El método de Romberg es un método numérico para calcular integrales definidas de forma más precisa que la regla del trapecio. Se basa en la regla del trapecio pero mejora la precisión mediante la generación de tablas donde cada fila proporciona una mejor aproximación que la anterior. En el ejemplo, se aplica el método de Romberg para calcular la integral de 0 a 3 de e^x sen(x)/(1+x^2) dx, obteniendo valores sucesivos hasta R7,7 que proporciona la mejor aproximación.

1. Método de
Romberg
Exponen
Erick Sebastián Martínez Baca
Rosa Elena Sorto

2. Método de Romberg
 Al utilizar la regla del trapecio de segmentos múltiples y la
regla de Simpson de segmentos múltiples, se pudo observar
que a medida que aumentaba el numero de segmentos, 𝑛, el
error disminuía; pero para valores muy grandes de 𝑛, el error
por redondeo empezaba a crecer y el esfuerzo computacional
se volvía grande.

3. Método de Romberg
 El método de integración de Romberg esta diseñado para evitar estos
inconvenientes y esta basado en la regla del trapecio, pero solo se puede
usar en casos en los que se conoce la función 𝑓(𝑥).
 La formula de Romberg es la siguiente:
 𝑅 𝑘,𝑗 = 𝑅 𝑘,𝑗−1 +
𝑅 𝑘,𝑗−1−𝑅 𝑘−1,𝑗−1
4 𝑗−1−1
=
4 𝑗−1 𝑅 𝑘,𝑗−1−𝑅 𝑘−1,𝑗−1
4 𝑗−1−1
… … … . (1)

4. Método de Romberg
 Donde:
 𝑅 𝑘,𝑗−1 𝑒 𝑅 𝑘−1,𝑗−1; son las integrales mas y menos exactas,
respectivamente e 𝑅 𝑘,𝑗 es la integral mejorada.
 𝑗 indica el nivel de integración
 𝑘 evaluaciones de la regla del trapecio.

5. Método de Romberg
 Donde:
 𝑒 𝑝 =
𝑅 𝑘,𝑗−𝑅 𝑘,𝑗−1
𝑅 𝑘,𝑗
100 … … … … … … … … … … … … … … . . (2)

6. Método de Romberg
 Precauciones que se deben tener en cuenta al usar este método:
 El paso no debe ser muy pequeño para que no se incremente el error por
redondeo.
 Este método se utiliza en el caso en que se requiera mayor precisión en el
calculo de la integral.
 El nivel 𝑗 = 1 corresponde a la estimación de la regla del trapecio original.
 El nivel 𝑗 = 2 corresponde a una aproximación con un orden de error
𝑂 ℎ4 .
 El nivel 𝑗 = 3 corresponde a una aproximación con un orden de error
𝑂 ℎ6
y así sucesivamente.

7. Método de Romberg
 Ejemplo
 Utilice la integración de Romberg para evaluar de forma
aproximada

0
3 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1+𝑥2 𝑑𝑥 ; 𝐻𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑅7,7

8. Método de Romberg
 Solución
 Se trabajara inicialmente con la regla del Trapecio, para
generar los datos del nivel 𝑗 = 1, calculando la integral con
distintos números de segmentos, los cuales deben irse
duplicando hasta que la variación de las integrales sea
mínima.

9. Método de Romberg
 Solución
 Se comienzan los cálculos con los valores mostrados en la
Tabla 1, los cuales se obtuvieron para los diferentes tamaños
de paso indicados.

10. Método de Romberg
𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍
𝒆 𝒙 𝑺𝒆𝒏(𝒙)
𝟏+𝒙 𝟐
𝟑
𝟎
𝒅𝒙 , 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝒐𝒎𝒃𝒆𝒓𝒈 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝑹 𝟕,𝟕
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑅1,1 𝑦 𝑅 𝑘,1 , 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠.
𝐶𝑜𝑛 𝑎 = 0 , 𝑏 = 3 𝑦 ℎ1 = 3
𝑅1,1 =
ℎ1
2
𝑓( 𝑎) + 𝑓( 𝑏) =
𝑏 − 𝑎
2
𝑓( 𝑎) + 𝑓( 𝑏) 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜.
𝑅1,1 =
3 − 0
2
𝑓(0) + 𝑓(3) … … … … … … … … … . . 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑦 𝑏.
𝑅1,1 =
3
2
0 + 0.2834471132 … … … … … … … … . 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛.
𝑅1,1 = 0.425170669 … … … … … … … … … … . … . . 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛.

11. Método de Romberg
¿ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑅 𝑘,1?
𝐵𝑖𝑒𝑛 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑅 𝑘,1 =
1
2
𝑅 𝑘−1,1 + ℎ 𝑘−1 𝑓((𝑎 + (2𝑖 − 1)ℎ 𝑘)
2 𝑘−2
𝑖=1
; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ 𝑘 =
𝑏 − 𝑎
2 𝑘−1
; 𝑘 = 2
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒: 𝑎 = 0 , 𝑏 = 3 , 𝑖 = 1 𝑦 𝑘 = 2 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑅2,1 =
1
2
𝑅2−1,1 + ℎ2−1 𝑓(0 + (2(1) − 1)ℎ2)
22−2
𝑖=1
; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ2 =
3 − 0
22−1
=
3
2
𝑅2,1 =
1
2
𝑅1,1 + ℎ1 𝑓(1 ∗ ℎ2)
1
𝑖=1
; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ2 =
3
2
; ℎ1 = 3 𝑦 𝑅1,1 = 0.425170669
𝑅2,1 =
1
2
0.425170669 + 3𝑓(
1 ∗ 3
2
)
𝑅2,1 =
1
2
0.425170669 + 3(1.375526886)
𝑅2,1 = 2.275875664

12. Método de Romberg
𝑅 𝑘,1 =
1
2
𝑅 𝑘−1,1 + ℎ 𝑘−1 𝑓((𝑎 + (2𝑖 − 1)ℎ 𝑘)
2 𝑘−2
𝑖=1
; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ 𝑘 =
𝑏 − 𝑎
2 𝑘−1
; 𝑘 = 3
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒: 𝑎 = 0 , 𝑏 = 3 , 𝑖 = 1 , 2 𝑦 𝑘 = 3 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑅3,1 =
1
2
𝑅3−1,1 + ℎ3−1 𝑓((0 + (2(𝑖) − 1)ℎ3)
23−2
𝑖=1
; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ3 =
3 − 0
23−1
=
3
4
𝑅3,1 =
1
2
𝑅2,1 + ℎ2 𝑓((2(𝑖) − 1)ℎ3)
2
𝑖=1
; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ3 =
3
4
; ℎ2 =
3
2
𝑦 𝑅2,1 = 2.275875664
𝑅3,1 =
1
2
2.275875664 +
3
2
𝑓
3
4
+ 𝑓(
3 ∗ 3
4
))
𝑅3,1 =
1
2
2.275875664 +
3
2
(0.9235387304 + 1.217674714)
𝑅3,1 =
1
2
5.487695831
𝑅3,1 = 2.743847915

13. Método de Romberg
𝑅 𝑘,1 =
1
2
𝑅 𝑘−1,1 + ℎ 𝑘−1 𝑓((𝑎 + (2𝑖 − 1)ℎ 𝑘)
2 𝑘−2
𝑖=1
; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ 𝑘 =
𝑏 − 𝑎
2 𝑘−1
; 𝑘 = 4
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒: 𝑎 = 0 , 𝑏 = 3 , 𝑖 = 1 , 2 , 3 , 4 𝑦 𝑘 = 4 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑅4,1 =
1
2
𝑅4−1,1 + ℎ4−1 𝑓((0 + (2(𝑖) − 1)ℎ4)
24−2
𝑖=1
; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ4 =
3 − 0
24−1
=
3
8
𝑅4,1 =
1
2
𝑅3,1 + ℎ3 𝑓((2(𝑖) − 1)ℎ4)
4
𝑖=1
; 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ3 =
3
4
; ℎ4 =
3
8
𝑦 𝑅3,1 = 2.743847915
𝑅4,1 =
1
2
2.743847915 +
3
4
(𝑓
1 ∗ 3
8
+ 𝑓
3 ∗ 3
8
+ 𝑓
5 ∗ 3
8
+ 𝑓(
7 ∗ 3
8
))
𝑅4,1 =
1
2
2.275875664 + (2.951816992)
𝑅4,1 =
1
2
5.695664907
𝑅4,1 = 2.847832453

14. Método de Romberg
 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑟 𝑘 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 7 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
 𝑅5,1 = 2.8732076 ; 𝑅6,1 = 2.8795311 ; 𝑅7,1 = 2.8811108

15. Tabla 1 Valores iniciales para el calculo de la integral con la formula
de Romberg
𝒋 = 𝟏
𝑛 ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑅 ℎ 𝑛 =
𝑏 − 𝑎
2(𝑛)
𝑓 𝑥0 + 2
𝑖=1
𝑛−1
𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓 𝑥 𝑛
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
1 3
𝑅 ℎ1 =
3 − 0
2
𝑒3 𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32 +
𝑒0 𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝑅1,1 = 0.42517
2 1.5 𝑅 ℎ2 =
3 − 0
2 2
𝑒3
𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32
+ 2
𝑒1,5
𝑠𝑒𝑛(1.5)
1 + 1.52
+
𝑒0
𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝑅2,1 = 2.275876
4 0.75 𝑅 ℎ3 =
3 − 0
2 4
𝑒3 𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32
+ 2
𝑒2.25 𝑠𝑒𝑛(2.25)
1 + 2.252
+
𝑒1.5 𝑠𝑒𝑛(1.5)
1 + 1.52
+
𝑒0.75 𝑠𝑒𝑛(0.75)
1 + 0.752
+
𝑒0 𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝑅3,1 = 2.743848
8 0.375
𝑅 ℎ4 =
3 − 0
2(8)
𝑒3
𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32 + 2 … . +
𝑒0
𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝑅4,1 = 2.84782
16 0.1875
𝑅 ℎ4 =
3 − 0
2(16)
𝑒3
𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32 + 2 … . +
𝑒0
𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝑅5,1 = 2.87320
32 0.09375
𝑅 ℎ4 =
3 − 0
2(32)
𝑒3
𝑠𝑒𝑛(3)
1 + 32
+ 2 … . +
𝑒0
𝑠𝑒𝑛(0)
1 + 02
𝑅6,1 = 2.879531

16. Método de Romberg
 Solución
 La cual se completa para los niveles 𝑗 = 2, 3, 4, 5, 6 𝑦 7
aplicando la formula de Romberg, de este modo se tiene:
 Para 𝑗 = 2 y haciendo variar 𝑘 desde 2 hasta 7

17. Método de Romberg
 𝑅 𝑘,𝑗 = 𝑅 𝑘,𝑗−1 +
𝑅 𝑘,𝑗−1−𝑅 𝑘−1,𝑗−1
4 𝑗−1−1
=
4 𝑗−1 𝑅 𝑘,𝑗−1−𝑅 𝑘−1,𝑗−1
4 𝑗−1−1
𝒄𝒐𝒏 𝒌 = 𝟐, … , 𝟕 ; 𝒋 = 𝟐
 𝑹 𝟐,𝟐 =
𝟒 𝟐−𝟏 𝑹 𝟐,𝟐−𝟏−𝑹 𝟐−𝟏,𝟐−𝟏
𝟒 𝟐−𝟏−𝟏
=
𝟒 𝟏 𝑹 𝟐,𝟏−𝑹 𝟏,𝟏
𝟒 𝟏−𝟏
=
𝟒 ∗𝟐.𝟐𝟕𝟓𝟖𝟕𝟓𝟕−𝟎.𝟒𝟐𝟓𝟏𝟕𝟎𝟕
𝟑
= 𝟐. 𝟖𝟗𝟐𝟕𝟕𝟕𝟑
 𝑹 𝟑,𝟐 =
𝟒 𝟐−𝟏 𝑹 𝟑,𝟐−𝟏−𝑹 𝟑−𝟏,𝟐−𝟏
𝟒 𝟐−𝟏−𝟏
=
𝟒 𝟏 𝑹 𝟑,𝟏−𝑹 𝟐,𝟏
𝟒 𝟏−𝟏
=
𝟒 ∗𝟐.𝟕𝟒𝟑𝟖𝟒𝟕𝟗−𝟐.𝟐𝟕𝟓𝟖𝟕𝟓𝟕
𝟑
= 𝟐. 𝟖𝟗𝟗𝟖𝟑𝟖𝟕
 𝑹 𝟒,𝟐 =
𝟒 𝟐−𝟏 𝑹 𝟒,𝟐−𝟏−𝑹 𝟒−𝟏,𝟐−𝟏
𝟒 𝟐−𝟏−𝟏
=
𝟒 𝟏 𝑹 𝟒,𝟏−𝑹 𝟑,𝟏
𝟒 𝟏−𝟏
=
𝟒 ∗𝟐.𝟖𝟒𝟕𝟖𝟑𝟐𝟓−𝟐.𝟕𝟒𝟑𝟖𝟒𝟕𝟗
𝟑
= 𝟐. 𝟖𝟖𝟐𝟒𝟗𝟒𝟎

18. Método de Romberg
 𝑹 𝟓,𝟐 =
𝟒 𝟐−𝟏 𝑹 𝟓,𝟐−𝟏−𝑹 𝟓−𝟏,𝟐−𝟏
𝟒 𝟐−𝟏−𝟏
=
𝟒 𝟏 𝑹 𝟓,𝟏−𝑹 𝟒,𝟏
𝟒 𝟏−𝟏
=
𝟒 ∗𝟐.𝟖𝟕𝟑𝟐𝟎𝟕𝟔−𝟐.𝟖𝟒𝟕𝟖𝟑𝟐𝟓
𝟑
= 𝟐. 𝟖𝟖𝟏𝟔𝟔𝟓𝟗
 𝑹 𝟔,𝟐 =
𝟒 𝟐−𝟏 𝑹 𝟔,𝟐−𝟏−𝑹 𝟔−𝟏,𝟐−𝟏
𝟒 𝟐−𝟏−𝟏
=
𝟒 𝟏 𝑹 𝟔,𝟏−𝑹 𝟓,𝟏
𝟒 𝟏−𝟏
=
𝟒 ∗𝟐.𝟖𝟕𝟗𝟓𝟑𝟏𝟏−𝟐.𝟖𝟕𝟑𝟐𝟎𝟕𝟔
𝟑
= 𝟐. 𝟖𝟕𝟕𝟑𝟐𝟎𝟑
 𝑹 𝟕,𝟐 =
𝟒 𝟐−𝟏 𝑹 𝟕,𝟐−𝟏−𝑹 𝟕−𝟏,𝟐−𝟏
𝟒 𝟐−𝟏−𝟏
=
𝟒 𝟏 𝑹 𝟕,𝟏−𝑹 𝟔,𝟏
𝟒 𝟏−𝟏
=
𝟒 ∗𝟐.𝟖𝟖𝟏𝟏𝟏𝟎𝟖−𝟐.𝟖𝟕𝟗𝟓𝟑𝟏𝟏
𝟑
= 𝟐. 𝟖𝟖𝟏𝟔𝟑𝟕𝟒

19. Método de Romberg
 Solución
 Se procede de igual manera para 𝑗 = 3, y haciendo variar 𝑘
desde 1 hasta 5, y luego con 𝑗 = 4, 5, 6 𝑦 7, tal como se
muestra en la figura 1.

20. Método de Romberg
Figura 1 Resumen de valores calculados con la formula de Romberg

21. Método de Romberg

23. Método de Romberg
 Solución
 Para 𝑛 = 64 y después de siete iteraciones el valor de la
integral por método de Romberg es 𝑅7,7 = 2.881637275
 ∴ 𝑈𝑛𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎,

0
3 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑥)
1+𝑥2 𝑑𝑥 , 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑜𝑚𝑏𝑒𝑟𝑔 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑅7,7

0
3 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑥)
1+𝑥2 ≅ 2.8816373 𝑢2