Método de los Momentos

Método de los Momentos
Prof. A. Zozaya, Dr.
1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)
Departmento de Electrónica y Comunicaciones
Universidad de Carabobo
Valencia, dic/2009
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) MoM Valencia, dic/2009 1 / 11

Contenido
Introducción
Operadores integrales
Función de Green
Ecuaciones integrales
Método de los Momentos –MoM–

Introducción
Introducción
Dados las funciones vectoriales u, con u 2 U,
y v, con v 2 V, siendo U y V sendos espacios
vectoriales de funciones, se deﬁne L : U ! V, tal
que:
Lu = v
donde u se desconoce y v es conocida.

Introducción
Introducción
que:
Lu = v
U es el subespacio dominio y V el subespacio rango.

Introducción
Introducción
que:
Lu = v
Si ambos subespacios coinciden, L es denominado efectivamente un
operador, en caso contrario, L se denomina mapeo.

Introducción
Introducción
que:
Lu = v
En palabras llanas: L transforma u en v.

Introducción
Introducción
que:
Lu = v
En palabras llanas: L transforma u en v.
Otros ejemplos:
»
rˆ |!—
`(|! + ﬀ) rˆ
–
| {z }
L
„
E
H
«
| {z }
u
=
„
`Mi
Ji
«
| {z }
v

Para nosotros especial atención merecen los op-
eradores integrales.

Un operador integral tiene en general la forma
siguiente:
v(r) = L [u(r0
)] =
Z
V 0
K(r; r0
)
| {z }
Kernel
u(r0
) d 0
Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K(r; r0
) = K(r `r0
), entonces
el operador L se convierte en una integral de convolución:
Lu = K ˜ u

Un operador integral tiene en general la forma
siguiente:
v(r) = L [u(r0
)] =
Z
V 0
K(r; r0
)
| {z }
Kernel
u(r0
) d 0
Si el Kernel puede ser escrito en la forma: K(r; r0
) = K(r `r0
), entonces
el operador L se convierte en una integral de convolución:
Lu = K ˜ u
En electromagnetismo el Kernel es una función de Green:
K(r; r0
) = G(r; r0
)

Función de Green
Función de Green
La función de Green se puede in-
terpretar como la respuesta impulsiva
del sistema descrito por el operador
inverso de L.

Función de Green
Función de Green
inverso de L.
En electromagnetismo tal sistema
consiste en el medio en el que se
maniﬁestan los efectos (los campos)
de las fuentes, generalmente desig-
nadas por u(r0
).

Función de Green
Función de Green
inverso de L.
nadas por u(r0
).
Las fuentes se maniﬁestan a través de los campos v(r).

Función de Green
Función de Green
inverso de L.
nadas por u(r0
).
Las fuentes se maniﬁestan a través de los campos v(r).
La apariencia matemática de la función de Green depende en general,
de los postulados que describen la relación entre las fuentes u(r0
) y los
campos v(r), y de la geometría tanto de la distribución de fuentes como
de los medios que participan y de la constitución de éstos.

Las ecuaciones integrales se pueden clasiﬁcar de la siguiente manera
[Tri57]:

[Tri57]:
Fredholm del primer tipo:
Lu = v (1)

[Tri57]:
Lu = v (1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v

[Tri57]:
Lu = v (1)
Fredholm del segundo tipo:
Lu + u = v
En electromagnetismo nos encontraremos con ambas: con la ecuación
integral del campo eléctrico –EFIE–, la cual es del primer tipo, y
la ecuación integral del campo magnético –MFIE–, la cual es del
segundo tipo.

La solución numérica de la Ecuación (1) –que
signiﬁca calcular o estimar la función u– se
puede obtener [Har68]:

Dada una base vectorial de funciones com-
pleta ffng del espacio vectorial U, proyectamos
la función u sobre dicha base vectorial de fun-
ciones:
u =
P
n ¸nfn
donde los coeﬁcientes f¸ng son, precisamente,
las coordenadas de u respecto de ffng.

Dada una base vectorial de funciones com-
pleta ffng del espacio vectorial U, proyectamos
la función u sobre dicha base vectorial de fun-
ciones:
u =
P
n ¸nfn
donde los coeﬁcientes f¸ng son, precisamente,
las coordenadas de u respecto de ffng.
Como el conjunto ffng contiene, en general, inﬁnitos elementos, aprox-
imamos la función u en la ecuación anterior tomando solo N elementos
de ffng –primera aproximación–:
u =
PN
n=1 ¸nfn

Se dice que u ha sido expandida en una suma
ponderada de funciones bases fn.

Deﬁnimos un conjunto de funciones de peso
fwmg, con m = 1; 2; : : : ; N.

fwmg, con m = 1; 2; : : : ; N.
Tales funciones podrían constituir, o no
[Sar85], una base vectorial de funciones del sube-
spacio V.

fwmg, con m = 1; 2; : : : ; N.
spacio V.
Realizando N productos internos: ha; bi =
R T
0
ab˜
dt (segunda aproximación):
hwm; Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : : N

fwmg, con m = 1; 2; : : : ; N.
spacio V.
Realizando N productos internos: ha; bi =
R T
0
ab˜
dt (segunda aproximación):
hwm; Lui = hwm; vi m = 1; 2; : : : N
Intercambiamos los operadores L $
P
:
hwm; L
PN
n=1 ¸nfni = hwm; vi m = 1; 2; : : : N
hwm;
PN
n=1 ¸nLfni = hwm; vi m = 1; 2; : : : N

Intercambiamos los operadores h i $
P
:
NX
n=1
¸nhwm; Lfni = hwm; vi m = 1; 2; : : : N (2)

Intercambiamos los operadores h i $
P
:
NX
n=1
¸nhwm; Lfni = hwm; vi m = 1; 2; : : : N (2)
Expandimos la Ecuación (2) en la forma:
¸1 hw1; Lf1i + ¸2 hw1; Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw1; LfN i = hw1; vi
¸1 hw2; Lf1i + ¸2 hw2; Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hw2; LfN i = hw2; vi
... =
...
¸1 hwN ; Lf1i + ¸2 hwN ; Lf2i + ´ ´ ´ + ¸N hwN ; LfN i = hwN ; vi
(3)

Escribimos la Ecuación (3) en forma matricial:
0
B
B
B
@
hw1; Lf1i hw1; Lf2i ´ ´ ´ hw1; LfN i
...
...
...
...
hwN ; Lf1i hwN ; Lf2i ´ ´ ´ hwN ; LfN i
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]

0
B
B
B
@
...
...
...
...
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]
donde Z es es la matriz del sistema (N ˆ N), corrientemente
denominada matriz de impedancias, con Zmn = hwm; Lfni,

0
B
B
B
@
...
...
...
...
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]
¸ es el vector de pesos incógnita (N ˆ 1), con ¸n = ¸n, y

0
B
B
B
@
...
...
...
...
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]
V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), con
Vm = hwm; vi.

0
B
B
B
@
...
...
...
...
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
¸1
¸2
...
¸N
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
hw1; vi
hw2; vi
...
hwN ; vi
1
C
C
C
A
(4)
En forma compacta:
[Z][¸] = [V ]
V es el vector columna de valores conocidos (N ˆ 1), con
Vm = hwm; vi.
Y el vector de incógnitas se puede despejar como:
[¸] = [Z]`1
[V ]

Referencias I
R. F. Harrington.
Field Computation by Moment Methods.
MacMillan, U.S.A., New York, 1968.
T. K. Sarkar.
A note on the choice weighting functions in the method of moments.
Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 33(4):436–441,
April 1985.
F. G. Tricomi.
Integral Equations.
Interscience Publishers, Inc., 1957.

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