Progresión Aritmética

1. Prof. Jenner Huamán Callirgos

2. Un día, con el fin de mantener la clase atareada y en silencio
durante un buen rato, el maestro tuvo la idea de hacer sumar
a sus alumnos todos los números del 1 al 100, ordenándoles
además que, según fuera terminando cada uno esta tarea,
deberían colocar su pizarra sobre la mesa del maestro. Casi
inmediatamente colocó Carl su pizarra sobre la mesa,
diciendo: “ya está”; el maestro lo miró desdeñosamente
mientras los demás trabajaban con ahínco. Cuando todos
hubieron terminado y el maestro revisó al fin los resultados
obtenidos, se encontró con la sorpresa notable de que la
única pizarra en la que aparecía la respuesta correcta, 5.050,
sin ningún cálculo accesorio, era la de Gauss. El muchachito
de ocho años había hecho evidente el cálculo mental de
sumar la progresión aritmética 1+ 2+ 3+ ...+ 98+ 99+ 100
asociando parejas de términos igualmente alejados de los
extremos, es decir, esencialmente utilizando la fórmula
𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)
2
.

3. CONTEO POR PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Progresión Aritmética(PA).- Una serie o progresión aritmética(PA), es una
sucesión de números, tal que: “La diferencia de dos términos consecutivos
cualesquiera es constante, denominada razón aritmética(RA)”
12; 19; 26; 33; .....; 425
+7 +7 +7
*
7; 16; 25; 34; ......; 223
+9 +9 +9
*
35; 32; 29; 26; .....; 5
-3 -3 -3
*
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 7)
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN 9)
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE RAZÓN -3)
Ejemplo

4. Cálculo de un término de la progresión aritmética cuyo lugar
es "n".
n
a1; a2; a3; …….. ; an
r r r
Dados los “n” números:
Se tendrá:
11
+
−
=
r
aa
n n
De donde:
rnaan ).1(1 −+=
331
3
14110
=+
−
=n
3
14; 17; 20; ……;
3
26°
Ejemplo:
números
Se tendrá:
a26 = 14+(26 – 1).3=89
14; 17; 20; ……; 110
Ejemplo:

5. Conteo de cifras en una progresión aritmética
Por conteo simple
Se aplica para cualquier progresión aritmética y se trata de asociar
aquellos números que posean la misma cantidad de cifras, se calcula
cuantos son y se le multiplica por el número de cifras que utiliza y luego se
suman los resultados
Número de cifras = (N + 1 ). K – 111.........1

("K" cifras)Donde
"N" es el último número.
"K" es el número de cifras de "N".
Por fórmula
Solo se aplica para enumerar la serie: 1; 2; 3; 4; .............; N

6. * CANTIDAD DE NÚMEROS DE “n” CIFRAS EN BASE “b”:
(b – 1).bn–1
Ejemplo:
¿Cuántos números de 3 cifras hay en base 10?
100; 101; 102; ……..: 999  (9).103 – 1 = 900 números
Ejemplo:
¿Cuántos números de 3 cifras hay en base 8?
100(8); 101(8); 102(8) …….; 777(8)(7).83–1 = 448 números

7. ALGUNOS ARTIFICIOS
Estos artificios sólo se emplean para averiguar el número
de términos.
Ejemplo1:
Encontrar el número de términos de la siguiente serie:
1248; 1288; 1328; ……..; 1968
Resolución
En la serie observamos que todos sus términos empiezan
Con la cifra 1 y terminan en la cifra 8.
Omitimos momentáneamente las cifras 1 y 8 de la serie:
1248; 1288; 1328; ……..; 1968
La nueva serie sería: 24; 28; 32; ………..;96
Entonces el número de términos de la serie es: 1
4
2496
+
−
=n
En la serie original hay 19 números

8. Encontrar el número de términos de la siguiente serie:
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(8)
; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(8)
; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(8)
; ……..; 𝑎𝑎76𝑏𝑏(8)
Resolución
Omitimos las cifras a y b de la serie, tenemos:
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(8)
; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(8)
; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(8)
; ……..; 𝑎𝑎76𝑏𝑏(8)
Ejemplo2:
Los términos de la nueva serie son:
12(8); 14(8)
; 16(8)
; ……..; 76(8)
2 2
Sin perder generalidad, el número de términos de la serie es:
nº términos =76
8
−12
(
8
)
2
+ 1
nº términos =62−10
)
2
+ 1 = 27 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Por lo tanto la serie original tiene 27 términos

9. Aplicaciones
1.Encontrar el número de términos de la siguiente serie:
16; 36; 64; 100; ….; 1600
Resolución
La serie dada es equivalente a:
42; 62; 82; 102; ….; 402
Omitiendo los exponentes, tenemos:
4; 6; 8; 10; ….; 40
2 2 2
Sin perder generalidad, el número de términos de la serie es:
nº términos =40−4
2
+ 1 = 19 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Por lo tanto la serie original tiene 19 términos

10. 2.¿Cuántos números capicúas de 4 cifras existen en el sistema
decimal?
Resolución
Escribimos la serie de los números capicúas de 4 cifras:
1001; 1111; 1221; ……..9999
Si omitimos las dos últimas cifras de cada término de la serie, tenemos:
10; 11; 12; …….; 99
Sin perder generalidad, el número de términos de la serie es:
nº términos =99−10
1
+ 1 = 90 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Existen en el sistema decimal, 90 números capicúas de
4 cifras.

11. 3.¿Cuántas cifras (o tipos de imprenta) se han empleado al enumerar
las primeras 746 páginas de un libro?
Resolución

12. 4.Hallar la cantidad de términos que tiene la siguiente progresión aritmética:
+m4; m7;............;(m 3)7
A) 11 B) 12 C) 14 D) 16 E)18
Resolución

13. 5. En la enumeración de las páginas de un libro se han utilizado 1398
tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
A) 626 B) 502 C) 497 D) 450 E) 4 48
Resolución

14. abc1
abc4
6. En la numeración de las páginas de un libro se han empleado
tipos de imprenta.
Hallar: a+b+c
A) 17 B) 18 C) 20 D) 15 E) 14
Resolución

15. 7. Hallar la cantidad de páginas que tiene un libro, sabiendo que para
enumerar sus últimas 26 páginas se emplearon la misma cantidad de
tipos que se empleó en las primeras 25 hojas.
a) 940 b) 952 c) 976 d) 1012 e) 1042
Resolución

16. 8. En la enumeración de las tarjetas impresas para una pollada, se ha
utilizado la siguiente serie:
0001; 0002; 0003; …. ; 9999
¿Cuántos ceros inútiles se han empleado?
a) 1000 b) 1100 c) 1107 d) 117 e) 1710
Resolución

17. 9. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas
páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas cifras tendría si se enumerara en
el sistema octal?
A) 3555 B) 4005 C) 3750 D) 4125 E) 4325
Resolución

18. 10. ¿Cuántas cifras seis se emplean en la numeración de los 700
primeros números naturales?
a) 240 b) 242 c) 244 d) 246 e) 248
Resolución