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Módulo teórico práctico
Matemática 2do año

P13-3084-ActivaDos Mate 2.indb 171 1/8/13 10:28 AM
1 - Números Enteros
- Orden y representación
- Operaciones
- Potenciación y Radicación
- Operaciones combinadas
2

El conjunto de los números enteros (se lo simboliza con la letra Z) está formado por los enteros
negativos, el cero y los enteros positivos.
... –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4...
El cero no es ni negativo ni positivo.
Para representar números en una recta numérica, se debe marcar el cero y establecer una unidad
que debe ser respetada para ubicar el resto de los números. Por convención, los enteros positivos
se ubican a la derecha del cero y los negativos, a la izquierda.
–3
–4 0 1
–2 3
–1 4
2
En la recta numérica un número es mayor que cualquier otro que se encuentre a su izquierda y
menor que cualquier otro que se encuentre a su derecha.
–4 es menor que –2. Se escribe –4 < –2
5 es mayor que –99. Se escribe 5 > –99
Se denomina módulo o valor absoluto de un número entero a la distancia que existe entre el
número y el cero.
El módulo de –2 es 2. Se escribe |–2| = 2
El módulo de 8 es 8. Se escribe |8| = 8
Dos números son opuestos cuando tienen distintos signos e igual módulo.
5 y –5 son opuestos.
17 y –17 son opuestos.
En general, el opuesto de a se escribe –a.
. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál de estos números es mayor: −5 o −15?
b. ¿Es cierto que el 0 es mayor que cualquier número negativo?
c. ¿Qué unidad conviene tomar para representar en la recta: 200, –400 y 300?
d. ¿Cuál es el número opuesto del opuesto de −3?
CUESTIONARIO
Orden y representación
NÚMEROS ENTEROS
3

ACTIVIDADES
1. Escriban el número entero que corresponde.
a. El buzo se encuentra a 250 metros de profundidad.
b. Un avión se encuentra a 320 metros de altura.
c. El tercer subsuelo de un edificio.
d. El año 400 antes de Cristo.
e. Ana tiene $1 200.
f. Claudia debe $150.
g. El momento del despegue de una nave espacial.
h. La temperatura es de 10 °C bajo cero.
i. Seis minutos antes del despegue.
j. La temperatura es de 6 °C sobre cero.
2. Completen con < o >, según corresponda.
a. −12 5 d. −31 −32 g. –5 –11
b. −4 −9 e. 10 −15 h. −1 −5
c. 0 −20 f. −3 2 i. −45 −35
3. Ordenen los siguientes números enteros de menor a mayor.
−35; 18; −40; 5; 7; −22; −17; 15; 19; −28
4. Completen el cuadro.
Número Opuesto Anterior Siguiente Módulo
−12
−15
−18
4
5. Completen con el número correspondiente. Luego, represéntenlos en la recta numérica.
a. El número a es el opuesto de −5. a =
b. El número b tiene diferente signo de a y su módulo es una unidad mayor. b =
c. El número c es el doble del opuesto de a. c =
d. El número d es igual al módulo de −2. d =
0
4

.
Adición y sustracción
- Si los signos son iguales, se elimina el paréntesis y se deja un solo signo +
- Si los signos son distintos, se elimina el paréntesis y se deja un solo signo -
6+(+4)=6 + 4 = 10
7 – (–2)= 7 + 2 = 9
6 − (+4) = 6 - 4 = 2
7+(−2)=7 - 2 = 5
• Ejemplos:
Eliminación de paréntesis
Al sumar o restar números positivos o negativos suelen quedar dos signos juntos que
deben separarse a través de un paréntesis.
Para eliminar esos paréntesis y resolver la operación debo seguir las siguientes reglas:
SUMAS Y RESTAS
Consideraremos a los números POSITIVOS como “algo que yo tengo” y a los números NEGATIVOS como
una “deuda” ; algo a “pagar”
Utilizamos estos criterios para leer los ejercicios de la siguiente forma:
Ejemplo 1) 15 – 20 = digo: “tengo 15 pero debo 20 así que quedaré debiendo 5”
Por lo tanto: 15 – 20 = – 5
Ejemplo 2) – 12 – 4 = digo: “debo 12 y también debo 4, por lo tanto debo 16 en total”
Por lo tanto: – 12 – 4 = – 16
Ejemplo 3)
Ejemplo 4)
digo: “debo 18, pero tengo 20 así que pago y me quedan 2”
Por lo tanto: – 18 + 20 = 2
digo: “tengo 12, pero debo 8 así que pago y me quedan 4”
Por lo tanto: 12 – 8 = 4
– 18 + 20 =
12 – 8 =
5

.
ACTIVIDAD 1
r) – 21 + 20 = ……..
Resuelve:
a) – 16 + 20 = ……..
b) – 28 + 20 = ……..
c) – 14 – 4 = ……..
d) 35 – 30 = ……..
e) – 11 – 9 = ……..
f) – 22 + 30 = ……..
g) 10 – 25 = ……..
h) – 9 – 6 = ……..
i) – 50 + 70 = ……..
j) – 12 – 8 = ……..
k) 15 – 16 = ……..
l) – 20 + 23 = ……..
m) – 12 + 4 = ……..
n) – 12 – 4 = ……..
o) – 9 + 13= ……..
p) 32 – 40 = ……..
q) – 15 – 15 = ……..
r) – 21 + 20 = ……..
s) – 11 + 20 = ……..
t) – 16 – 4 = ……..
u) 25 – 15 = ……..
v) – 20 – 20 = ……..
w) 16 – 17 = ……..
x) 22 – 25 = ……..
y) – 6 + 11 = ……..
z) – 6 – 11 = ……..
ACTIVIDAD 2. Supriman el paréntesis y resuelva
f. −3 + (+4) =
g. −2 + (−9) =
h. − 6 − ( 4) =
a. 5 + (+8) =
b. 7 + (− 3) =
c. 3 − (+8) =
d. 4 + (−8) =
e. −5 + (7) =
i. 3 − (− 5) =
j. −5 + (-1) =
6

.
a) 7 + 4 − 5 −2 + 4 − 8
c) − 10 −7 + 4 + 3 −7 + 5 −4 =
d) 4 + 8 − 5 − 4 − 1 + 9 − 3 =
e) 3 −7 − 5 + 4 − 1 −6 + 4 +10 =
f) − 4 − 10 +7 + 3 − 2 + 11 −7 −4 =
g) 10 −7+ 3 − 5 −2 + 4 + 8 −9 + 3 =
h) 3 −7 − 2 + 4 + 6 − 5 + 3 −7 − 5 =
i) − 10 + 4 + 3 − 5 −7 − 4 + 6 + 8 − 5 + 3 =
j) 8 − 5 + 3 +1 − 4 − 10 + 4 −9 − 2 −6 =
Una suma algebraica es una sucesión de sumas y restas
.
Para resolverla, se suman todos los números positivos y se resta la suma de todos los negativos
.
6 2 3 8 4 9 1 7
( 2 8 4 1 ) 6 3 9 7

15 25
10
Sumas Algebraicas
b) − 5 + 3 − 10 + 4 − 2 − 5 −1 =
ACTIVIDAD 3: Resolver las siguientes sumas algebraicas
=
7
3 + 5 – 8 – 2 + 10 – 7 =
(3 + 5 + 10) – (8 + 2 + 7)=
18 - 17
1
Otro ejemplo:

ACTIVIDADES de INTEGRACIÓN
1. Supriman el paréntesis y resuelvan.
a. −5 + (+8) = g. −38 − (+10) = m. −18 + (+13) =
b. −2 − (+4) = h. 24 − (+45) = n. −10 − (+4) =
c. 3 − (+10) = i. −19 + (+3) = ñ. 15 − (+28) =
d. 2 + (+3) = j. 15 + (−4) = o. −6 + (−3) =
e. 5 + (−8) = k. 25 − (–7) = p. −13 − (−13) =
f. −10 − (–2) = l. −16 − (–5) = q. −(–15) + (+3) =
2. Lean atentamente y completen la tabla.
La amplitud térmica es la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima.
Ciudad Temp. mín. Temp. máx. Amplitud térmica
París 2 °C 9 °C
Roma −4 °C 5 °C
Madrid −3 °C 7 °C
Amsterdam 5 °C 10 °C
3. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas.
a. −3 + 9 − 5 -4 +6 = f. 35 − 12 + 34 − 8 + 71 =
b. −5 + 6 − 8 + 2 + 9 - 2= g. −20 + 5 − 13 − 4 + 8 =
c. −9 + 5 − 4 − 6 + 1 - 12 = h. −44 + 71 − 66 + 17 =
d. −12 + 4 − 16 + 48 − 3 = i. 114 + 61 − 41 − 113 =
e. −52 + 62 − 32 − 12 = j. −112 + 100 − 26 − 102 =
4. Resuelve las operaciones que se indican y luego completa la tabla con los resultados de cada operación.
m p m + p m – p –m + p –m – p
3 –2
–4 –5
–1 –6
–3
–
7
8

a. Si se multiplican dos números enteros de distinto signo, ¿cuál es el signo del producto?
b. Si el producto entre dos números enteros es positivo, ¿qué signo tienen los factores?
c. ¿Qué signo tiene el resultado de una multiplicación de diez factores negativos? ¿Y una de
once factores negativos?
Para multiplicar (o dividir) números enteros se deben tener en cuenta las siguientes reglas de los signos.
Regla de los signos
Para la multiplicación Para la división
+ . + = + + : + = +
– . – = + – : – = +
+ . – = – + : – = –
– . + = – – : + = –
El producto de dos números enteros de
igual signo es un número positivo.
4 . 3 = 12
–5 . (–2) = +10
El producto de dos números enteros de
distinto signo es un número negativo.
4 . (–3) = –12
(–5) . 2 = –10
El cociente de dos números de igual signo
es un número positivo.
14 : 7 = 2
–8 : (–2) = 4
El cociente de dos números de distinto
signo es un número negativo.
14 : (–7) = –2
–8 : 2 = –4
Si se multiplican o dividen más de dos números, se deben aplicar las reglas anteriores resolvien-
do las operaciones de izquierda a derecha.
(+5) . ( –2) . ( –7) = (–7) . ( –4) : (–2) =
(–10) . (–7) = 70 (+28) : (–2) = –14
(–24) : (+4) : ( –3) = (+18) : ( –3) . (+5) =
(–6) : (–3) = 2 (–6) . (+5) = –30
CUESTIONARIO
Multiplicación y división
9

ACTIVIDADES
1. Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones.
a. −3 . (−5) = d. −18 : (−6) = g. −45 : (−5) =
b. −8 . 2 = e. −15 . 0 = h. −2 . (−10) =
c. 5 : (−1) = f. −32 . 2 = i. 40 : (−8) =
2. Resuelvan y unan con una flecha cada cálculo con su resultado, cuando sea posible.
a. −16 : (–8) . 8 = • 1
b. −2 . (−4) : (−1) = • 8
c. −2 . 4 : (−1) = • −1
d. −5 . (−6) : (−3) = • 10
e. −5 . 6 : (−3) = • −8
f. −6 . 2 : 12 = • −10
g. 25 : (–1) : (–25) = • 16
3. Resuelvan las siguientes operaciones.
a. 3 . (−8) . (−2) = f. −48 : 8 . (−1) =
b. −10 . 2 : (−5) = g. −140 : 5 : (−7) =
c. −42 : (−6) . (−1) = h. −220 : (−2) . 3 =
d. −4 . (−2) . (−5) = i. 81 : (−9) : (−3) =
e. −1 . (−70) : 35 = j. 38 : 19 . (−453) =
4. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
a. El producto entre dos números enteros negativos es negativo.
b. El cociente entre un número entero (diferente a cero) y su módulo siempre es 1.
c. El producto entre dos enteros positivos es positivo.
d. El producto entre tres enteros negativos es positivo.
e. El cociente entre un entero negativo y su opuesto es siempre −1.
5. Completen la tabla.
a b c a . b b . c a . b : c a : b . c
−12 −6 2
−35 5 −1
100 -25 4
48 12 -2
–18 - 6 –3
10

EJERCICIOS COMBINADOS
Es el momento de resolver ejercicios que incluyen las 4 operaciones vistas en forma combinada.
Pero antes de comenzar, recordemos los procedimientos esenciales a la hora de realizar un
ejercicio combinado:
1- Separar en términos
La separación en términos debe realizarse en donde se encuentran los signos “+” o “ –“
es decir en las “sumas” o las “restas” .
pero no se puede entrar en ningún paréntesis, corchete o llave.
2 - Sumas y restas
Utilizaremos siempre los conceptos de “tener” para números positivos y “deber” para
los números negativos.
59
3 – Multiplicar, dividir o eliminar paréntesis
Utilizamos la regla de signos:
Si los signos son iguales, el resultado es POSITIVO
Si los signos son distintos, el resultado es NEGATIVO
*Esta regla es solo para multiplicaciones, divisiones y eliminar paréntesis como lo
explicado en la pagina 5, no debemos confundirla ni usarla para sumas o restas.
Observemos un ejemplo:
3 .( 8 – 11 ) + 10 : (– 5) – ( – 5 – 1 ) =
Primero separo en términos:
3 .( 8 – 11 ) + 10: (– 5) – ( – 5 – 1 )=
Tengo 8 pero
debo 11
Debo 5 y también
debo 1
Signos distintos,
resultado negativo
11

59
Puedo resolver las operaciones que están dentro de los paréntesis y también puedo resolver la
división que está en el segundo término:
3 .( – 3 ) – 2 – ( – 6 )=
Ahora resuelvo la multiplicación del primer término y saco el paréntesis en el último termino
aplicando la regla de signos:
– 9 – 2 +
+ 6
- 5
VEAMOS OTRO EJEMPLO:
20 : ( 8 – 2 . 6 ) + 5 . ( 13 – 3 . 5 ) =
Primero separo en términos:
20 : ( 8 – 2 . 6 ) + 5 . ( 13 – 3 . 5 ) =
Puedo resolver las operaciones que están dentro de los paréntesis pero debo separar dentro de
ellos para ver en qué orden:
20 : ( 8 – 2 . 6 ) + 5 . ( 13 – 3 . 5 ) =
20 : ( 8 – 12 ) + 5 . ( 13 – 15 ) =
Ahora continúo con las sumas y restas que están dentro de los paréntesis
20 : ( 8 – 12 ) + 5 . ( 13 – 15 ) =
Resuelvo y vuelvo a separar en términos:
20 : (– 4 ) + 5 . (– 2 ) =
Signos distintos,
resultado negativo
Signos iguales,
resultado Positivo
Debo 9 y también debo 2, o sea
que debo 11, pero pago 6,
Por lo tanto quedo debiendo 5
Signos distintos,
resultado Negativo
Signos distintos,
resultado Negativo
Tengo 8 pero debo 12 Tengo 13, pero debo 15
Signos distintos,
resultado Negativo
Signos distintos,
resultado Negativo
12

59
Resuelvo ahora las divisiones y multiplicaciones:
– 5 – 10 =
– 15
Veamos un ejemplo más: Aquí aparecen dos corchetes que separan el ejercicio en dos
términos principales.
[ 2 + 4 . ( 3 – 5 ) ] + 5 .[ – 15 :( – 8 +7) + 3 . (– 4 ) ]=
Pero debo separar dentro también para resolver:
Comienzo resolviendo las sumas y restas que están dentro del paréntesis:
[ 2 + 4 . ( 3 – 5 ) ] + 5 .[ – 15 : (– 8 +7) + (– 5 – 6 ) ]=
[ 2 + 4 . ( – 2 ) ] + 5 .[ – 15 : ( – 1 ) + (– 11 ) ]=
Continúo con las multiplicaciones y divisiones y eliminando el último paréntesis:
[ 2 – 8 ] + 5 . [ 15 – 11 ]=
– 6 4 =
– 6
+ 5 .
+ 20 =
14
Debo 5 y debo 10 por lo tanto,
Debo 15
Tengo 3 y
debo 5
Debo 8 y
tengo 7
Debo 5 y
también debo 6
Signos distintos,
resultado negativo
Signos iguales ,
resultado
positivo
Signos distintos,
resultado negativo
Tengo 2, pero debo 8,
quedo debiendo 6
Tengo 15 y debo 11,
me sobran 4
Debo 6, pero tengo 20.
Pago y me quedan 14
13

59
ACTIVIDAD
Resolver los siguientes ejercicios combinados:
a) – 3 + 5 . ( – 2 – 4 ) =
b) ( 8 – 5 . 4 ) : ( – 12 + 2 . 4 ) =
c) 12 : (– 10 + 8 ) – 2 . ( – 9 + 5 ) =
d) 5 . ( 4 – 7 ) – 21 : ( 9 – 3 . 2 )=
e) [ 7 + 3 . (– 2 – 3 ) ] : ( 9 – 11 ) =
f) 15 : ( 9 – 2 . 7 ) + 3 . ( 14 – 5 . 3 ) =
g) – 2 . ( 3 – 4 . 2 ) + 9 : ( 12 – 3 . 5 ) =
h) ( 4 – 3 . 2 ) + 30 : [ 7 + 5 . ( – 2 ) ] =
i) 5 . ( 7 – 10 ) – 20 : [4 .( –3) + 7 ) =
j) 18: ( 14 – 5 . 4 ) – 5 . ( 8 – 6 . 2 ) =
Respuestas
a) -33
b) 3
c) 2
d) -22
e) 4
f) -6
g) 7
h) -12
i) -11
j) 17
No olvides separar en términos y desarrollar el ejercicio
paso por paso como se muestra en los ejemplos anteriores.
14

La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.
an
= a . a . a . a . a . a… a a0
= 1 (con a ≠ 0)
a1
= a
n veces
exponente
base
23
= 2 . 2 . 2 = 8 34
= 3 . 3 . 3 . 3 = 81
El signo de la potencia depende del signo de la base y del tipo de exponente.
• Si la base es positiva, la potencia siempre es positiva.
35
= 243
• Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva.
(–3)2
= (–3) . (–3) = 9
• Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa.
(–3)3
= (–3) . (–3) . (–3) = –27
La potenciación cumple con las siguientes propiedades:
Propiedades Ejemplos En símbolos
El producto de potencias de igual base es otra
potencia de la misma base, cuyo exponente es
la suma de los exponentes dados.
23
. 22
= 2 . 2 . 2 . 2 . 2
= 23 + 2
= 25
= 32
am
. an
= am+n
El cociente de potencias de igual base es otra
potencia de la misma base, cuyo exponente es
la resta de los exponentes dados.
23
: 22
= (2 . 2 . 2) : (2 . 2)
= 23 − 2
= 21
= 2
ap
: aq
= ap–q
La potencia de una potencia es otra potencia
de la misma base, cuyo exponente es igual al
producto de los exponentes dados.
(23
)2
= (2 . 2 . 2)2
= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
= 26
= 64
(ar
) s
= ar . s
La potenciación es distributiva con respecto a
la multiplicación y la división.
(2 . 5)2
= 22
. 52
= 100
(4 : 2)2
= 42
: 22
= 4
(a . b)n
= an
. bn
(a : b)n
= an
: bn
a. ¿Qué signo tiene el resultado de una potencia con la base negativa y el exponente par?
b. ¿Es cierto que (−9)2
. (−9)3
es igual a (−9)6
?
c. ¿Son verdaderas las siguientes igualdades?
(−7)0
= −1 63
. 52
= 303+2
Potenciación
CUESTIONARIO
15

1. Calculen las siguientes potencias.
a.(−3)4
= d. (−5)0
= g. −70
= j. (−1)3
=
b. (−2)3
= e. (−6)1
= h. (−9)2
= k. 04
=
c. −62
= f. (−4)3
= i. (−10)2
= l. 82
=
2. Completen con o , según corresponda.
a. (−3)3
0 c. (−3)1
0 e. (−4)11
0
b. (−5)4
0 d. (−35)17
0 f. (+16)12
0
3. Completen la siguiente tabla.
a b a2
b2
a3
b3
a0
b1
a2
+ b2
–1 3
–5 –2
4 –6
–2 –3
–4 –2
4. Completen con = o ≠, teniendo en cuenta las propiedades.
a. (3 . 2)2
32
. 22
e. (−3 + 2)3
(−3)3
+ 23
b. (−2)4
. (−2)2
(−2)8
f. [(−3)2
]0
1
c. (−5)6
: (−5)3
(−5)2
g. [(−5)3
]1
(−5)4
d. (34
. 2) : 32
32
. 2 h. 42
. 32
122
5. Resuelvan aplicando propiedades.
a. (−3)2
. (−3)3
: (−3)4
=
b. [(−5)3
]2
: (−5)2
=
c. [(−1) . (−2) . (−3)]8
: [(−6)3
]2
=
d. (2 . 3)6
: (2 . 3)4
=
6. Resuelvan y unan con flechas cada cálculo
con su resultado.
a. (−2)3
. (−2)4
b. [(−2)3
]4
c. (−2)5
: (−2)3
d. (−2) . (−2)2
. (−2)4
e. (−2)5
. (−2)2
: ( −2)7
e. [(−2) . (−3) . (−4)]2
=
f. [(−6)8
: (−6)6
]2
=
g. [(−1)3
: (−1)3
]3
=
h. (35
. 43
)4
: (35
. 44
)3
=
• (−2)2
• (−2)7
• (−2)12
• (−2)0
• (−2)6
Potenciación y sus propiedades
ACTIVIDADES
(−5)4
= 625
16

La radicación es una operación entre dos números a y n llamados radicando e índice, respecti-
vamente.
√
 
_
_
_
_
 
a
 
n
= b
índice radical
radicando raíz
16 = 4 porque 42
= 16 –8
3
= −2 porque (−2)3
= −8
• Si el radicando es positivo, la raíz es positiva.
25 = 5 49 = 7
• Si el radicando es negativo y el índice es impar, la raíz es negativa.
–27
3
= −3 –32
5
= −2
• Si el radicando es negativo y el índice es par, la raíz no tiene solución en el conjunto de los
números enteros, ya que ningún número entero elevado a un exponente par da por resultado un
número negativo.
–4 y –16
4
no tienen solución en el conjunto de los números enteros.
Propiedad Ejemplos
Simplificación de índices 34
=
2:2
34:2
= 32
= 9
Raíz de raíz 16 =
2.2
16 =
4
16 = 2
La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y la división.
n
a . b =
n
a .
n
b
n
a : b =
n
a :
n
b
a. ¿Es cierto que –9 no tiene solución? ¿Por qué?
b. ¿Es verdad que ( 9
4
)2
es igual a 9 ?
c. La radicación ¿es distributiva con respecto a la suma y la resta?
Radicación
CUESTIONARIO
Recuerda que aqui
el indice de la raíz es 2
17

Radicación y sus propiedades
ACTIVIDADES
1. Calculen las siguientes raíces, cuando sea posible.
a. 16 = e. –216
3
= i. 81
4
=
b. –8
3
= f. –32
5
= j. 625
4
=
c. 16
4
= g. –36 = k. 100 =
d. 1
5
= h. –27
3
= l. 0
9
=
2. Resuelvan aplicando propiedades.
a. 256 = d. (–64) : (–1)
3
=
b. 144 . 25 = e.
3
729 =
c. 81 : 9 = f. –1000 : 125
3
=
3. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen cómo lo pensaron.
a. –1
3
+ –1
3
+ –1
3
= –1
9
d. 4 . (9 – 5) = 4 . 9 − 4 . 5
b. 3
4
. 27
4
= 81
4
e.
3
64 = 64
5
c. 49 + 25 = 49 + 25 f. –3
3
. –3
3
. –3
3
= (–3).(–3).(–3)
3
4. Tengan en cuenta el ejemplo y completen.
4 5 9
2 5 3
a. 11 d. 28
11 28
b. 39 e. 70
39 70
c. 110 f. 222
110 222
5. Simplifiquen los índices de las raíces con los exponentes.
a. (–2)6
3
= d. (–8)4
6
=
b. 92
4
= e. 252
=
c. (–8)3
9
= f. 45
10
=
144 . 25 = 60 = 3
25 36
18

59
ACTIVIDAD 6 : Resuelve las siguientes potencias:
(−7)2
= (−4)3
= (−9)2
=
(−5)3
= (−1)6
= (−6)3
=
9 2
= (−2)5
= 13 2
=
(−3)3
= (−12)2
= (−2)4
=
(−11)2
= 160
= (−10)3
=
(−7)0
= (−1)7
= (−3)3
=
ACTIVIDAD 7: Resuelve las siguientes Raíces cuando sea posible:
√−8
3
= √−512
3
= √225 =
√16
4
= √81
4
= √−1
5
=
√529 = √-25 = √125 =
3
√−64
3
= √−32
5
= √-16
4
=
RECUERDA QUE EN LAS POTENCIAS:
Si la b
ase es negativa y el exponente un número par el resultado queda siempre positivo
Si la base es negativa y el exponente un número impar el resultado queda siempre negativo
Si la base es un número POSITIVO el resultado es siempre POSITIVO independientemente de si
el exponente es par o impar.
Y recuerda que: Todo numero elevado a la “0” da como resultado “1” y esto
también es válido para los números negativos, por ejemplo: (−3)0
= 1
Y en cuanto a las raíces recuerda que :
Las Raíces de números negativos no tienen solución si el índice es un número PAR.
Las raíces de números negativos e índice IMPAR, tienen resultado NEGATIVO
Las raíces de números positivos tienen siempre resultado positivo
19

59
Ejercicios Combinados con Potencias y Raíces
Ahora volveremos a resolver ejercicios combinados, pero incorporando las nuevas
operaciones de “
Potencias ” y “
Raíces ”.
Como siempre, el orden en que debemos resolver las operaciones queda determinado por la
“separación en términos” la cual se realiza en los signos “+” y en los signos “-“, es decir
“
sumas ” y“
restas ”.
Debemos recordar también, que al separar no puedo entrar en los “
paréntesis ”, los
“
corchetes ” ni las “
llaves ”,ni tampoco en las raices, debiendo resolver primero lo que esta
dentro de ellos
Comencemos con el siguiente ejemplo:
(𝟕 − 𝟓 . 𝟐 )𝟐
− √𝟓. (−𝟑) − 𝟏𝟐
𝟑
=
Lo primero que hacemos como siempre es separar en términos:
Observo que son dos términos, pero si quiero resolver también tengo que separar dentro del
paréntesis y dentro de la raíz cuadrada.
(𝟕 − 𝟓 . 𝟐 )𝟐
− √𝟓. (−𝟑) − 𝟏𝟐
𝟑
=
Resuelvo entonces primero las multiplicaciones que están dentro del paréntesis y de la raíz
𝟑
(𝟕 − 𝟏𝟎)𝟐
− √−𝟏𝟓 − 𝟏𝟐
Resuelvo lo que quedo dentro del paréntesis y dentro de la raíz teniendo mucho cuidado con
lo que “tengo” y lo que “debo”
( −
𝟑
𝟑 )𝟐
− √−𝟐𝟕 =
Regla de separación en términos
- La separación en términos para resolver un ejercicio debe realizarse en donde
se encuentran los signos “+” o “-“ es decir en las “sumas” o las “restas” .
- No se puede entrar en ningún Paréntesis, corchetes, llaves ni raíces.
- Si podemos separar dentro de ellos para resolverlos.
=
20

59
Ahora resuelvo la potencia y la raíz.
La potencia va a quedar con signo positivo porque el exponente es par.
La raíz va a quedar negativa, pero debo ponerla entre paréntesis para que no se mezcle con el
otro signo negativo que esta antes de la raíz.
𝟗 − (−𝟑) =
Ahora saco el paréntesis aplicando la regla de signos (como son iguales va a quedar positivo):
𝟗 + 𝟑 =
𝟏𝟐
Veamos otro ejemplo:
3
2 . (6 − 11)2
+ 18 ∶ √−11 − 12: (−4) =
Realizo la separación en términos:
2 . (6 − 11)2
+ 18 ∶ √−11 − 12: (−4)
3
=
En principio puedo resolver el primer paréntesis y la división que está dentro de la raíz:
En el paréntesis “tengo 6 y debo 11” por lo tanto quedo “debiendo 5” .
La división da positiva ya que los dos signos de los números que se van a dividir son iguales:
2 . ( −5 )2
+ 18 ∶ √−11 + 3
3
=
Ahora resuelvo la potencia que está en el primer término que da resultado positivo porque
el exponente es par y resuelvo también la operación que está dentro de la raíz, en este
caso “debo 11 y tengo 3” por lo tanto “quedo debiendo 8”
2 .25 + 18 ∶ √−8
3
=
Y ahora resuelvo la multiplicación del primer término y la raíz del segundo que en este caso
queda con resultado negativo porque el índice es impar, por lo tanto debo colocar el resultado
entre paréntesis para que no se junte con el signo de la división.
21

50 + 18 ∶ (−2) =
Resuelvo ahora la división que quedará con signo negativo porque tienen diferente signo los
números que se dividen.
50 − 9 =
41
ACTIVIDAD 1
Separa en términos las siguientes operaciones y resuelve:
a) 
2
(3  7) b) 
3
(8 11) c) 
2
(15 6)
d) (3 . 5 − 20)3
= e) 
2
[4.(2)  3] f) 3
 7  3.(5) 
g) 7.(3)  30 h) √−1 + 5 .10 i) √−15 .2 + 3
3
=
Debes resolver en forma muy ordenada y siempre que tengas dudas acerca de qué
operación se resuelve en primer lugar volvemos a separar en términos.
Es importante marcar esas líneas de separación y si es necesario hacerlo en todos los
renglones que nos lleve el ejercicio.
Siempre al resolver ejercicios combinados recuerda que :
 La separación en términos se hace en las sumas y en las restas.
 No puedes entrar, desde fuera, en paréntesis, ni corchetes, ni llaves ni raíces.
59

Si puedes separar en termino dentro de ellos.
 Recuerda desarrollar los ejercicios en forma vertical, siempre hacia abajo.
 Debes estar atento a todas las reglas de signos y cuando debes utilizarlas.
Te dejamos las respuestas para que puedas comparar los resultados.
a) 16 b) -27 c) 81 d) -125 e) 25 f) 2 g) 3 h) 7 i) -3
 
22

59
ACTIVIDAD 2
a)
3
√52 − (−2) + √36 =
b) 
 5
3
3.4)
(7  2.5) : (11
c) √6.2 − 5.4
3
− (5 − 8)2
= a) 9
d) 

 0
3 1
2
(4)
3
(3  7) : 5
e) 

 3
3
2
125)
 (3
36)
(8
f)
3
(5 − 2 .6)2
+ √52 − 50 .3 =
g) 

 0
2
7
20.4
(6.4  5.6)
h)    

3
7
5
3 5.(3) 12
ACTIVIDAD 3
Resuelve los siguientes ejercicios combinados:
a) √
𝟑
𝟑. 𝟕 − 𝟔. 𝟓 + 𝟓𝟎 + (−𝟑. 𝟒 + √𝟐𝟎. 𝟓 )
𝟑
=
b) 7.(5)  7.2 [(57) : (911) ] 
 2
3
c) √−𝟓 . 𝟐 + 𝟐
𝟑
− √𝟑𝟔 ∶ √𝟗 + (𝟕 − 𝟏𝟐)𝟐
=
d) (𝟑𝟐
+ 𝟓𝟎 ): (−𝟓) − (−𝟗 + 𝟕)𝟐
+ √(−𝟓)𝟐 + 𝟐𝟐 ∶ 𝟐 =
e) [−𝟏𝟓 + √(−𝟓)𝟐 + 𝟐
𝟑
] ∶ (−𝟑) − (−𝟗 + 𝟓)𝟐
=
Recuerda que cuando un resultado queda negativo debes colocarlo entre paréntesis
para que no se choque con otros signos que estén delante de él. Luego deberás
eliminar ese paréntesis con las reglas de signos aprendidas.
RESPUESTAS:
b) 27
c) - 11 d) 9
e) -4 f) 44
g) 27 h) -11
RESPUESTAS:
a) -10
b) 9
c) 21
d) 0
e) -12
23

Resuelvan.
a. (−2)3
+ –1
3
− (−4)3
− 144 = h. –30 – 2
5
+ (−6 + 1 + 3)2
− 0 : 7 =
b. (−8)0
+ (−4)2
. 3 : 6 − –64
3
+ –8
3
= i. 3 . (−2)3
. (−4) − 8 : (−2)2
+ –64
3
− 25 . 5
3
=
c. (−10)1
+ 36 − –27
3
. –32
5
= j. −5 . (−1)0
. (−2)2
− 10 : (−5)1
+ –1 + 82
4
– 4 =
d. (−4)2
. (−3)2
: 8 + 64
6
− –1000 : 2 – 6 . 2
3
= k. 48 . 3 + (−150 + 50) : (−8 + 3) + 2 . 8 =
e. (−5)3
− (−12) : 3 . 4 + 102
+ 2 . 101
+ 100
= l. 82
+ 62
+ (−8)0
− (−5 + 6 + 1)3
+ –343
3
=
f. (–64) : (–4)
4
+ (−6)2
: 12 – (1 + 4 . 3)2
= m. 92
+ 122
+ (–3)2
– (–1 + 2 + 3)3
– –125
3
=
g. –64
3
. (−3 − 2) – (–4)0
. (52
− 1) = n. –3 . (–2)0
. (–2)3
– 15 : (–3)1
+ –1 + 17 – 22 =
ACTIVIDAD 4
24

2 - Ecuaciones con enteros
- Ecuaciones
- Pasaje de términos
- Propiedad distributiva
25

45
Se denomina ecuación a toda igualdad donde aparece un valor desconocido llamado incógnita.
x + 6 = 10
1.0
2.0
miembro
miembro
Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen verdadera la igualdad.
Verificar una ecuación consiste en reemplazar el o los valores encontrados en ella para compro-
bar si la igualdad se cumple. El valor o los valores encontrados forman el conjunto solución.
Para x + 6 = 10, 4 es el conjunto solución porque es el único valor que hace verdadera la igualdad.
x = 4 Verificación: 4 + 6 = 10
Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades, que permiten
obtener ecuaciones equivalentes, es decir, con el mismo conjunto solución.
• Si en una ecuación se suma o resta un mismo número a ambos miembros, se obtiene una
ecuación equivalente a la dada.
x – 3 = 9 x + 4 = 7
x – 3 + 3 = 9 + 3 x + 4 – 4 = 7 – 4
x = 12 x = 3
Verificación: 12 – 3 = 9 ✔ Verificación: 3 + 4 = 7 ✔
• Si en una ecuación se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos
miembros, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
x . 7 = 28 x : 5 = 45
(x . 7) : 7 = 28 : 7 (x : 5) . 5 = 45 . 5
x = 4 x = 225
Verificación: 4 . 7 = 28 ✔ Verificación: 225 : 5 = 45 ✔
ECUACIONES
Para resolver ecuaciones en las cuales la incógnita está afectada por un exponente par, se deben
tener en cuenta los siguientes casos:
n
xn
= |x| si n es par
x2
= 16
x2
= 16
|x| = 4
x = 4 o x = –4
• Se aplica raíz cuadrada en ambos miembros.
• Se aplica la definición
n
xn
cuando el índice es par.
• Se aplica la definición de módulo.
26

59
Por ejemplo: 5 - 2 A = 11
5 – 2 A - 5 = 11 - 5
-2 A = 6
- 2 A : (-2) = 6 : (-2)
A = - 3
Esta forma de resolución da origen a un método muy sencillo llamadopasaje de términos,
que es el más utilizado para resolver ecuaciones y consiste en lo siguiente:
Ejemplo:
Vamos a resolver una ecuación empleando este procedimiento de pasaje de términos:
(C + 3 ) : 4 = 5
PASAJE DE TÉRMINOS
En toda ecuación se puede despejar la incógnita (dejarla sola) pasando de un
miembro al otro los demás términos realizando siempe la operación contraria.
Es decir:
Lo que está SUMANDO pasa RESTANDO .
Lo que está RESTANDO pasa SUMANDO.
Lo que está MULTIPLICANDO pasa DIVIDIENDO.
Lo que está DIVIDIENDO pasa MULTIPLICANDO .
Las POTENCIAS pasaran al otro miembro en forma de RAIZ.
Las RAÍCES pasaran al otro miembro en forma de POTENCIA.
Para que -2A quede solo resto 5
en ambos miembros de la ecuación
Luego para eliminar el -2 que esta
multiplicando divido por -2 en
ambos miembros de la ecuación Y al quedar la A sola puedo
descubrir que su valor es -3
27

59
(C + 3 ) : 4 = 5
(C + 3 ) = 5 . 4
C + 3 = 20
C = 20 – 3
C = 17
Veamos un ejemplo más: (𝟑𝒙 − 𝟕)𝟑
− 𝟐 = 𝟔
Como siempre, primero separamos la ecuación en términos para ver que numero está más
“libre” para despejar:
(3𝑥 − 7)3
− 2 = 6
(3𝑥 − 7)3
= 6 + 2
(3𝑥 − 7)3
= 8
3
3𝑥 − 7 = √8
3𝑥 − 7 = 2
3𝑥 = 2 + 7
3𝑥 = 9
𝑥 = 9: 3
𝑥 = 3
Ahora veremos qué sucede cuando entran en juego los NÚMEROS NEGATIVOS
ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
La llegada de los números negativos a las ecuaciones trae ciertas complicaciones, sobre todo
con la confusión entre el “signo negativo” y la operación de “restar”
Para ello es muy importante que recuerdes que el pasaje de términos de un miembro al otro
de la igualdad se realiza con un cambio de operación y no de signos.
Aquí el 4 es el que está más libre, y
como está DIVIDIENDO lo voy a pasar
al otro miembro MULTIPLICANDO
Ahora paso el 3, que está sumando al
segundo miembro RESTANDO
Y finalmente descubro
que la letra C vale “17”
Ahora paso la POTENCIA CÚBICA
al segundo miembro como RAÍZ
CÚBICA
El “2” es el término que está más libre
por lo tanto como está RESTANDO lo
puedo pasar al otro miembro SUMANDO
Resuelvo
Vuelvo a separar en términos y
paso el “7” que está restando al
segundo miembro sumando.
Por último paso el “3” que
está multiplicando al otro
miembro dividiendo.
28

59
Veamos un ejemplo: 𝟓 − 𝟑𝒙 = −𝟕
Separamos la ecuación en términos para ver qué número está más “libre” para despejar.
Presta mucha atención a las indicaciones en cada paso:
𝟓 − 𝟑𝒙 = −𝟕
−𝟑𝒙 = −𝟕 − 𝟓
−𝟑𝒙 = −𝟏𝟐
𝒙 = −𝟏𝟐 ∶ (−𝟑)
𝒙 = 𝟒
ACTIVIDAD 1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 𝟓 − 𝟒𝒙 = −𝟑
b) −𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟐
c) 𝟔 + 𝟑𝒙 = −𝟗
d) −𝟓𝒙 − 𝟕 = 𝟖
e) 𝟒 − 𝟑𝒙 = −𝟖
f) −𝟓 + 𝟐𝒙 = −𝟗
g) −𝟔𝒙 − 𝟒 = 𝟖
h) 𝟏𝟏 − 𝟐𝒙 = −𝟗
Recuerda que para resolver ecuaciones es fundamental la separación en términos e ir re
solviendo en forma Ordenada.
Recuerda que siempre cambian las operaciones y no los signos.
No debemos decir que “si un numero es positivo pasa negativo ” porque no es el signo
lo que cambia sino la operación. Se debe decir “esta sumando…entonces pasa
restando” recuérdalo muy bien.
Y cuando un número negativo estámultiplicando , pasa dividiendo al otro miembro sin
perder su signo.
A pesar de que hay una resta el “5”
no está restando. El 5 está Sumando,
por lo tanto lo paso restando al
segundo miembro.
Resuelvo con mucho
cuidado. “Debo 7 y debo 5
por lo tanto debo 12”.
El “5” es el término que está más
“solo” por lo tanto será el primero que
pasaré al otro miembro.
No debo olvidarme que el “-3”
es un numero Negativo, y
como no lo he movido de su
lugar sigue siendo Negativo.
Ahora debo pasar el “-3” que está
multiplicando a la “x” al segundo
miembro dividiendo.
Pongo el “-3” entre paréntesis para
que no se choque con el signo de
dividir.
Resuelvo aplicando la regla de signos
para la división. Como tienen el mismo
signo el resultado es POSITIVO.
29

59
𝟖 + √−𝟐𝒙 − 𝟕
𝟑
= 𝟓
Recuerda que lo primero en una ecuación es separar en términos :
𝟖 + √−𝟐𝒙 − 𝟕
𝟑
= 𝟓
𝟑
√−𝟐𝒙 − 𝟕 = 𝟓 − 𝟖
𝟑
√−𝟐𝒙 − 𝟕 = −𝟑
−𝟐𝒙 − 𝟕 = (−𝟑)𝟑
−𝟐𝒙 − 𝟕 = −𝟐𝟕
− 𝟐𝒙 = −𝟐𝟕 + 𝟕
−𝟐𝒙 = −𝟐𝟎
𝒙 = −𝟐𝟎: (−𝟐)
𝒙 = 𝟏𝟎
ACTIVIDAD 2
a) √4 − 2𝑥 + 7 = 15
b) ( 8 – 5 x ) 2
– 7 = 2
c) ( 3x + 6 ) 3
+15 = – 12
e) √7 − 3𝑥 − 8 = −3
f) ( 2x + 7 ) 5
+ 9 = 8
g) ( 9 – 2x ) 2
+ 5 = 14
d) √3 − 5𝑥
3
+ 8 = 5 h) √3 𝑥 + 4
3
+ 7 = 5
Veamos ahora ecuaciones con potenciación y radicación.
Recuerda que para resolver ecuaciones es fundamental la separación en términos e ir
resolviendo en forma ordenada tal como muestran los ejemplos que acabamos de dar.
El “8” es el término que está más
“solo” por lo tanto como está
sumando lo puedo pasar al
segundo miembro restando.
Vuelvo a separar en términos y
paso el “7” que como está
restando pasa al segundo
miembro sumando. El “-2” sigue
quedando con su signo negativo
Por último paso el “-2” que está
multiplicando al segundo miembro
dividiendo.
El resultado quedará
negativo porque el
exponente es impar
Debo 27 y pago 7,
quedo debiendo 20
Tengo 5 y debo 8, por lo
tanto quedaré debiendo 3
Ahora paso la RAÍZ cúbica al
otro miembro como
POTENCIA cúbica
Y como los dos son
negativos el resultado
queda positivo
30

59
ECUACIONES
Veamos un ejemplo y como se resuelve: 𝟐 𝑿 + 𝟓 = 𝟔𝑿 − 𝟑
Como siempre comienzo separando en términos
𝟐 𝑿 + 𝟓 = 𝟔𝑿 − 𝟑
𝟐𝒙 − 𝟔𝒙 = −𝟑 − 𝟓
−𝟒𝒙 = −𝟖
𝒙 = −𝟖: (−𝟒)
𝒙 = 𝟐
ACTIVIDAD 1
a) 𝟑𝒙 + 𝟑 = 𝟓𝒙 − 𝟕
b) 𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟖𝒙 + 𝟗
c) 𝟖𝒂 + 𝟑 = 𝟒𝒂 − 𝟗
d) 𝟓𝒃 + 𝟔 = −𝟖 − 𝟐𝒃
e) 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟕 + 𝟑𝒙
f) 𝟑𝒉 + 𝟕 = 𝟖𝒉 − 𝟖
g) 𝟒𝒄 − 𝟑 = 𝟗 − 𝟐𝒄
h) 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟕𝒙 + 𝟗
Tengo 2x pero debo 6x, por lo
tanto, quedo debiendo 4x
El “5” viene restando pero atrás del
“-3” que sigue conservando su signo.
Es conveniente escribir primero lo
que tengo y luego lo que traigo.
Al resolver “debo 3 y debo 5” por lo
tanto “debo 8”
Algunas ecuaciones presentan la misma incógnita en ambos miembros de la igualdad.
En estos casos debo agruparlas en el mismo miembro para poder resolver
El “5” que esta sumando
lo voy a llevar al segundo
miembro restando
Si bien es una resta, las 6x son
positivas, por lo tanto como
están sumando las voy a pasar
al primer miembro restando
Ahora el “-4” que está
multiplicando pasa al segundo
miembro dividiendo.
Como tienen el mismo
signo el resultado de la
división es positivo.
31

59
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Observemos un ejemplo: −𝟓 . (𝑿 + 𝟐) = − 𝟐 . ( 𝑿 − 𝟒)
Aplico la propiedad distributiva con muchísimo cuidado al multiplicar los signos:
−𝟓.(𝒙+𝟐) = − 𝟐 .( 𝒙−𝟒)
−𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 = − 𝟐 𝒙 + 𝟖
−𝟓𝑿 + 𝟐𝑿 = 𝟖 + 𝟏𝟎
−𝟑𝑿 = 𝟏𝟖
𝑿 = 𝟏𝟖 ∶ (−𝟑)
𝑿 = −𝟔
ACTIVIDAD 2
d) – 4. (𝑩 − 𝟑) = 𝟐. (𝑩 − 𝟗)
e) −2.(𝑪 − 𝟑) = −𝟓. (𝑪 + 𝟑)
a) −5.(𝒙 − 𝟒) = −𝟑. (𝒙 + 𝟐)
b) 𝟑. (𝒙 + 𝟔) = −𝟐. (𝒙 + 𝟏)
c) 𝟐. (𝑨 + 𝟑) − 𝟐. (𝑨 − 𝟒) = 𝟏𝟒 𝒇) − 𝟓. (𝒙 + 𝟐) + 𝟐. (𝒙 − 𝟐) = −𝟏𝟓
En algunas ecuaciones estoy obligado a aplicar la “propiedad distributiva” para resolver.
Como la propiedad distributiva se aplica en multiplicaciones y divisiones, es muy
importante recordar y respetar la regla de signos en cada caso.
El “-5”por x queda “-5x”
mientras que “-5” por el “+2”
queda “-10” ya que signos
distintos dan negativo
Ahora agrupo las letras en el primer
miembro y los números en el
segundo miembro como hicimos en
los ejercicios anteriores.
El “-2” por x queda “-2x”,
mientras que “-2” por “-4”
queda “+8” ya que signos
iguales dan POSITIVO
Las 2x pasan al otro miembro
sumando, mientras que el 10
viene sumando a este miembro.
Resuelvo
Pa
Paso el -3 al otro
miembro dividiendo
Resuelvo
32

59
ACTIVIDAD 3 – Integración de contenidos
A modo de revisión general resuelve las siguientes ecuaciones con el método de “pasaje de
términos” y aplicando propiedad distributiva cuando sea necesario:
a) 𝟓𝑨 + 𝟑 = −𝟏𝟕
b) −𝟑. (𝑪 − 𝟓) = 𝟏𝟐
c) (𝟐𝑫 − 𝟔): 𝟐 = −𝟒
d) (𝟐𝑿 + 𝟏𝟏)𝟐
= 𝟐𝟓
e) √−𝟓𝑿 + 𝟏 = 𝟔
f) 𝟐𝑩 + 𝟏𝟎 = 𝟓𝑩 + 𝟒
g) 𝟒 − 𝟓𝑯 = 𝟐𝟓 − 𝟐𝑯
h) −𝟐. (𝑨 − 𝟖) = 𝟒. (𝑨 − 𝟐)
i) (𝟐𝑿 + 𝟖)𝟑
= −𝟏𝟎𝟎𝟎
j) √𝟒𝑿 − 𝟕
𝟑
= −𝟑
k) (𝟐𝒙 + 𝟔): (−𝟑) = 𝟒
l) −𝟓 = (𝟐𝑨 − 𝟖): 𝟐
m) 𝟏𝟎𝒙 + 𝟔 = 𝟏𝟑𝒙 − 𝟗
n) −𝟗𝒂 − 𝟑 = −𝟒𝒂 + 𝟏𝟕
o) (−𝟔 − 𝟕𝒙)𝟐
− 𝟒 = 𝟔𝟎
p) 𝟕 + √𝟐𝒙
𝟑
= 𝟓
q) 𝟐. (𝒂 + 𝟐) = 𝟒. (𝒂 − 𝟒)
r) 𝟓. (𝒙 − 𝟐) − 𝟑. (𝒙 − 𝟒) = −𝟒
33

3 - Números racionales
- Expresiones decimales
- Operaciones
- Potenciación y Radicación
- Operaciones combinadas
- Notación Científica
34

26
Un número racional es una expresión de la forma
a
—
—
b
, donde a y b son números enteros con b distinto de cero.
Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número racional.
4
—
3
8
—
6
Para obtener fracciones equivalentes se pueden usar los siguientes procedimientos.
Amplificación Simplificación
Se multiplica el numerador y el denominador
por un mismo número natural distinto de cero.
8
—
—
6
4
—
3
. 2
. 2
Se divide el numerador y el denominador por
un mismo número natural que sea divisor de
los dos.
3
—
4
12
—
—
16
: 4
: 4
Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador solo tienen como divisor común al 1.
Es decir ya no se puede simplificar.
Por ejemplo: 7/4 ; 3/5 ; 11/8 Etc.
Una fracción es decimal cuando el denominador es 10, 100, 1 000, etc (Se lee decimos, centesimos,
milesimos... etc.)
——

= 18
Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que
150
—
—
—
300
es equivalente a
1
—
2
?
b. ¿Se puede afirmar que
7
—
4
es una fracción irreducible?
c. ¿Cuál es la fracción correspondiente a la expresión 1,5? ¿Y la de 0,8?
17
10
100 50
—
— 9
—
0,18 = —
• Se escribe en el numerador el número (sin la coma) y
en el denominador, el uno seguido de tantos ceros
como cifras tenga la parte decimal.
• Algunas se pueden simplificar y obtener una fracción irreducible
Toda expresión decimal se puede escribir como fracción.
1,7 =
Fracciones y expresiones decimales
Cuestionario
35

ACTIVIDADES:
1. Escriban la expresión fraccionaria que corresponde a la parte pintada.
a. b. c. d.
2. Marquen con una X las fracciones que se pueden expresar como fracción decimal.
a. 74
—
—
—
200
c. 7
—
2
e.
19
—
—
25
g.
11
—
—
13
b.
4
—
3
d.
4
—
9
f.
14
—
—
49
h.
21
—
—
35
3. Completen con un número para que las fracciones sean equivalentes.
a.
3
—
9
= —
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
18
= 15
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— d.
20
—
—
8
= 5
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— = —
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
12
b.
15
—
—
2
= —
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
10
= 30
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— e.
48
—
—
3
= —
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
4
= 16
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
c.
28
—
—
16
= 7
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— = —
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
12
f.
7
—
9
= 14
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— = —
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
45
4. Escriban la fracción irreducible.
50
15
= c. 1,8
= e. 0,6 = g. 1,22 =
b. —
—
—
180
63
= d. 45
—
—
—
100
= f. 2,35 = h. 0,255 =
5. Escriban la fracción que corresponde a cada expresión decimal.
a. 0,2 =
c. 1,62 =
b. 0,25 = d. 32,1 =
Fracción irreducible —
—
5
Fracción decimal
75
—
—
—
100
Expresión decimal 0,5 3,2
7
—
—
1,4 0,25
a.
36

Parasumar (o restar)fracciones con elmismo denominador,sesuman (orestan)los numerado-
res y se escribe el mismo denominador.
3
5
+
9
5
=
12
5
3
7
−
5
7
= −
2
7
−
3
11
−
5
11
= −
8
11
Algunos resultados pueden a veces simplificarse es decir escribirse como una fracción irreducible:
3
5
+
7
5
=
10
5
= 2
3
8
−
9
8
= −
6
8
= −
3
4
−
3
10
−
2
10
= −
5
10
= −
1
2
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, elijo un denominador común y luego lo divido
por cada uno de los denominadores y a ese resultado lo multiplico por los numeradores.
Paraencontrarundenominador común,sebuscaelmínimocomún múltiplo delosdenominadores.
3
5
+
7
2
=
6 + 35
10
=
41
10
3
8
−
9
4
=
3−18
8
= −
15
8
−
1
2
−
2
5
+
4
3
=
−15−12+40
30
=
13
30
Si el número es entero entiendo que su denominador es “1”
3 −
9
4
=
3
1
−
9
4
=
12−9
4
=
3
4
12
5
− 4 =
12
5
−
4
1
=
12−20
5
= −
8
5
Si un cálculo tiene fracciones y expresiones decimales, se pueden pasar las expresiones decimales a
fracciones y luego resolver:
0,3 −
7
4
=
3
10
−
7
4
=
6−35
20
= −
29
20
3
2
− 1,3 =
3
2
−
13
10
=
15−13
10
=
2
10
=
1
5
Adición y sustracción
10 es el mcm
Divido a 10 por los denominadores y al
resultado lo multiplico por los numeradores
37

ACTIVIDADES
a.
3
—
8 8
9
—
2
+
3
—
4
= e. 3 –
5
=
5 5
7
—
6
7
—
8
=
2. Unan con una flecha cada cálculo con su resultado.
•
10
a.
3
—
5
4
—
9
5
—
—
12
12
—
—
5
5
—
4
d.
9
—
8
+
5
—
6
= •
9
—
4
e. 2 + 0,25 = •
47
—
—
24
•
3. Resuelvan y expresen el resultado como fracción irreducible.
a. —
7
+
3
—
4
–
1
—
2
5
— – (5
—
6
–
1
—
3
=
b.
1
— –
2
—
3 – —
1
—
5
– ( 7
—
—
15
+ 2
2
—
3
+ 1,3 =
c. —
4
– (5
—
8
+
1
—
6
= f. 1,5 – —
5
– 0,4 +
1
—
4
=
a b c a + c b – c a – c
18
—
—
5
1
—
4
5
—
2
9
—
7
0,6
5
—
—
1,9
4
—
5
3
—
4
7
—
2
4
—
7
5
—
—
14
1. Resuelvan las siguientes sumas y diferencias
= c.
= d.
= e.
2
—
b. +
12
—
8
—
= d. = f. 1 +
1
—
–
6
7
– —
c.
+ 0,2 = •
29
—
45
-—
—
11
15
-
4
—
3
= •
b.
1
-—
—
– 2,5 = •
4
5
2
2
1
9
3
3
5. Resuelvan las siguientes sumas y restas.
a. –
3
—
5
+
2
—
7
= e.
10
3
—
— – 1,6 =
b. 1,6 – —
6
1
= f. –
9
—
7
+
5
—
—
14
–
1
—
2
=
c. –—
7
8
–
3
—
4
= g.
13
—
—
6
–
1
—
—
8
–
2
—
3
=
d. –—
—
14
3
+
22
—
—
5
= h. –—
—
12
7
–
8
—
—
14
+
1
—
—
21
=
38

Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican entre sí los numeradores y los
denominadores. Antes de realizar la operación se puede simplificar cualquier numerador
con cualquier denominador.
a
—
b
—
.
d
c
= a .
—
—
—
c
b . d
1
3
2
—
4
. 1
— = ——
2 . 1
3 . 4
= —
—
2
12
6
1
3
2
—
4
. 1
— = ——
2 . 1
3 . 4
= 1
—
6
2
El inverso multiplicativo de
3
—
4
es —
4
3 4
, porque—
3
.
4
3
— = 1. Todo número racional (distinto de cero)
admite un inverso multiplicativo.
Para dividir una fracción por otra (distinta de cero), se multiplica la primera fracción por el inverso
multiplicativo de la segunda. Se dice comunmente que se transforma en una multiplicacion invirtiendo la
segunda fracción.
a
—
b
— — —
:
d
c
= b
a . d
c
=
a .
—
—
—
d
b . c
1
2
7
—
2
: 3
— = 7
—
2 3
. 2
— = 7
—
3
2 : 1
—
3
= 2 . 3 = 6
1
de comprensión
a. ¿Cuánto es —
1
2
de 500? ¿Y la mitad de la mitad de 600?
—
2
b. ¿Es verdadera la siguiente igualdad? 3 . 1
= —
1
2
+
1
—
2
+
1
—
2
c. Cuando se multiplican fracciones, ¿se debe simplificar antes o después de realizar el cálculo?
d. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 6?
41
Cuestionario
39

36
3
—
4
. 5
—
2
= 15
—
—
8
– 2
—
9
. 5
—
3
= –10
—
—
27
a
—
b
. c
—
d
= a . c
—
—
—
b . d
– 2
—
7
. (– 1
—
5 )= 2
—
—
35
4
—
5
. (– 2
—
3 )= – 8
—
—
15
2
—
3
: 4
—
5
= 2
—
3
. 5
—
4
= 5
—
—
6
a
—
b
: c
—
d
= a
—
b
. d
—
c
– 2
—
3
: 5
—
7
= – 2
—
3
. 7
—
5
= –14
—
—
15
– 6
—
5
: (– 1
—
3 )= – 6
—
5
. (– 3
—
1 )= 18
—
—
5
1
—
2
? ¿Y –2 –
1
—
2
2
—
9
: (–
5
—
3 ) =
2
—
9
. 3
—
5
P12-3084-C04.indd 91 9/26/13 3:13 PM
Para multiplicar dos fracciones, se multiplican entre sí los numeradores y los denominadores
Se debe tener en cuenta el signo de cada fracción para aplicar la regla de los signos.
Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la fracción inversa de la segunda.
Se debe tener en cuenta la misma regla de signos que para la multiplicacion
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿A qué es igual –2 . ?
b. En la suma o resta de números racionales, ¿se aplica la regla de los signos?
c. Si se multiplican cinco fracciones negativas, ¿qué signo tiene el resultado?
d. ¿Es verdadera la siguiente igualdad?
Si se multiplican dos numeros de igual signo el resultado es POSITIVO
Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es NEGATIVO
42
Cuestionario

ACTIVIDADES
a.
8
—
—
15
. 27
—
—
15
= d.
12
—
—
33
. 25
—
—
4
. 11
—
—
15
=
b.
8
—
3
. 9
—
—
16
= e.
36
—
—
7
. 8
—
9
. 14
—
—
32
=
c. 0,02 . 24
—
—
5
. 30
—
—
9
= f.
21
—
—
40
. 0,3 . 4 =
a. —
3
: —
9
= d.
32
—
—
15
:
24
—
—
25
=
b.
27
—
—
4
: 3 =
c.
7
—
—
16
:
14
—
—
4
=
5 1
1. Resuelvan las siguientes multiplicaciones. Simplifica cuando sea posible:
2 . Resuelvan las siguientes divisiones.
3. Escriban el cálculo y resuelvan.
a. Las tres séptimas partes de cuarenta y nueve.
b. El triple de nueve quinceavos
.
c. La quinta parte de la mitad de quince.
e.
7
6
—
— : —
—
14
3
=
4. Resuelvan las multiplicaciones y divisiones. Simplifiquen cuando sea posible.
a. –
7
—
8
. 4
21
—
— = e.
3
8
— : (–0,5) =
b. –0,75 .
(–
5
—
—
35 ) = f.
2
3
— .
(– 1
—
2 ) .
(– 5
—
4 ) =
c. 2,25 : (– 5
—
3 ) = g. (–
3
—
5 ) :
6
20
—
— : (– 1
—
4 ) =
d. (– 2
—
7 ) : (–
26
—
—
14 ) = h.
26
3
—
— .
(–
18
—
—
8 ) . 2
—
—
15
=
5. Completen el siguiente cuadro.
a b c a . b b . c a : c b: c
3
—
5
–
1
—
4
4
—
3
–0,4
5
—
6
1,5
1
—
8
–
6
—
5
1
—
6 –
1
—
4
–
–
3
—
4
–—
–
3
—
5
–—
5
41

1
—
4
+ 4
—
5
. 5 : 16
—
—
3
– 3
—
8
. 1
—
2
= 1. Se separa en términos.
1
—
4
+ 4 . 3
—
—
16
– 3
—
—
16
= 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
4
—
—
16
+ 12
—
—
16
– 3
—
—
16
= 13
—
—
16
3. Se resuelven las sumas y restas.
Si en el cálculo hay paréntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos encierran. Luego,
se tienen en cuenta los pasos anteriores.
1 + (2
—
5
+ 11
—
—
10
. 4): 2 – 1
—
—
10
= 1. Se separa en términos.
1 + (2
—
5
+ 22
—
—
5 ): 2 – 1
—
—
10
= 2. Se resuelven los paréntesis. En este caso,
tiene dos términos.
1 + 24
—
—
5
: 2 – 1
—
—
10
=
1 + 24
—
—
5
. 1
—
2
– 1
—
—
10
1 + 24
—
—
10
– 1
—
—
10
= 33
—
—
10
El siguiente problema se puede resolver a través de un cálculo combinado.
Una calle se asfaltó en distintas etapas: un tercio el primer día, un cuarto de lo que quedaba el
segundo día, y se completó el trabajo el tercer día. ¿Qué parte de la calle se asfaltó el tercer día?
1 − 1
—
3
− (1 − 1
—
3 ): 4 = 1
—
2
El tercer día se asfaltó la mitad de la calle.
a. ¿Es verdadera la siguiente igualdad?
9
—
5
–
2
—
5
+
3
—
5
=
9
—
5
– (2
—
5
+
3
—
5 )
b. ¿En qué orden se resuelven las operaciones del siguiente cálculo?
2
—
5 +
5
—
2
. 4
—
3
c. ¿En qué orden se resuelven las operaciones del siguiente cálculo? (2
—
5
+
3
—
5 ) . 1
—
—
15
Cuestionario
stde comprensión
Las operaciones combinadas con números racionales se resuelven de la misma
manera que las operaciones combinadas con números enteros.
Operaciones combinadas
42

Operaciones combinadas
37
a. ¿Cómo se separa en términos en una operación combinada?
b. ¿Es cierto que
7
—
4
– ( 2
—
—
11
+
5
—
7 ) =
7
—
4
+
2
—
—
11
–
5
—
7
?
c. En el cálculo –
5
—
4
+
2
—
9
.
(1
—
8
–
2
—
3 ) –
1
—
2
, ¿se separó correctamente en términos?
d. En el cálculo
3
—
5
–
2
—
5
+
3
—
—
10
.
21
—
—
9
, ¿qué se resuelve en primer lugar?
Cuestionario
En un cálculo combinado de sumas y restas, se pueden suprimir los paréntesis teniendo en
cuenta las siguientes reglas.
• Si hay un signo menos delante del paréntesis, se elimina el signo y se modifica el signo de
cada término.
5
—
7
– (– 2
—
5
+ 1
—
3 )= – 3
—
4
– (1
—
2
– 3
—
5 )=
5
—
7
+ 2
—
5
– 1
—
3
= – 3
—
4
– 1
—
2
+ 3
—
5
=
75 + 42 – 35
—
—
—
—
—
—
—
105
= 82
—
—
105
–15 – 10 + 12
—
—
—
—
—
—
—
—
20
= –13
—
—
20
• Si hay un signo más delante del paréntesis, se elimina el signo y se mantiene el signo de cada
término.
2
—
5
+ (– 1
—
6
+ 3
—
5 )= 1
—
4
+ (2
—
9
– 3
—
8 )=
2
—
5
– 1
—
6
+ 3
—
5
= 1
—
4
+ 2
—
9
– 3
—
8
=
12 – 5 + 18
—
—
—
—
—
—
—
30
= 25
—
—
30
= 5
—
6
18 + 16 – 27
—
—
—
—
—
—
—
—
72
= 7
—
—
72
( – —): + = 1. Se separa en términos.
( ): +
.
3
—
4
5
3 11
10
—
—
12
—
—
—
9 - 20
12
-11
—
—
11
—
—
10
= 3. Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones.
-5
—
—
6
7
—
6
= 2. Se resuelven las operaciones que encierran los paréntesis.
7
—
6
7
—
6
10
—
—
11
6 6
2
—
+
+ = = 4. Se resuelven las sumas y las restas.
7
—
—
1
—
3
Recuerda que para resolver un cálculo combinado es fundamental la separación en términos.
Debes tambien respetar las mismas reglas de signos que para las operaciones con números enteros
43

2. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
ACTIVIDADES:
1. Supriman paréntesis y resuelvan. Antes de resolver, escriban las expresiones decimales como
fracción.
a. – (–0,1) = d.
3
2
— – (–
1
—
2
+
3
—
—
4 ) + (–
3
—
4 ) =
b. + (–
2
—
7 ) = e. 4,5 – 1,2 – (–
8
—
3 ) =
c.
–
3
—
5
8
—
3
1
—
4
– (–
1
—
2 ) + (–0,8) =
5
—
3
f. + (–
1
—
6
–
1
—
3 ) – (–
10
—
—
30 ) =
a.
5
3 (1
—
4
. —
3
2
— – ) = g. –—
—
11
. 2,2 – (–
3
—
5 ) + (–
2
—
—
5 ) . 3
—
4
=
b. (–
1
—
2 ) : (–
5
—
4 ) – (0,3) = h.
22
3
—
— .
(–
4
—
—
11 ) – (–
3
—
5 ) + (–
4
—
—
15 ) =
c. (–
6
—
7
–
1
—
—
14 ) .
(–
3
—
7 ) = i. (2
—
7
–
1
—
—
2 ) :
3
—
4
– —
6
( 1
–
2
—
—
5 ) =
d.
6
7
— .
(–
2
—
5 ) –
8
—
9
: (–1,25) = j. (5
—
9
–
1
—
—
3 ) – (–
3
—
5
+
1
—
—
3 ) .
(–
6
—
9 ) =
e.
3
–
–—
2 1
4
— . —
8
3
+
3
—
7
: (–
1
—
—
14 ) = k. ( 5
—
—
11
–
3
—
—
22 ) : (–
5
—
—
22 ) – (–
2
—
5 ) =
f. –
7
—
8
.
(–
2
—
—
21 ) –
5
—
9
:
3
—
7
– (–
3
—
2 ) = l. (–
7
—
2
+
1
—
—
4 ) .
(–
4
—
7 ) + (– 0,1 ) =
4
3 - Un automóvil gasta tres quintos del tanque de nafta para recorrer la primera etapa de un
cami-no. En la segunda etapa, gasta la mitad de lo consumido en la primera y en la tercera etapa,
el doble que en la segunda.
a. Si el tanque de nafta tiene una capacidad de 56 litros, ¿cuál es el consumo total de nafta?
b. ¿En cuál de las etapas debe recargar combustible?
4 -En un edificio se recaudaron $250000 de expensas. Ese dinero se utilizará de la siguiente
forma: la octava parte para pagar impuestos, la mitad para pagar el sueldo de los distintos
encargados y la tercera parte para mantenimiento. ¿Cuánto dinero se utilizará y cuánto queda?

Potenciación y radicación. Propiedades
Para elevar una fracción a un exponente entero positivo, se eleva al exponente el numerador
y el denominador.
(2
—
3 )2
= 22
—
32
= 2
—
3
. 2
—
3
= 4
—
9 (1
—
2 )3
= 13
—
23
= 1
—
2
. 1
—
2
. 1
—
2
= 1
—
8 (a
—
b
)
n
= an
—
—
bn
Para elevar una fracción a un exponente entero negativo, se calcula el inverso multiplicativo de la
fracción y se eleva al exponente entero positivo el numerador y el denominador.
(2
—
3 )–2
=(3
—
2 )2
= 32
—
22
= 9
—
4 (1
—
2 )–3
= (2
—
1 )3
= 23
= 8 (a
—
b
)
–n
= (b
—
a
)
n
La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador y a la del denominador.
16
—
—
9
=
16
—

—

—
9
= 4
—
3
3 8
—
—
27
=
8
3
—

—

—
27
3
= 2
—
3
a
—
b
n
=
a
n
—
—
b
n
Las propiedades de la potenciación y la radicación son las mismas que para los números enteros.

(1
—
2 )3
. (1
—
2 )2
= (1
—
2 )5
1
—
4
. 1
—
9
= 1
—
4
. 1
—
9

(2
—
5 )3
: 2
—
5
= (2
—
5 )2
100
—
—
—
36
: 4
—
9
= 100
—
—
—
36
: 4
—
9
(1
—
2
. 3
—
4 )2
= (1
—
2 )2
. (3
—
4 )2
3 8
—
—
27
. 1
—
—
64
=
3 8
—
—
27
.
3 1
—
—
64
(2
—
5
: 3
—
2 )3
= (2
—
5 )3
: (3
—
2 )3
3 27
—
—
64
: 1
—
8
=
3 27
—
—
64
:
3 1
—
8
[(1
—
2 )3
]2
= (1
—
2 )6
81
—
—
16
=
4 81
—
—
16
4
1
—
9
. 1
— = 1
—
4
. 1
—
9
—
—
—
100
36 9
: 4
— = —
—
—
100
36
: 4
—
9
3
—
—
8
27
. —
—
1
64 27
=
3
—
—
8 .
3
—
—
1
64
3
—
—
27
64
: 1
—
8 64
=
3
—
—
27
8
:
3 1
—
—
—
81
16
=
4
—
—
81
16
Producto de potencias de igual base: se escribe la misma base y los
exponentes se suman
Cociente de potencias de igual base: se escribe la misma base y los
exponentes se restan
Potencia de potencia: se escribe la misma base y los exponentes
se multiplican
La potencia es distributiva respecto de la multiplicación
La potencia es distributiva respecto de la división
La raíz es distributiva respecto de la multiplicación
La raíz es distributiva respecto de la división
Raíz de raíz: se agrupa en una unica raíz y los indices se multiplican
45

La potencia de una fracción es igual a la potencia del numerador y del denominador.
Cuando se eleva una fracción a un exponente entero positivo, se deben tener en cuenta estos casos:
• Si el exponente es par, el resultado es positivo.
(– 1
—
2 )
2
= 1
—
4
• Si el exponente es impar, el resultado tiene el mismo signo que la base.
(– 1
—
2 )
3
= – 1
—
8 (1
—
2 )
3
= 1
—
8
Para elevar una fracción a un exponente entero negativo, se escribe el inverso multiplicativo y
se resuelve la potencia.
(– 2
—
3 )
–2
= (– 3
—
2 )
2
= 9
—
4
La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador y a la del denominador de la misma.
En caso de que la fraccion sea negativa solo tiene solucion si el indice de la raiz es un numero impar.
121
—
—
4
=
121
—

—

—
4
= 11
—
—
2
3 64
–——
125
=
–64
3
———
125
3
= – 4
—
5
Potenciación y radicación de fracciones negativas
a. La potenciación ¿es distributiva respecto a la multiplicación y a la división?
b. ¿Es cierto que (– 1
—
2 )
4
.
(– 1
—
2 )
2
= (– 1
—
2 )
8
?
c. ¿A qué es igual (– 1
—
3 )
2
? ¿Y –( 1
—
3 )
2
?
Cuestionario
d. ¿Se puede resolver la raíz cuadrada de una fracción negativa?
a. La potenciación, ¿es distributiva respecto a la suma? ¿Y a la resta?
b. ¿Cómo se calcula (3
—
4 )–1
?
c. ¿Qué propiedad se puede aplicar para resolver [(4
—
5 )3
]2
? ¿Cómo se aplica?
d. ¿A qué es igual (4
—
5 )0
?
Las raices pares de numeros negativos no tienen solución en los numeros racionales.
46

Potenciación y radicación. Propiedades
ACTIVIDADES:
1. Resuelvan.
a. (1
—
2 )2
= c. (4
—
7 )0
= e. (5
—
2 )–3
= g. (1
—
6 )–1
=
b. (3
—
4 )4
= d. (9
—
2 )2
= f. (2
—
7 )–2
= h. 8–2
=
2. Calculen las siguientes raíces.
a. 4
—
9
= c. 36
—
—
100
= e.
1
—
—
64
3
= g.
81
—
—
16
4
=
b. 121
—
—
64
= d.
8
—
—
343
3
= f.
125
—
—
27
3
= h.
1
—
—
256
4
=
3. Escriban el exponente para que se verifique la igualdad.
a. (1
—
4 ) = 4 d. 2 =
1
—
8
b. (3
—
4 ) =
27
—
—
64 e. 7 =
1
—
—
49

c. (9
—
5 ) =
25
—
—
81 f. 100 = 1
4. Resuelvan aplicando las propiedades de la potenciación.
a. (1
—
3 )2
. (1
—
3 )3
=
d.
b. (3
—
4 )7
: (3
—
4 )5
= (5
—
6 )12
. 5
—
6
: [(5
—
6 )5
]3
=
c. [(1
—
3 )3
]–1
=
5. Calculen las siguientes potencias.
a. (–
1
—
2
2
) = d. (–0,4)
–3
= g. (–
5
—
3 )–2
=
b. (–
3
—
4 )1
= e. (4
—
7 )0
= h. (–0,25)
–3
=
c. (–
5
—
2 )3
= f. (–1,5)
4
= i. (7
—
4
3
) =
47

6. Calculen, si es posible, las siguientes raíces.
a. –
1
—
64
3
= d. –
16
—
81
4
= g. –
512
—
—
125
3
=
b. –
81
—
25
= e. –
1
—
32
5
= h.
625
—
—
256
4
=
c. –
64
—
27
3
= f. 1,69 = i.
343
—
—
729
3
=
7. Resuelvan aplicando las propiedades de la potenciación.
a. (–
1
—
3 )2
.
(–
1
—
3 )
3
= d.[(–
1
—
2 )2
]2
=
b. (–
2
—
5 )5
: (–
2
—
5 )3
= e. [(3
—
2 )2
]–3
=
c. (–
8
—
3 )4
: (–
8
—
3 )3
= f. (–
1
—
6 )5
: (–
1
—
6 )2
.
(–
1
—
6 )–2
=
8. Resuelvan aplicando propiedades de la radicación.
a.
1
—
3
. 1
—
3
= c.
81
—
16
5
: –
2
—
3
5
=
1
—
3
3
. –
1
—
9
3
= d. 1
—
—
—
—
—
—
4 096
3
=
b.
48

Operaciones combinadas con potencias y raíces
Para resolver cálculos combinando las seis operaciones, se pueden seguir estos pasos. Recuerden
separar previamente en términos.
( 1
—
4
+ 3). 2 + 2–1
+ (1
—
2 )2
= 1. Se resuelven las operaciones
que se encuentran entre paréntesis.
7
—
2
. 2 + 2–1
+ (1
—
2 )2
= 2. Se resuelven las potencias y raíces.
7
—
2
. 2 + 1
—
2
+ 1
—
4
7 + 1
—
2
+ 1
—
4
= 31
—
—
4
(1 – 3
—
4 )4
+ 9
—
2
. (1
—
2
+ 1)–2
+ 3
—
4
. (2 – 1
—
2 )= 1. Se resuelven las operaciones que se
encuentran entre paréntesis.
(1
—
4 )4
+ 9
—
2
. (2
—
3 )2
+ 3
—
4
. 3
—
2
= 2. Se resuelven las potencias y raíces.
1
—
—
16
+ 9
—
2
. 4
—
9
+ 3
—
4
. 3
—
2
1
—
—
16
+ 2 + 9
—
8
= 51
—
—
16
a. En un cálculo combinado, ¿en qué orden se resuelven las operaciones?
d. ¿Cómo se resuelve el siguiente cálculo? 4 . (1 –
1
—
—
2 ) – 1
c. ¿Es verdadera la igualdad?
7
—
5
. (3
—
7
+
2
—
9 )2
=
7
—
5
.
3
—
7
+ (2
—
9 )2
Cuesionario
Otro ejemplo:
b. ¿A qué es igual – 1 – —
—
19
27
3
?

ACTIVIDADES
a.
8
—
—
15
.
(1
—
2 )—1
+
5
—
3
. 23
. 2
—
—
—
—
4
–
2
—
5
= e. 2
—
5
. 2
—
5
+
8
—
—
15
. 3
—
2
– 16
—
—
81
=
b. 2
—
3
. 2
—
3
+ (15
—
—
8
–
3
—
4
. 2)—1
– (4
—
3 )2
= f. 3
—2
+ (7
—
6 )9
: (7
—
6 )8
– (3
—
5
+
1
—
2 ) . 6
—
—
11
+
34
—
—
121
=
c.
6
—
5
. 2 .
(1
—
3
+
2
—
9 ) –
2
—
3
+ (2
—
3
–
1
—
15 )2
= g. (16
—
3
+
6
—
5 ) :
6
—
5
– (2
—
3 )2
.
(2
—
3
–
3
—
8 ) +
35
—
—
3
: 14 =
d.
3
1
—
9
+
5
—
—
27
+ (3
—
4 )—2
– (2
—
9
+ 2) :
10
—
—
3
= h. (28
—
—
15
–
14
—
—
9
:
35
—
—
27 )2
+
25
—
—
3
3
. 5
—
9
3
–
5
—
4
–
2
—
9
. 5
—
2
=
2. Separen en términos y resuelvan.
a. (–
4
—
3
+
1
—
6 ) .
(–
3
—
2
— —
)–2
+ ( 4
3
+
1
8 ) – 1
3
=
b. (3
—
2
–
1
—
2 )2
+ –
1
—
64
3
–
c. 1 –
7
—
8
3
– (–
2
—
5
+
1
—
10
0,5 =
)–1
+ 0,3 =
d. –(8
5
— –
6
—
15 ) – 1 –
31
32
5
—
— + (–
7
—
5 )2
=
e. (2 1
—
9 )–1
+ (–
3
—
7
+
10
—
14 )2
– (–7)–1
=
3. Planteen el cálculo y resuelvan.
a. El cuadrado de menos un cuarto aumentado en la tercera parte del opuesto de dos tercios.
b. El producto entre diecisiete medios y la raíz cuadrada de la suma entre un tercio y el opuesto
de menos trece novenos.
c. El cociente entre la raíz cúbica del opuesto de un octavo y el cuadrado de menos cuatro quintos.
d. La décima parte del cuadrado de la suma entre el opuesto de un cuarto y un octavo.
e. La suma entre la raíz cúbica del cuadrado de menos un octavo y el cuadrado de menos dos séptimos.
50

ACTIVIDADES:
1. Supriman paréntesis y resuelvan. Antes de resolver, escriban las expresiones decimales como
fracción.
a. – (–0,1) = d.
3
2
— – (–
1
—
2
+
3
—
—
4 ) + (–
3
—
4 ) =
b. + (–
2
—
7 ) = e. 4,5 – 1,2 – (–
8
—
3 ) =
c.
–
3
—
5
8
—
3
1
—
4
– (–
1
—
2 ) + (–0,8) =
5
—
3
f. + (–
1
—
6
–
1
—
3 ) – (–
10
—
—
30 ) =
a.
5
3 (1
—
4
. —
3
2
— – ) = g. –—
—
11
. 2,2 – (–
3
—
5 ) + (–
2
—
—
5 ) . 3
—
4
=
b. (–
1
—
2 ) : (–
5
—
4 ) – (0,3) = h.
22
3
—
— .
(–
4
—
—
11 ) – (–
3
—
5 ) + (–
4
—
—
15 ) =
c. (–
6
—
7
–
1
—
—
14 ) .
(–
3
—
7 ) = i. (2
—
7
–
1
—
—
2 ) :
3
—
4
– (–
1
—
6
–
2
—
—
5 ) =
d. — .
(–
2
—
5 ) –
8
—
9
: (–1,25) = j. (5
—
9
–
1
—
—
3 ) – (–
3
—
5
+
1
—
—
3 ) .
(–
6
—
9 ) =
e.
3
–
–—
2 1
4
— . —
8
3
+
3
—
7
: (–
1
—
—
14 ) = k. ( 5
—
—
11
–
3
—
—
22 ) : (–
5
—
—
22 ) – (–
2
—
5 ) =
f. –
7
—
8
.
(–
2
—
—
21 ) –
5
—
9
: – (–
3
—
2 ) = l. (–
7
—
2
+
1
—
—
4 ) .
(–
4
—
7 ) + (– 0,1 ) =
4
3 - Un automóvil gasta tres quintos del tanque de nafta para recorrer la primera etapa de un
cami-no. En la segunda etapa, gasta la mitad de lo consumido en la primera y en la tercera etapa,
el doble que en la segunda.
a. Si el tanque de nafta tiene una capacidad de 56 litros, ¿cuál es el consumo total de nafta?
b. ¿En cuál de las etapas debe recargar combustible?
4 -En un edificio se recaudaron $250000 de expensas. Ese dinero se utilizará de la siguiente
forma: la octava parte para pagar impuestos, la mitad para pagar el sueldo de los distintos
encargados y la tercera parte para mantenimiento. ¿Cuánto dinero se utilizará y cuánto queda?
52
3
4
—
5
9

Aproximación. notación científica
Aproximación
Para aproximar una expresión decimal a una cifra determinada n, se pueden usar los siguientes métodos.
• Por truncamiento.
Se dejan las primeras n cifras decimales y se suprimen las otras cifras.
5,324 a los décimos es 5,324.
5,324 a los centésimos es 5,324.
• Por redondeo.
Hay que observar la cifra siguiente a la cifra n:
− si es mayor o igual que 5, se suma 1 a la cifra n y se eliminan las cifras que le siguen;
− si es menor que 5, se deja la cifra n igual y se eliminan las cifras que le siguen.
1,762 aproximado a los décimos es 1,8.
1,762 a los centésimos es 1,76.
Notación científica
La notación científica se utiliza para escribir números muy grandes o pequeños de forma abre-
viada. Un número está escrito en notación científica cuando está expresado como el producto entre
una potencia de 10 y un número cuyo módulo es mayor o igual que 1 y menor que 10.
210000 = 2,1 . 105
74100000 = 7,41 . 107
0,000021 = 2,1
——
105
= 2,1 . 10–5
0,0000035 = 3,5
——
106
= 3,5 . 10–6
0,000000741 = 7,41
——
107
= 7,41 . 10–7
a. Para aproximar un número por redondeo a los centésimos, ¿hay que observar la cifra de los
milésimos?
b. ¿Cómo se aproxima a los centésimos el número 5,333?
c. ¿Cómo se escribe 600 en notación científica? ¿Y 0,062?
32
Cuestionario

ACTIVIDADES: Aproximación. notación científica
Expresión fraccionaria Expresión decimal
Aproximación por
truncamiento a los
centésimos
Aproximación
por redondeo a los
centésimos
6
—
—
—
125
0,625
141
—
—
—
50
3
—
—
—
200
2. Unan con una flecha cada número con su notación científica.
a. 520
• 5,2 . 10–3
b. 0,0052
• 5,2 . 10−2
c. 52 000
• 5,2 . 104
d. 520 000 000
• 5,2 . 108
e. 0,000000052
• 5,2 . 10−8
• 5,2 . 102
3. Escriban los siguientes números expresados en notación científica.
a. 8 . 102
=
b. 7. 106
=
c. 9,3 . 109
=
d. 6,318 . 108
=
e. 4 . 10–5
=
f. 3,7 . 10–1
=
g. 7,6 . 10–8
=
h. 8,752 . 10–7
=
4. Escriban cada número en notación científica y resuelvan.
a. 72 000 000 . 20 000 . 0,00005 = d.
0,0000006 . 240 000
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— =
b. (400)2
. 0,0000003 . 9 300 000 = e.
360 000 000 . 0,008
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— =
c.
51 200 000 . 350 000
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— = f.
(0,00006)2
. 235 000 000
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
4000000
=
0,000032 . 0,02
0,00005
0,000000015 . 1 200 000
3,154
53

4 - Ecuaciones con racionales
- Ecuaciones
- Problemas
54

33
Ecuaciones
En las siguientes ecuaciones la incógnita está afectada por un exponente o raíz.
1
—
5
x
2
+ 1
—
2
= 7
—
4
3 4
—
3
x + 4
—
—
27
= 2
—
3
1
—
5
x
2
= 7
—
4
– 1
—
2
4
—
3
x + 4
—
—
27
= (2
—
3 )3
1
—
5
x
2
= 5
—
4
4
—
3
x + 4
—
—
27
= 8
—
—
27
x
2
= 5
—
4
: 1
—
5
4
—
3
x = 8
—
—
27
– 4
—
—
27
x
2
= 5
—
4
. 5
4
—
3
x = 4
—
—
27
x
2
= 25
—
—
4
x = 4
—
—
27
: 4
—
3
x = 4
—
—
27
. 3
—
4
x = 1
—
9
a. ¿Son verdaderas estas igualdades? x : 2 =
x
—
2
=
1
—
2
x
b. x = 4, ¿es solución de la ecuación 2x –
3
—
2
= x + 9?
c. ¿Cuándo dos ecuaciones son equivalentes?
d. ¿Cómo se verifica la solución de una ecuación?
de comprensión
2
1
— x + 2
—
5
= 1
—
5
+ 1
—
4
x – 2
—
3
. (1
—
4
x + 3
—
2 )= 1
—
3
x + 3
—
4
2
1
— x – 1
—
4
x = 1
—
5
– 2
—
5
– 2
—
3 4
. 1
— x – 2
—
3 2
. 3
— = 1
—
3
x + 3
—
4
4
1
— x = – 1
—
5
– 1
— x – 1 = 1
—
3
x + 3
—
4
x = – 1
—
5
: 1
—
4
6
x – 1
—
3
x = 3
—
4
+ 1
x = – 1
—
5
. 4
– 1
—
6
– 1
—
6
x – 2
—
6
x = 3
—
4
+ 4
—
4
x = – 4
—
5
– 1
—
2
x = 7
—
4
x = 7
—
4
: (– —
1
2 )
x = 7
—
4
. (–2)
x = – 7
—
2
Para resolver ecuaciones en el conjunto de los números racionales, se aplican las mismas propiedades
que para los números enteros.
En las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por un exponente
par, se deben considerar las dos soluciones que tiene la ecuacion.
x2
= —
—
25
4
|x| = —
2
x = —
2
o x = –—
2
—
2
0
—
2
– –1
Existen dos números cuya distancia al cero es —
.
5
5 5
5
2
5
1 2
–2
5
Cuestionario

1. Resuelvan las siguientes ecuaciones .
a.
1
—
3
x +
3
—
2
= –2 e.
2
—
5
x –
1
—
15
=
3
—
10
x +
4
—
5
b.
2
—
9
–
1
—
9
x = –
5
—
6 f.
5
—
12
+
3
—
2
x = –
8
—
3
x –
5
—
3
c.
3
—
4
=
7
—
12
x +
5
—
6
g. 0,4 + —
1
2
x = –—
1
6
x – 1
d. –
1
—
3
= 1 –
5
—
8
x h.
2. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a.
1
—
3
x – 1 =
2
—
3
d.
1
—
4
x – 0,2 = 0,1
b.
7
—
2
x + –
1
—
64
3
= –
3
—
8
e. 9x2 = –
3
—
2
c.
3
—
10
x +
8
—
5
=
7
—
—
10
f.
5
—
6
x2
– (–
1
—
2 ) =
17
—
10
Ecuaciones
ACTIVIDADES
5
—
4
+
5
—
6
x = –—
8
3
x –
5
—
3
–
21
2
—
3. Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad distributiva.
a. —
2 3 10
1
—
4
3 . (x – 1) =
2
— c. –—
—
7
+ x = (x –
6
—
5 ) .
10
—
3
b.
5
—
9
x – 2 = (x + 2) .
(–
3
—
9 ) d. (x – 3) . (–
2
—
7 ) =
3
2
— .
(x +
1
—
6 )
56

Hay problemas que se pueden resolver planteando ecuaciones con números racionales.
La diferencia entre el triple de un número y once novenos es igual al cuadrado de dos tercios.
¿Cuál es el número?
3x – 11
—
—
9
= (2
—
3 )2
3x – 11
—
—
9
= 4
—
9
3x = 4
—
9
+ 11
—
—
9
x = 15
—
—
9
: 3
x = 5
—
9
El número es 5
—
9
.
Para plantear la ecuación, hay que traducir el problema al lenguaje simbólico.
Total del dinero ahorrado: x
Dinero para la bicicleta: 1
—
3
x
Dinero para ropa: 1
—
2
. 2
—
3
x
x = 1
—
2
x + 1
—
2
. 2
—
3
x + 500
x = 1
—
2
x + 1
—
3
x + 500
x = 3
—
6
x + 2
—
6
x + 500
x – 5
—
6
x = 500
1
—
6
x = 500
x = 500 : 1
—
6
x = 3000 Ignacio tenía ahorrados $3000.
2
—
5
.
La edad de Juan más sus dos quintas partes, es igual a la edad que tendrá dentro de seis años.
¿Cuántos años tiene Juan?
2
—
5
2
—
5
J = 6
J = 6 : 2
5
J + J - J = 6
J + J = J + 6
Problemas con ecuaciones
Ignacio gastó la tercera parte de sus ahorros en una bicicleta y la mitad del resto en ropa. Si
aún le quedan $500, ¿cuánto dinero tenía ahorrado Ignacio?
J = 6 . 5
2
J = 15 La edad de Juan es 15 años
57

1. Planteen la ecuación y respondan.
a. La diferencia entre las dos terceras partes de un número y su mitad es igual al doble de siete
octavos. ¿Cuál es el número?
b. La mitad de un número es igual a la tercera parte del número aumentado en siete sextos.
¿Cuál es el número?
c. El cociente entre el triple de un número y el cuadrado de seis es igual a once. ¿Cuál es el número?
d. De los alumnos de 1.° A, las tres quintas partes aprobó Ciencias Sociales durante el año.
La sexta parte aprobó en diciembre y los restantes siete alumnos, en marzo. ¿Cuántos
alumnos tiene 1.° A?
Problemas con ecuaciones
ACTIVIDADES
3. Planteen la ecuación y resuélvanla. Luego, encuentren la longitud de cada lado.
a. Perímetro = —
—
51
5
cm b. Perímetro = —
—
16
3
cm
x
1
—
3
x
6
—
5
x
x
2. Planteen la ecuación y resuelvan.
a. En la biblioteca de la escuela, la tercera parte de los libros son de literatura, la mitad del
resto son de ciencias y 50 libros son de inglés. ¿Cuántos libros hay en total en la biblioteca?
b. En una pecera hay peces de tres colores. La quinta parte son azules, las tres octavas partes
del resto son verdes y hay 15 peces blancos. ¿Cuántos peces de cada color hay?
58

5 - Lugar geométrico
- Ángulos
- Triángulos
- Teorema de Pitágoras
59

Ángulos
Los ángulos se clasifican según su amplitud en: nulos (miden 0°), agudos (miden más de 0° y menos
de 90°), rectos (miden 90°), obtusos (miden más de 90° y menos de 180°) y llanos (miden 180°).
• Dos ángulos son consecutivos cuando
tienen el vértice y un lado en común. α
γ
• Dos ángulos son complementarios • Dos ángulos son suplementarios
cuando suman 90°. cuando suman 180°.
γ
α
δ
β

∧
 
γ  +  
∧
 
α= 90°.
∧
 
β 
+
∧
 
δ = 180°.
Si
∧
 
γ  mide 75°, entonces  
∧
 
α mide 15°, Si
∧
 
β 
mide 75°, entonces
∧
 
δ  mide 105°,
porque 90° – 75° = 15°. porque 180° – 75° = 105°.
Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios.
∧
α +
∧
β = 180°
α
β
Ángulos opuestos por el vértice
Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el vértice en común y sus lados son
semirrectas opuestas.
∧
α y
∧
β son opuestos por el vértice.
∧
π y
∧
γ son opuestos por el vértice.
γ
π
α
β
Los ángulos opuestos por el vértice son CONGRUENTES (tienen la misma medida).
Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice
Ángulos complementarios y suplementarios
60

ACTIVIDADES
1. Coloquen , o =, según corresponda.
Complemento de 1°.
Suplemento de 145°
Suplemento de 135°.
a. Suplemento de 130°.
b. Suplemento de 156°.
c. Complemento de 45°.
d. Suplemento de 166° Complemento de 78°
2. Planteen las ecuaciones, resuelvan e indiquen el valor de cada ángulo.
a. Datos: c. Datos:
 
∧
 
α= 3x + 10°
∧
 
ε = 4x – 10°

∧
 
β 
= 2x + 35°
∧
 
δ = 5x + 100°
 
∧
 
αy
∧
 
β 
son complementarios.
∧
 
ε y
∧
 
δ son suplementarios.
 
∧
 
α =
∧
 
β 
=
∧
 
ε  =
∧
 
δ  =
4. Escriban las ecuaciones, resuelvan y calculen el valor de los ángulos dados.
a. Datos:
∧
∧
α = 2x – 18°
c. Datos:
∧
π = 17x – 20°
β = 5x – 5°
∧
ε = 14 x + 10°
α β
π
ε
∧
α =
∧
β =
∧
π =
∧
ε =
b. Datos:
∧
δ = 8 x – 47°
d. Datos:
∧
θ =2x – 12°
∧
ω = 3 x + 33°
∧
γ= 4x + 60°
δ ω
θ
γ
∧
δ =
∧
ω =
∧
γ =
∧
θ =
3. Completen la tabla teniendo en cuenta el gráfico.
γ
π
α
β
R
T
∧
α
∧
β
∧
γ
∧
π
35°
47°
98°
115°
61

ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal
• Ángulos correspondientes: son los pares de ángulos no adyacentes que están en el mismo
semiplano respecto de la transversal, siendo uno interno y otro externo.
• Ángulos alternos: son los pares de ángulos (internos o externos) no adyacentes que están en
distintos semiplanos respecto de la transversal.
• Ángulos conjugados: son los pares de ángulos (internos o externos) que están en el mismo
semiplano respecto de la transversal.
La recta T es transversal porque interseca a A y B;
T divide el plano en dos semiplanos.
T (transversal)
B
A
1
5
3
7
4
8
2
6
externos
externos
internos
Por ejemplo:
7

y 3

son correspondientes.
4

y 5

son alternos internos.
3

y 6

son alternos externos.
2

y 5

son conjugados internos.
1

y 6

son conjugados externos.
Como las rectas A y B son paralelas, se cumplen las siguientes propiedades:
Los ángulos correspondientes son congruentes.
Los ángulos alternos son congruentes.
Los ángulos conjugados son suplementarios.
1. Dibujen los pares de ángulos pedidos.
a. Dos ángulos correspondientes α

y β

.
b. Dos ángulos alternos internos δ

y ε

.
c. Dos ángulos conjugados ω

y π

.
T
B
A
ACTIVIDADES
Dos rectas paralelas al ser cortadas por una recta transversal determinan 8 ángulos que establecen entre si
las siguientes clasificaciones:
62
A // B
62

2. Clasifiquen los ángulos pedidos.
a. π

y λ

son .
b. β

y γ

son .
c. α

y ε

son .
d. π

y γ

son .
e. β

y ω

son .
f. ε

y β

son .
g. γ

y ω

son .
β
α
δ
γ
ω
π
ε λ
T
A
B
h. δ
y ε

son .
3. Calculen la medida de los ángulos. Expliquen la respuesta.
a. A // B α

= 47o
β

=
λ

=
ε

=
π

=
γ

=
β
α
γ
π
ε
λ
T
A
B
b. A // B δ

= 108 o
ε

=
ω

=
λ

=
π

=
α

=
α
δ
ω
π
ε
λ T
A B
c. A // B ε

= 39o
52’’
γ

=
β

=
ω

=
α

=
π

=
β
ω
α π
γ ε T
A B
A // B
63

4. Calculen el valor de x y la medida de los ángulos.
a. A // B
α

= 3x + 40o
β

= 5x – 20o
α
β
B
A
T
x = α

= β

=
b. A // B
δ

= 6x – 90o
π

= 2x + 10o
A
B
R
δ
π
x = δ

= π

=
c. A // B
ω

= 7x – 15o
ε

= 3x + 50o
ω
ε
A
B
S
x = ω

= ε

=
d. A // B y C // D
α

= 3x – 23o
ω

= 8x – 157o
x = α

= β

=
D C
A
B
α β
λ
ω γ
λ

= γ

= ω

=
64

Triángulos. Elementos y propiedades
Cuestionario
Los triángulos se clasifican según sus lados en:
• Escalenos: todos sus lados miden distinto.
• Isósceles: tienen al menos dos lados congruentes.
• Equiláteros: todos sus lados son congruentes.
Los triángulos se clasifican según sus ángulos en:
• Acutángulos: tienen tres ángulos agudos.
• Rectángulos: tienen un ángulo recto.
• Obtusángulos: tienen un ángulo obtuso.
En todo triángulo se cumplen las siguientes propiedades:
hc es la altura.
γ
β
α
c
a h
b
• La medida de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
ab bc + ca bc ca + ab ca ab + bc
• La suma de los ángulos interiores es igual a 180°.

^ 
a +
^
 
b +
^ 
c = 180°
• La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°.

^
 
γ
 
+

^
 
β
 
+

^
 
α
 

= 360°
• Cada ángulo exterior es suplementario con el ángulo interior correspondiente.
^
a + ^
α = 180°
^
b +
^
β = 180° ^
c + ^
γ = 180°
• Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
^
α =
^
b + ^
c
^
β = ^
a + ^
c ^
γ = ^
a +
^
b
a. Un triángulo obtusángulo, ¿puede tener un ángulo menor que 90°?
b. ¿Se puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 35°, 27° y 118°?
c. Un ángulo exterior, ¿puede medir más de 180°?
d. ¿Es posible construir un triángulo equilátero rectángulo?
En todo triángulo se cumplen las siguientes propiedades:
Lados congruentes:que tienen la misma medida
65

ACTIVIDADES
1. Calculen, cuando sea posible, el valor de los ángulos. Clasifiquen los triángulos según sus
ángulos. Expliquen las respuestas.
a. c.
α

= g

=
b

= h

=
α
c
72°
35°
a b 138°
h
i
g
i

=
b. d.
d
= k

=
e

=
163° 47°
e
f
d f

=
α
42°
l
2. Calculen el valor de x y la medida de los ángulos
. a. a

= 3x + 25°; b

= 2x + 45°
a

=
b

=
120°
b
a
c
b. α

= 3x – 80°; β

= 2x + 20°; γ

= x – 18°
α

=
β

=
β
γ
α
e
f
γ

=
d
j k
P13-3084-ActivaDos Mate 2.indb 153
α

=
α

=
α

=
3. Calculen la medida de los ángulos teniendo en cuenta las propiedades.
a. Datos: c. Datos:
^
a = 7x + 3°
^
b = 95° – 2x
^
c = 4x + 37°
^
α = 8x – 39°
^
β = 7x – 41°
^
ε = 26° + 3x
c
b
α
β
g ε
i
h
a
b. Datos: d. Datos:
^
δ = 77° α
^ = 90°
^
d = 4x – 8°
^
j = 2x + 7°
^
f = 6x – 35°
^
k = 8° + 3x
δ
f
e
α
j
l
k
d
66

Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras
a. ¿A qué lado de un triángulo se lo llama hipotenusa?
b. ¿Se puede aplicar el Teorema de Pitágoras en un triángulo acutángulo?
c. Si se sabe que los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm, para obtener la
medida de la hipotenusa se hace H2
= 32
+ 42
, ¿es cierto que hay dos resultados posibles?
a Cateto
Cateto
Hipotenusa
c
b
α
β
α

+ β

= 90°
a
c
b
Un triángulo es rectángulo cuando tiene un
ángulo recto.
En los triángulos rectángulos, los lados que
forman el ángulo recto se llaman catetos y el
opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, que
es el lado de mayor longitud.
Los triángulos rectángulos pueden ser esca-
lenos o isósceles, nunca equiláteros.
La suma de los ángulos agudos de un trián-
gulo rectángulo es igual a 90°, es decir, son
complementarios.
TEOREMA DE PITAGORAS
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado
de la medida de la hipotenusa es igual a la
suma de los dos cuadrados de las medidas
de los catetos. Esta relación se denomina
relación pitagórica
A
B H
H2 = A2 + B2
Cuestionario
67

ACTIVIDADES
1. Calculen el valor de los lados que faltan en cada triángulo.
a. Datos: ac = 8 cm b. Datos: df = 13 m
ab = 6 cm ef = 12 m
c
a b
f
d e
bc = de =
a) Halla la medida en metros de la
HIPOTENUSA
b) Halla la medida, en centímetros, de la
hipotenusa
c) Halla la medida del cateto
faltante
d) Halla la medida, en metros, del cateto
faltante
2. Calculen el valor de los lados que faltan en cada triángulo.
68

6 - Figuras planas
- Cuadrilateros
- Circuloycircunferencia
- Polígonos
69

Cuadriláteros. Elementos y propiedades
a. ¿Por qué el rombo, el paralelogramo, el rectángulo y el cuadrado son paralelogramos?
b. ¿Se puede decir que el cuadrado es un rombo?
c. ¿Por qué los trapecios no son paralelogramos?
Un cuadrilátero es una figura que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Pueden clasificarse de
acuerdo a las propiedades que estos cumplen:
Nombre Figura Lados Diagonales Ángulos
Trapezoides
Trapezoide
No tienen lados
paralelos.
El romboide tiene
dos pares de lados
consecutivos
iguales.
Romboide
La principal es
mediatriz de la
otra.
Tiene un par de
ángulos opuestos
iguales.
Trapecios
Trapecio
rectángulo
Tienen un solo par
de lados opuestos
paralelos.
En el trapecio
isósceles los lados
no paralelos son
iguales.
No se cortan en el
punto medio.
En el trapecio
isósceles son
iguales.
Los ángulos no
opuestos ni adya-
centes a las bases
son suplementarios.
En el trapecio isós-
celes los ángulos
adyacentes a las
bases son iguales.
Trapecio
isósceles
Trapecio
escaleno
Paralelogramos
Rombo
Tiene cuatro lados
iguales. Los lados
opuestos son
paralelos.
Son perpendiculares
y se cortan en su
punto medio.
Los ángulos
opuestos son
iguales.
Paralelogramo
Tienen dos pares
de lados paralelos
y opuestos iguales.
Se cortan
mutuamente en su
punto medio.
Rectángulo
Son iguales y se
cortan en su punto
medio.
Tienen cuatro
ángulos rectos.
Cuadrado
Tiene los cuatro
lados iguales y
paralelos dos a dos.
Son iguales,
perpendiculares y
se cortan en su
punto medio.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
Cuestionario
70

Trapecios y romboides
Se denomina trapecio a todo cuadrilátero que tiene un solo par de lados paralelos.
ab // dc
ab es la base mayor.
dc es la base menor.
mn es la base media del trapecio.
a
m
d
b
n
c
• Se denomina trapecio isósceles al que tiene los dos lados no paralelos congruentes.
• Se denomina trapecio rectángulo al que tiene dos ángulos rectos.
• La base media es el segmento determinado por los puntos medios de los lados no paralelos;
su medida es igual a la mitad de la suma de las medidas de las bases.
Se denomina trapezoide a todo cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
Un romboide es un trapezoide que tienen dos pares de lados consecutivos congruentes.
bd es la diagonal principal. La diagonal principal de un rom-
boide está incluida en la bisectriz de los ángulos cuyos vérti-
ces une (d y b). La diagonal principal de un romboide está
incluida en una recta que es mediatriz de la otra diagonal.
a c
d
o
a. Un trapecio, ¿es un paralelogramo?
b. Las diagonales del romboide, ¿se cortan en un punto medio?
c. El trapecio rectángulo, ¿tiene más de un ángulo recto?
d. Con dos ángulos y la altura, ¿cuántos trapecios distintos se pueden construir?
b
Cuestionario
Se denomina paralelogramo a todo cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos.
En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es de 360°.
PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
CUADRADOS
• Cumplen todas las propiedades
anteriores.
RECTÁnGULOS
• Cumplen las tres propiedades
anteriores.
• Tienen cuatro ángulos rectos.
• Las diagonales son congruentes.
ROMBOS
• Cumplen las tres propiedades ante-
riores.
• Tienen cuatro lados congruentes.
• Las diagonales son perpendiculares.
PARALELOGRAMOS (En GEnERAL)
• Los lados opuestos son congruentes.
• Los ángulos opuestos son congruentes.
• Las diagonales se cortan mutuamente en su punto medio.
71

ACTIVIDADES
a. Las diagonales de un cuadrado, ¿son congruentes? ¿Y las del rombo?
b. Las diagonales de un rectángulo, ¿se cortan mutuamente en su punto medio? ¿Y las del rombo?
c. Un cuadrado, ¿es un rombo?
d. Un rectángulo, ¿es un cuadrado?
2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
a. En un paralelogramo las diagonales son siempre congruentes.
b. Un cuadrado no es un paralelogramo.
c. Los lados opuestos en un paralelogramo son siempre congruentes.
d. Las diagonales en un paralelogramo son siempre perpendiculares.
e. Las diagonales en un paralelogramo siempre se cortan mutuamente en su punto medio.
f. Los ángulos opuestos en un paralelogramo no son congruentes.
3. Calculen la longitud de cada lado.
a. c.
a b
c
d d c
b
a
bc = 4x + 15 cm ac = 3x
b.
a b
c
d
c
b
a o
ab = 5x bd = 8 cm ac = 6x
bc = 3x
cd = 2x
da = x + 8 cm oc = 2x ob = x
ab = 5x + 12 cm
cd = 3x + 24 cm
ab = x + 8 cm
cd = 4x – 10 cm
4. Calculen la medida de los ángulos indicados.
a. b.
b

= f

=
c

= g

=
53° 15’
a
d
b
c
d

=
82° 40’
h
f
g
e
h

=
d..
72

ACTIVIDADES
6. Hallen la medida de los lados y los ángulos de los siguientes cuadriláteros. Expliquen la respuesta.
a. Trapecio isósceles. b. Romboide.
d
a 4 cm
2 cm
7 cm c
b
1300
j
i
l
k
4 cm
3 cm
1260
2x x
a. a

= 2x + 15°; c

= 3x – 20° b. e

= x + 6°; f

= 5x – 14°
a

= d

=
b

= e

=
c

= f

=
a
d
b
c
d

=
g
e
f
d
g

=
7. Calculen el valor de x y la medida de los ángulos interiores del paralelogramo.
5. Calculen la medida de los ángulos interiores de cada cuadrilátero.
a. abcd rombo
a
^ = 57°
b. abcd paralelogramo
^
α = 36°
c. abcd trapecio isósceles
a
^ = 49°
a
b
c
d
a b
c
d
α
a b
c
d
^
a = ^
b =
^
b = ^
c =
^
c = ^
d =
^
d =
^
b =
^
c =
^
d =
8. Calculen el valor de cada ángulo interior. Expliquen las respuestas.
c. Datos:
abcd trapecio rectángulo
^
c = 4x + 25°
a. Datos:
abcd paralelogramo
^
a = 2x + 40°
^
b = 3x + 30°
^
b = 8x + 20°
b
c
d
a
d c
b
d. Datos:
abcd paralelogramo
^
α = 5x – 12°
^
d = 3x + 33°
a b
c
d
a b
c
d
α
b. Datos:
abcd trapecio isósceles
c
^ = 2x + 90°
^
d = 5x + 10°
73

Circunferencia y círculo
a. ¿Es cierto que el diámetro es una cuerda de la circunferencia?
b. En todo círculo o circunferencia, ¿siempre el diámetro es igual a dos radios?
c. ¿Es cierto que todo diámetro divide al círculo en dos semicírculos congruentes? ¿Cuánto
mide el ángulo central de los semicírculos?
d. ¿Cuántos puntos en común tienen 2 circunferencias concéntricas de distinto radio?
Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen con una condición.
Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a
igual distancia de otro llamado centro.
Los siguientes son los elementos de la circunferencia.
Una cuerda es un segmento que une dos puntos de una
circunferencia.
La cuerda de mayor longitud es la que pasa por el cen-
tro. Se llama diámetro y equivale a dos radios.
Un arco es la parte de la circunferencia determinada por
dos puntos de la misma. Por ejemplo abc es un arco de la
circunferencia (el punto del medio se utiliza para identificar
de qué lado de la circunferencia está el arco).
α
^ es un ángulo central.
La circunferencia y todos los puntos del plano interio-
res a ella determinan el círculo.
r
Se denomina ángulo central al que tiene como vértice el
centro de la circunferencia. círculo
circunferencia
b
0
El radio es la distancia de cualquier punto de la circun-
ferencia al centro. a
c
α
centro
cuerda
radio
diám
etro
cuerda
arco
a. El radio, ¿es una cuerda?
b. ¿El diámetro es la cuerda más larga?
c. La circunferencia, ¿forma parte del círculo?
Actividades
74

Actividades
Polígonos
Se llama polígono a toda figura que tiene tres o más lados.
Clasificación según sus ángulos:
Convexo: cuando todos sus ángulos interiores
son menores que 180º.
Cóncavo: cuando alguno de sus ángulos inte-
riores es mayor que 180º.
Clasificación según sus lados:
Regular: cuando todos sus lados y sus ángulos
son iguales.
Irregular: cuando uno de sus lados o de sus
ángulos es distinto a los demás.
Elementos del polígono:
• Diagonal: es el segmento que tiene por extre-
mos un vértice a otro no adyacente a él.
• Apotema (Ap): es el segmento perpendicular
al lado del polígono cuyos extremos son el
punto medio del lado y el centro del polígono.
• Ángulo central: es el ángulo cuyo vértice es
el centro del polígono. a b
c
f
d
e
α
apotema
diagonal
ángulo central
La suma de los ángulos interiores de un polígono es:
180º . (n – 2), donde n es la cantidad de lados.
En un hexágono (n = 6) la suma de los ángulos interiores es 180º . (6 – 2) = 720º.
Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 540º, ¿cuántos lados tiene?
180º . (n – 2) = 540º
n – 2 = 540º : 180º
n = 3 + 2
n = 5 Entonces, el polígono es un pentágono.
a. ¿Es correcto decir que el ángulo central de un eneágono regular mide 40°? ¿Qué cálculo se debe realizar?
b. Un polígono convexo, ¿puede tener una diagonal que no pase por su interior?
c. ¿Qué triángulo y qué cuadrilátero son polígonos regulares?
d. El ángulo central de un polígono regular, ¿puede medir 80°?
2. Completen sabiendo que los polígonos son regulares.
Polígono Cantidad de
lados
Suma de ángulos
interiores
Ángulo interior Ángulo central
Decágono 10
8 1 080
Pentágono
720 120
Dodecágono 150
75

7 - Perímetros y Areas
-Perímetro de figuras planas
-Área de figuras planas
76

Perímetro de figuras planas
59
El perímetro de una figura se obtiene sumando las medidas de todos los lados. Antes de calcu-
lar el perímetro, cada medida debe estar expresada en la misma unidad.
km
kilómetro
hm
hectómetro
dam
decámetro
m
metro
dm
decímetro
cm
centímetro
mm
milímetro
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
Juan quiere cercar un sector de su campo que tiene forma de un rectángulo unido a un semicírculo
(como se ve en la figura). ¿Cuánto alambre necesita?
230 m
1 500 dm
Se expresa todo en la misma unidad:
1500 dm = 150 m
Perímetro del sector de campo = largo + ancho + ancho + longitud de la semicircunferencia
= 230 m + 150 m + 150 m + (230 m . π) : 2
= 891,1 m
Juan necesita 891,1 m de alambre.
a. Para calcular el perímetro de una figura, ¿se pueden sumar las longitudes de los lados si
están expresadas en distintas unidades de medida?
b. ¿A cuántos metros es igual 1 dm? ¿Y 1 mm?
c. Para calcular el perímetro de un cuadrilátero, ¿se puede multiplicar por 4 a la medida de
uno de sus lados?
d. ¿Cómo se realiza el pasaje de decámetro a decímetro?
Actividades
Para calcular el perímetro de una circunferencia (la cual no es una figura que tenga lados ) se debe
multiplicar el diámetro de la misma por el número π (cuyo valor aproximado es 3,14)
• El diámetro de una circunferencia es la suma de dos radios: d = 2r.
• Por tanto, el perimtro de la circunferencia es: P = d . π o P = 2 r . π.
• 3,14 es el número π y se lee pi.
77

2. Marquen con una X las equivalencias correctas. Corrijan los casos donde no colocaron una cruz.
d. 6,32 dam = 632 dm
c. 50 km = 5 000 dam f. 153,9 cm = 0,01539 hm
3. Calculen el perímetro de cada figura.
a. ab = 900 cm; ad = 3 m b. de = 2 cm; gf = 0,04 m
c. hj = 0,5 dam; hi = 60 dm d. kl = 4 000 mm; lm = 17 dm;
mn = 0,23 dam; nk = 0,02 hm
ACTIVIDADES
e
g
d f
i
h
j
k
n
l
m
a
d
b
c
a. 30 m = 300 mm
b. 10 000 m = 100 km e. 0,08 hm = 0,8 km
4. Calculen el valor de x y la medida de cada lado.
a. Perímetro = 30 cm
a b
c
d
x + 5 cm
x
x + 1 cm
b.
a
d
b
c
3x + 14 cm 8x – 35 cm
c.
2x + 30 cm
4x
5x
a
d
b
c
d.
a b
c
d
4x + 5 cm
3x
2x + 6 cm
78

Área de figuras planas
Para medir una superficie se debe elegir una unidad de medida y determinar la cantidad de veces
que entra en esa superficie.
Se llama área a la cantidad de veces que entra en la superficie la unidad de medida elegida.
km2
kilómetro
cuadrado
hm2
hectómetro
cuadrado
dam2
decámetro
cuadrado
m2
metro
cuadrado
dm2
decímetro
cuadrado
cm2
centímetro
cuadrado
mm2
milímetro
cuadrado
: 100
. 100
: 100
. 100
: 100
. 100
: 100
. 100
: 100
. 100
: 100
. 100
FIGURA DIBUJO ÁREA FIGURA DIBUJO ÁREA
Triángulo
B
H
B . H
—
—
—
—
2
Trapecio H
B
b (B + b) . H
—
—
—
—
—
—
—
—
2
Rectángulo H
B
B . H Rombo
D2
D1
D1
. D2
—
—
—
—
—
2
Cuadrado
L
L2
Romboide
D2
D1
D1
. D2
—
—
—
—
—
2
Paralelogramo H
B
B . H Círculo
R
π . R2
Para calcular el área del paralelogramo pueden seguir estos pasos:
Se expresa todo en la misma unidad.
0,3 dam = 3 m
Área del paralelogramo = 7 m . 3 m
0,3 dam
7 m
Área del paralelogramo = 21 m2
Para calcular el área de una figura, todos los datos deben estar expresados en la misma unidad de medida
Figura
Circulo Polígono regular
l
ap
Perímetro n . l
n: cantidad de lados
Área 2
n . l . ap
________
R
π . R2
π . D
D
79

1. Completen las siguientes equivalencias.
a. 23 m2
= cm2
f. 435 cm2
= dm2
b. 20 hm2
= m2
g. 23 km2
= m2
c. 0,043 km2
= cm2
h. 453 mm2
= dam2
d. 0,2 cm2
= m2
i. 45 m2
= dam2
e. 0,51 dam2
= mm2
j. 3 dm2
= mm2
2. Calculen el área de las siguientes figuras. Expresen el resultado en m2.
a. co = 40 m b. efgh cuadrado. c. ijkl rombo; jo = 300 cm
fh = 0,03 hm io = 0,25 hm
b
a
c
3 900 cm
e
h
f
g
j
o
i
l
k
o
ACTIVIDADES
3. Calculen el área y el perímetro de las siguientes figuras. Escriban el resultado en cm o cm2.
a. b.
12 cm
Perímetro =
Área = Área =
d.
1,3 cm
0,21 dm
47 mm
Perímetro =
Área =
c.
a b
c
d
0,002 dam
0,03 m
30 mm
Perímetro =
Área =
16 cm
6 cm
a
d
b
c
80

ACTIVIDADES
6. Calculen el área de la superficie sombreada. Escriban los resultados en cm2.
a. b. c.
5 cm
0,08 m
6
cm
0,0007
hm
Perímetro = Perímetro = Perímetro =
Área = Área = Área =

P12-3085-C04.indd 110 1/18/13 12:28 AM
4. Calculen el área y el perímetro de las siguientes figuras.
b.
6 dm
Perímetro =
Área =
Perímetro =
Área =
5. Calculen el área sombreada de las siguientes figuras.
a. b.
6 cm
8 cm
5 cm
1 cm
Área sombreada =
Área sombreada =
81

8 - Funciones
- Análisis de graficos
- Funciones
- Funciones de proporcionalidad
directa e inversa
- Funcion lineal
82

Análisis de gráficos
a. ¿Es posible representar un punto a sabiendo que su abscisa es x = 3?
b. ¿Se pueden usar diferentes escalas para cada eje de coordenadas?
c. El punto a = (2;3), ¿coincide con el punto b = (3;2)?
Cuestionario
Un sistema de ejes cartesianos está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en un
punto llamado origen de coordenadas.
La recta horizontal se denomina eje de abscisas (eje x) y la vertical, eje de ordenadas (eje y).
Cada punto queda determinado por un par ordenado de valores, donde el primero representa la
abscisa y el segundo, la ordenada.
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5
b
a
c
y
x
o
250
200
150
100
50
0 1 2 3 4 5
q
p
y
x
Para representar
estos puntos
conviene tomar
unidades distintas
en cada eje.
o = (0;0) es el origen de coordenadas p = (1;150)
a = (1;1) b = (2;0) c = (0;4) q = (5;200)
Los gráficos permiten leer con mayor facilidad los
datos de una situación. El siguiente gráfico muestra la
variación de la temperatura a través de las horas.
• En el eje x se representó el tiempo (expresado en
horas) y en el eje y, la temperatura (en °C).
• A las 13 horas se registró la mayor temperatura
y a las 10 horas, la menor.
• Entre las 10 horas y las 13 horas la temperatura
aumentó y, luego, empezó a descender.
• Entre las 16 horas y las 17 horas la temperatura
se mantuvo constante.
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 10 11 12 13 14 15 16 17
temperatura
(en
°C)
tiempo (en horas)
//
Los datos del gráfico se pueden traducir a una tabla como la siguiente.
Tiempo (en horas) 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura (en °C) 14 16 19 20 18 17 16 16
83

ACTIVIDADES
1. Tengan en cuenta el gráfico y respondan.
Una empresa de autos realizó un estudio en las principales avenidas de la ciudad para averiguar la
cantidad de vehículos de su marca que están circulando.
a. ¿Cuáles son las variables?
b. ¿En qué momento pasó la mayor canti-
dad de autos de la marca?
c. ¿Cuántos autos pasaron en total durante
el estudio? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
600
500
400
300
200
100
y
x
Cantidad
de
autos
Tiempo (en minutos)
d. ¿En qué minutos se contó la misma cantidad de automóviles?
e. ¿Cuántos automóviles pasaron en el minuto 4? ¿Y en el minuto 8?
f. ¿En algún momento no pasó ningún auto? ¿Cuándo?
g. El gráfico es ¿de trazo continuo o de puntos aislados? ¿Por qué?
h. ¿Se usó la misma escala en los dos ejes? Expliquen la respuesta.
b. ¿Cuántos litros de agua había a las 8:30 h?
¿Y a las 11:30 h?
//
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
y
Cantidad
de
agua
(en
litros)
x
7:00
8:00
9:00
10:00
11.00
12:00
13:00
14:00
15:00
Tiempo (en horas)
2. Interpreten el gráfico y respondan.
El gráfico relaciona el tiempo con la cantidad de litros de agua que hay en el tanque de una casa.
a. ¿Cuáles son las variables?
e. ¿Durante cuánto tiempo salió agua del tanque?
f. ¿Durante cuánto tiempo ingresó agua al
tanque?
g. ¿En qué horarios la capacidad del tanque se
mantuvo constante?
c. ¿A qué hora el tanque tenía 150 l? ¿Y 100 l?
d. ¿En algún momento se vació el tanque?
84

3. Completen con el par ordenado que cumple con lo indicado y luego, representen
. a. La ordenada es 5 y la abscisa, 7.
a =
( ;  
)
b. La abscisa es 4 y su ordenada el doble.
b =
( ;  
)
c. Un punto que se encuentre sobre el eje de
ordenadas y otro, sobre el eje de abscisas.
c =
( ;  
) d =
( ;  
)
d. La abscisa vale la mitad que la ordenada.
e =
( ;  
)
e. El punto que cumple la condición anterior
si y = 5.
f =
( ;  
)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
y
x
4. Observen el gráfico y resuelvan
. a. Completen la tabla.
Hora Temperatura (en °C)
1
16
7:30
24
24
22
20
18
16
14
12
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
temperatura
(en
°C)
tiempo (en horas)
//
5. Observen el gráfico y respondan.
Clara fue desde su casa al parque en bicicleta, tomó un
refresco y regresó. El gráfico representa la distancia desde la
casa de Clara al parque a medida que transcurrió el tiempo.
a. ¿Cuántos minutos...
• ... tardó en llegar al parque?
• ... estuvo en el parque?
• ... tardó en regresar a su casa?
b. ¿Tardó más para ir al parque o para volver? Expliquen
la respuesta.
60
50
40
30
20
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80
distancia
(en
cuadras)
tiempo (en minutos)
,
b. ¿A qué hora la temperatura fue de 12 °C?
c. ¿A qué hora se registró la temperatura
máxima? ¿Cuál fue dicha temperatura?
85

b. ¿Cuántos días tenía India cuando pesa-
ba 3 kg?
c. ¿Cuál era el peso de la perra a los cua-
tro meses?
d. ¿En algún período la perra mantuvo un
peso constante? En caso de ser afirmati-
vo, indiquen en qué período.
6
5
4
3
2
1
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
peso
(en
kg)
edad (en días)
6. Lean atentamente y respondan.
Para controlar el sano crecimiento de su perra India, Abigail decidió anotar su peso durante 360 días.
a. ¿Cuánto pesaba India al nacer?
El siguiente gráfico relaciona la cantidad de litros de jugo producidos por dos máquinas en el
tiempo. El gráfico negro representa la pro-ducción de la máquina A, y el gráfico verde,
representa la producción de la máquina B.
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
anTidad
de
jugo
(
en
liTros
)
mÁQuina a
mÁQuina B
Tiempo (en horas)
a. Luego de 9 horas de trabajo, ¿qué maqui-na produjo más cantidad de litros de jugo?
b. Si se desea tener la mayor producción posible al cabo de 6 horas de trabajo, ¿qué máquina
se debe elegir? ¿Por qué?
c. ¿En qué horas, ambas máquinas producen la misma cantidad de litros de jugo?
8. Marquen con una X el gráfico que corresponde a la situación.
Un auto desacelera su marcha hasta que frena unos instantes. Luego, acelera nuevamente.
veloCidad
(
en
km
/
h
)
Tiempo (en minuTos)
50
30
10
0
y
1 2 3 4 5 6 7 x
50
30
10
0
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
veloCidad
(
en
km
/
h
)
Tiempo (en minuTos) 86

Funciones
a. ¿Qué es una función?
b. ¿Qué es el dominio de una función?
c. ¿Qué es la imagen de una función?
d. Si la fórmula de una función es y = 4x, ¿cuál es el valor de y para x = 4?
Cuestionario
Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la primera
le corresponde un único valor de la segunda.
En el siguiente ejemplo, se representa una función a través de un gráfico y una tabla.
Ignacio vende una colección de libros. Cada libro cuesta $75.
Cantidad de libros Precio (en $)
0 0
1 75
2 150
3 225
4 300
5 375
375
300
225
150
75
0 1 2 3 4 5
y
x
Precio
(en
$)
Cantidad de libros
• Para una determinada cantidad de libros (variable independiente) existe un único precio (variable
dependiente).
Los distintos valores que puede tomar la variable independiente forman el dominio de la función.
Los distintos valores que toma la variable dependiente forman la imagen de la función.
En algunas funciones, la relación entre dos variables se puede expresar a través de una fórmula
matemática. A partir del valor de una de las variables, se puede encontrar el valor de la otra.
En el ejemplo anterior, la relación entre la cantidad de libros y el precio se puede expresar con la
fórmula y = 75x, donde x es la cantidad de libros e y es el precio a pagar.
Rodrigo compró 3 libros. Laura pagó $375.
y = 75 . x y = 75 . x
x = 3 y = 75 . 3 y = 375 375 = 75 . x
y = 225 375 : 75 = x
Debe pagar $225. 5 = x Compró 5 libros.
87

ACTIVIDADES
1. Escriban tres ejemplos de relaciones que sean función.
2. Marquen una X en los gráficos que corresponden a funciones. Expliquen la respuesta.
a.

c. e.
y
x
y
x
y
x
b. d. f.
y
x
y
x
y
x
3. Resuelvan.
a. Completen la tabla teniendo en cuenta la medida del lado de un pentágono regular y su perímetro.
Lado (en cm) 3 5
Perímetro (en cm) 5 10
b. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
c. ¿Es correcto unir los puntos del gráfico anterior? ¿Por qué?
d. La relación entre los lados de un pentágono regular y su perímetro, ¿es función? ¿Por qué?
88

4. Completen las tablas. Luego, escriban debajo de cada gráfico la función que corresponde.
a. b. c. d.
x y = 2x x y = x2
x y = –x2
+ 1 x y = –x – 2
2 2 2 2 y = –2 – 2 = –4
1 1 1
y = –12
+ 1
y = 0
1
0 0 0 0
–1 –1
y = (–1)2
y = 1
–1 –1
–2
y = 2 . (–2)
y = –4
–2 –2 –2
–2 –1 0 1 2 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
–2 –1 0 1 2 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
–2 –1 0 1 2 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
–2 –1 0 1 2 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
89

Función de proporcionalidad directa
Respondan y expliquen sus respuestas.
a. Si las dos variables aumentan o disminuyen, ¿se puede decir que son directamente pro-
porcionales?
b. En una relación de proporcionalidad directa, si una variable aumenta el doble, ¿cuánto
debe aumentar la otra?
c. Si se multiplica por 3
__
1
la variable independiente, ¿por cuánto se debe multiplicar la
variable dependiente para que se mantenga una relación de proporcionalidad directa?
d. A partir de los datos de una tabla, ¿cómo se puede identificar si se trata de una relación
de proporcionalidad directa?
Cuestionario
Dos variables son directamente proporcionales cuando el cociente entre las cantidades es constante.
El número que se obtiene al dividir las cantidades se denomina constante de proporcionalidad (k).
Ejemplo:
El perímetro de un triángulo equilátero es directamente proporcional a la medida del lado.
x: lado del triángulo
equilátero (en cm)
y: perímetro
(en cm)
1 3
2 6
3 9
y : x = 3
y = 3 . x Fórmula de la
función.
3 : 1 = 3
6 : 2 = 3
9 : 3 = 3
La representación gráfica de cantidades directamente
proporcionales da como resultado un conjunto de puntos
alineados sobre una recta que pasa por el origen de coor-
denadas.
6
3
0
y
Perímetro
(en
cm)
1 2
Lado
Lado
Lado
x
90

1. Escriban la constante de proporcionalidad directa y la fórmula de la función.
a. b.
x y x y
–5 25 –12 –3
–8 40 –4 –1
3 –15 1 0,25
7 –35 3
3
—
4
2. Completen las siguientes tablas que corresponden a funciones de proporcionalidad directa.
x f(x) x g(x) x h(x) x j(x)
3 20 1 000 4 4
5 15 50 30
36
—
—
5
10 850 52 3
480 100 120 60 120 24
ACTIVIDADES
3. Resuelvan.
a. Completen la tabla para que las variables se relacionen en forma directamente proporcional.
Luego, representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos.
x y
49
14
4 28
5
6
9
b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
4. Observen el gráfico y respondan. El
siguiente gráfico representa el precio de
un postre helado según su peso.
a. Completen la tabla.
Peso (en gramos) Precio (en $)
10
1 000
60
1 750
b. Las variables, ¿se relacionan de forma
directamente proporcional? ¿Cuál es la
constante de proporcionalidad?
precio
(en
$)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
250
500
750
1
000
1
250
1
500
1
750
2
000
peso del postre (en g)
91

Función de proporcionalidad inversa
Dos variables se relacionan de forma inversamente proporcional cuando el producto entre los valores
que se corresponden es constante. A ese producto se lo denomina constante de proporcionalidad (k).
En la siguiente tabla se registraron algunos valores que corresponden a la base y la altura de
rectángulos de 24 cm2
de área.
Base (en cm) Altura (en cm)
2 12
3 8
4 6
2 . 12 = 24
3 . 8 = 24
4 . 6 = 24
k = 24
(constante de proporcionalidad)
El producto entre dos cantidades correspondientes es
igual a 24.
x . y = 24, entonces y =  
24
 
___ 
x .
Cuando los valores de una variable aumentan, los de
la otra variable disminuyen en la misma proporción.
La representación gráfica de variables inversamente
proporcionales da como resultado una curva denominada
hipérbola.
12
10
8
6
4
2
0 1 2 3 4 5 6
y
x
altura
(en
cm)
base (en cm)
a. En una relación de proporcionalidad inversa, si una variable aumenta al doble, ¿qué suce-
de con la otra?
b. En el gráfico de una función de proporcionalidad inversa, ¿los puntos están alineados?
c. Si en una función, una variable aumenta y la otra disminuye, ¿se puede decir que las
variables son inversamente proporcionales?
d. Si el producto entre la variable dependiente y la independiente es cero, ¿se puede decir
que se trata de una relación inversamente proporcional?
Cuestionario
Ejemplo:
92

1. Escriban, si es posible, la constante de proporcionalidad inversa y la fórmula de la función.
a. b. c. d.
x y x y x y x y
–5 1 8 0,25 2 10 8 0,5
–1 5 –2 –1 1 20 0,25 16
10 –0,5
2
—
5
5 4 –5
1
—
2 8
25 –0,2 0,2 10 5 4 100 0,04
2. Hallen la constante de proporcionalidad inversa y la fórmula que corresponde a cada gráfica.
a. b. c.
y
20
16
8
4
0 1
—
2
1 2 3 4 5 x
y
5
4
3
2
1
1
—
2
0 1
—
2
1 2 3 4 5 x
y
1
0,5
0 0,25 0,5 1 x
3. Lean atentamente y resuelvan.
Pablo va a viajar con su familia de vacaciones a una ciudad de la provincia de Buenos Aires.
Sabe que si conduce a una velocidad constante de 110 km/h, tardará 4 horas en llegar.
a. Si quiere tardar 5 horas sin detenerse, ¿a qué velocidad debe viajar?
b. ¿Cuántos kilómetros recorrerá para llegar a destino?
c. La relación entre el tiempo de viaje y la velocidad, ¿es una relación de proporcionalidad inversa?
¿Por qué?
4. Completen las siguientes tablas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa.
a. b. c. d.
x f(x) x g(x) x h(x) x j(x)
4 10 9 6
7
25
—
—
9 18 15
20 20 10 20
70 6,6 2,5
150
—
—
7
2 35 4 25 48 2,25 3 50
ACTIVIDADES
93

ACTIVIDADES
5. Escriban tres relaciones que sean inversamente proporcionales.
6. Marquen con una X las tablas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa y
hallen la constante de proporcionalidad. Luego, representen los datos de esas tablas en un siste
- ma de ejes cartesianos.
a. b. c. d.
x y
1 3
3 1
15 5
x y
2 15
3 10
5 6
x y
2 63
3 42
9 14
x y
4 6
7 4
10 2
Laura está organizando un festival de danzas árabes. Para ello, alquiló una sala en el complejo
cultural Plaza. Como los gastos a cubrir por el alquiler del lugar son de $8000, deberá cobrar la
entrada en función de la cantidad de butacas que pueda ubicar en la sala.
Cantidad de butacas de la sala 125 320
Valor de la entrada 40
b. Las variables, ¿se relacionan en forma inversamente proporcional? Si es así, escriban la cons-
tante de proporcionalidad.
c. Representen en sus carpetas los valores de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
94

Función lineal
Una función es lineal cuando su fórmula es:
Donde a representa un número llamado pendiente y b representa un
número llamado ordenada.
y = ax + b
La fórmula y = 3x – 1 corresponde a una función lineal donde 3 es la pendiente y –1 es la orde-
nada. Para representar la función en un par de ejes cartesianos, pueden seguir estos pasos:
• Se arma una tabla de valores. Se eligen algunos valores de la variable independiente x (dos
como mínimo para determinar la recta).
• Se reemplaza cada valor de x en la fórmula para obtener el valor de la variable dependiente y.
• Se representan los valores de x e y en un par de ejes cartesianos.
x y = 3x – 1
–2 3 . (–2) – 1 = –7
–1 3 . (–1) – 1 = –4
0 3 . 0 – 1 = –1
1 3 . 1 – 1 = 2
2 3 . 2 – 1 = 5
y = f(x)
Entonces, se puede
escribir: f(x) = 3x – 1
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
La representación gráfica de una función lineal da como resultado una recta.
a. ¿Cuál es la pendiente y la ordenada en y = x?
b. ¿Cómo se llama la gráfica de una función lineal?
c. En la función y = 5 + 3x, ¿qué número representa la pendiente? ¿Y la ordenada al origen?
d. La fórmula y = 4x2
+ 3, ¿es una función lineal?
Cuestionario
95

1. Completen las tablas y grafiquen cada recta.
a. b. c. d.
x f(x) = 3x x f(x) = –3x x f(x) = 3x + 1 x f(x) = –3x + 1
–1 0 –1 0
–2 1 –2 1
–2 –1 0 1 2 x
8
6
4
2
–2
–4
–6
–8
y
–2 –1 0 1 2 x
8
6
4
2
–2
–4
–6
–8
y
–2 –1 0 1 2 x
8
6
4
2
–2
–4
–6
–8
y
–2 –1 0 1 2 x
8
6
4
2
–2
–4
–6
–8
y
Pendiente = Pendiente = Pendiente = Pendiente =
Ordenada = Ordenada = Ordenada = Ordenada =
2. Construye una tabla de valores y grafica las siguientes funciones lineales.
a. f(x) = 2x + 3
b. g(x) = – 2x + 3
c. h(x) = 3x - 2
d. i(x) = –3x + 5
e. j(x) = x - 4
f. k(x) = –4x + 1
ACTIVIDADES
96

3. Escriban la letra de la fórmula que corresponde al gráfico.
a. y = x + 3 c. y = 3 e. x = 3
b. y = x – 1 d. y = x + 1 f. y = –x + 3
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
–3 –2 –1 0 1 2 3 x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
y
ACTIVIDADES
97

9 - Cuerpos
- Clasificacion
- Áreal lateral y total
- Capacidad y Volumen
98

Clasificación de los cuerpos
Los cuerpos se clasifican en poliedros y redondos.
• Poliedros: son los cuerpos que tienen todas sus caras planas y se clasifican en prismas y pirámides.
Prisma: Tiene dos caras paralelas (bases) y sus caras
laterales son paralelogramos. En los prismas rectos
las caras laterales son rectángulos.
Pirámide: Tiene una sola base y sus caras laterales
son triángulos. En las pirámides rectas las caras late-
rales son triángulos isósceles congruentes.
vértice
cara
base
arista
vértice
cara
lateral
arista
bases
• Redondos: son los cuerpos que tienen al menos una cara no plana y pueden rodar en alguna posición.
Cilindro Cono Esfera
altura
radio de
la base
bases
vértice
altura
generatriz
radio de
la base
circunferencias
máximas
radio
generatriz
En los poliedros convexos se verifica la relación de Euler:
cantidad de caras + cantidad de vértices = cantidad de aristas + 2
Existen solo cinco poliedros regulares en los que todas sus caras son polígonos regulares congruentes.
Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Sus caras son
cuatro triángulos
equiláteros.
Sus caras son
seis cuadrados.
Sus caras son
ocho triángulos
equiláteros.
Sus caras son
doce pentágonos
regulares.
Sus caras son
veinte triángulos
equiláteros.
Cuestionario
a. ¿Qué diferencias existen entre los poliedros y los cuerpos redondos?
b. Un prisma, ¿puede tener una base triangular? ¿Y caras triangulares?
c. Una pirámide, ¿puede tener una cara lateral cuadrada?
d. En un poliedro convexo, la suma entre la cantidad de caras y de vértices, ¿es mayor que
la cantidad de aristas?
CUERPOS
99

Área lateral y total
El área lateral de un cuerpo se obtiene sumando las áreas de sus caras laterales.
El área total de un cuerpo se obtiene sumando las áreas de las bases con las áreas de las caras
laterales.
Cuerpo Área lateral Área total
Prisma recto Perímetro de la base . altura área lateral + 2 . área de la base
Pirámide regular
perímetro de la base . altura de la cara lateral
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
2
área lateral + área de la base
Cilindro 2 . π . r . altura área lateral + 2 . π . r2
Cono π . r . g (g: generatriz) área lateral + π . r2
Esfera ——— 4 . π . r2
• Para calcular el área lateral y total del siguiente prisma de base cuadrada, pueden seguir estos pasos:
Área lateral = perímetro de la base . altura
= 16 cm . 6 cm
= 96 cm2
Área total = área lateral + 2 . área de la base
= 96 cm2
+ 32 cm2
4 cm
6 cm
= 128 cm2
• Cuando se conoce el área total y el radio de un cono, se puede
encontrar el área lateral mediante el siguiente procedimiento:
Área total = 50,24 cm2
Área total = área lateral + π . r2
50,24 cm2
= área lateral + 3,14 . 4 cm2
50,24 cm2
– 12,56 cm2
= área lateral
Área lateral = 37,68 cm2
2 cm
a. ¿Cómo se calcula el área lateral de un cubo de arista 4 cm? ¿Y el área total?
b. ¿Es verdad que siempre el área total es mayor que el área lateral de un cuerpo?
Cuestionario
100

Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros
El área lateral de un poliedro es la suma de las áreas de todas las caras laterales.
El área total de un poliedro es la suma de las áreas de todas sus caras.
Área del prisma
Área lateral = perímetro de la base . altura
Área total = área lateral + 2 . área de la base
perímetro
de la base
h
(altura)
Área de la pirámide
Área lateral =  
perímetro de la base . altura de la cara lateral
     
________________________________________
   
2 
Área total = área lateral + área de la base b
(base)
h
(altura)
Área del cilindro
Para calcular el área lateral de un cilindro, se debe calcular el área del rectángulo que forma su
parte lateral.
La base del rectángulo coincide con la longitud de la circunfe-
rencia de la base del cilindro.
Área lateral = área del rectángulo = b . h = 2 . π . r . h
Área total = área lateral + 2 . π . r2
h
(altura)
r
r
a. Si un prisma de base triangular y un prisma de base cuadrada tienen la misma altura, ¿el
área total es la misma?
b. La diferencia entre el área total de una pirámide y su área lateral, ¿es el área de la base?
c. Si se conoce el área total de un cilindro, ¿se puede calcular el área de la base?
d. Para empapelar la columna de una habitación, ¿se debe calcular su área total?
Cuestionario
101

Cuestionario
El metro cúbico (se escribe m3
) es el volumen de un cubo de 1 m de arista.
1 m3
= 1 000 dm3
km3
kilómetro
cúbico
hm3
hectómetro
cúbico
dam3
decámetro
cúbico
m3
metro
cúbico
dm3
decímetro
cúbico
cm3
centímetro
cúbico
mm3
milímetro
cúbico
. 1 000
: 1 000
. 1 000
: 1 000
. 1 000
: 1 000
. 1 000
: 1 000
. 1 000
: 1 000
. 1 000
: 1 000
El volumen del prisma y del cilindro se obtiene a través de las siguientes fórmulas.
Cuerpo Volumen
Prisma recto área de la base . altura
Cilindro π . r2
. altura
Para calcular el volumen del prisma recto de base cuadrada, pueden seguir estos pasos:
Se expresan las medidas en la misma unidad. Por ejemplo, en cm.
0,8 dm = 8 cm
Volumen del prisma = área de la base . h
= 25 cm2
. 8 cm
= 200 cm3
0,8 dm
5
cm
Volumen del prisma y del cilindro
Consideramos volumen al espacio ocupado por un cuerpo, es decir, su magnitud física comprendida
en tres dimensiones: largo, ancho y alto. La unidad de medida del volumen es el metro cúbico (m3).
a. ¿Qué es el volumen de un cuerpo?
b. ¿Cuánto mide el volumen de un cubo de área total 384 cm2
?
c. ¿Se puede calcular el volumen de un cilindro conociendo el radio y la altura?
d. ¿A cuántos centímetros cúbicos equivale un metro cúbico?
102

Volumen del cubo y de la pirámide.
Volumen del cubo = a3
a
a
a
a: arista
El volumen de un prisma es tres veces mayor que el volumen de la pirámide que tiene igual base
y altura.
Volumen de la pirámide =  
1
 
__ 
3  . área de la base . h
h
Volumen del cilindro y del cono
Volumen del cilindro = área de la base . h Volumen del cono =  
área de la base . h
  
_________________
3 
Volumen del cilindro = π . r2
. h Volumen del cono =  
π . r2
. h
  
__________
3 
r
h
r
h
Volumen de la pirámide, del cono y de la esfera
El volumen de la pirámide, del cono y de la esfera se obtiene a través de las siguientes fórmulas.
Cuerpo Volumen
Pirámide 1
—
3
. área de la base . altura
Cono 1
—
3
. π . r2
. altura
Esfera 4
—
3
. π . r3
103

Unidades de capacidad y unidades de volumen
Se llama volumen al lugar que ocupa un cuerpo en el espacio y capacidad a aquello que puede contener.
Unidades de volumen
Un metro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un metro de arista.
Un decímetro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un decímetro de arista.
Para armar 1 m3
son necesarios 1 000 dm3
.
Para pasar de una unidad de volumen a otra que sea su inmediata inferior, se debe multiplicar
por 1 000 y para pasar a su inmediata superior, se debe dividir por 1 000.
Se lee... Se simboliza... Equivale a...
Múltiplos
kilómetro cúbico
hectómetro cúbico
decámetro cúbico
km3
hm3
dam3
1 000 000 000 m3
1 000 000 m3
1 000 m3
Unidad metro cúbico m3
1 m3
Submúltiplos
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
dm3
cm3
mm3
0,001 m3
0,000001 m3
0,000000001 m3
Unidades de capacidad
La capacidad de un cuerpo se mide en litros.
kl
kilolitro
hl
hectolitro
dal
decalitro
l
litro
dl
decilitro
cl
centilitro
ml
mililitro
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
La siguiente tabla muestra las equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad.
Volumen 1 m3
1 dm3
1 cm3
Capacidad 1 kl 1 l 1 ml
Unidades de peso y masa
El peso de un cuerpo es la fuerza con la que el cuerpo es atraído hacia el centro de la Tierra.
La unidad más utilizada para medir el peso es el kilogramo fuerza (se escribe kgf).
La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que forma ese cuerpo. La unidad mas usada
para medir la masa de un cuerpo es el gramo (se escribe g) y sus multiplos o submultiplos.
Por ejemplo, la masa de una persona que está en la Luna es igual a la que tiene en la Tierra,
pero su peso es menor debido a que la atracción lunar es menor que la terrestre.
kg
kilogramo
hg
hectogramo
dag
decagramo
g
gramo
dg
decigramo
cg
centigramo
mg
miligramo
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
Existen otras unidades de masa como la tonelada (t) para medir cuerpos más pesados.
1 t = 1000 kg
104

2. Escriban el nombre del cuerpo que corresponde a cada desarrollo. Luego, calculen el área lateral
y total.
a.
Nombre del cuerpo:
15 cm
Área lateral = Área total =
b.
Nombre del cuerpo:
4 cm
0,8 dm
c.
Nombre del cuerpo:
3 cm
120 mm
ACTIVIDADES
1. Completen escribiendo los elementos de cada cuerpo.
a. b. c.
105

ACTIVIDADES
4. Calculen el área lateral y total de cada cuerpo redondo.
a. b.
3 m
3 dm
12,5 dm
12,5 m
3. Calculen el área total de los siguientes poliedros regulares.
a. b.
Arista = 6,3 cm
Arista = 4,5 mm
Altura de cada cara = 6,36 mm
5. Calculen el área lateral y el área total de los siguientes cuerpos. Pueden ayudarse realizando
una figura de análisis de los desarrollos correspondientes.
a. Prisma de base cuadrada. b. Cilindro.
5 cm
2 cm
c . Pirámide de base cuadrada.
5 cm
10 cm
3 cm
4 cm
106

ACTIVIDADES
6. Calculen el volumen de los siguientes cuerpos.
a.
14 m
2,5 m
3
,
5
m
Volumen =
Volumen =
b. c.
0,5 dm
37 mm
4
c
m
25 cm
0,15 m
Volumen =
7. Calculen el volumen de cada cuerpo. Escriban el resultado en cm3
.
a. d.
7 cm
50 mm
0,15 dm
0,6 cm
8. Calculen el volumen de los siguientes cuerpos.
a. b.
9 dam
0,9 dm
80 mm
v =
v =
v =
v =
107

ACTIVIDADES
10. Calculen la capacidad de los siguientes cuerpos.
a. c.
Radio = 35 dm
Altura = 7,1 m
Altura = 1,5 m
Largo de la base = 4 m
Ancho de la base = 30 dm
Capacidad =
b. d
Radio = 0,3 m
Altura = 12 dm
Capacidad =
Largo = 12 m
Altura = 0,07 dam
Ancho de la base = 36 dm
Capacidad = Capacidad =
11. Respondan.
Pedro quiere pintar el tanque de agua de su casa, de forma cilíndrica, de 2 m de diámetro y 3 m de alto.
a. Si la pintura rinde 1 m2
por cada medio litro, ¿cuántos litros serán necesarios?
b. Si el balde de 5 l cuesta $80, ¿cuántos baldes deberá comprar? ¿Cuánto gastará en total?
ml cl
l dm3
a. 250 cm3
=
b. 1 000 cm3
=
c. 32 dl = cm3
d. 0,00018 m3
=
e. 280 dl =
f. 135 kl = dm3
9. Completen las siguientes equivalencias.
12. Completen.
a. 0,12 hl = l e. 0,012 l = kl g
cl ml kg
hl dg mg
b. 375 ml =
c. 25 cl =
d. 4 kl = dal
f. 25 dal =
g. 0,0003 kg =
h. 125 mg = dag
i. 84 kg =
j. 4 526 dag =
k. 37 g =
l. 12 mg = cg
108

10 - Estadística
- Recoleccion y
organizacion de datos
- Tablas y Graficos
- Medidas de centralizacion
- Probabilidad
-Cálculo combinatorio
109

Variables, población y muestra
Estadística
La Estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para obtener determi-
nada información. Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de encuestas y se los puede
organizar a través de tablas y gráficos para poder entenderlos y utilizarlos mejor.
Población y muestra
Se denomina población al conjunto de individuos (personas, animales, plantas, etc.) que se pre-
tende estudiar estadísticamente. Cuando es difícil estudiar toda la población, se selecciona una
parte de ella denominada muestra. La muestra debe ser representativa, es decir, debe elegirse de
manera tal que del estudio estadístico se obtengan resultados muy próximos a los que se obten-
drían con toda la población.
Variables estadísticas
Cada uno de los temas que se estudia de una población o
muestra se denomina variable estadística. Por ejemplo, si se hace
una encuesta para averiguar las alturas de los alumnos de primer
año, la variable es “altura de los alumnos de primer año”.
Las variables se clasifican en:
• Cualitativas: se miden a partir de datos no numéricos.
“Comida preferida de los alumnos de primer año”.
• Cuantitativas: se miden a partir de datos numéricos.
“Edad de los jugadores de un equipo de fútbol”.
a. ¿Cuál es el primer paso del trabajo estadístico?
b. La población, ¿es parte de la muestra?
c. Si se quiere conocer el lugar preferido para el viaje de egresados de los 80 alumnos del
último año (repartidos en 3 cursos), ¿cuál puede ser una muestra representativa?
d. Una variable, ¿puede ser cualitativa y cuantitativa a la vez?
Cuestionario
ESTADÍSTICA
110

Recolección y organización de datos. Tablas
Para realizar un estudio estadístico, es necesario usar una serie de herramientas y técnicas que permitan
recolectar la información necesaria. Entre los principales instrumentos de recolección de datos se encuentran
las encuestas, los cuestionarios, las entrevistas. También se puede recolectar información mediante la
observación directa o experimentos. Luego, los datos obtenidos se pueden organizar en tablas.
Las tablas se utilizan para mostrar información sobre la relación entre dos o más datos.
En la historia de los juegos olímpicos, la delegación argentina obtuvo un total de 70 medallas:
18 de oro, 24 de plata y 28 de bronce. El deporte que más medallas obtuvo es el boxeo, con 24.
En la siguiente tabla se muestra la cantidad de medallas obtenidas según el deporte.
Deporte Medallas Oro Plata Bronce %
Boxeo 24 7 7 10 34,3
Vela 9 0 4 5 12,9
Atletismo 5 2 3 0 7,1
Fútbol 4 2 2 0 5,7
Remo 4 1 1 2 5,7
Hockey 4 0 2 2 5,7
Tenis 4 0 1 3 5,7
Natación 3 1 1 1 4,3
Polo 2 2 0 0 2,9
Básquet 2 1 0 1 2,9
Pesas 2 0 1 1 2,9
Ciclismo 1 1 0 0 1,4
Taekwondo 1 1 0 0 1,4
Equitación 1 0 1 0 1,4
Tiro 1 0 1 0 1,4
Vóley 1 0 0 1 1,4
Esgrima 1 0 0 1 1,4
Yudo 1 0 0 1 1,4
Total 70 18 24 28 100
a. ¿Qué datos aparecen en la tabla?
La cantidad de medallas, el detalle del tipo
de medalla por deporte y el porcentaje de
cada uno sobre el total de medallas.
b. ¿Con qué criterio se ordenaron los
deportes que obtuvieron la misma can-
tidad de medallas?
Se tuvo en cuenta cuál deporte obtuvo
más medallas de oro, luego más medallas
de plata y finalmente, el que obtuvo más
medallas de bronce.
c. Si se suman los porcentajes de cada
deporte, ¿coincide con el total? ¿Por
qué ocurre esto?
Si bien la suma de los porcentajes repre-
senta el total de los datos (100%), no
coincide porque los porcentajes de cada
deporte están aproximados a los décimos.
a. ¿Para qué se escriben los datos en una tabla? ¿Qué información brinda?
b. A través de una tabla, ¿se puede saber de qué tipo es la variable en estudio?
c. En una tabla se sumaron los porcentajes y se obtuvo 99,6%, ¿por qué ocurre esto?
Cuestionario
111

Frecuencias absolutas y relativas
a. ¿Es posible que la suma total de las frecuencias relativas sea 1,4?
b. ¿Qué significa que un valor de la variable en estudio tenga frecuencia absoluta igual a 3?
c. Si en un caso el porcentaje de un valor de la variable es 27%, ¿significa que la frecuencia
relativa correspondiente es 2,7?
d. ¿Puede suceder que para un valor de la variable el porcentaje sea 125%?
Cuestionario
Se denomina frecuencia absoluta (se escribe f) al número de veces que se repite cada valor de
la variable. La suma de las frecuencias absolutas es el total de encuestados.
Se denomina frecuencia relativa (se escribe fr ) al cociente entre la frecuencia absoluta y el total
de elementos que forman la muestra. La suma de las frecuencias relativas siempre es 1.
Si a cada frecuencia relativa expresada en forma decimal se la multiplica por 100, se obtiene el
porcentaje de la variable.
fr =  
f
 
__
n  n es el número de elementos que forman la muestra.
Entre los alumnos de primer año de una escuela se tomó una muestra de diez alumnos para
averiguar cuántas materias tenían con calificación debajo de seis. Los resultados fueron: 0; 0;
3; 4; 3; 5; 4; 3; 6; 5.
Cantidad de materias f fr Porcentaje
0 2 2 
___
10
  = 0,2 20%
3 3
3
 
___ 
10  = 0,3 30%
4 2   2 
___ 
10
  = 0,2 20%
5 2   2 
___ 
10
  = 0,2 20%
6 1
1
 
___ 
10  = 0,1 10%
Total 10 10 
___ 
10
 = 1 100%
112

a. ¿Qué diferencias hay entre un gráfico circular y uno de barras? ¿Cómo muestra la información
cada uno?
b. En un gráfico circular, ¿qué ángulo central debe tener un sector que representa el 25% del total?
Cuestionario
Gráficos
En muchas situaciones, los datos se pueden leer con mayor facilidad a través de gráficos. El tipo
de gráfico puede variar según la información que se quiere brindar.
Gráfico circular
Los gráficos circulares o de secciones sirven para mostrar la distribución de respuestas en rela-
ción con el total de resultados obtenidos.
Se realizó una encuesta para conocer la opinión de 20 personas sobre un nuevo chocolate.
Es un círculo dividido en sectores. Cada sector representa
una parte del total de los datos. El ángulo central de cada sec-
tor se puede obtener, por ejemplo, usando una regla de tres:
100% 360°
10% x =  10% . 360°
 
__________ 
100%  = 36° Corresponde a excelente.
bueno
50%
malo 20%
regular 20%
excelente 10%
Gráfico de barras
Los gráficos de barras sirven para comparar la cantidad de datos que corresponden a cada valor
de la variable. Para confeccionar un gráfico de barras, en el eje horizontal se representan los distintos
valores de la variable y en el vertical, las frecuencias absolutas. Luego, se construyen rectángulos del
mismo ancho cuya altura coincide con la frecuencia absoluta del valor de la variable.
Por ejemplo, diez personas opinan que es
bueno.
opinión
excelente bueno regular malo
10
6
2
0
12
8
4
cantidad
de
personas
Pictogramas
Los pictogramas son gráficos donde se representan cantidades a través de dibujos. Cada dibujo
representa una determinada cantidad.
113

Promedio, mediana y moda
Promedio
El promedio, también llamado media aritmética (se escribe x ), es el resultado de dividir la suma
de todos los valores de la variable por la cantidad de valores que forman la muestra.
Se registraron las ventas diarias de gaseosas de 600 ml en determinado quiosco, durante
una semana y se obtuvieron los siguientes datos: 20, 16, 17, 23, 20, 26, 25.
x =  16 + 17 + 20 + 20 + 23 + 25 + 26
   
______________________________
  
7
  =  16 + 17 + 2 . 20 + 23 + 25 + 26
   
____________________________
  
7
  = 21
Moda
La moda (se escribe mo ) es el valor de la variable que aparece más veces, es decir, la que tiene
mayor frecuencia.
En el ejemplo anterior, mo = 20.
Mediana
La mediana (se escribe me ) es el valor de la variable que está ubi-
cado en el lugar central luego de ordenar todos los datos de menor a
mayor. La mediana divide la muestra de tal forma que deja igual can-
tidad de datos a su izquierda que a su derecha.
Cuando la cantidad de datos es un número par, la mediana
es igual al promedio de los dos valores centrales.
Si se ordenan las cantidades de gaseosas vendidas,
se obtiene lo siguiente.
mediana
16; 17; 20; 20; 23; 25; 26
a. Si la variable es cualitativa, ¿se pueden calcular las tres medidas anteriores?
b. La moda, ¿es el mayor valor que alcanza la variable?
c. ¿Cuál es la medida que divide los datos obtenidos en dos grupos?
d. El promedio, ¿siempre es representativo de los datos?
Cuestionario
114

1. Marquen con una X el tipo de variable en estudio.
Variable Cualitativa Cuantitativa
La edad de los empleados de una empresa.
Cantidad de hijos de las familias de cierto barrio.
Buscador de Internet que utilizan los alumnos de una escuela.
Modelo de automóvil más vendido durante el último año.
Peso de cada uno de los jugadores de un equipo de fútbol.
Película más vista durante el mes de febrero.
ACTIVIDADES
2. Completen la tabla y respondan.
El profesor de matemática está preparando un informe sobre los alumnos de primer año para pre-
sentar junto con la planilla de notas. Las siguientes fueron las notas obtenidas por los alumnos al
finalizar el año.
10; 9; 9; 8; 8; 8; 5; 5; 4; 4; 10; 8; 8; 6; 6; 6; 6; 8; 7; 7; 10; 9; 3; 6; 6; 6; 10; 5
Notas 10 9 8 7 6 5 4 3
Cantidad de alumnos
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla.
3. Resuelvan.
Los chicos de 1.° año tuvieron que elegir el nombre que los representará en una competencia in-
tercolegial. Las opciones fueron nombres de pueblos originarios de la Argentina: toba (T), mapuche
(M), wichí (W) y diaguitas (D). De la votación se obtuvieron las siguientes respuestas.
M - M - M - W - W - W - M - D - D - T - M - T - D - M - M - M - D - M - M - W
W - D - D - M - W - M - W - M - T - D - M - M - W - W - W - W - D - T - T - W
a. Completen la tabla de frecuencias.
Nombre f fr %
Toba
Mapuche
Wichí
Diaguitas
Total
b. ¿Qué nombre resultó ganador? ¿Cómo se dieron cuenta? ¿Qué porcentaje obtuvo?
115

4. Resuelvan.
Luego del estreno de una película se realizó una encuesta para conocer la opinión de los especta-
dores. Las respuestas fueron las siguientes.
Opinión Excelente Muy buena Buena Regular Mala
Cantidad de personas 20 15 10 15 5
a. ¿De qué tipo de variable se trata? ¿A cuántas personas se encuestó?
b. Realicen un gráfico circular con los datos de la tabla.
5. Resuelvan.
a. Realicen el gráfico de barras de acuerdo con la información de la tabla.
Mascota
preferida
Cantidad de
personas
Perro 30
Gato 24
Peces 8
Aves 10
cantidad
de
personas
mascota
perro peces
gato aves
6. Resuelvan.
La siguiente tabla muestra el estado civil de los empleados de una empresa.
Estado civil Mujer Varón Total
Casados 4 8 12
Divorciados 2 3 5
Solteros 4 6 10
Viudos 2 1 3
Total 12 18 30
a. ¿Qué variables están en estudio?Clasifíquenlas.
b. Realicen un gráfico circular donde figuren los porcentajes según el sexo de los empleados
c. Realicen un diagrama de barras que mues-tre el estado civil de los empleados.
d. ¿Qué porcentaje de las mujeres son casadas?
7. Calculen el promedio, la mediana y la moda para cada uno de los siguientes grupos de datos.
a. 36; 38; 40; 40; 38; 38; 38; 42; 38; 36; 42; 36; 36; 38.
x = me = mo =
b. 28; 30; 28; 28; 28; 28; 29; 35; 29; 30.
me = mo =
x =
c. 32; 29; 42; 34; 34; 40; 28.
x = me = mo =
116

Experimentos aleatorios. Probabilidad simple
Experimentos aleatorios
Existen situaciones en donde no se puede anticipar cuál será el resultado. A este tipo de situa-
ciones, que dependen del azar, se las llama experimentos aleatorios.
Se denomina espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles de un
experimento. Cada uno de los resultados que forman el espacio muestral se denomina suceso.
Experimento: tirar un dado y observar el resultado.
Espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio, se pueden usar, por ejemplo,
diagramas de árbol y tablas.
En una bolsa se colocaron fichas con números de tres cifras distintas formados por los dígi-
tos 1, 2, 3. ¿Cuál es el espacio muestral?
El espacio muestral está formado
por los números: 123, 132, 231,
213, 321, 312.
1
3 2
2 3
2
1 3
3 1
3
1 2
2 1
Probabilidad simple
En matemática se asigna un número a la probabilidad de que ocurra un suceso. Ese número
puede ser 0, 1 o cualquier número comprendido entre el 0 y el 1.
Probabilidad de un suceso (P) =  
número de casos favorables
   
_________________________
   
número de casos posibles
 
Se tira un dado:
• Todas las caras de un dado tienen la misma probabilidad de salir.
• Es más probable que salga un número par que un divisor de 3.
• Es seguro que salga un número natural menor que 7.
• Es imposible, por ejemplo, que salga el número 10.
a. Elegir qué remera usar, ¿es un experimento aleatorio?
b. ¿Puede el resultado de una probabilidad ser 3?
c. ¿En qué caso la probabilidad es igual a 0?
Cuestionario
117

Cálculo combinatorio
El cálculo combinatorio permite conocer la cantidad de grupos que se pueden formar con determi-
nados elementos, de acuerdo con una serie de condiciones, sin necesidad de enumerarlos uno por uno.
Pablo, Guillermo, Verónica y Lidia compraron entradas para ir al teatro y deben decidir cómo
ubicarse. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?
La primera ubicación tiene 4 posibilidades; la segunda posición, 3; la tercera, 2, y la cuarta, 1.
4 . 3 . 2 . 1 = 24. Tienen 24 maneras distintas de ubicarse en los asientos.
Si se quieren formar grupos con determinadas condiciones a partir de
otro con mayor cantidad de elementos, también se puede utilizar el
cálculo combinatorio.
En el ejemplo anterior, si pierden dos entradas y deben decidir
quiénes van al teatro y cómo se ubican, ¿de cuántas maneras
distintas pueden hacerlo?
En este caso, la primera ubicación sigue teniendo 4 posibilidades y la
segunda, 3. Y no quedan más lugares.
Por lo tanto, 4 . 3 = 12. Tienen 12 maneras distintas de decidir quié-
nes van y en qué asientos se ubican.
Hay casos donde se deben combinar elementos de distintos grupos.
Marcos va a ir al cine y debe elegir qué ropa ponerse. No se decide
si llevar remera roja, blanca o negra; si ponerse jeans negros o azu-
les y si llevar sus zapatillas preferidas o los zapatos nuevos.
¿Cuántas posibilidades tiene para vestirse?
Tiene 3 posibles remeras, 2 jeans y 2 pares de zapatillas.
Por lo tanto, 3 . 2 . 2 = 12.
Tiene 12 posibilidades distintas para vestirse.
a. ¿Qué ventaja tiene el cálculo combinatorio respecto de los diagramas de árbol?
b. Si además de saber cuántos números se pueden formar con distintas cifras, se quiere
saber cuáles son los números, ¿qué estrategia de resolución se debe utilizar?
c. ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 1 al 9?
Cuestionario
118

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