El documento presenta los conceptos básicos del interés compuesto, incluyendo las fórmulas para calcular el interés, la tasa nominal, la tasa efectiva y el período de capitalización. Explica que el interés generado se capitaliza periódicamente formando un nuevo capital. Además, detalla los pasos a seguir para resolver problemas de finanzas con variaciones en la tasa de interés, como calcular múltiples factores de capitalización o trasladar el capital punto a punto entre periodos.

1. MATEMATICA FINANCIERA
Semana 7
Interés Compuesto

2. Tasa Nominal
I=C*j*n
Interés Compuesto
I = C * [( 1 + i
)n–
1]
Tasa
Proporcional
j
Interés Simple
Se multiplica o divide
Tasa
Efectiva
i
Tasa
Equivalente
Se potencia o radica
Fuente: http://www.ecoingenieros.com.ar/gtpusal/2008/clases/clase%2019%20finanzas%20aplicadas.pdf

3. Interés compuesto
Es la ley financiera en el cual el interés generado por un capital,
en una unidad de tiempo, se capitaliza formando un nuevo
capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente
unidad de tiempo y así sucesivamente.
I = C * [( 1 + i ) n – 1]

4. Periodo/Frecuencia de Capitalización (m)
Es el período de tiempo fijo donde los intereses ganados,
se convierten en nuevo capital para el siguiente período
de tiempo. Número de veces que los intereses son incorporados
al capital en un año y se les denota con la letra “m”.
Frecuencia de Capitalización
Capitalización
en un año (m)
m=1
Anual
m=2
m=3
m=4
m=6
m = 12
m = 24
m = 52
m = 360
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
Mensual
Quincenal o bimensual
Semanal
Diaria

5. Período de Capitalización
Presente
Futuro
10%
10%
10%

6. Período de Capitalización
Antes de resolver cualquier problema de finanzas, debemos
hacernos la siguiente pregunta:
¿Quién manda?
Manda el período de capitalización!!!!!!!!!
Si no lo conoce con anterioridad o no se indica, SE DEBE
ASUMIR que este se produce en forma diaria.

7. Cómo calcular el interés
El dinero crecerá parte a parte como producto de la
capitalización
Presente
Futuro
10%
Mes 1
10%
Mes 2
10%
Mes 3
Por ejemplo, si tengo S/. 1,000.00 y lo invierto durante tres meses a una tasa compuesta
de 10% mensual capitalizable mensualmente. ¿qué sucederá mes a mes?

8. Capitalización
Los S/. 1,000.00 iniciales producirán al final del primer período
mensual:
Interés
Antiguo Capital
Nuevo Capital
Presente
Futuro
10%
0
= 10% * 1,000.00 = 100.00
= 1,000.00
= 1,100.00
Mes 1

9. Capitalización
Los S/. 1,100.00 producirán al final del segundo período
mensual:
Interés
Antiguo Capital
Nuevo Capital
= 10% * 1,100.00 = 110.00
= 1,100.00
= 1,210.00
Presente
Futuro
10%
Mes 1
Mes 2

10. Capitalización
Los S/. 1,210.00 producirán al final del tercer período
mensual:
Interés
Antiguo Capital
Nuevo Capital
= 10% * 1,210.00 = 121.00
= 1,210.00
= 1,331.00
Presente
Futuro
10%
Mes 2
Podemos afirmar que de manera efectiva
nuestro capital en tres meses creció en S/ 331,
lo que expresado como porcentaje del capital
inicial, diremos que creció en 33.1% (ojo y no
30%
como
podríamos
haber
creído
inicialmente)
Mes 3

11. Tasa Nominal
Cuando la tasa de interés compuesta convenida en una
operación financiera se capitaliza más de una vez por año,
recibe el nombre de Tasa de Interés Nominal (j)
La frecuencia de capitalización (m) siempre acompaña a la
Tasa Interés Nominal. Ambas variables siempre van
asociadas y definen en conjunto el rendimiento o costo
efectivo de una operación financiera.

12. Tasa Nominal y Periodo de Capitalización
¿Cómo nos presentan esta información?
15% nominal anual capitalizable mensualmente
TNA = 0.15
m = 12
15% nominal capitalizable trimestralmente
TNA = 0.15
m=4
4% nominal trimestral capitalizable diariamente
TNT = 0.04
m = 360
6% nominal cuatrimestral capitalizable
cuatrimestralmente
TNC = 0.06
m=3
x3
x4
TNA = 0.16
m = 360
9% nominal semestral capitalizable bimestralmente
TNS = 0.09
m=6
x2
TNA = 0.18
15% nominal anual (capitalización se
asume diaria)
TNA = 0.15
m = 360
m=6
TNA = 0.18
m=3
1.5% quincenal capitalizable
semestralmente
TNQ = 0.015
m=2
x 24
TNA = 0.36
m=2

13. Tasa Nominal y Tasa Efectiva
Tasa Nominal (j)
Tasa Efectiva (i)
El interés se capitaliza
más de una vez en el año.
El interés se capitaliza
solo una vez en el año.
Tasa
Equivalente
Dos tasas anuales de interés con diferentes
períodos de conversión son equivalentes si ambos
generan el mismo interés y por lo tanto el mismo
monto al término de un mismo lapso de tiempo,
no importando el plazo de la inversión.
FORMULA PARA CALCULAR LA TASA
EFECTIVA ANUAL “i” DE INTERÉS A
PARTIR DE UNA TASA NOMINAL “j”
QUE SE CAPITALIZA “m” VECES EN
EL AÑO

14. Tasa Nominal y Tasa Efectiva (Ejemplo)
¿INVIRTIR $10,000 AL 8% CAPITALIZABLE ANUALMENTE DURANTE UN AÑO, SERÁ
LO MISMO QUE SI SE INVIERTE ESOS $10,000 AL 8% CAPITALIZABLE
MENSUALMENTE EN EL MISMO LAPSO DE TIEMPO?
S1  C1  i 
j

S 2  C 1  

m


m
¿Cuál es la tasa de
interés i capitalizable
anualmente que será
equivalente?
S1=S2
Si ambas tasas son equivalentes,
se debe cumplir que…
12
0.08 

C 1  i   C 1 


12 


12
NO SON EQUIVALENTES
0.08 

i  1 


12 


1
i = 8.2999% efectiva

15. Normas a seguir

La tasa de interés siempre ingresa a las fórmulas
expresada como tasa unitaria, es decir dividida entre
100.

Cuando no se indica nada acerca de la tasa de interés
nominal, se asume que esta se encuentra expresada en
términos anuales.

De la misma manera, si la capitalización no está
definida
se
asume
automáticamente
que
capitaliza
diariamente.

La tasa de interés y el tiempo siempre deben de estar
expresados en la misma unidad de medida.

16. Fórmulas a utilizar
S  C * 1  i 
n
S
C
n  S
1  i 
Elementos
• S
= Monto a interés compuesto (valor futuro)
• C
= Capital (valor presente)
• n
= Número de periodos
• i
= tasa de interés por periodo

17. Fórmulas a utilizar
Interpretación de la tasa:
 TNA 
i

 m 
Elementos
TNA
= Tasa Nominal Anual (j)
m
= Frecuencia o períodos de capitalización en un año
i
= Tasa de interés correspondiente al periodo de capitalización
Ejemplo: Si coloco un capital a una tasa del 18% nominal anual capitalizable
trimestralmente por un plazo de tres años, tendremos lo siguiente: TNA=0.18, m=4,
es decir durante cada trimestre percibirá una tasa de i = 0.045

18. Fórmulas a utilizar
Interpretación del exponente:
n  m* N
Elementos
n = Número de periodos totales de capitalización en el plazo establecido.
Guarda concordancia con la tasa de interés
N = Plazo (en número de años)
m = Frecuencia de capitalización en un año
Ejemplo: Si coloco un capital a una tasa del 18% nominal anual capitalizable
trimestralmente por un plazo de tres años, tendremos lo siguiente: N=3, m=4,
es decir durante 12 periodos trimestrales (n=4 x 3) el capital ganará intereses

19. Fórmulas a utilizar
Valor Futuro o monto:
 TNA 
S  C * 1 

m 

Valor Actual o capital:
m*N
C
S
 TNA 
1 

m 

Elementos
S = Monto a interés compuesto (valor futuro)
C = Capital (valor presente)
N = Plazo (en número de años)
m = Número de períodos de capitalización en un año; meses, trimestres, etc
j = TNA = Tasa de interés nominal anual, % por año
m* N
S

20. Fórmulas a utilizar
Si se desea calcular la Tasa de interés:
1


m*N
 S 

TNA  m *     1
 C 



Si se desea calcular el tiempo:
S
ln 
C
N
 TNA 
m * ln1 

m 


21. Resumen Metodológico
Finalmente, para realizar cualquier cálculo con interés
compuesto deberemos seguir los siguientes pasos:
 En primer lugar se deberá proceder a calcular el valor de la Tasa
Nominal Anual (TNA). Por ejemplo si realizamos un depósito de
1,000 soles y nos dan como dato una tasa de interés de 12%
nominal
trimestral
(TNT=0.12)
capitalizable
mensualmente,
convertimos esa TNT a TNA y se mantiene la capitalización
mensual
TNT = 0.12
m = 12
x4
TNA = 0.48
m = 12

22. Resumen Metodológico
 Luego si el plazo de la operación no esta expresado en términos
anuales, debemos re-expresar el tiempo en términos anuales (N):
Por ejemplo si nos dan como información que el capital
permanece por 7 meses depositado en una cuenta de ahorros,
entonces
N= (7/12)

23. Resumen Metodológico
 Finalmente debemos aplicar la fórmula deducida anteriormente y
conocer que después de un trimestre tendremos:
7
12*
12
 0.48 
S  1,000 * 1 

12 

S  1,315.93

24. Variación de la Tasa de Interés
• Para determinar el valor futuro de un capital sujeto a cambios
de tasa de interés se procede de la siguiente forma:
– OPCIÓN 1: El valor inicial se traslada con sus respectivos
intereses hasta donde se encuentre un cambio de tasa de interés.
Se calcula el valor futuro hasta ese punto del tiempo y se
traslada ese valor hasta donde se encuentre una nueva variación
de tasa de interés. El proceso continua hasta llegar al valor final
o saldo disponible de la cuenta en el periodo de análisis. No hay
que olvidar que el tiempo involucrado para cada traslado
corresponde al tiempo de vigencia de cada tasa.
– OPCION 2: El valor inicial es trasladado al futuro afectándolo
por tantos factores de capitalización como cambios de tasas de
interés existan en el plazo de la operación. El tiempo
involucrado para cada factor corresponde al de la vigencia de
cada tasa.

25. Variación de la Tasa de Interés
Opción 1:
Traslado punto a punto
S=Saldo
Flujo de caja u.m.
TNA1 , m1
Capital
TNA2 , m2
TNA3 , m3
Tiempo
(periodos)
0
N1
x
N2
y
N3
z

26. Variación de la Tasa de Interés
 TNA1 

Saldox  C * 1 

m1 


m1 N1
 TNA2 

Saldo y  Saldox * 1 

m2 


m2 N 2
 TNA3 

Saldoz  Saldo y * 1 

m3 


m3 N 3

27. Variación de la Tasa de Interés
Opción 2:
S=Saldo
Uso de factores
Flujo de caja u.m.
TNA1 , m1
TNA2 , m2
TNA3 , m3
Tiempo
(periodos)
0
N1
x
N2
y
N3
z
Capital
 TNA1 

S  C * 1 

m1 


m1 N1
 TNA2 

* 1 

m2 


m2 N 2
 TNA3 

* 1 

m3 


m3 N 3

28. Variación de la Tasa de Interés
Calculo de valor futuro (S) cuando el capital (C) esta sujeto a
variaciones de la tasa de interés
 TNA1 

S  C * 1 

m1 


m1 N1
 TNA2 

* 1 

m2 


m2 N 2
 TNA3 

* 1 

m3 


m3 N 3
Calculo de valor Actual (C) cuando ha existido variaciones de
la tasa de interés
C
S
 TNA1 
1 


m1 


m1 N1
 TNA2 

* 1 

m2 


m2 N 2
 TNA3 

* 1 

m3 


m3 N 3

29. Ecuación de Valor
• En el caso de cuentas de deposito se trata de establecer una
relación entre depósitos y retiros ubicando todos los valores en un
solo punto en el tiempo, al cual se le denomina fecha focal. La
diferencia entre ambos representa el saldo de la cuenta en la fecha
seleccionada
• En el caso de obligaciones por pagar, se trata de reemplazar un
conjunto de pagos por otro equivalente referidos siempre a una
misma deuda u obligación de pago. Esto surge cuando las
condiciones iniciales de tasas y tiempos no pueden ser cumplidas
teniéndose que negociar nuevas alternativas de pago. Los valores
referidos a la situación inicial son llevados a un mismo punto en el
tiempo (fecha focal) y son igualados a los valores referidos a la
nueva situación de pago en ese momento del tiempo, despejando
de esta forma el valor de las incógnitas (tiempo o valor por pagar)

30. Ecuación de Valor
Flujo de caja S/.
Saldo  VF .Depositos  VF . Re tiros
TNA, m
Tiempo
(periodos)
0
1
2
3
S/.D0
S/.D1
S/.R2
S/.D3
S/.R4
n
4
..
.
Fecha
Focal

31. Ecuación de Valor
S/.1,000
S/.1,500
Flujo de caja u.m.
+
Tiempo
(periodos)
0
1
2
3
-
4
TNA, m
S/.X
S/.X
Fecha Focal

32. Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
• Para determinar el saldo de una cuenta de depósitos en una
fecha determinada se trabaja el concepto de valor futuro de dos
formas:
– OPCION 1: El depósito inicial se traslada con sus respectivos
intereses hasta donde se encuentre otro movimiento de fondos o
cambio de tasa de interés. Si se encuentra un depósito se le
suma al saldo y si es un retiro se le resta, este procedimiento
continua hasta llegar al valor final o saldo disponible de la
cuenta en el periodo de análisis.
– OPCION 2: Todos los depósitos (D) se trasladan de manera
independiente hasta el periodo de tiempo en el cual se quiera
determinar el saldo de la cuenta y una vez ubicados allí se
suman. Similar acción se toma con los retiros ( R). El Saldo en
consecuencia seria igual a la diferencia entre el TOTAL
DEPOSITOS y el TOTAL RETIROS

33. Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
Cuenta Depósitos
Opción 1:
Saldo
Flujo de caja u.m.
TNA1 , m1
TNA2 , m2
TNA3 , m3
Tiempo
(periodos)
0
1
2
3
4
S/.D0
S/.D1
S/.R2
S/.D3
S/.R4
+
-
+
-
n

34. Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
Flujo de caja u.m.
Cuenta Depósitos
Opción 2:
Saldo  VF .Depositos  VF . Re tiros
TNA1 , m1
TNA2 , m2
TNA3 , m3
Tiempo
(periodos)
0
1
2
3
S/.D0
S/.D1
S/.R2
S/.D3
S/.R4
n
4
...

35. Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
Cuenta Préstamo
Opción 1:
Saldo = 0
Flujo de caja u.m.
TNA1 , m1
TNA2 , m2
TNA3 , m3
Tiempo
(periodos)
1
0
Préstamo
2
Pago1
+
3
Pago2
-
Pago3
-
n
4
Pago4
-
...
-
Pagon

36. Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
Flujo de caja u.m.
Cuenta Préstamo
Opción 2:
Pr estamo   VA.Pagos
TNA1 , m1
TNA2 , m2
TNA3 , m3
Tiempo
(periodos)
1
0
Préstamo
Pago1
+
2
Pago2
3
Pago3
n
4
Pago4
...
Pagon