Problema resuelto de la XXII olimpiada Thales para alumnos y alumas de 2º de ESO

1. XXIII Olimpiada Thales NÚMEROS AMIGOS

2. NÚMEROS AMIGOS: Solución Menú El número romano Zipi = CCXX, tiene un gran amigo que, obviamente, se llama Zape. Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi). ¿Podrías averiguar qué número es Zape y cómo se expresa en números romanos? Comprueba también que Zipi es el gran amigo de Zape porque es la suma de todos sus divisores (excepto Zape).

3. Solución: Menú Enunciado Sigamos con las pistas del enunciado… Empecemos averiguando el número Zipi. Zipi = 220 El número romano Zipi = CCXX tiene un gran amigo que… Recuerda que C=100 y X=10 en números romanos con lo que… Vayamos por partes… Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi)…. Así es que para saber qué número es Zape, ¡tendremos que calcular todos los divisores de 220!

4. Solución: Menú Enunciado Vamos a empezar factorizando a Zipi: Para calcular todos sus divisores, basta ir cogiendo sus factores de todas las formas posibles… ¡Fíjate! 110 2 55 5 11 11 1 220 = 2 2 x 5 x 11 2 220

5. Solución: Menú Enunciado 220 = 2 2 x 5 x 11 Un solo factor Factores que cogemos 11 X 5 X 2 X Divisor 11 5 2 2

6. Solución: Menú Enunciado 220 = 2 2 x 5 x 11 Dos factores Un solo factor Factores que cogemos 5x11=55 X X 2x11=22 X X 2x5 =10 X X 2x2 = 4 X X 11 X 5 X 2 X Divisor 11 5 2 2

7. Solución: Menú Enunciado 220 = 2 2 x 5 x 11 Dos factores Un solo factor Factores que cogemos Tres factores 2x5x11=110 X X X 2 2 x11=44 X X X 2 2 x5=20 X X X 5x11=55 X X 2x11=22 X X 2x5 =10 X X 2x2 = 4 X X 11 X 5 X 2 X Divisor 11 5 2 2

8. Solución: Menú Enunciado 220 = 2 2 x 5 x 11 Dos factores Un solo factor Factores que cogemos Tres factores ¡Y los cuatro! 220 X X X X 2x5x11=110 X X X 2 2 x11=44 X X X 2 2 x5=20 X X X 5x11=55 X X 2x11=22 X X 2x5 =10 X X 2x2 = 4 X X 11 X 5 X 2 X Divisor 11 5 2 2

9. Solución: Menú Enunciado Volvamos de nuevo a nuestra pista: Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi) …. Así que para encontrar a Zape, basta sumar todos los divisores de Zipi quitando a Zipi=220. 1+2+5+11+4+10+22+55+20+44+110 Zape = 284 ¡Y que no se nos olvide el 1! 220 X X X X 110 X X X 44 X X X 20 X X X 55 X X 22 X X 10 X X 4 X X 11 X 5 X 2 X Divisor 11 5 2 2

10. Solución: Menú Enunciado Ahora sólo nos queda expresar Zape en números romanos… Zape = 284 Zape = CCLXXXIV Recuerda que L=50, V=5 y I=1, así que tenemos que: Comprobemos ahora que Zape es también la suma de todos los divisores de Zipi: 284 = 1 x 2 2 x 71 1+2+71+4+142=220 Quitando a Zape y añadiendo el 1… ¡¡¡JUSTO ZIPI!!! 284 142 2 71 71 1 2 284 X X X 142 X X 4 X X 71 X 2 X Divisor 71 2 2

11. Solución: Menú Enunciado ESO SÍ QUE ES SER BUENOS AMIGOS ¿NO CREES?