices permanentes y aumentar el riesgo de infecciones y otras complicaciones a largo plazo.
El manejo adecuado de las quemaduras es esencial para minimizar el riesgo de complicaciones y promover una recuperación óptima. Desde los primeros auxilios en el lugar del incidente hasta el tratamiento médico especializado en centros de quemados, se requiere una atención integral y multidisciplinaria. Además, la prevención juega un papel fundamental en la reducción de la incidencia de quemaduras, mediante la educación pública, la implementación de medidas de seguridad en el hogar, el trabajo y otros entornos, y la promoción de políticas de salud y seguridad efectivas.
En esta exploración exhaustiva sobre el tema de las quemaduras, analizaremos en detalle los diferentes tipos de quemaduras, sus causas y factores de riesgo, los mecanismos fisiopatológicos involucrados, las complicaciones potenciales y las estrategias de tratamiento y prevención más relevantes en la actualidad. Además, consideraremos los avances científicos y tecnológicos recientes que están transformando el enfoque hacia la gestión de las quemaduras, con el objetivo último de mejorar los resultados para los pacientes y reducir la carga global de esta importante condición médica.
Es en el Paleozoico cuando comienza a aparecer la vida más antigua. En Venezuela, el Paleozoico puede considerarse concentrado en tres regiones positivas distintas:
Región Norte del Escudo Guayanés.
Cordillera de los Andes venezolanos.
Sierra de Perijá.
2. Distribución tetraédrica de los coeficientes de un tetranomio elevado a la m :
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
Como hemos visto, en el estudio del “Prisma Combinatorio”, cuando elevamos un binomio a la
potencia m : (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐) 𝒎
, sus coeficientes (números binomiales, o combinaciones sencillas de m
números naturales tomados n a n ,con 0≤ n ≤m ), se distribuyen en líneas o filas (una dimensión),
todas paralelas y equidistantes entre sí, en el plano O𝑿+
𝒀+
, que en conjunto determinan el plano
que las contiene (∆ 𝟎),o triángulo de Pascal.
Igualmente, cuando consideramos la distribución de los coeficientes correspondientes a un trinomio
elevado a la m : (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) 𝑚
,que hemos denominado coeficientes trinomiales, esta se puede
concebir como el resultado de multiplicar escalarmente los coeficientes lineales de ∆ 𝟎 (hasta la fila
m), por los propios valores de la fila m, dando como resultado una distribución plana (dos
dimensiones), que agrupa todos los coeficientes trinomiales así obtenidos, en un mismo plano
(∆ 𝑇),con todas las características y propiedades ya estudiadas.
Estos resultados, obtenidos previamente, nos permite por analogía, considerar que los coeficientes
resultantes de elevar un tetranomio a la m : (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
, o coeficientes tetranomiales,
pueden concebirse como distribuidos en un volumen (o varios), generado como el producto de un
plano multiplicado escalarmente por una línea, y que en este caso deberá corresponder a un
tetraedro o pirámide regular de caras y base triangular equiláteras.
A continuación, presentamos los resultados de esta supuesta distribución, para los casos de m=1
hasta m=8. Cada tetraedro o grupo de tetraedros, se presentan en forma desplegada, lo que facilita
su representación gráfica de manera sencilla y expedita.
En cada cara desplegada del tetraedro principal, la distribución de coeficientes tetranomiales ,
coincide con la distribución de los coeficientes trinomiales ∆ 𝑻 para el mismo valor de m, mientras
que la distribución de los coeficientes tetranomiales no contemplados en ∆ 𝑻, se han ubicado en los
vértices y aristas de un tetraedro adicional, o secundario. Esta distribución en cada caso de m,
resulta congruente con el número de veces en que aparecen dichos coeficientes en el desarrollo del
tetranomio elevado a la m. Para los casos en que m es par y múltiplo de cuatro, aparece un único
valor adicional, o tetraedro singular.
Tetraedro o Pirámide regular Tetraedro desplegado
(cuatro triángulos equiláteros)
3. GRAFICOS DE DISTRIBUCION TETRAEDRICA DE LOS COEFICIENTES DE UN TETRANOMIO
ELEVADO A LA m DESDE m=1 HASTA m=8
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
m Coef. N⁰V. 1
1 1 4
∑= 4 1 1
1 1 1
1
m Coef. N⁰V.
2 1 4 2 2
2 6
∑= 10 1 2 1
2 2 2 2
1 2 1 2 1
1
m Cof. N⁰V.
3 1 4 3 3
3 12
6 4 3 6 3
∑= 20
1 3 3 1
3 3 6 3 3
3 6 3 3 6 3
1 3 3 1 3 3 1
NOTA: El Número de veces (N⁰V.) , se refiere siempre en cada caso de m, al N⁰ de coeficientes
que corresponden al tetraedro reconstruido (sin desplegar)
11. Tabla II. (Continuación)
m Coef. N⁰ de veces para r=
1 2 3 4 5 6 7
8
∑=
1 1 2 3 4 5 6 7
8 0 2 6 12 20 30 42
28 0 2 6 12 20 30 42
*56 0 2 6 12 20 30 42
56 0 0 3 12 30 60 105
70 0 1 3 6 10 15 21
168 0 0 6 24 60 120 210
280 0 0 6 24 60 120 210
336 0 0 0 4 20 60 140
420 0 0 3 12 30 60 105
560 0 0 3 12 30 60 105
840 0 0 0 12 60 180 420
1120 0 0 0 6 30 90 210
*1680 0 0 0 12 60 180 420
1680 0 0 0 0 5 30 105
2520 0 0 0 1 5 15 35
3360 0 0 0 0 20 120 420
5040 0 0 0 0 10 60 210
6720 0 0 0 0 0 6 42
10080 0 0 0 0 0 15 105
20160 0 0 0 0 0 0 7
40320 0 0 0 0 0 0 0
→ 𝑺 𝟗 1 9 45 165 495 1287 3003
*Los coeficientes 56 y 1680, se contabilizan dos veces c/u (dos orígenes diferentes)
Algunas Propiedades:
1. El número total de coeficientes , para cada caso de m y r, coincide con el término correspondiente de la
Serie Diagonal 𝑺 𝒎+𝟏 ,constitutiva del Triangulo de Pascal (∆ 𝟎) . Y vendrá dado por el valor combinatorio:
N⁰TC=(
𝒎 + 𝒓 − 𝟏
𝒓 − 𝟏
)
2. ∑ (Coef.*N⁰veces) = 𝒓 𝒎
.Ejemplo: Para m=4 y r=3
Coef N⁰V
1 x 3 = 3
4 x 6 = 24
6 x 3 = 18
12 x 3 = 36
24 x 0 = 0
∑ 81 =34
12. Obtención analítica de los coeficientes tetranomiales de las caras del tetraedro secundario en
el caso de la distribución tetraédrica de los coeficientes de (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
Hemos encontrado que la distribución de los coeficientes tetranomiales en los tetraedros
secundarios en cada fila se corresponde con las siguientes expresiones:
𝑭𝒊,𝒏
𝒌
= 𝑭𝒊,𝒏−𝟏
𝒌+𝟏
∗ (
𝑵 𝒕𝒇
°
−𝒏+𝟏
𝒏−𝒊+𝟏
) y , 𝑭 𝒏,𝒏
𝒌
= 𝑭 𝟎,𝒏
𝒌
,con i = 0,1,…,n
Estas expresiones , nos permiten construir fila por fila los triángulos de coeficientes tetranomiales
secundarios, para cada valor de m.
Donde: 𝑭𝒊,𝒏
𝒌
, indica el término del nivel k, en el lugar i de la fila n
𝑭𝒊,𝒏−𝟏
𝒌+𝟏
, indica el término del nivel k+1, en el lugar i de la fila n-1
𝑵𝒕𝒇
°
, representa el número total de filas para el caso m considerado
n, es el número de la fila considerada
i, es el lugar del término en la fila n
Para el caso m=4 sólo aparece una singularidad, que corresponde a 4,1,1,1,1, dada por: 𝟐𝟒 =
𝟒!
𝟏 𝟒
Caso m=5
𝐹0
5
= {𝐹0,0
5
}={60}=60
𝐹1
4
={𝐹0,1
4
, 𝐹1,1
4
}={60,60} = 60,60
Obtención de la fila de la fila 1, a partir de la fila 0 (𝐹0,1
4
, en función de 𝐹0,0
5
, y 𝐹1,1
4
= 𝐹0,1
4
)
60=60*2/2 y, 60=60
Caso m=6
𝐹0
6
= {𝐹0,0
6
} = {120} = 120
𝐹1
5
= {𝐹0,1
5
, 𝐹1,1
5
} = {180,180} = 180,180
𝐹2
4
= {𝐹0,2
4
, 𝐹1,2
4
, 𝐹2,2
4
} = {120,180,120}=120,180,120
Obtención de la fila 1 en función de la fila 0
180=120*3/2 y, 180=180
Obtención de la fila 2 en función de la fila 1
120=180*2/3
180=180*2/2 y, 120=120
n k 𝑵𝒕𝒇
°
=2
0 5 60
1 4 60 60
n k 𝑵𝒕𝒇
°
= 𝟑0 6 120
1 5 180 180
2 4 120 180 120
13. Caso m=7
n k 𝑵 𝒕𝒇
°
= 𝟒
0 7 210
1 6 420 420
2 5 420 630 420
3 4 210 420 420 210
𝐹0
7
= {𝐹0,0
7
} = {210} = 210
𝐹1
6
= {𝐹0,1
6
, 𝐹1,1
6
} = {420,420} = 420,420
𝐹2
5
= {𝐹0,2
5
, 𝐹1,2
5
, 𝐹2,2
5
} = {420,630,420} = 420,630,420
𝐹3
4
= {𝐹0,3
4
, 𝐹1,3
4
, 𝐹2,3
4
, 𝐹3,3
4
} = {210,420,420,210} = 210,420,420,210
Obtención de la fila 1 en función de la fila 0
420=210*4/2 y, 420=420
Obtención de la fila 2 en función de la fila 1
420=420*3/3
630=420*3/2 y, 420=420
Obtención de la fila 3 en función de la fila 2
210=420*2/4
420=630*2/3
420=420*2/2 y, 210=210
14. Caso m=8
n k 𝑵 𝒕𝒇
°
= 5
0 8 336
1 7 840 840
2 6 1120 1680 1120
3 5 840 1680 1680 840
4 4 336 840 1120 840 336
𝐹0
8
= {𝐹0,0
8
} = {336} = 336
𝐹1
7
= {𝐹0,1
7
, 𝐹1,1
7
} = {840,840} = 840,840
𝐹2
6
= {𝐹0,2
6
, 𝐹1,2
6
, 𝐹2,2
6
} = {1120,1680,1120} = 1120,1680,1120
𝐹3
5
= {𝐹0,3
5
, 𝐹1,3
5
, 𝐹2,3
5
, 𝐹3,3
5
} = {840,1680,1680,840} = 840,1680,1680,840
𝐹4
4
= {𝐹0,4
4
, 𝐹1,4
4
, 𝐹2,4
4
, 𝐹3,4
4
, 𝐹4,4
4
} = {336,840,1120,840,336} = 336,840,1120,840,336
Obtención de la fila 1 en función de la fila 0
840=336*5/2 y, 840=840
Obtención de la fila 2 en función de la fila 1
1120=840*4/3
1680=840*4/2 y, 1120=1120
Obtención de la fila 3 en función de la fila 2
840=1120*3/4
1680=1680*3/3
1680=1120*3/2 y, 840=840
Obtención de la fila 4 en función de la fila 3
336=840*2/5
840=1680*2/4
1120=1680*2/3
840=840*2/2 y, 336=336
La singularidad para m=8, corresponde a 8,2,2,2,2, dada por: 2520 =
8!
24
Las singularidades se dan para las m, múltiplos de 4 y responden a la sucesión:{
(4𝑛)!
(𝑛!)4}
4!
14
,
8!
24
,
12!
64
,
16!
244
,
20!
1204
, …
15. Método para la obtención de una expresión que nos de los coeficientes tetranomiales de una fila
genérica n de los triángulos equiláteros, caras de los tetraedros secundarios del desarrollo de
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
Análogamente al método utilizado en el caso de los coeficientes Trinomiales en el estudio del
“Prisma Combinatorio”, para la obtención de la fórmula correspondiente a una fila genérica n,
utilizaremos los mismos procedimientos del método anterior, pero completando las expresiones para
homogenizar las secuencias, sin alterar los resultados, expresando cada uno de los términos en función
de m. Para ello consideraremos el caso m=7
Fila (n) Nivel (m-n) Denominadores Expresión Factorial
Fila 0 Nivel m
m (m-1)(m-2)/1 1 0!1!
Fila 1 Nivel (m-1)
m(m-1)(m-2)(m-3)/2
m(m-1)(m-2)(m-3)/2
2
2
1!2!
2!1!
Fila 2 Nivel(m-2)
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.3
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.2
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.3
2.3
2.2
2.3
1!3!
2!2!
3!1!
Fila3 Nivel(m-3)
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.4
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.2
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-4)/2.3.2
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.4
2.3.4
2.3.2
2.3.2
2.3.4
1!4!
2!3!
3!2!
4!1!
El numerador (A), en cada caso se puede expresar como:
A=m(m-1)(m-2)…[m-(n+2)]=m(m-1)(m-2)…[m-(n+2)] *[m-(n+3)]!/ [m-(n+3)]!= m!/ [m-(n+3)]!
Y de (
𝑚
𝑛 + 3
) =
𝑚!
[𝑚−(𝑛+3)]!(𝑛+3)!
, obtenemos: A=(
𝑚
𝑛 + 3
) ∗ (𝑛 + 3)!
La secuencia de los denominadores, puede obtenerse de : (i+1)!(n-i+1)!.Entonces, la expresión
buscada, estará dada por:
𝑭 𝒏
𝒎−𝒏
= (
𝒎
𝒏 + 𝟑
) (𝒏 + 𝟑)! {
𝟏
(𝒊+𝟏)!(𝒏−𝒊+𝟏)!
} con i=0,1,2,…,n
𝑚 ≥ 𝑛 + 3 ,luego la expresión es válida sí 𝑚 − 𝑛 ≥ 3
Como comprobación y ejemplo, aplicaremos esta expresión para obtener los coeficientes tetranomiales
del tetraedro secundario del caso m=8
16. Caso m=8
Fila 0 , Nivel 8, i=0
𝐹0
8
= (
8
3
) 3! {
1
1! 1!
} = 336 {
1
1
} = 336
Fila 1, Nivel 7, i=0,1
𝐹1
7
= (
8
4
) 4! {
1
1!2!
,
1
2!1!
} =1680{
1
2
,
1
2
} = 840,840
Fila 2, Nivel 6, i=0,1,2
𝐹2
6
= (
8
5
) 5! {
1
1!3!
,
1
2!2!
,
1
3!1!
}=6720 {
1
6
,
1
4
,
1
6
} = 1120,1680,1120
Fila 3, Nivel 5, i=0,1,2,3
𝐹3
5
= (
8
6
) 6! {
1
1! 4!
,
1
2! 3!
,
1
3! 2!
,
1
4! 1!
} = 20160 {
1
24
,
1
12
,
1
12
,
1
24
} = 840,1680,1680,840
Fila 4, Nivel 4, i=0,1,2,3,4
𝐹4
4
= (
8
7
) 7! {
1
1! 5!
,
1
2! 4!
,
1
3! 3!
,
1
4! 2!
,
1
5! 1!
} = 40320 {
1
120
,
1
48
,
1
36
,
1
48
,
1
120
} = 336,840,1120,840,336
Tetraedro Suma (T.Suma), y otras observaciones importantes
En el desarrollo de un nuevo trabajo denominado “Coeficientes multinomiales y generalización
del triangulo de Pascal” , hemos determinado que para el caso de los coeficientes Tetranomiales ,
los tetraedros secundarios (TS), deben ubicarse en el interior del tetraedro principal (TP), del caso
correspondiente, manteniendo la misma orientación y el paralelismo de sus caras, para ello
deberemos colocar siempre su vértice en el nivel 3 de dicho TP, extendiéndose hasta ubicar su
nivel de base, siempre en el nivel 𝒏 − 𝟏 , del tetraedro principal del caso. Al tetraedro
resultante le podemos denominar como tetraedro suma ( T.Suma).
Análogamente, si denominamos los casos de singularidad para múltiplos de 4, como CS, y al nivel
de alojamiento de dicha singularidad en el prisma principal, como NA, tendremos la siguiente
relación:
CS NA
m=4j 3j con j=1,2,3,...
Así para j=1 y m=4 la singularidad, que tiene un valor igual a 24, se alojará en el nivel 3 del T.Suma
Para j=2 y m=8 la singularidad que tiene un valor igual a 2520, se alojara en el nivel 6 del T.Suma
Y así sucesivamente.
17. Los niveles en cada caso los contabilizamos, desde un valor cero (0), en el vértice, hasta un valor n
correspondiente al nivel de base del tetraedro principal, como se muestra en la figura:
Nivel Tetraedro principal
0
1
2 Nivel 0 Tetraedro secundario
3…... Singularidad ...........................
.
.
.
n-1..
n
Así por ejemplo, sí en la deducción anterior de los coeficientes del tetraedro secundario
correspondiente al caso de m=8, consideramos el valor de n para cada fila, como el valor del nivel
correspondiente del TS, para determinar su nivel de ubicación en el tetraedro principal, para conformar
el tetraedro suma, bastará aumentar cada valor de n en tres unidades. Ello es válido para cualquier otro
caso considerado.
m=8 Filas TS Niveles TS Nivel T.Suma
0 0 3
1 1 4
2 2 5
3 3 6
4 4 7
Como ejemplo de utilidad, podemos mostrar como quedarían las secciones nivel por nivel para el caso
del tetraedro suma para m=8
Nivel 0 . 1 (Vértice del T.Suma)
Nivel 1 8 Nivel 2 28
8 8 56 56
28 56 28
18. Nivel 3 56 Nivel 4 70
168 168 280 280
168 336 168 420 840 420
56 168 168 56 280 840 840 280
70 280 420 280 70
Nótese como en el nivel 3 del T.Suma ya aparece el valor 336, correspondiente al vértice (nivel 0)
del tetraedro secundario del caso, y en el nivel 4, aparecen los tres valores 840 correspondientes a la
sección del nivel 1 del TS del caso.
Nivel 5 56
280 280
560 1120 560
560 1680 1 680 560
280 1120 1680 1120 280
56 280 560 560 280 56
Nivel 6 28
168 168
420 840 420
560 1680 1680 560
420 1680 2520 1680 420
168 840 1680 1680 840 168
28 168 420 560 420 168 28
Notamos que en este nivel se aloja la singularidad del caso m=8, correspondiente al valor 2520
19. Nivel 7 8
56 56
168 336 168
280 840 840 280
280 1120 1680 1120 280
168 840 1680 1680 840 168
56 336 840 1120 840 336 56
8 56 168 280 280 168 56 8
Como podemos notar, en este nivel se aloja la base del tetraedro secundario del caso m=8
Nivel 8 1
8 8
28 56 28
56 168 168 56
70 280 420 280 70
56 280 560 560 280 56
28 168 420 560 420 168 28
8 56 168 280 280 168 56 8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Esta sección o base del T.Suma, se corresponde con el triángulo de coeficientes trinomiales ∆ 𝑇, para
m=8
Diagramas de Colmena para coeficientes Tetranomiales
Hemos observado que los diagramas de colmena, que ya utilizamos en el estudio “Prisma
Combinatorio” como método gráfico para obtener la distribución de los coeficientes Trinomiales
∆ 𝑻, correspondientes a un caso m+1 , partiendo de los conocidos para un caso anterior m, son
aplicables a la determinación de los coeficientes Tetranomiales para cada nivel n de un caso
m+1,partiendo de los coeficientes Tetranomiales de los niveles n-1, y n del caso anterior m.
A continuación un ejemplo clarificador para obtener los coeficientes del caso m=4 a partir de los
del caso m=3 (obviando el paso de nivel 0 en m=3, a nivel 0 en m=4, siempre unitario, sea cual sea
el caso)
20. DIAGRAMAS DE COLMENA PARA LA OBTENCIÓN LAS SECCIONES DEL TETRAEDRO SUMA (CASO m=3 a m=4)
Casos de m=3 Diagrama de colmena + Caso de m=4
N:0 N:1 N:1
3 3 3 4
1 1 1
3 3 3 3 3 3 4 4
N:1 N:2 N:2
3 3 3 6
3 3 3
6 6 6 6 6 6 12 12
3 3 3 3 3 3
3 6 3 3 6 3 3 6 3 6 12 6
21. Caso de m= 3 Diagrama de colmena Caso de m=4
N: 2 N:3 N:3
1 1 1 4
3
3 3
6 6 3 3
3 6 3 3 3 3 3 12 12
3 6 3
1 3 3 1 6 6 6 6
3 6 3 3 6 3 12 24 12
3 6 3 3 6 3
1 3 3 1 1 3 3 1 4 12 12 4
Los niveles de base se corresponden con los ∆ 𝑇 de ambos casos: N:4
1
N:3 Diagrama de colmena
1 1
4 4
3 3 3 3
6 12 6
3 6 3 3 6 3
4 12 12 4
1 3 3 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1
22. Consideramos que con esta serie de trabajos, “Prisma combinatorio”, “Distribución tetraédrica de
coeficientes Tetranomiales”, y “Coeficientes multinomiales y generalización del triángulo de
Pascal”, hemos abordado en forma exhaustiva, el tema de la determinación de los coeficientes del
desarrollo de un polinomio tal como: (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥 𝑟) 𝑚
, para cualquier valor entero de r
y de la potencia m.
Enrique R.Acosta R. 2016