Este documento presenta los modelos de Bernoulli, binomial y geométrico para describir experimentos probabilísticos. Define cada modelo y proporciona ejemplos para ilustrar su aplicación. Explica que el modelo de Bernoulli se usa para experimentos con dos resultados posibles, el modelo binomial para múltiples intentos independientes y el modelo geométrico para calcular la probabilidad del primer éxito.

1. U N I V E R S I D A D A B I E R T A Y A
D I S T A N C I A D E M É X I C O
C I E N C I A S E X Á C T A S , I N G E N I E R Í A Y
T E C N O L O G Í A
G E S T I Ó N I N D U S T R I A L
1 E R S E M E S T R E
M O D U L O 1 . P E N S A M I E N T O
M A T E M Á T I C O Y S O C I A L
U N I D A D 1 . P R O B A B I L I D A D
D O C E N T E : E D U A R D O S A N T A N A
M E N D E Z
A C T I V I D A D C O M P L E M E N T A R I A
A L U M N O : E D U A R D O N A V A R R E T E
C A S I M I R O
F E B R E R O D E 2 0 2 2

2. M O D E L O D E B E R N O U L L I
• DEFINICIÓN:
Se conoce como distribución de Bernoulli
al modelo teórico con el cual se representa
una variable aleatoria discreta que solo
puede tener dos resultados mutuamente
excluyentes.
Por lo que esta distribución se aplica para
el caso en el que la variable aleatoria
puede dar como resultado “éxito” y “no
éxito” o “fracaso”.
Cabe destacar que el resultado “no éxito”
no es necesariamente el contrario de
“éxito” sino todo caso distinto al que se
indica como “éxito” siempre y cuando sea
un experimento con más de dos
posibilidades.

3. M O D E L O D E B E R N O U L L I
• Por lo tanto, podemos decir que una
variable aleatoria tiene distribución de
Bernoulli si:
Siendo x=1 el caso de éxito y x=0 el caso
de “no éxito” o “fracaso”. El parámetro p es
obtenido por la regla de Laplace:
Para indicar que la variable
aleatoria X sigue una distribución de
Bernoulli de parámetro p usamos la
siguiente notación:
1 ; 0
( ) ( )
; 1
p x
f x P X x
p x
 

   


casos probables
p
casos posibles

( )
X Ber p

4. M O D E L O D E B E R N O U L L I
Un juego consiste en lanzar un dado una sola vez, si se obtiene un 3 se gana el juego, si
se obtiene otro valor, se pierde. Sea X = el número de veces que sale un 3. Determinar la
distribución de probabilidad de X.
• Solución:
Vamos a considerar un éxito si se obtiene un 3, con cualquier otro resultado,
consideraremos un fracaso. Como X cuenta el número de veces que sale un 3, puede
tomar dos valores:
X = 0, cuando no se obtenga 3.
X = 1, cuando se obtenga un 3.
Espacio muestral: {1,2,3,4,5,6}.
• Ejemplo:

5. Ahora, calculamos la probabilidad de éxito p, es decir la probabilidad de que al lanzar el
dado el resultado sea 3:
Y la probabilidad de no éxito será 1-p, por lo tanto, la función de probabilidad será:
la variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoulli con una probabilidad de éxito
de 1/6:
M O D E L O D E B E R N O U L L I
.
.
1
6
no de casos favorables
p
no de casos posibles
p


5
, 0
6
( ) ( )
1
; 1
6
x
f x P X x
x




   
 


1
6
X Ber
 
 
 

6. M O D E L O
B I N O M I A L
Se considera binomial si cumple con las
siguientes condiciones:
1. El experimento consiste de n intentos
idénticos.
2. Cada intento tiene uno de dos resultados:
éxito o fracaso.
3. La probabilidad de éxito de un intento es igual
a la de otro, siendo el éxito igual a p y el
fracaso igual a q=(1-p).
4. Los intentos son independientes uno de otro.
5. Los casos de éxito x observados durante los n
intentos, pueden ser x = 1, 2, …, n.
Una distribución binomial es una
distribución de probabilidad
discreta que describe el número
de éxitos al realizar n
experimentos independientes
entre sí, acerca de una variable
aleatoria.

7. M O D E L O B I N O M I A L
• La distribución binomial esta dada por la
formula:
• Donde:
• n = Número de ensayos/experimentos
• x = Número de éxitos
• p = Probabilidad de éxito
• q = Probabilidad de fracaso (1-p)
Es necesario recalcar que la expresión
entre paréntesis no es un arreglo matricial,
sino un resultado de una combinatoria sin
repetición. La cual se obtiene de la
siguiente fórmula:
( )
x n x
x
n
P p q
x

 
  
 
,
!
!( )!
n x
n n
C
x x n x
 
 
 

 

8. Ejemplo:
M O D E L O B I N O M I A L
Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la final del último
mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la
probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido?
Solución:
Las variables del experimento son:
n = 4, total de casos.
x = 3, el número de experimentos.
p = 0.8
q = 0.2

9. Sustituyendo en la fórmula:
La probabilidad de que 3 de los 4 amigos haya visto la final del mundial es de 0.4096 o
40.96%
( )
3 4 3
(3)
3
(3)
(3)
4!
(0.8) (0.2)
3!(4 3)!
(4)(0.8) (0.2)
0.4096
x n x
x
n
P p q
x
P
P
P


 
  
 




M O D E L O B I N O M I A L

10. M O D E L O G E O M É T R I C O
La distribución geométrica permite calcular la probabilidad de que tenga que realizarse un
número k de repeticiones antes de obtener un éxito por primera vez; esta probabilidad
decrece a medida que aumenta k con lo que la función de masa de probabilidad es
siempre decreciente.
También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia
de las pruebas entre sí.
Definición:
• Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabilidad p y
un fracaso con probabilidad q = 1 – p, entonces la distribución de probabilidad de la variable
aleatoria X, el numero de la prueba en el que ocurre el primer éxito, es
1
; , 1, 2, 3, . . .
( ) x
g x p pq x

 

11. M O D E L O G E O M É T R I C O
EJEMPLO:
Se sabe que en cierto proceso de fabricación uno de cada 100 artículos, en promedio,
resulta defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto articulo que se inspecciona,
en un grupo de 100, sea el primer defectuoso que se encuentra?
Solución:
Si utilizamos la distribución geométrica con x=5 y p=0.01, entonces:
Tenemos una probabilidad del 0.96%
1
5 1
( ; )
(5;0.01) (0.01)(0.99)
(5;0.01) 0.0096
x
g x p pq
g
g






12. C O N C L U S I Ó N :
Los modelos probabilísticos nos permiten predecir el comportamiento de
ciertos experimentos dependiendo de sus condiciones, por lo cual es
importante conocerlos y tenerlos presente a la hora de analizar los
experimentos y sus posibles sucesos.

13. R E F E R E N C I A S
B I B L I O G R Á F I C A S :
• Rodó, P. (2020). Distribución de Bernoulli. febrero 12, 2022, de Economipedia.com Sitio web:
https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-bernoulli.html
• Córdova Zamora, M. (2009). Estadística descriptiva e inferencial. 5a ed. Lima: Moshera, pp.253-254.
• Sanjuán, F.. (2017). Distribución binomial. febrero 12, 2022, de Economipedia.com Sitio web:
https://economipedia.com/definiciones/distribucion-binomial.html
• Mendenhall, W. (2008). Introducción a la probabilidad y estadística. México: Thompson Cengage
Learning.
• Walpole, R. M. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. . México: PERSON
EDUCACION.