Sistemas electromecanicos

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
SISTEMA
ELECTROMECÁNICO
Curso : Sistemas Automáticos de
Control.
Profesor : Roxani Keewong Zapata.
Alumno : Peña Córdova Alexis.
Saavedra Ruiz Richard.
Seminario Beltrán Edwin.
Silva Ancajima Emilio.
Torres Ancajima Abel.
-2015-

2. ¿QUÉ ES UN SISTEMA ELECTROMECÁNICO?
Son aquellos sistemas que combinan partes eléctricas y mecánicas para conformar su
mecanismo.
Tienen las siguientes características:
 Modelos matemáticos relativamente sencillos.
 Tiempo de respuesta rápido.
 Mantenimiento Bajo.
 No necesitan de condiciones especiales como: ventilación, temperatura,
iluminación.
 Mantenimiento Bajo.
Como ejemplo de un sistema electromecánico es un motor de corriente continua,
basado en principios físicos, a continuación se mostrara la obtención de un modelo
físico de la velocidad del motor de corriente continua, que es un sistema
electromecánico, que convierte la energía eléctrica en energía mecánica.
Los motores de corriente continua son los más comunes y económicos, y se pueden
encontrar en la mayoría de los juguetes a pilas, constituidos, por lo general, por dos
imanes permanentes fijados en la carcasa y una serie de bobinados de cobre ubicados
en el eje del motor, que habitualmente suelen ser tres y a su vez son ampliamente
usados a nivel industrial.
Los motores de corriente continua permiten un amplio rango de velocidad y pueden
proporcionar un alto par-motor o torque con control más sencillo y económico que
cualquier motor de corriente alterna. En la actualidad los métodos de control de
velocidad se han ido desarrollando considerablemente y los más comunes son el

3. control de velocidad por corriente de campo y el control de velocidad por corriente de
armadura, que son técnicas de control no lineal. Para poder analizar estos métodos se
requiere del conocimiento físico del sistema, unidades de las constantes que aparecen
en el modelo, selección adecuada de las variables de estado y conocimientos de
desarrollo de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace.
Un motor de corriente continua está formado por un estator o inductor que es la parte
fija del motor y un rotor o inducido que es la parte móvil.
El motor a utilizar es un motor de excitación separada, cuya característica principal es
la bobina (inductor) que genera el campo magnético no se encuentra dentro del
circuito del motor, es decir no existe conexión eléctrica entre el rotor y el estator como
se muestra en la siguiente figura:
El modelo ilustrado posee características eléctricas que consta de:
 La tensión de alimentación del rotor.
 La corriente que va a circular por el rotor también conocida por corriente
de armadura.
 La resistencia del bobinado del rotor.
 La inductancia del bobinado del rotor.
  Es la fuerza contra - electromotriz del motor.
 Es la tensión de alimentación del estator.
 La corriente que va a circular por el estator.
 La resistencia del bobinado del estator.
 La inductancia del bobinado del estator.

4. Para que el motor cumpla su función, normalmente se le coloca una carga mecánica
en el eje del rotor y de esto dependerán las características mecánicas las cuales son:
  es la velocidad angular de giro a la cual trabaja el rotor
 J el momento de inercia equivalente del eje rotor con la carga que se desea
colocar.
 B el coeficiente de rozamiento viscoso.
 El modelado matemático del motor de corriente continua requiere de dos ecuaciones,
una ecuación mecánica y otra ecuación eléctrica.
 Estas ecuaciones están acopladas y se basan en las Leyes de la dinámica y de
Kirchhoff, respectivamente. Por una parte, la ecuación mecánica modela
principalmente el movimiento del rotor, y por otra parte la ecuación eléctrica modela lo
que ocurre en el circuito eléctrico del inducido1
.
1. ¿QUÉ SUCEDE EN EL INDUCIDO?
 Al aplicar una tensión al inducido, circula por él una corriente , y debido a
esta corriente, por el rotor, se inducirá una fuerza contra electromotriz (ley de
Lenz “ Toda corriente se opone a la causa que la produce”) cuyo valor vendrá
determinado por la expresión:
1
El inducido es la parte de la máquina rotativa donde se produce la transformación de energía
eléctrica en energía mecánica. En las máquinas de corriente continua el inducido es la parte
giratoria (rotor).
1. ¿QUÉ ES LA FUERZA CONTRA-ELECTROMOTRIZ?
En un motor se presenta a un mismo tiempo los dos efectos: generador y de
motor, es decir para hacer girar el motor aplicamos una fuerza electromotriz entre
sus terminales y la rotación del motor hace que se induzca una
fuerza electromotriz que actúa en sentido contrario a la fuerza electromotriz de
oposición, producida por la rotación denominada fuerza contra - electromotriz,
aumenta proporcionalmente la velocidad hasta que su valor se aproxima al de la
fem aplicada. En ese momento el motor alcanza automáticamente su velocidad
normal de funcionamiento.
Si aplicamos más carga al motor esta comenzará a disminuir lentamente la
velocidad reduciendo en la misma proporción la fuerza contra - electromotriz, lo
que aumenta la intensidad de la corriente que circula dentro del motor hasta
alcanzar la intensidad suficiente para mantener el motor en rotación sin disminuir
más la velocidad.
Esto es ley de Lenz “Toda corriente se opone a la causa que la produce”

5.  bK x t   ….. Ec.1
Siendo bK la constante de fuerza contra-electromotriz. Aplicando la ley de Ohm, la
tensión útil será:
    i
i i i i
dI(t)
V R x I(t) L x
dt
……..Ec. 2
Reemplazando Ec. 1 en Ec. 2
     i
i b i i i
dI(t)
V K x t R x I(t) L x
dt
…….Ec. 3
El rotor realizara su movimiento debido al torque electromagnético e generado por el
campo magnético que se produce en el estator y a su vez este dependerá de la
corriente que circula en la armadura, de esta manera la ecuación es:
 e p iK x I(t) …. Ec. 4
Siendo pK la constante de torque electromagnético.
El motor en su movimiento giratorio arrastra una carga, creándose por lo tanto, un par-
motor o torque resultante c , y a su vez se tiene fricción en el sistema que depende
de la velocidad a la cual gira el rotor y este causa un torque f que es en sentido
opuesto al movimiento, obsérvese esto en la siguiente figura.
Se define  como la aceleración angular de la carga como el cambio que
experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo, de esta manera:
 
dw(t)
dt
…….. Ec. 5
La fuerza contra -
electromotriz es directamente
proporcional a la velocidad del
motor.

6. SABER PREVIO….
La ecuación que describe c es:
   c
dw(t)
J J
dt
…… Ec. 6
La ecuación que describe f se da gracias a que la fricción viscosa es
aproximadamente proporcional a la velocidad de giro.
   f B x t …….. Ec. 7
Ahora se procede a realizar una sumatoria de torque y se obtiene la siguiente
ecuación:
  
    

e f c
J x
………..Ec. 8
Remplazando las Ecuaciones (4), (6) y (7) en la Ec. (8):
……..Ec.9
La fuerza rotacional o torque ( ) es: por la figura, por lo tanto como es
un producto vectorial, queda dado así:
 
 
    
  
  
e f c
p i
p i
dw(t)
K x I(t) B x t J
dt
dw(t)
K x I(t) J B x t
dt

7. Despejando iI (t) de la Ec. (9):
  
i
p
dw(t)
J B x t
dtI(t)
K
……Ec. 10
Luego derivamos con respecto al tiempo da como resultado:
 


2
i
p
d tdw (t)
J B x
dI(t) dt dt
dt K
……Ec. 11
Sustituyéndola en la Ec. (10) y (11) en la Ec. (3), quedará una ecuación diferencial de
segundo orden (aparece la segunda derivada), no homogénea, lineal y de coeficientes
constantes [5], como se muestra a continuación:
 
 
 
  
   
2
i b i i
p p
d tdw(t) dw (t)
J B x t J B x
t dt dtV K x t R x L x
K K
…..Ec. 12
De esta manera la Ec. (12) describe el modelo matemático para un motor de corriente
continuo separadamente excitado.
El modelo matemático ya fue descrito y para su solución es necesario tener una
consideración de mucha importancia, el valor de la constante iL para motores de
corriente continua separadamente excitado, es aproximadamente cero y siendo así la
ecuación diferencial se transforma en una ecuación de primer orden, no homogénea,
lineal y de coeficientes constantes.
 
  
  i b i
p
dw(t)
J B x t
dtV K x t R x
K
….. Ec. 13
Para el modelo se tiene como condición inicial que a tiempo igual cero (es decir
cuando el motor va arrancar) el valor de la velocidad es cero:
    t 0 0 0
Así, ordenando, arreglando la Ec. (13)
 
 
 
  i i b
p
dw(t)
J B x t
dtV R x K x t
K
    
     
 
i
i b
p
R dw(t)
V J B x t K x t
K dt

8.        i i
i b
p p
R Rdw(t)
V x J x B x t K x t
K dt K
       i i
i b
p p
R Rdw(t)
V x J x B x t K x t
K dt K
 
 
    
  
i i
i b
p p
R Rdw(t)
V x J t x B K
K dt K
 
   
            
i i
i b
p p
R x J R x Bdw(t)
V x K x t
K dt K
Definiendo a las constantes como:
   
              
i i
b
p p
R x J R x B
K
K K
Quedaría:
     i
dw(t)
V x x t
dt
Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación, se obtiene:
    
     
 
i
dw(t)
V x x t
dt
De la tabla de transformada siguiente:
f(t) F(s)
u(t)
1
s


f(t)
t sF(s)
af(t) aF(s)
at
e

1
s a
Mediante esta tabla la solución de la transformada de Laplace quedara:
    
       
 
i
dw(t)
V . t
dt
      iV
.s .W s .W s
s

9.      iV
W s .s
s
 
 

 
i
1
W s V x
s .s
…… Ec. 14
Una vez obtenida la ecuación de la velocidad en función del tiempo se procede a
resolver mediante fracciones parciales la Ec. (14).
 
 
 
   
      
i i
1 A C
W s V x V
s .s s .s
V
 

  
i i
1
V
s .s
 
 
   
A C
s .s
 
 
 
   

     
A .s C s1
s .s s .s
   
1
s .s
 
 
   

  
A .s C s
s .s
    1 A( .s ) C s
    1 A .s A C s
    1 s(A C) A
     A C 0 A 1
Resolviendo:

   
 
1
A C
De esta forma la ecuación queda descrita:
 
 
  
  
   
 
 
i
1
W s V
s .s
 
   
    
    
     
   
   
i i
1
W s V V
s .s

10.  
  
      
             
i i
1
W s V V
s
s
 
 
 
  
 
 
 
i i
1
W s V V
s


 
 
 
  
    
s
 
   
    
    
         
i i
1 1
W s V V
s s
……..Ec. 16
Desde este punto la solución del modelo matemático ya es evidente, pues se procede
aplicar la transformada de Laplace inverso a la Ec. (16).
   
    
       
                 
1 1
i i
1 1
W s V V
s s
    
      
           
                         
1 1 1
i i
1 1
W s V V
s s
    
 
  
        
 
1 1 1i iV V1 1
W s
s s
A través de la tabla anterior obtenemos
 



 
 
t
i iV V
w t x e
 



 
  
  
t
iV
w t 1 e ….. Ec. 17
La Ec. (17) describe el comportamiento de la velocidad de rotor en función tiempo,
siendo así la solución del modelo matemático para un motor de corriente continua
separadamente excitado.