A simple bioreactor model is presented, made in simulink. (attachments) and a scheme control in cascade presented in the finally of the paper

1. 2.1 Tanque con reacción biológica
Se considera un reactor CSTR con una reacción biológica en la que interactúan un sustrato
y una cantidad inicial de biomasa entre sí. El tipo de cinética de la población está descrita por el
modelo de Monod (2.1).
max
s
S
r
k S


(2.1)
Donde
F
S
e
S
B
V
B
i
S
i
Flujodeentrada
Cuncentracióndelsustratodealimentación
Concentracióndelsustrato
Concentracióndelabiomasa
Volumendelreactor
Concentracióndelabiomasainicial
Concentracióndelsustratoinicial
El balance del sustrato y la biomasa está dado por (2.2)
  max
max
e
s
s
dS S B
D S S
dt k S S
dB S
DB B
dt k S

 

  
    
   
 
    
 
(2.2)
Donde el coeficiente de dilución D se define como D=F/V. α y β son constantes que conforman el
parámetro que representa el rendimiento de la reacción Y, de tal forma que Y = α + βS.
Sustituyendo D y Y en (2.2), los balances quedan expresados en (2.3)
 ( , )
( , )
e
dS B
f S B D S S r
dt Y
dB
g S B DB rB
dt
   
   
(2.3)
, eF S
, ,F S B, ,B S V
i i

2. Tabla 1. Parámetros para el modelo del biorreactor
Coeficiente valor
D 0.2
max 0.3
sk 1.75
 0.01
iS 15
 0.03
Si se varía la concentración de biomasa inicial desde 0.1 a 4, y la concentración de sustrato inicial de
0 a 25, haciendo un barrido de las soluciones se obtiene un comportamiento oscilatorio como en la
figura 1
Figura 1. Barrido de las condiciones iniciales con los parámetros constantes de la tabla 1
En la figura 1 se observa que el plano de fases tiene una geometría del tipo ciclo límite estable o
cerrado para éstas condiciones. Es decir, las trayectorias están confinadas a una región orbital
cerrada sin contener puntos fijos. Este tipo de geometría en planos de fase sólo se pueden presentar
en sistemas no lineales.
Linealización
Se hizo la linealización usando la serie de Taylor para obtener un polinomio que se aproxime al
sistema no lineal en una región dada. Para ello, se determinaron las derivadas parciales del sistema
(Jacobiana de (2.2)) asociando a dS/dt=f(S,B) y dB/dt=g(S,B).
f f
S B
J
g g
S B
  
  
  
  
   
(2.4)

3.    
   
,
, ,
,
, ,
( , )
( , )
o o
o o o o
o o
o o o o
o oB S
B S B S
o oB S
B S B S
dS f f
f B S S S B B
dt S B
dB g g
g B S S S B B
dt S B
 
    
 
 
    
 
(2.5)
(2.5) es una linealización del sistema no lineal (2.3), donde So y Bo son los puntos del estado
estacionario para la concentración del sustrato contra el tiempo y la concentración de la biomasa
contra tiempo respectivamente.
Para So y Bo, se obtienen sus valores de forma visual a través de la figura 1. Se dice que el estado
estacionario de un sistema que se comporta como una onda en tránsito cuando el tiempo tiende a
infinito, será cuando su amplitud se mantenga constante.
La amplitud de S en el estado estacionario es de 4.265 y de B en las mismas condiciones es de 0.741,
(aproximado para ambos casos).
 
 
2
22
max
2
( )s
s
s
s
B k Sf
D
S Y k S
f r
B Y
Bkg
S k S
g
D r
B
 


  
 

 



 

  

(2.6)
Al sustituir (2.3) y (2.6) en (2.5), se obtiene el polinomio lineal que se aproxima a (2.2) en los puntos
So y Bo, los cuales toman los valores de las amplitudes del estado estacionario.
Caso de estudio
El caso de estudio consiste en la comparación del sistema no lineal (2.3) con su respectiva
linealización, utilizando los parámetros de la tabla 1 y con valores iniciales de 2 para la concentración
inicial de biomasa y 5 para la concentración inicial de sustrato en el reactor. Se hace la suposición
en todo momento que la temperatura ni otros factores físicos y químicos afectan al sistema ya que
se supone son parámetros constantes.
En la figura 2 se observa cómo sería el comportamiento del sustrato y la biomasa para valores
iniciales constantes. El punto de inicio del ciclo límite se encuentra dentro de él, lo cual indica que
tanto el sustrato como la biomasa aumentarán y en seguida comenzarán a comportarse de forma
oscilatoria, semejante al de una onda.

4. Figura 2. Simulación de (2.3) para concentración de sustrato inicial de 5 y de biomasa de 2
Al sobreponer la simulación del modelo linealizado con las mismas condiciones dadas para el
sistema no lineal, se observa que no se posee una aproximación de ajuste aceptable (figura 3),
debido que a éstas condiciones el sistema no lineal se comporta con geometría de ciclo límite en el
plano de fases. Es sabido que, fenómenos no lineales tales como equilibrios múltiples, ciclos límite,
bifurcaciones, corrimiento de frecuencias y caos, no se pueden describir mediante dinámica de
modelos lineales (Seron & Braslavky, 2000).
Figura 3. Comparación del sistema no lineal con su linealización utilizando las mismas condiciones iniciales
Tabla 2. Eigenvalores para la linealización de la figura 3, el signo
negativo indica que se trata de un foco estable (Torres Henao, 2013)
λ1 λ2
-0.0084 + 0.1270i -0.0084 - 0.1270i

5. Una de las mejores aproximaciones que se pueden obtener son las que se toman con valores
iniciales de concentración de biomasa y sustrato iguales a las amplitudes del estado estacionario,
obteniéndose así, los resultados mostrados por la figura 4. Aun así, el valor de ajuste que tiene la
linealización sigue siendo inadecuado. No es posible tener un ajuste aceptable de la linealización
debido a que su geometría es de foco estable en éstas condiciones.
Figura 4. comparación con valores iniciales iguales a la amplitud de los estados estacionarios del sistema no lineal.
El sistema no lineal posee un alto nivel de incertidumbre, por lo tanto, la linealización no presenta
un ajuste adecuado al sistema no lineal en éste caso de estudio. Sin embargo, cuando la
concentración de sustrato de alimentación es una cantidad tal que no lleve a el sistema a una
geometría de ciclo límite cerrado, el modelo de la linealización permite dar un buen ajuste de
aproximación. Por ejemplo, si en la corriente, la concentración de sustrato de alimentación es de
9.5, el sistema tiende a comportarse con una geometría de foco estable, siendo los puntos, (aquí se
puede hablar de puntos debido a que se va reduciendo la amplitud a lo largo del tiempo, tendiendo
a ser dS/dt=0 y dB/dt=0), de estado estacionario 3.5 y 0.7 para las concentraciones del sustrato y la
biomasa respectivamente, (figura 5).
Figura 5. comparación de la linalización con valor de ajuste aceptable. El ciclo límite se vuelve foco estable

6. Tabla 3. Eigenvalores para la figura 5 de la linealización
λ1 λ2
-0.0006 + 0.1512i -0.0006 - 0.1512i
De la figura 5 se puede deducir que, si se tiene un comportamiento oscilatorio de la concentración
del sustrato y la biomasa en la salida, al reducir la concentración del sustrato en la alimentación o
aumentando el flujo de entrada, es posible hallar un estado estacionario oscilatorio en el que la
amplitud tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
Referencias
Seron, M. M., & Braslavky, J. H. (2000). Sistemas no lineales (2 ed.). NJ: Prentice Hall.
Torres Henao, J. A. (2013). Sistemas dinámicos planos (Doctoral dissertation). Medellín, Colombia:
Facultad de Ciencias, Escuela de Matemáticas.
Attachments
Simulink model

7. Extras
Figura 6. Scheme control in cascade for simple bioreactor model