física

1. MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
(EN DOS DIMENSIONES)
Movimiento de un proyectil
Un ejemplo de movimiento bidimensional curvilíneo es el movimiento de objetos
lanzados o proyectados por algún medio. El movimiento de una pelota de golf cuando es
golpeada por el palo, es un movimiento de proyectil. Por lo general, despreciamos la
resistencia de aire y sólo consideramos la aceleración debido a la gravedad que actúa
sobre un proyectil.
Cuando un objeto se lanza hacia arriba con cierta inclinación, la trayectoria que sigue se
puede describir como la descomposición de dos movimientos, uno vertical y otro
horizontal. Por tal razón es posible analizar el movimiento de los proyectiles a partir de
los conceptos del movimiento rectilíneo.
Movimiento semiparabólico.
Si una esfera rueda sobre una superficie horizontal sin rozamiento, decimos que está
dotada de movimiento uniforme. Pero si esa misma esfera se deja caer desde cierta altura,
vemos que adquiere un movimiento de caída libre, uniformemente acelerado, debido a la
acción de la aceleración de la gravedad.
Un cuerpo tiene un movimiento semiparabólico, cuando se lanza horizontalmente desde
cierta altura cerca a la superficie de la tierra.
Galileo dijo “cuando un cuerpo es sometido simultáneamente a dos movimientos, cada
uno de esos se debe cumplir independientemente”
Se le da el nombre de lanzamiento horizontal al movimiento que describe un proyectil
cuando se disparó horizontalmente desde cierta altura con una velocidad inicial 𝑣𝑖, bajo
estas condiciones el vector velocidad inicial es perpendicular a la acción de la gravedad,
la siguiente figura lo ilustra.
En la siguiente fotografía se muestran las posiciones sucesivas, a intervalos regulares, de
dos pelotas: una que se lanza horizontalmente y otras que se deja caer. La trayectoria
curva de la pelota se puede analizar mejor considerando por separado las componentes

2. horizontal y vertical del movimiento. En primer lugar la componente horizontal del
movimiento de la pelota no cambia al moverse esta hacia un costado. La pelota recorre la
misma distancia horizontal durante los intervalos de tiempo iguales que transcurren entre
destellos. Esto se debe a que la fuerza gravitacional no tiene una componente que se ejerza
en la dirección horizontal.
La gravedad solo se ejerce hacia abajo, de modo que la pelota únicamente se acelera en
esa dirección. En segundo lugar, se observa en la fotografía que ambas pelotas recorren
distancias verticales iguales en intervalos de tiempo iguales. La distancia vertical no tiene
nada que ver con la componente horizontal del movimiento. El movimiento hacia abajo
de la pelota que se proyecta horizontalmente es el mismo que si estuviera en caída libre.
Supongamos que una esfera rueda sobre la superficie sin rozamiento con cierta velocidad
horizontal 𝑣0, hasta un punto en el suelo. La figura muestra la trayectoria que seguiría de
ser así no estuviera sometida a la acción de la gravedad, es decir se movería en el eje 𝑥, y
en el de y se movería si no llevara velocidad horizontal y tuvieron movimiento de caída
libre, mientras que cuando la esfera sometida a la acción de esos movimientos describe
una semi parábola.
Ecuaciones del movimiento semiparabólico

3. En cualquier punto de la trayectoria la velocidad del objeto tiene dos componentes 𝑣𝑥 y
𝑣 𝑦, es decir, que la velocidad es 𝑣 = (𝑣𝑥, 𝑣 𝑦) y su dirección es tangente a la trayectoria.
Si el lanzamiento horizontal se produce con velocidad inicial 𝑣𝑜, en cualquier posición P,
la componente 𝑣𝑥 De la velocidad del proyectil coincide con la velocidad de disparo 𝑣𝑜,
puesto que se desprecia la resistencia del aire. Es decir,
𝑣𝑥 = 𝑣𝑜
Si las coordenadas de la posición en el eje x está dada por
𝑥 = 𝑣𝑜. 𝑡
El movimiento rectilíneo vertical es un movimiento de caída libre, con velocidad inicial
cero. Para cualquier posición, P, la componente 𝑣 𝑦 de la velocidad del proyectil coincide
con la velocidad de caída.
Es decir, 𝑣 𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 + 𝑔. 𝑡 donde 𝑣𝑜𝑦 = 0 Por lo tanto 𝑣 𝑦 = 𝑔. 𝑡 y la coordenada de la
posición en el eje y obtiene a partir de:
𝑦 = 𝑣𝑜𝑦. 𝑡 +
𝑔𝑡2
2
Pero como 𝑣 𝑦 = 0, tenemos que 𝑦 =
𝑔𝑡2
2
Movimiento parabólico
Un cuerpo posee movimiento parabólico cuando se lanza cerca de la superficie terrestre
formando cierto ángulo con la horizontal.
El movimiento del proyectil es un movimiento combinado, el proyectil tiene movimiento
vertical y además, se desplaza horizontalmente recorriendo distancias iguales en tiempos
iguales.
La trayectoria de un cuerpo con movimiento parabólico depende de la velocidad de
lanzamiento y el ángulo que forma con la horizontal.
El alcance horizontal máximo se logra cuando el ángulo de lanzamiento es de 45°
despreciando la resistencia del aire figura 1. En las situaciones reales, por ejemplo cuando
una pelota o algún objeto es lanzado o golpeado con fuerza, y existe resistencia, la rapidez
de proyectil se reduce, por lo tanto el ángulo de proyección para el intervalo máximo es
menor de 45° figura 2.

4. Componentes de la velocidad.
Si un proyectil es lanzado con una velocidad 𝑣𝑜, que forma un ángulo 𝜃 con la horizontal,
se descompone esa velocidad en las direcciones horizontales y verticales. Así:
𝑣𝑜𝑥 = 𝑣𝑜 cos 𝜃 y 𝑣𝑜𝑦 = 𝑣𝑜 sin 𝜃
La velocidad que lleva el proyectil en cualquier instante también se puedes descomponer.
La velocidad horizontal siempre es constante, por lo tanto:
𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 = 𝑣𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃
La velocidad vertical depende del tiempo transcurrido desde el lanzamiento y de la
componente vertical de la velocidad inicial. 𝑣 𝑦 = 𝑣𝑜𝑦 − 𝑔𝑡, ya que se comporta como un
movimiento uniformemente acelerado. Entonces:
𝑣 𝑦 = 𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑔𝑡
Altura máxima que alcanza el proyectil.
Cuando se define esta altura máxima, la componente vertical de la velocidad es nula. Por
lo tanto, de la ecuación que vimos en caída libre:
𝑦 =
𝑣 𝑓
2− 𝑣 𝑖
2
−2𝑔
Remplazamos los valores de la velocidad en la componente y así:
𝑦 =
𝑣 𝑦
2− 𝑣 𝑜𝑦
2
−2𝑔
Cuando el objeto empieza a adquirir altura la velocidad en y empieza a
disminuir hasta que alcanza la altura máxima y se convierte en cero. Ver gráfica.

5. Por lo tanto hacemos 𝑣 𝑦 = 0 y obtenemos:
𝑦 =
𝑣 𝑜𝑦
2
2𝑔
Reemplazamos 𝑣𝑜𝑦
𝑦 𝑚𝑎𝑥 =
𝑣 𝑜
2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2𝑔
Tiempo de vuelo del proyectil
El tiempo que duró el proyectil en el aire, es el doble del que dura subiendo, por lo tanto
calculamos de la ecuación 𝑣 𝑦 = 𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑔𝑡 el tiempo de subida, haciendo a 𝑣 𝑦 = 0 y
despejamos t así:
𝑡 𝑠 =
𝑣 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑔
. El tiempo de vuelo es 𝑡 𝑣 = 2𝑡 𝑠, por lo tanto,
𝑡 𝑣 =
2𝑣 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑔
Alcance horizontal del proyectil
Como el movimiento de la componente horizontal es con velocidad constante, el alcance
máximo se obtiene con la expresión:
𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝑣𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑡 𝑣
Remplazando el tiempo de vuelo por la expresión que ya obtuvimos, tenemos:
𝑥 𝑚𝑎𝑥 =
2𝑣 𝑜
2
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑔
Observe que la altura máxima, el tiempo de vuelo, y el alcance horizontal del proyectil
dependen exclusivamente de la velocidad inicial y del ángulo de lanzamiento.