Movimiento browniano

Esta es una simulación del
movimiento browniano que realiza
una partícula de polvo que colisiona
con un gran conjunto de partículas de
menor tamaño (moléculas de gas) las
cuales se mueven con diferentes
velocidades en direcciones aleatorias.
Esta es una simulación del
movimiento browniano de 5
partículas (amarillas) que colisionan
con un gran conjunto de 800
partículas. Las partículas amarillas
dejan 5 rastros azules de movimiento
aleatorio y uno de ellos tiene un
vector de velocidad rojo
Movimiento browniano
De Wikipedia, la enciclopedia libre
El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa
en las partículas que se hallan en un medio fluido (líquido o gas), como
resultado de choques contra las moléculas de dicho fluido.1
Este fenómeno de transporte recibe su nombre en honor al escocés
Robert Brown, biólogo y botánico. En 1827, mientras miraba a través de
un microscopio a las partículas atrapadas en las cavidades dentro de un
grano de polen en el agua, señaló que las partículas se movían a través
del líquido; pero no fue capaz de determinar los mecanismos que
provocaron este movimiento. Los átomos y las moléculas habían sido
teorizadas como componentes de la materia, y Albert Einstein publicó
un artículo en 1905, considerado por él como el Annus Mirabilis ("año
maravilloso", en latín) donde explicó con todo detalle cómo el
movimiento que Brown había observado era el resultado del polen
siendo movido por moléculas de agua individuales. Esta explicación
sirvió como prueba convincente de que existen los átomos y moléculas,
y fue verificado experimentalmente por Jean Perrin en 1908. Perrin fue
galardonado con el Premio Nobel de Física en 1926 por su trabajo
sobre la estructura discontinua de la materia (Einstein había recibido el
premio cinco años antes por sus servicios a la física teórica con especial
mención al efecto fotoeléctrico). La dirección de la fuerza de
bombardeo atómico está cambiando constantemente, y en diferentes
momentos, la partícula es golpeada más en un lado que en otro, lo que
lleva a la naturaleza aleatoria del movimiento.
El movimiento browniano se encuentra entre los procesos estocásticos
más simples, y es afín a otros dos procesos estocásticos más simples y
complejos: el camino aleatorio y el teorema de Donsker. Esta
universalidad está estrechamente relacionada con la universalidad de la
distribución normal. En ambos casos, a menudo es la conveniencia
matemática, más que exactitud de los modelos, lo que lleva al uso de la
distribución normal.
Tanto la difusión como la ósmosis se basan en el movimiento
browniano.
Índice
1 Historia
2 Teoría de Einstein
3 Metáfora intuitiva del movimiento browniano
4 Teoría
4.1 Modelo de Smoluchowski
5 Modelado con ecuaciones diferenciales
5.1 Matemáticas
5.2 Física
6 Caracterización de Lévy
7 Variedad de Riemann
8 El movimiento gravitacional
9 La salida estrecha

Tres vistas diferentes del movimiento
browniano, con 32 pasos, 256 pasos y
2048 pasos marcados con colores más
claros progresivamente
Una simple realización de un
movimiento browniano tridimensional
para tiempos 0 ≤ t ≤ 2
Reproducido del libro de Jean
Baptiste Perrin, Les Atomes, tres
rastros del movimiento de partículas
coloidales de radio 0.53 µm como se
ve en el microscopio, se muestran.
Las posiciones sucesivas cada 30
segundos se unen mediante segmentos
de línea recta (el tamaño de la malla
es de 3,2 µm).2
10 El movimiento browniano en la literatura
11 Véase también
12 Referencias
13 Bibliografía
14 Enlaces externos
Historia
El poema científico Sobre la Naturaleza de las cosas, del
romano Lucrecio (60 a. C.), incluye la notable descripción de
un movimiento browniano de partículas de polvo desde los
versos 113 hasta el 140. El autor presentó este hecho como
prueba de la existencia de los átomos:
Observa lo que acontece cuando rayos de sol son admitidos dentro de
un edificio y cómo arroja la luz sobre los lugares oscuros. Puedes ver
la multitud de pequeñas partículas moviéndose en un sinnúmero de
caminos... su baile es un indicio de movimientos subyacentes de
materia escondidos de nuestra vista... eso origina el movimientode los
átomos en sí mismos (p.e., espontáneamente).Entonces los pequeños
organismos que son eliminadosdel impulso de los átomos son puestos
en marcha por golpes invisibles y a su vez en contra de unos diminutos
cañones. Así, el movimiento de los átomos emerge gradualmente de
un nivel del sentido, que estos cuerpos están en movimiento como
vemos en el rayo de sol, movidos por soplos que parecen invisibles.
Sobre la naturaleza de las cosas, Lucrecio
Aunque el movimiento de mezcla de partículas de polvo es causado
principalmente por las corrientes de aire, el brillo y el ajetreo de las
partículas es, ciertamente, producto de la dinámica browniana
Jan Ingenhousz describió el
movimiento irregular de
partículas de carbón
pulverizadas en la superficie del
alcohol en 1785. No obstante, el
descubrimiento del movimiento
browniano se atribuye
tradicionalmente al botánico
Robert Brown en 1827. Se cree
que Brown estuvo estudiando al
microscopio partículas de polen
de la planta Clarkia pulchella
flotando en el agua. Dentro de
las vacuolas de los granos de
polen observó diminutas
partículas con movimientos
nerviosos. Al repetir el
experimento con partículas de polvo, concluyó que el movimiento no se
debía a que las partículas de polen estuvieran "vivas", aunque no explicó
el origen del movimiento.

Las curvas características en forma de campana de
la difusión de partículas brownianas. La distribución
comienza como una función delta de Dirac, lo que
indica que todas las partículas se encuentran en el
origen con tiempo t = 0, y por el aumento de los
tiempos se vuelven cada vez más y más planos hasta
que se convierte en la distribución uniforme en el
límite de tiempo asintótico.
El primero en describir matemáticamente el movimiento browniano fue Thorvald N. Thiele en 1880, en un
documento sobre el método de los mínimos cuadrados. Fue seguido independientemente por Louis Bachelier en
1900, en su tesis doctoral La teoría de la especulación, en la que se presenta un análisis estocástico de acción y
opción de mercados. El modelo del movimiento browniano de las acciones de mercado es citado
frecuentemente, pero Benoit Mandelbrot rechazó su aplicación al movimiento de los precios de las acciones, en
parte porque son discontinuos.3
Sin embargo, fue el estudio independiente de Albert Einstein en su artículo de 1905 (Über die von der
molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten
Teilchen / Sobre el movimiento postulado por la teoría cinética molecular del calor de pequeñas partículas
suspendidas en un líquido estacionario) en el que mostró la solución a los físicos, como una forma indirecta de
confirmar la existencia de átomos y moléculas.
En esa época la naturaleza atómica de la materia aún era una idea controvertida. Einstein y Marian
Smoluchowski dedujeron que, si la teoría cinética de los fluidos era correcta, entonces las moléculas de agua
tendrían movimientos aleatorios. Por lo tanto, las partículas pequeñas podrían recibir un número aleatorio de
impactos, de fuerza aleatoria y de direcciones aleatorias, en cortos períodos de tiempo. Este bombardeo
aleatorio por las moléculas del fluido podría ser suficiente para que las partículas pequeñas se moviesen de la
manera exacta que Brown había descrito. Theodor Svedberg hizo importantes demostraciones del movimiento
browniano en coloides, así como Felix Ehrenhaft lo hizo con partículas de plata en la atmósfera terrestre. Jean
Perrin también realizó experimentos para verificar los modelos matemáticos, y al publicar sus resultados finales
se puso fin a dos mil años de disputa sobre la realidad de las moléculas y los átomos.
Teoría de Einstein
Hay dos partes en la teoría de Einstein: la primera parte consiste en la formulación de una ecuación de difusión
de partículas brownianas, en el que el coeficiente de difusión está relacionada con el desplazamiento cuadrático
medio de una partícula browniana, mientras que la segunda parte relaciona el coeficiente de difusión de las
magnitudes físicas medibles.4 De esta manera Einstein fue capaz de determinar el tamaño de los átomos, y el
número de átomos que hay en un mol, o el peso molecular (en gramos), de un gas.5 De acuerdo con la ley de
Avogadro, este volumen es el mismo para todos los gases ideales, que es 22,414 litros a temperatura y presión
estándar. El número de átomos contenidos en este volumen se conoce como número de Avogadro, y la
determinación de este número es equivalente al conocimiento de la masa de un átomo, dado que esta última se
obtiene dividiendo la masa de un mol de gas por el número de Avogadro.
La primera parte del razonamiento de Einstein fue
determinar cuánto viaja una partícula browniana en un
intervalo de tiempo dado. Una partícula browniana sufre del
orden de 1014 colisiones por segundo. 6 Esto llevó a
considerar a Einstein el movimiento colectivo de las
partículas brownianas.
Consideró el incremento en la coordenada x de la partícula
como una variable aleatoria (x ó , en virtud de la
transformación de coordenadas que lleva el origen a la
posición inicial de la partícula), con función de densidad de
probabilidad . Además, suponiendo conservación del
número de partículas, desarrolló la densidad (número de
partículas por unidad de volumen) en serie de Taylor:

En la última expresión la primera integral es 1 por la normalización de la probabilidad y la segunda integral (y
todas las de la misma forma en las que esté elevada a un exponente impar) se anula por la simetría de .
Queda entonces
De la comparación de términos se obtiene la siguiente relación:
Se puede demostrar que cuando y tienden a 0 el cociente que hay en la última integral tiende a un
límite, lo que permite definir el coeficiente de difusión D :
La densidad de las partículas brownianas satisface la ecuación de difusión:
Suponiendo que N partículas empiezan desde el origen en el tiempo inicial t = 0, la ecuación de difusión tiene
la solución
que es una distribución normal de media y varianza . La varianza es el desplazamiento
cuadrático medio, . Al tomar su raíz cuadrada se oberva que el desplazamiento de una
partícula browniana no es proporcional al tiempo transcurrido, sino a la raíz cuadrada del tiempo.7 Al hacer este
tipo de afirmaciones sobre una partícula a partir del comportamiento de una colectividad de partículas se está
haciendo un pequeño salto conceptual que puede justificarse.8
La segunda parte de la teoría de Einstein se refiere a la constante de difusión en cantidades físicamente
medibles, tales como la media al cuadrado de desplazamiento de una partícula en un intervalo de tiempo dado.
Este resultado permite la determinación experimental del número de Avogadro y por lo tanto el tamaño de las
moléculas. Einstein analizó un equilibrio dinámico que se establece entre fuerzas opuestas. La belleza de su
argumento es que el resultado final no depende de que las fuerzas están involucradas en el establecimiento del
equilibrio dinámico.

La distribución de equilibrio para las
partículas de gamboge muestra la
tendencia de los gránulos a que se
muevan a las regiones de menor
concentración cuando se ven
afectados por la gravedad.
En su tratamiento original, Einstein consideraba un experimento de presión osmótica, pero a la misma
conclusión se puede llegar de otra manera.
Consideremos, por ejemplo, partículas en suspensión en un fluido viscoso en un campo gravitatorio. La
gravedad tiende a hacer que las partículas se depositen, mientras que la difusión actúa para homogeneizarlos,
conduciéndolos a regiones de menor concentración. Bajo la acción de la gravedad, una partícula adquiere una
velocidad descendente de v = μmg , donde M es la masa de la partícula, g es la aceleración debida a la gravedad
y μ es la movilidad de la partícula en el fluido. George Stokes había demostrado que la movilidad de una
partícula esférica con radio R es , donde η es la viscosidad dinámica del fluido. En un estado de
equilibrio dinámico, las partículas se distribuyen de acuerdo a la distribución barométrica
Donde ρ-ρ0 es la diferencia en la densidad de las partículas separadas por un desnivel de h , kB es la constante
de Boltzmann (es decir, la relación de la constante universal de los gases , R, con el número de Avogadro, N ), y
T es la temperatura absoluta. Es el número de Avogadro lo que se va a determinar.
Se establece el equilibrio dinámico, porque cuanto más se tiran hacia
abajo las partículas por la gravedad, mayor es la tendencia a que las
partículas migren a regiones de menor concentración. El flujo está dada
por las leyes de Fick,
donde J = ρv. Aplicando la fórmula para ρ, encontramos que
En un estado de equilibrio dinámico, esta velocidad debe ser también
igual a v = μmg . Nótese que ambas expresiones para V son
proporcionales a mg , reflejando cómo la derivación es independiente
del tipo de fuerzas consideradas. Igualando estas dos expresiones se
deriva esta expresión para la difusividad:
Aquí la primera igualdad se desprende de la primera parte de la teoría de Einstein, la tercera la igualdad se
desprende de la definición de la constante de Boltzmann como kB = R / N , y la cuarta igualdad se deduce de la
fórmula de Stokes para la movilidad. Midiendo el cuadrado medio del desplazamiento durante un intervalo de
tiempo, junto con la constante universal de gas R , la temperatura T , la viscosidad η, y el radio de la partícula r
, el número de Avogadro N puede ser determinado.
El tipo de equilibrio dinámico propuesto por Einstein no era nuevo. Se había señalado previamente por J. J.
Thomson 9 en su serie de conferencias en la Universidad de Yale en mayo de 1903 cuando el equilibrio
dinámico entre la velocidad generada por un gradiente de concentración dado por la ley de Fick y la velocidad
debido a la variación de la presión parcial causados cuando los iones se ponen en movimiento nos da un método
de determinación de la constante de Avogadro que es independiente de cualquier hipótesis en cuanto a la forma
o tamaño de las moléculas, o de la forma en la que actúan uno sobre el otro.9

Modelo del movimiento browniano de la trayectoria de
una partícula de color en el agua.
Una expresión idéntica a la fórmula de Einstein para el coeficiente de difusión también fue encontrada por
Walther Nernst en 188810 en la que expresó el coeficiente de difusión como la relación de la presión osmótica a
la relación de la fuerza de fricción y la velocidad a la que da lugar. El primero se equipara a la ley de Van't Hoff,
mientras que el último fue dado por la ley de Stokes. Él escribe para el coeficiente de difusión k´,
donde es la presión osmótica y k es la relación de la fuerza de fricción con la viscosidad molecular que
asume que está dada por la fórmula de Stokes para la viscosidad. Presentando la ley del gas ideal por unidad de
volumen de la presión osmótica, la fórmula se vuelve idéntica a la de Einstein.11 El uso de la ley de Stokes en
el caso de Nernst, así como en Einstein y Smoluchowski, no es estrictamente aplicable puesto que no se aplica
al caso en que el radio de la esfera es menor en comparación con el recorrido libre medio.12
En un primer momento las predicciones de la fórmula de Einstein fueron aparentemente refutadas por una serie
de experimentos por Svedberg entre 1906 y 1907, lo que provocó el reemplazo del valor predicho de las
partículas de 4 a 6 veces, y por Henri en 1908 que encontró cambios 3 veces mayor que la fórmula que Einstein
predijo.13 pero las predicciones de Einstein finalmente fueron confirmadas gracias a una serie de experimentos
llevados a cabo por Chaudesaigues en 1908 y Perrin en 1909. La confirmación de la teoría de Einstein
constituyó un progreso empírico a la teoría cinética del calor. En esencia, Einstein demostró que el movimiento
puede predecirse directamente desde el modelo cinético de equilibrio térmico. La importancia de la teoría
radica en el hecho de que se confirmó el relato de la teoría cinética de la segunda ley de la termodinámica,
siendo esencialmente una ley estadística.14
Metáfora intuitiva del movimiento browniano
Considere un gran balón de 10 metros de diámetro. Imagine
este balón en un estadio de fútbol o cualquier otra área llena
de gente. El balón es tan grande que permanece por encima
de la muchedumbre. Las personas golpean el balón en
diferentes momentos y direcciones de manera
completamente aleatoria. Ahora, considere una fuerza
ejercida durante cierto tiempo; podemos imaginar 20
personas empujando para la derecha y 21 para la izquierda y
que cada persona está ejerciendo cantidades de fuerza
equivalentes. En este caso las fuerzas ejercidas en el lado
izquierdo y en el lado derecho no están equilibradas,
favoreciendo al lado izquierdo, por lo que el balón se
moverá ligeramente hacia la izquierda. Esta desproporción
siempre existe, y es lo que causa el movimiento aleatorio. Si
observáramos la situación desde arriba, de modo que no
pudiéramos ver a las personas, veríamos el gran balón como
un objeto animado por movimientos erráticos.
Ahora volvamos a la partícula de polen de Brown nadando aleatoriamente en el agua. Una molécula de agua
mide aproximadamente de 01 a 0.2 nm, mientras que la partícula de polen que Brown observó era de un orden
de micrometros (esto no debe ser confundido con la partícula actual de polen la cual mide en torno a 100
micrometros). Así pues, la partícula de polen puede ser considerada como un gran balón empujado
constantemente por las moléculas de agua (la muchedumbre). El movimiento browniano de las partículas en un
líquido se debe al desequilibrio instantáneo en las fuerzas ejercidas por las pequeñas moléculas líquidas que
rodean la partícula (las cuales están en un movimiento térmico aleatorio).
Teoría
Modelo de Smoluchowski
La teoría del movimiento browniano de Smoluchowski15 comienza a partir de la misma premisa que la de
0:00

La teoría del movimiento browniano de Smoluchowski15 comienza a partir de la misma premisa que la de
Einstein y deriva la misma distribución de probabilidad ρ(x, t) para el desplazamiento de una partícula
browniana lo largo de x en un tiempo t. Por lo tanto, obtiene la misma expresión para la media al cuadrado:
. Sin embargo, cuando se la relaciona con una partícula de masa m que se mueve a una velocidad u, la
cual es resultado de una fuerza de fricción gobernada por la ley de Stokes, encuentra
donde μ es el coeficiente de viscosidad, y a es el radio de la partícula. La asociación de la energía cinética
con la energía térmica RT/N, la expresión para el desplazamiento medio al cuadrado es 64/27 veces mayor que
la dada por Einstein. La fracción 27/64 fue comentada por Arnold Sommerfeld en la necrología de
Smoluchowski: "El coeficiente numérico de Einstein, que se diferencia de Smoluchowski por 27/64 sólo puede
ser puesto en duda."16
Smoluchowski17 intenta responder a la pregunta de por qué una partícula browniana debe ser desplazada por
los bombardeos de partículas más pequeñas cuando las probabilidades de golpear hacia delante o hacia atrás
son iguales. Con el fin de hacerlo, utiliza, sin saberlo, el teorema de votación, demostrado por primera vez por
William Allen Whitworth en 1878.18 El teorema de la votación establece que si un candidato A puntúa m votos
y el candidato B puntúa n-M la probabilidad a lo largo del recuento de que A tenga más votos que B es
no importa cuán grande pueda ser el número total de votos n. En otras palabras, si un candidato tiene una
ventaja sobre el otro candidato, tenderá a mantener esa ventaja a pesar de que no haya nada a favor de ningún
candidato en una votación.
Si la probabilidad de 'm' 'ganancias' y n - M pérdidas sigue un distribución binomial,
con las mismas probabilidades de 1/2, a priori, la ganancia media total es
Si n es lo suficientemente grande para que la aproximación de Stirling pueda ser utilizada de la forma
entonces la ganancia total que se prevé será
mostrando que aumenta como la raíz cuadrada de la población total.
Supongamos que una partícula browniana de masa M está rodeada de partículas más ligeras de masa m, que
viajan a una velocidad u. A continuación, razona Smoluchowski, en cualquier colisión entre partículas que
rodean a las brownianas y estas, la velocidad de transmisión de este último será mu/M. Esta relación es del
orden de 10−7 cm/s. Pero también tenemos que tener en cuenta que en un gas habrá más de 1016 colisiones por

orden de 10−7 cm/s. Pero también tenemos que tener en cuenta que en un gas habrá más de 1016 colisiones por
segundo, y aún más en un líquido, donde se estiman 1020 colisiones por segundo. Algunas de estas colisiones
tenderán a acelerar la partícula browniana; otras a desacelerarla. Si hay un exceso medio de un tipo de colisión
u otro que sea del orden de 108 a 1010 colisiones por segundo, entonces la velocidad de la partícula browniana
puede estar en cualquier lugar entre 10 y 1000 cm/s. Por lo tanto, a pesar de que existen probabilidades iguales
de que se favorezca el movimiento hacia delante y hacia atrás, habrá una tendencia neta en las colisiones para
mantener la partícula en movimiento browniano, al igual que predice el teorema de la votación.
Estos órdenes de magnitud no son exactos porque no tienen en cuenta la velocidad de la partícula browniana, U
, que depende de las colisiones que tienden a acelerar y desacelerar la misma. Cuanto mayor sea U, mayores
serán las colisiones que retardarán la partícula, de manera que la velocidad de una partícula browniana nunca
puede aumentar sin un límite. Podría ocurrir un proceso de este tipo, que sería equivalente a un movimiento
perpetuo del segundo tipo. Y puesto que la equipartición de la energía se aplica, la energía cinética de la
partícula browniana, , será igual, en promedio, a la energía cinética del fluido que rodea a la partícula,
.
En 1906, Smoluchowski publicó un modelo unidimensional para describir una partícula sometida al
movimiento browniano.19 El modelo asume colisiones con M ≫ m donde M es la masa de la partícula de
prueba y m la masa de una de las partículas individuales que componen el fluido. Se supone que las colisiones
de partículas se limitan a una dimensión y que es igualmente probable que la partícula pueda ser golpeada desde
la izquierda como desde la derecha. Se supone también que cada colisión siempre imparte la misma magnitud
de ΔV . Si NR es el número de colisiones por la derecha, y NL por la izquierda, entonces después de N
colisiones, la velocidad de la partícula habrá cambiado por ΔV(2NR−N). La multiplicidad está dada, entonces,
por:
y el número total de estados posibles está dado por 2N. Por lo tanto, la probabilidad de que una partícula sea
golpeada por la derecha NR veces es
Como resultado de su simplicidad, el modelo unidimensional de Smoluchowski puede describir solamente
cualitativamente el movimiento browniano. Para una partícula real sometida al movimiento browniano en un
fluido, muchos de los supuestos no se pueden hacer. Por ejemplo, el supuesto de que en promedio se produce
un número igual de colisiones desde la derecha como desde la izquierda se desmorona una vez que la partícula
está en movimiento. Además, habría una distribución de posibles ΔV diferentes en lugar de sólo uno en una
situación real.
Modelado con ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones que rigen el movimiento browniano relacionan de forma ligeramente diferente a cada una de las
dos definiciones de movimiento browniano indicadas al principio de este artículo.
Matemáticas
En matemáticas, el movimiento browniano es descrito por el proceso de Wiener; un proceso estocástico de
tiempo continuo nombrado en honor a Norbert Wiener. Es uno de los procesos más conocidos de Lévy
(procesos estocásticos càdlàg con incrementos independientes estacionarios) y ocurre con frecuencia en
matemáticas puras y aplicadas, la economía y la física.

Un ejemplo animado del movimiento browniano
asociado al camino aleatorio en un toro. En la
escalada límite, el camino aleatorio se aproxima al
proceso de Wiener según el teorema de Donkster.
El proceso de Wiener Wt está caracterizado por cuatro
hechos:
1. W0 = 0
2. Wt es casi seguro continuo.
3. Wt tiene un incremento independiente.
4. (para ).
denota la distribución normal con el valor
esperado μ y la varianza σ2. Que la condición tenga
incrementos independientes significa que si
entonces y
son valores independientes aleatorios.
Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la
llamada caracterización de Lévy, que indica que es casi
seguro que el proceso de Wiener esté un una martingala
continua con W0 = 0 y variación cuadrática .
Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener
tiene una representación espectral como una serie de senos
cuyos coeficientes son valores aleatorios
independientes. Esta representación se puede obtener usando el teorema de Karhunen-Loève.
El proceso de Wiener puede ser construido como la escalada límite del camino aleatorio, o de otros procesos
estocásticos en tiempo discreto con incrementos independientes estacionarios. Esto se conoce como el teorema
de Donsker. Al igual que el camino aleatorio, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo
que significa que se vuelve casi con seguridad a cualquier entorno fijo del origen infinitas veces) mientras que
no es recurrente en la tercera dimensión ni en mayores. A diferencia del camino aleatorio, es una escala
invariante.
La evolución temporal de la posición de la partícula browniana en sí puede describirse aproximadamente por la
ecuación de Langevin, una ecuación que implica un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las
fluctuaciones térmicas del disolvente sobre la partícula browniana. En escalas de tiempo largas, el movimiento
browniano matemático está bien descrito por una ecuación de Langevin. En pequeñas escalas de tiempo, los
efectos de la inercia son frecuentes en la ecuación de Langevin. Sin embargo, el movimiento browniano
matemático está exento de tales efectos inerciales. Tenga en cuenta que los efectos inerciales tienen que ser
considerados en la ecuación de Langevin, de lo contrario la ecuación se convierte en singular. De manera que la
simple eliminación de la inercia de esta ecuación no produciría una descripción exacta, sino más bien un
comportamiento singular en el que la partícula no se mueve en absoluto.
La exposición matemática de esta definición corresponde a la ecuación que gobierna la evolución temporal de
la función probabilística de densidad asociada con la ecuación de difusión de una partícula browniana, y en
definitiva es una ecuación diferencial parcial.
Otras maneras de conseguir su modelo matemático consideran un movimiento browniano
como un proceso de Gauss central con una función covariante para toda .
El resultado de un proceso estocástico se le atribuye a Norbert Wiener, quedó demostrado en la teoría de
probabilidad, existente desde 1923, y se conoce con el nombre de proceso de Wiener. Muchos detalles
importantes aparecen en sus publicaciones.
Hay muchas posibilidades de construir un movimiento browniano:
La construcción abstracta por medio de esquemas de Kolmogórov, donde el problema viene con el
aumento (o camino creciente).
Reproducir contenido multimedia

La construcción de Lèvy-Ciesielski: se induce este movimiento con ayuda de un sistema de Haar de
a una base de Schauder, y se construye como un proceso estocástico con curva creciente.
Sea , , … independiente, distribuida idénticamente y con distribución normal . Luego:
es un movimiento browniano.
Este fenómeno está muy relacionado también con la simulación de la cotización de las acciones.
Física
La ecuación de difusión ofrece una aproximación de la evolución temporal de la función de densidad de
probabilidad asociada a la posición de la partícula que va bajo un movimiento browniano en la definición física.
La aproximación es válida en escalas de tiempo cortas.
El desplazamiento de una partícula sometida a un movimiento browniano se obtiene resolviendo la ecuación de
difusión en condiciones adecuadas y obteniendo la media cuadrática de la solución. Esto demuestra que el
desplazamiento varía como la raíz cuadrada del tiempo (no linealmente), lo que explica por qué los resultados
experimentales anteriores relativos a la velocidad de las partículas brownianas dieron resultados sin sentido.
Una dependencia lineal temporal está mal asumida.
Sin embargo, a escalas de tiempo muy cortas, el movimiento de una partícula está dominada por su inercia, y su
desplazamiento será dependiente linealmente en tiempo: Δx = vΔt. Así que la velocidad instantánea del
movimiento browniano se puede medir como v = Δx/Δt, cuando Δt << τ, donde τ es el tiempo de relajación. En
2010, la velocidad instantánea de una partícula browniana (una microesfera de vidrio atrapada en el aire con
una pinza óptica) se midió correctamente.20 Los datos de la velocidad verificaron la distribución de velocidad
de Maxwell-Boltzmann, y el teorema de equipartición para una partícula browniana.
El movimiento browniano puede ser modelado por un camino aleatorio. 21 Los caminos aleatorios en medios
porosos son anómalos.22
En casos generales, el movimiento browniano no es un proceso aleatorio de Markov y se describe por las
ecuaciones integrales estocásticas.23
Caracterización de Lévy
El matemático francés Paul Lévy propuso el siguiente teorema, donde la condición necesaria y suficiente para
un Rn continuo, evaluado en un proceso estocástico X para ser realmente n, dimensiona un movimiento
browniano. Por lo tanto la condición de Lévy puede utilizarse realmente como una definición alternativa de
movimiento browniano.
Sea X = (X1, ..., Xn) sea un proceso estocástico continuo en un espacio probabilístico (Ω, Σ, P) tomando valores
en Rn. Tenemos la siguiente equivalencia:
1. X es un movimiento browniano con respecto a P, por ejemplo, la ley de X con respecto a P es la misma
que la de un movimiento browniano ndimensional; por ejemplo, la medida de empuje X∗(P) es una
medida clásica de Wiener de C0([0, +∞); Rn).
2. tanto
1. X es una martingala con respecto a P, y

Movimiento browniano en una esfera
bidimensional
2. para todo 1 ≤ i, j ≤ n, Xi(t)Xj(t) −δijt es una martingala con respecto a P, donde δij denota una delta
de Kronecker.
Variedad de Riemann
El generador infinitesimal (y, por lo tanto, el generador característico)
de un movimiento browniano en Rn puede calcularse fácilmente en ½Δ,
donde Δ denota un operador laplaciano. Esta observación es útil al
definir un movimiento browniano en una variedad de Riemann
mdimensional (M, g): un movimiento browniano M se define como
una difusión en M cuyo operador característico en coordenadas
locales xi, 1 ≤ i ≤ m, está dado por ½ΔLB, donde ΔLB es el operador de
Laplace-Beltrami dado en las coordenadas por
donde [gij] = [gij]−1 en el sentido de una matriz cuadrada inversa.
El movimiento gravitacional
En dinámica estelar, un cuerpo masivo (estrella, agujero negro, etc.) puede experimentar el movimiento
browniano ya que responde a las fuerzas gravitacionales de las estrellas de alrededor.24 La velocidad media
cuadrática V del objeto masivo, de masa M, está relacionada con la velocidad media cuadrática del fondo de
estrellas por
donde es la masa del fondo estelar. La fuerza gravitacional del objeto masivo hace que las estrellas
cercanas se muevan más rápido de como lo harían, aumentando tanto como V.24 La velocidad browniana de
Sgr A*, el agujero negro supermasivo del centro de la Vía Láctea, se obtiene de esta fórmula, resultando menor
a 1 km s−1.25
La salida estrecha
El problema de la salida estrecha es un problema omnipresente en la biología, biofísica y biología celular que
tiene la siguiente formulación: una partícula browniana (ion, molécula, o proteína) se limita a un dominio
acotado (un compartimento o una célula) por un límite que refleja, a excepción de una pequeña ventana a través
de la que puede escapar. El problema de escape estrecho es el de calcular el tiempo medio de escape. Este
tiempo diverge tanto como la ventana se contrae, reduciendo así al cálculo a un problema de perturbaciones
singulares.
El movimiento browniano en la literatura
El siguiente fragmento es del capítulo 34 de la novela Rayuela, de Julio Cortázar:
Maga, vamos componiendo una figura absurda, dibujamos con nuestros movimientos una figura
idéntica a la que dibujan las moscas cuando vuelan en una pieza, de aquí para allá, bruscamente dan
media vuelta, de allá para aquí, eso es lo que se llama movimiento brownoideo, ¿ahora entendés?, un

ángulo recto, una línea que sube, de aquí para allá, del fondo al frente, hacia arriba, hacia abajo,
espasmódicamente,frenandoen seco y arrancandoen el mismo instante en otra dirección,y todo eso va
tejiendo un dibujo, una figura, algo inexistente como vos y como yo, como los dos puntos perdidos en
París que van de aquí para allá, de allá para aquí, haciendo su dibujo, danzando para nadie, ni siquiera
para ellos mismos, una interminable figura sin sentido.
Otra novela en la que aparece el movimiento browniano es Un viaje alucinante, de Isaac Asimov, novela en la
que un equipo de científicos son miniaturizados a escala bacteriana y son introducidos en el torrente sanguíneo
de un paciente en un submarino, detallándose los encuentros con distintos elementos como células, bacterias o
virus, peripecia en la que sufren los efectos de dicho movimiento.
Véase también
Ecuación de difusión
Ruido marrón (Martin Gardner propuso este nombre para el sonido generado con intervalos aleatorios. Es
un juego de palabras con el movimiento browniano y el ruido blanco.)
Sistema complejo
Ecuación de continuidad
Tiempo local (matemáticas)
Efecto Marangoni
Ósmosis
Ecuación de difusión
Ecuación de Langevin
Efecto Tyndall
Fractales brownianos
Energía cinética
Teoría de las colisiones
Referencias
1. Feynman, Richard (1970). The Feynman Lectures on Physics Vol I (http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_41.html).
Addison Wesley Longman.ISBN 978-0-201-02115-8.
2. Perrin, 1914,p. 115 (https://archive.org/stream/atomsper00perruoft#page/115/mode/1up)
3. Mandelbrot, B.; Hudson, R. (2004). The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward. Basic
Books. ISBN 0-465-04355-0.
4. Einstein, Albert (1956) [Republicationof the original 1926 translation]. «Investigationson the Theory of the Brownian
Movement» (http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/eins_brownian.pdf)(PDF). Dover Publications. Consultado
el 25 de diciembre de 2013.
5. «The Collected Papers of: Albert Einstein, Volume 2, The Swiss Years: Writings, 1900–1909» (http://www.csun.edu/~dc
houdhary/Physics-Year_files/ed_diss.pdf)(PDF). Princeton University Press. 1989. Consultado el 25 de diciembre de
2013.
6. Feynman, R. (1964). «The Brownian Movement» (http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_41.html). The Feynman
Lectures 1 (1): 41.
7. A. Einstein,Investigations of the Theory of Brownian Movement (Dover, 1956).
8. Lavenda, Bernard H. (1985). Nonequilibrium Statistical Thermodynamics. John Wiley & Sons Inc. p. 20. ISBN 0-471-
90670-0.
9. "Electricity and Matter" (Yale University Press, New Haven, 1904), pp 80–83
10. Nernst, Walther (1888). «Zur Kinetik der in Lösung befindlichen Körper».Z. Phys. Chem.(en alemán)9: 613-637.
11. Leveugle, J. (2004). La Relativite', Poincaré' et Einstein, Planck, Hilbert Paris: L'Harmattan p. 181.
12. Townsend, J.E.S. (1915).Electricity in Gases. Oxford: Clarendon Press. p. 254.
13. See P. Clark 1976, p. 97
14. See P. Clark 1976 for this whole paragraph
15. Smoluchowski,M. (1906). «O średniej drodze cząsteczek gazu i o związku jej z teoryą dyfuzyi (Sur le chemin moyen
parcouru par les molécules d'un gaz et sur son rapport avec la théorie de la diffusion) Mémoire présenté par M. Lad.
Natanson, m. t.» [On the average path of the gas molecules and its relationshipwith the theory of diffusion (Submission
by Mr. Lad. Natanson, m. t.)] (https://archive.org/stream/bulletininternat1906pols#page/202/mode/2up). Bulletin
International de l'Academie des Sciences de Cracovie. p. 202. Plantilla:Link note

16. Sommerfeld, A. (15 de noviembre de 1917). «Zum Andenken an Marian von Smoluchowski» [In Memory of Marian
von Smoluchowski].Physikalische Zeitschrift(en alemán)18 (22): 533-539.at p. 535
17. Smoluchowski,M. (1906). «Zarys teoryi kinetycznejruchu Brownai roztworów mętnych. (Essai d'une théorie cinétique
du mouvement Brownien et des milieux troubles). Mémoire présenté par M. Lad. Natanson m. t.» [Test of a kinetic
theory of Brownianmotion and turbid media. (Submissionby Mr Lad. Natansonm. t.)] (https://archive.org/stream/bullet
ininternat1906pols#page/577/mode/2up). Bulletin International de l'Academie des Sciences de Cracovie. p. 577.
Plantilla:Link note
18. Whithworth, W. A. (1965).Choice and Chance. Hafner Pub. Co.
19. Smoluchowski, M. (1906). «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen».
Annalen der Physik 326 (14): 756-780. Bibcode:1906AnP...326..756V (http://adsabs.harvard.edu/abs/1906AnP...326..756V).
doi:10.1002/andp.19063261405 (http://dx.doi.org/10.1002%2Fandp.19063261405).
20. Li, Tongcang; Kheifets, Simon; Medellin, David; Raizen, Mark (June 2010). «Measurement of the instantaneous
velocity of a Brownian particle».Science 328 (5986): 1673-1675.Bibcode:2010Sci...328.1673L (http://adsabs.harvard.edu/abs/20
10Sci...328.1673L). PMID 20488989 (https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/20488989). doi:10.1126/science.1189403 (http://dx.doi.org/1
0.1126%2Fscience.1189403). (requiere registro).
21. Weiss, G. H.(1994). Aspects and applications of the random walk. North Holland.
22. Ben-Avraham, D.;Havlin, S.(2000). Diffusion and reaction in disordered systems (http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Ha
vlin%20books_d_r.php). Cambridge University Press.
23. Morozov, A. N.; Skripkin, A. V. (2011). «Spherical particle Brownian motion in viscous medium as non-Markovian
random process».Physics Letters A375 (46): 4113-4115. Bibcode:2011PhLA..375.4113M (http://adsabs.harvard.edu/abs/2011PhL
A..375.4113M). doi:10.1016/j.physleta.2011.10.001 (http://dx.doi.org/10.1016%2Fj.physleta.2011.10.001). (requiere suscripción).
24. Merritt, David(2013). Dynamics and Evolution of Galactic Nuclei (http://openlibrary.org/works/OL16802359W/Dynam
ics_and_Evolution_of_Galactic_Nuclei). Princeton University Press. p. 575.ISBN 9781400846122.
25. Reid, M. J.; Brunthaler, A. (December 2004). «The Proper Motion of Sagittarius A*. II. The Mass of Sagittarius A*».
The Astrophysical Journal 616 (2): 872-884. Bibcode:2004ApJ...616..872R (http://adsabs.harvard.edu/abs/2004ApJ...616..872R).
arXiv:astro-ph/0408107 (https://arxiv.org/abs/astro-ph/0408107). doi:10.1086/424960 (http://dx.doi.org/10.1086%2F424960).
Bibliografía
Brown, R., "A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August,
1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules
in organic and inorganic bodies." Phil. Mag. 4, 161-173, 1828. (versión PDF del artículo original de
Robert Brown, "Breve explicación sobre las observaciones microscópicas realizadas en los meses de
junio, julio y agosto de 1827 acerca de las partículas contenidas en el polen de las plantas y acerca de la
existencia general de moléculas activas en cuerpos orgánicos e inorgánicos") que incluye la defensa
posterior acerca de sus observaciones originales, Additional remarks on active molecules/Observaciones
adicionales sobre las moléculas activas.)
Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in
ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1]
Einstein, A. "Investigations on the Theory of Brownian Movement". New York: Dover, 1956. ISBN 0-
486-60304-0 [2]
Theile, T. N. Versión danesa: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en
Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en ‘systematisk’ Karakter".
Versión francesa: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de
moindre carrés", publicada en la misma fecha también en Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat.
Afd., 12:381–408, 1880.
Nelson, E., Dynamical Theories of Brownian Motion (1967) (versión PDF del libro descatalogado,
descargable desde la página personal del mismo autor)
Ruben D. Cohen (1986) “Self Similarity in Brownian Motion and Other Ergodic Phenomena,” Journal of
Chemical Education 63, pp. 933-934 (descarga en PDF)
J. Perrin, Ann. Chem. Phys. 18, 1 (1909). Véase también el libro Les Atomes (1914).
Enlaces externos
Esta obra contiene una traducción total derivada de Brownian motion de Wikipedia en
inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre
de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

Simulador del movimiento browniano en una molécula
Movimiento browniano en Educaplus.org
Einstein y el movimiento browniano
Movimiento browniano, 'Diversidad y ondulado'
Descripción del movimiento browniano
Discute la historia, la botánica y la física de las observaciones originales de Brown, con vídeos
"La predicción de Einstein, finalmente, fue testigo un siglo más tarde": una prueba para observar la
velocidad del movimiento browniano
"Café con matemáticas: el movimiento browniano (Parte 1)": Un blog que describe el movimiento
browniano (definición, simetrías, simulación).
Simulación en Java del movimiento browniano
Artículo simplificado y resumido para su uso en escuelas infantiles
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Movimiento_browniano&oldid=99636605»
Categorías: Mecánica estadística Procesos estocásticos Fractales Química coloidal
Matemática financiera Epónimos relacionados con la física Ciencia de 1827 Reino Unido en 1827
Ciencia y tecnología de Reino Unido del siglo XIX
Se editó esta página por última vez el 5 jun 2017 a las 16:02.
El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; pueden
aplicarse cláusulas adicionales. Al usar este sitio, usted acepta nuestros términos de uso y nuestra política
de privacidad.
Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de
lucro.

Movimiento browniano

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Similar a Movimiento browniano

Más de Magdaleno Martinez Bocanegra

Último

Movimiento browniano