maqueta para aprender el teorema de pitagoras

1. METODO DINÁMICO PARA LA
EXPLICACIÓN DEL TEOREMA DE
PITÁGORAS
Nombre: Sebastián Sánchez Ardila
Curso: 1102

2. INTRODUCCIÓN
• El teorema de Pitágoras es una proposición demostrable hecha
por una organización griega de astrónomos, filósofos y
matemáticos llamados pitagóricos, que fundamentaban sus
estudios con la idea de que todas las cosas estaban
conformadas esencialmente por números. Esta organización, al
igual que el teorema, recibe el nombre debido al seguimiento
de los estudios e ideas propuestas por el filósofo presocrático
Pitágoras. El teorema propone una proporción entre la longitud
de los lados de un triángulo rectángulo demostrable bajo la
fórmula A2 + B2 = C2 teniendo A y B como los catetos del
triángulo, y C como la hipotenusa.

3. • La comprobación del teorema se da debido a la
proporcionalidad que mantienen dos triángulos semejantes;
que la razón entre dos lados de dos triángulos semejantes
siempre es la misma sin importar el tamaño de estos. Esto se
comprueba por medio del postulado de triángulos, el cual no
trataremos debido a su extensión y a que fue propuesto
posteriormente al teorema de Pitágoras.
• Este trabajo se realiza con el objetivo de aplicar un método
didáctico de aprendizaje al Teorema de Pitágoras, se eligió este
tema por su aplicabilidad en distintas áreas del conocimiento,
así como en la física, teniendo en cuenta esto, se espera en los
estudiantes un buen aprendizaje del tema y que ofrezca un
mayor beneficio en los resultados de pruebas internas y
externas de la Institución Educativa San Mateo.

4. • El enfoque que hemos tomado ha sido aplicar por medio de
una maqueta en la que se representa como los catetos al ser
sumados se da la hipotenusa, con esto a la vez diseñar un
tangram para que los estudiantes identifiquen con qué tipo de
triángulos se aplica el teorema, todo esto partiendo de
entrevistas a docentes de matemáticas.
• Además, se realizará un diagnóstico para corroborar lo dicho
por los docentes y al final comprobar si nuestros métodos
fueron útiles y mejoran el aprendizaje sobre el teorema.
• Esperamos que nuestro método mejore el aprendizaje de los
estudiantes, además de facilitar la explicación a los docentes, con
esto dejarle al colegio un producto que le sea útil a futuro.

5. • Al final poder comprobar que nuestra hipótesis fue correcta con
la aplicación de un nuevo taller en el que se evaluará si en
verdad nuestro trabajo fue fructífero, estos elementos utilizados
tenemos como objetivo dejarlo a la institución para que a futuro
sea utilizado y aplicado en la aulas de clase.
• El taller y el método didáctico será aplicado a estudiantes de
noveno, como refuerzo al programa, permite ser aplicado aún si
no se ha trabajado con anterioridad.
• En este proceso esperamos aprender a realizar trabajos
escritos que nos beneficiaran a la hora de hacer tesis
universitarias, además aprenderemos a trabajar en grupo y a
superar obstáculos presentados, también averiguaremos si
nuestra hipótesis es correcta y en verdad al trabajar con métodos
didácticos se mejora y facilita el aprendizaje del teorema de Pitágoras

6. RESUMEN
• Nuestro trabajo “Método dinámico para la explicación del
teorema de Pitágoras” tiene como principal objetivo mejorar la
explicación de este mismo en las aulas de clase por medio de
una maqueta que ilustra cómo se hace ese procedimiento.
• Antes de realizar nuestra maqueta acudimos a varios docentes
de nuestra Institución para preguntarles cuales eran las
principales falencias de los estudiantes con el Teorema de
Pitágoras, con aquellos datos nos dimos a la tarea de elaborar
una guía para aplicarla a los grados noveno (uno en
específico). Primero hacíamos una explicación con nuestra
maqueta de manera didáctica, y luego les pedíamos que
resolvieran los ejercicios planteados en la guía.

7. • Luego de ver los resultados de las guías, nos dimos a la
conclusión de que los estudiantes si tuvieron mejora, y no
cometían los errores que anteriormente nos habían planteado
los docentes. Además, los maestros nos comentaron que con la
ayuda de nuestra maqueta se les facilito mucho más la
explicación en el aula, ya que decían que con un método
didáctico era mucho mejor el aprendizaje de los estudiantes.
• Así que decidimos obsequiar nuestra maqueta a la Institución
para que se haga uso cuando el maestro lo requiera y así ir
mejorando poco a poco el aprendizaje de los estudiantes de
nuestra Institución.

8. PLANTEAMIENTO Y FORMULACION DEL
PROBLEMA
• El teorema de Pitágoras es un tema de abordaje básico que se da
en el colegio en el que se establece que en todo triangulo
rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos,
en pleno siglo XXI se han encontrado dificultades al momento de
comprender realmente en que triángulos se aplica y la aplicación de
este, con esto generando confusiones y complicaciones al abordar
otros temas asociados a los triángulos en los que el teorema no
llega a relacionarse, además de esto el reconocimiento de su
aplicabilidad, entendiendo como uno de los mejores sistemas
educativos del mundo como lo es el de Finlandia, aprenderás mejor
si entiendes qué utilidad tiene lo que aprendes si lo puedes aplicar
en tu diario vivir, eso es lo que realmente nos lleva a aprender.

9. • El sistema colombiano básicamente se basa en solo retener
conocimientos, y tener un lápiz y un cuaderno y desarrollar 50
ejercicios y con esto se dará por entendido que el estudiante
aprendió, pero ¿en verdad comprendió y aprendió para que
servía el teorema? se podría asegurar que no, el estudiante al
final terminara olvidando la formula porque no encontró
verdadera utilidad en su aplicación, se aprende lo que
consideras importante y lo que prácticas en tu diario vivir.
•
• Nosotros lo que queremos es que se apliquen métodos menos
rupestres, desarrollando una maqueta en la que evidencien en
verdad como los 2 catetos forman la hipotenusa, comprendan
que el uso del teorema solo se da en los triángulos rectángulos
y además de ellos formularles problemas que se dan en la vida
cotidiana para que entiendan su utilidad en el diario vivir.

10. Alcances
• Se realizara una maqueta sobre el teorema de Pitágoras
realizada en base de vidrios formando un tanque de agua en la
que se comprobara como la suma de catetos forman la
hipotenusa, con esto pretendemos que los profesores se
motiven a usar métodos más prácticos que además impulsen
un verdadero aprendizaje sobre el teorema, además darles una
motivación extra a los estudiantes a la hora de tener una clase
de matemáticas e incluso que en más clases se empiecen a ver
métodos similares para el aprendizaje.

11. Objetivo General y Objetivos
específicos
• Aplicar y comprobar que con un
método didáctico se puede entender
con mayor facilidad el teorema de
Pitágoras.
• Identificar las principales falencias o
dificultades de la aplicación del
Teorema de Pitágoras en estudiantes
de grado noveno a partir de
entrevistas a docentes sobre el tema.
•
• Diseñar y aplicar el método dinámico
(nombre de la maqueta) en clases de
noveno para la explicación y
apropiación del tema.
•
• Comprobar si se obtuvieron mejores
resultados con la ayuda didáctica.

12. Hipótesis
• Averiguar si por medio de métodos didácticos el aprendizaje del
teorema de Pitágoras en los estudiantes es mejor y al mismo tiempo
si se le facilita al docente la explicación de este tema.

13. Antecedentes
• -La obra matemática El Zhoubi suanjing, y el jiuzhang
suanshu: realizada en china entre los años 500 y el 300 a.c.
donde la obra jiuzhang suanshu due escrita en los años de
250 a.c
• -Demostración de euclides: Proposición 1.47 de los elementos:
Euclides elaboró una demostración nueva con la posibilidad
de encontrarse con números irracionales contradiciendo un
poco a Pitágoras por el uso de proporciones donde no siempre
era aplicable donde solo manejaba números racionales.

14. • -Demostración de Pappus: se creó 625 años después del de
Euclides basada en la proposición 1.36 en los elementos de
Euclides
• -Demostración de Bhaskara: Bhaskara ll, el matemático y
astrónomo hindú del siglo XII, dio la una demostración del
teorema de Pitágoras.
• -Demostración de Leonardo Da Vinci : Partiendo del triángulo
rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa,
Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado,
resultando dos polígonos

15. Marco teórico
• El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo
rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de
los catetos. Es la proposición más conocida entre las que
tienen nombre propio en la matemática.
El teorema de Pitágoras fue comprobado en el siglo VI a.C.
por el filósofo y matemático griego Pitágoras, pero se estima
que pudo haber sido previo a su existencia, o demostrado bajo
otra denominación.

16. Demostraciones:
• El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de
demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas
de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema
para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
•
• China: El Zhoubi Suanjing, y el Jiuzhang Suanshu
• El Zhoubi Suanjing es una obra matemática de datación discutida en algunos
lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y
el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Jiuzhang
Suanshu parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
• El Zhou Bi demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que
se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

17. • Pitagoras
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de
triángulos: sus lados homólogos son proporcionales. ​
• Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la
altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los
segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b,
respectivamente.
• Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres
bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos
agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus
lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son
semejantes.

18. • Euclides
El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y
los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio. ​ De pronto,
las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre
podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema
se basaba muy probablemente en proporciones, y una
proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida
como demostración? Ante esto, Euclides elabora una
demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse
con números irracionales.

19. • Pappus
Unos 625 años después que Euclides, Pappus​ parece seguir su senda,
y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la
proposición I.366​ de Los Elementos de Euclides:
• Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas,
tienen superficies equivalentes.
• Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e
hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.

20. • Leonardo da Vinci
En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no
falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci.
• Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e
hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado,
resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son
equivalentes:
• Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB
y DEFG.
• Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.
• Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:
• De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ,
BG=BC=IJ
• Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes
vértices:
• A de ADGB y A de CIJA
• B de ADGB y J de CIJA
• Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

21. • Garfield
James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados
Unidos,10​ desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en
el New England Journal of Education.
• Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo
rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos
rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c.
•
• {displaystyle c^{2}=4cdot {frac {ab}{2}}+(a-b)^{2}}
• El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo,
es esfuerzo de la mística escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y
el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los
lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas
referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas
y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga
teóricamente su relación.3​ La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C.,
fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo
sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

22. • Usaremos el enfoque histórico como una propuesta metodológica
que actué como motivación para el alumno, ya que por medio de
ella el estudiante descubrirá como generar los conceptos a través de
métodos que aprenderá en clase. Discutiremos los conceptos y
propiedades fundamentales de magnitudes, tales como la longitud y
el área de figuras geométricas dadas en una y dos dimensiones,
repasaremos los conceptos del producto notable del cuadrado de la
suma de dos cantidades desde el punto de vista geométrico lo cual
nos ayudara a inducir la demostración del Teorema de Pitágoras a
través de triángulos rectángulos notables e isósceles rectángulos,
tomando en consideración el área de los cuadrados que se
encuentra en los lados de dichos triángulos. Esto nos ayudara a
recalcar la generalización del Teorema de Pitágoras a través de
figuras regulares. Las deducciones se harán pasando de la rama de
la matemática llamada Algebra, conjugándola o dándole soporte con
otra que muestra la forma estructural, como lo es la Geometría.

23. Relevancia Del Trabajo Para La Educación
Matemática
• Esta nueva forma de deducir el Teorema de Pitágoras, diferente a la
de Bhaskara, permitirá a nuestros estudiantes divertirse operando
con figuras geométricas junto a sus compañeros fomentando la
unión grupal y les servirá para ir conociendo un poco lo que en
matemática significa el concepto de deducción, pasando
por procesos inductivos que pueden generar una desconfianza
acerca del Teorema de Pitágoras, tomando en consideración que el
método usado en triángulos rectángulos notables no es el mismo
para triángulos rectángulos isósceles (triángulos isorrectángulos), lo
cual de una manera geométrica puede crear una confusión visual en
nuestros estudiantes, los cuales les hará pensar que los Teoremas
matemáticos algunas veces fallan.

24. Inducción del Teorema de Pitágoras
• Vamos a ver los siguientes procesos de inferencia inductiva para tratar
de encontrar una forma de demostrar el Teorema de Pitágoras,
apelando a los procesos cognoscitivos que intervienen en
la resolución de un problema.
El área de una región se define a veces como el número de cuadrados
de longitud unidad que caben en la región, por eso nuestra
primera inducción viene dado por triángulos rectángulos notables.

26. •
Tomemos sin pérdida de generalidad un triángulo rectángulo
cuyos lados Vamos a ver los siguientes procesos de inferencia
inductiva para tratar de encontrar una forma de demostrar el
Teorema de Pitágoras, apelando a los procesos
cognoscitivos que intervienen en la resolución de un problema.
El área de una región se define a veces como el número de
cuadrados de longitud unidad que caben en la región, por eso
nuestra primera inducción viene dado por triángulos
rectángulos notables.

27. • Figura 1:Se muestra un triángulo rectángulo notable de
longitudes 3, 4 unidades en los catetos y 5 unidades en la
hipotenusa. A la derecha tenemos el mismo triángulo
rectángulo notable con unos cuadrados construidos sobre sus
lados.
Dibujemos ahora en cada lado del triangulo rectángulo unos
cuadrados de igual tamaño de lado, esto es, tres cuadrados de
3, 4 y 5 unidades de lado, veamos la Figura 1 de arriba y a la
derecha. Luego, si dividimos cada cuadrado en tantos
cuadraditos como unidades tenga los cuadrados originales
aplicando una aprehensión operativa de cambio figural,
tenemos lo siguiente de acuerdo con