El documento explica el Teorema de los Tres Momentos de Clapeyron, el cual establece una relación entre los momentos flectores en tres apoyos consecutivos de una viga continua y las cargas actuantes sobre ella. La ecuación del teorema permite calcular los momentos flectores en cada apoyo y luego determinar las reacciones equivalentes en cada uno. El teorema puede usarse para analizar vigas con cualquier número de apoyos.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SAIA PORLAMAR
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL
TEOREMA DE CLAPEYRON
Realizado por:
Jessica Parra
C.I.: 24.696.113
Correo: jessicaparra1507@gmail.com

2. TEOREMA DE LOS 3 MOMENTOS
El teorema de los tres momentos o teorema de
Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de
vigas y usada en análisis estructural para resolver ciertos
problemas de flexión hiperestática, fue demostrado por Émile
Clapeyron a principios del siglo XIX.

3. VIGAS CONTINUAS
Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las
reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de
resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual
puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta
ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:
M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0
Donde:
M1, M2, M3 : Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3
L1, L2 : Longitudes de los tramos 1 y 2
A1, A2 : Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre
los tramos 1 y 2
a1 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del
tramo 1 al apoyo 1.
b2 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del
tramo 2 al apoyo 3.

4. Los términos (6A1a1)/L1 y (6A2b2)L2 pueden obtenerse
fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas
básicos.
Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos
más complejos, sumándose o restándose.
Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse
una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos
consecutivos. Por ejemplo:
Tramo 1-2:
M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0
Tramo 2-3:
M2L2 + 2M3(L2 + L3) + M4L3 + (6A2a2)/L2 + (6A3b3)/L3 = 0
Tramo 3-4:
M3L3 + 2M4(L3 + L4) + M5L4 + (6A3a3)/L3 + (6A4b4)/L4 = 0

5. En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas
(M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener
dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que
vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden
ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:
1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho
extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5
= 0.
2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una
ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual
en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama
de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado,
podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en
donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

6. M4L4 + 2M5(L4 + L0) + M0L0 + (6A4a4)/L4 + (6A0b0)/L0 = 0
M4L4 + 2M5L4 + (6A4a4)/L4 = 0
O sea :
3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá
valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será
igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a
este último apoyo.
M1 = 0
M2 = PL1
Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los
momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es
igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

7. R1=(M2-M1)/L1 < r2="">
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por
ejemplo:
R1=(M2-M1)/L1
R2=(M1-M2)/L1 + (M3-M2)/L2
R3=(M2-M3)/L2 + (M4-M3)/L3
R4=(M3-M4)/L3 + (M5-M4)/L4
R5=(M4-M5)/L4
Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por
cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos
flexionante en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga.