El documento presenta varios problemas de optimización resueltos mediante el método de derivadas. Se proporciona una estrategia general para resolver problemas aplicados a la optimización que involucra identificar datos, realizar un diagrama, determinar la función objetivo y hallar sus valores críticos para encontrar máximos y mínimos. Se resuelven 7 problemas como ejemplos aplicando este método.
Este documento presenta conceptos relacionados con las integrales definidas, incluyendo longitud de arco, área de superficies de revolución y trabajo mecánico. La profesora Emma Yendis explica las fórmulas para calcular estas cantidades y provee ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
1) El documento presenta 6 ejercicios de cálculo de valores extremos utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. El primer ejercicio busca el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera. Se resuelve encontrando que el volumen máximo es 33/8r^3.
Este documento trata sobre el uso de integrales definidas para calcular la presión hidrostática en fluidos. Explica que la presión hidrostática depende de la densidad del fluido, la gravedad y la profundidad. Luego presenta la fórmula para calcular la presión hidrostática y usa integrales definidas para calcular la presión sobre superficies sumergidas de diferentes formas. Finalmente, da ejemplos numéricos de cómo aplicar la fórmula.
El documento presenta información sobre el Teorema de Green, el cual vincula una integral doble sobre una región plana R con una integral de línea con respecto a una curva C que es la frontera de R. Explica que una curva es cerrada y simple si el punto inicial y final coinciden y no se corta consigo misma, y es suave a trozos si puede dividirse en subintervalos donde es suave. Finalmente, enuncia el Teorema de Green y presenta una demostración del mismo.
Este documento trata sobre la dinámica de rotación de cuerpos rígidos. Explica que la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido depende de su momento de inercia y su velocidad angular. También establece que el torque aplicado a un cuerpo es proporcional a su aceleración angular, análogo a la segunda ley de Newton para la traslación. Por último, analiza ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
El documento habla sobre la flotabilidad y estabilidad. Explica que la flotabilidad de un cuerpo depende del volumen de fluido desplazado y que para resolver problemas de flotación se debe determinar el objetivo, dibujar un diagrama de fuerzas y escribir la ecuación de equilibrio. También describe que la estabilidad de un cuerpo sumergido requiere que su centro de gravedad esté debajo del centro de flotación y usa el ejemplo del submarino Alvin para ilustrar esto.
Este documento presenta conceptos sobre longitud de arco y áreas de superficie de revolución calculadas usando integrales definidas. Explica las fórmulas para calcular la longitud de una curva dada por una función y o x, y el área de la superficie generada al hacer girar la curva alrededor de un eje. Proporciona ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar la comprensión de estos conceptos en el cálculo.
El documento describe un problema de física sobre dos vasos comunicantes que contienen agua dulce a los que se les agrega aceite. Al agregar 20cm3 de aceite de densidad 0,93g/cm3, el nivel del agua subirá 1,31cm en uno de los vasos debido a que el principio de los vasos comunicantes establece que los niveles de presión deben ser iguales en ambos vasos.
Este documento presenta conceptos relacionados con las integrales definidas, incluyendo longitud de arco, área de superficies de revolución y trabajo mecánico. La profesora Emma Yendis explica las fórmulas para calcular estas cantidades y provee ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
1) El documento presenta 6 ejercicios de cálculo de valores extremos utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. El primer ejercicio busca el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera. Se resuelve encontrando que el volumen máximo es 33/8r^3.
Este documento trata sobre el uso de integrales definidas para calcular la presión hidrostática en fluidos. Explica que la presión hidrostática depende de la densidad del fluido, la gravedad y la profundidad. Luego presenta la fórmula para calcular la presión hidrostática y usa integrales definidas para calcular la presión sobre superficies sumergidas de diferentes formas. Finalmente, da ejemplos numéricos de cómo aplicar la fórmula.
El documento presenta información sobre el Teorema de Green, el cual vincula una integral doble sobre una región plana R con una integral de línea con respecto a una curva C que es la frontera de R. Explica que una curva es cerrada y simple si el punto inicial y final coinciden y no se corta consigo misma, y es suave a trozos si puede dividirse en subintervalos donde es suave. Finalmente, enuncia el Teorema de Green y presenta una demostración del mismo.
Este documento trata sobre la dinámica de rotación de cuerpos rígidos. Explica que la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido depende de su momento de inercia y su velocidad angular. También establece que el torque aplicado a un cuerpo es proporcional a su aceleración angular, análogo a la segunda ley de Newton para la traslación. Por último, analiza ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
El documento habla sobre la flotabilidad y estabilidad. Explica que la flotabilidad de un cuerpo depende del volumen de fluido desplazado y que para resolver problemas de flotación se debe determinar el objetivo, dibujar un diagrama de fuerzas y escribir la ecuación de equilibrio. También describe que la estabilidad de un cuerpo sumergido requiere que su centro de gravedad esté debajo del centro de flotación y usa el ejemplo del submarino Alvin para ilustrar esto.
Este documento presenta conceptos sobre longitud de arco y áreas de superficie de revolución calculadas usando integrales definidas. Explica las fórmulas para calcular la longitud de una curva dada por una función y o x, y el área de la superficie generada al hacer girar la curva alrededor de un eje. Proporciona ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar la comprensión de estos conceptos en el cálculo.
El documento describe un problema de física sobre dos vasos comunicantes que contienen agua dulce a los que se les agrega aceite. Al agregar 20cm3 de aceite de densidad 0,93g/cm3, el nivel del agua subirá 1,31cm en uno de los vasos debido a que el principio de los vasos comunicantes establece que los niveles de presión deben ser iguales en ambos vasos.
Este documento define transformaciones lineales y proporciona ejemplos de funciones que son y no son transformaciones lineales. Una transformación lineal T de un espacio vectorial U a otro V debe cumplir dos condiciones: T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) y T(αu) = αT(u). Se demuestra un teorema y se enumeran propiedades de las transformaciones lineales.
Cinematica Nivel Cero Problemas Resueltos Y PropuestosESPOL
Una partícula se encuentra inicialmente en la posición (4, 2, -2) m y 10 segundos después en la posición (8, 12, 20) m. Su velocidad media durante este intervalo de tiempo es de 0.4i + j - 2.2k m/s.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Este documento presenta conceptos clave de mecánica de fluidos como la ecuación de continuidad y ecuación de Bernoulli. Explica casos típicos de flujo como flujo natural, controlado y bombeo. Luego, proporciona seis ejercicios para practicar el cálculo de presiones, velocidades y alturas de fluidos en sistemas que incluyen tanques, tuberías y sifones.
El documento contiene varios ejercicios de física relacionados con el calor y la energía. El primer ejercicio involucra calcular el cambio de temperatura de una bala de plata o plomo después de impactar una pared. El segundo ejercicio involucra calcular la cantidad de escalones que una mujer debe subir para compensar las calorías de una dona. El tercer ejercicio calcula la temperatura final de una mezcla de agua, aluminio y cobre.
Este documento explica las derivadas parciales de una función de dos variables. Define las derivadas parciales de primer orden f_x y f_y y cómo se calculan. También cubre derivadas parciales de orden superior, notación, igualdad de derivadas parciales cruzadas, y la interpretación geométrica de las derivadas parciales como pendientes.
Este documento trata sobre conceptos fundamentales de mecánica como trabajo, energía, potencia y conservación de energía. Explica estas ideas a través de definiciones, fórmulas y ejemplos numéricos. El autor es Juan José Reyes Salgado y el tema general es el trabajo y la energía de una partícula.
Tabla de integrales (integrales trigonometricas)waltergomez627
Este documento presenta una tabla de integrales inmediatas y la fórmula de integración por partes, y proporciona ejemplos de su aplicación. También explica cómo calcular integrales de funciones racionales mediante la factorización del denominador en fracciones simples. Finalmente, resuelve un ejemplo aplicando estos métodos para calcular la integral 2x+1/(x5+x4−x−1)dx.
Este documento describe las transformaciones lineales en álgebra lineal. Define una transformación como un conjunto de operaciones que convierten un elemento de un espacio vectorial V en un elemento de otro espacio vectorial W. Explica que una transformación lineal preserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares. Proporciona ejemplos de diferentes transformaciones lineales y define sus dominios, codominios, recorridos y núcleos.
Este documento presenta un proyecto de ingeniería civil sobre la aplicación de cálculo diferencial para calcular la viga de madera con mayor resistencia que se puede obtener de un tronco. Primero introduce el proyecto y explica la importancia del cálculo diferencial en ingeniería civil. Luego, describe el problema a resolver, los objetivos y el marco teórico, incluyendo conceptos como derivadas, máximos, resistencia de vigas y métodos de cálculo. Finalmente, detalla la metodología y desarrollo del proyecto.
FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO SOBRE UN AREA PLANAJoSé G. Mtz Cruz
Cualquier pared plana que tenga un liquido (muros, compuertas, depósitos, etc.) soporta, en cada uno de sus puntos, una presión que ha sido definida como la altura de la superficie libre del liquido al punto considerado, siempre que se trate de recipientes abiertos, que es el caso mas frecuente en aplicaciones hidrostáticas. Por tanto, todas las fuerzas de presión paralelas, cuya magnitud y dirección se conocen, tendrán una resultante P, que representa el empuje del liquido sobre una superficie plana determinada, cuyo valor y punto de aplicación vamos a determinar
Aplicación de la integral para hallar longitud de arco, área bajo la curva y ...Leo Eduardo Bobadilla Atao
Este documento presenta el uso de integrales para resolver problemas relacionados con torres eléctricas de alta tensión en el distrito de Oyón. Se busca calcular la longitud de arco, tensión máxima, área bajo la curva y valor promedio del gasto anual usando el método de integrales. Adicionalmente, se busca determinar el costo del cableado eléctrico y la demanda de energía de la población. El documento revisa conceptos teóricos como catenarias, integrales y características del distrito de O
El documento presenta varios problemas sobre sistemas de poleas y bloques con rozamiento. En el primer problema, se pide determinar la aceleración, tensión en la cuerda y fuerza entre la carretilla y la superficie para un sistema de poleas y dos bloques. En el segundo problema, se analiza el equilibrio de dos bloques de masa igual sobre un carretón acelerado horizontalmente. En el tercer problema, se calcula la aceleración de dos bloques sobre un carretón acelerado a 2 m/s2 respecto al suelo.
El documento describe el método para encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Se explica que las trayectorias ortogonales son curvas que intersectan a las curvas originales en ángulos rectos. El método involucra derivar la ecuación de la familia de curvas para obtener su ecuación diferencial, y luego resolver la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales. Se proveen ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar el método a diferentes familias de curvas como círculos, pará
El documento describe un problema de vaciado de un tanque a través de un orificio en su base. La ecuación diferencial asociada es dt/dh = -hg^2ca/A(h), donde h es la altura del líquido, a es el área del orificio, g la gravedad, c el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. Esta ecuación permite determinar la variación de la altura del líquido con el tiempo al resolverse sujeto a condiciones iniciales.
El documento presenta varios problemas de estática que involucran el cálculo del centro de gravedad y la determinación de fuerzas de reacción y tensiones en sistemas mecánicos. Los problemas abarcan temas como barras, triángulos, sistemas de objetos, puentes, grúas, plataformas y más. Se pide determinar cantidades como distancias, fuerzas, tensiones y componentes de fuerza para diversas configuraciones.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Explica que las edp son relaciones que involucran una función desconocida y sus derivadas parciales, y que modelan una amplia variedad de fenómenos físicos y matemáticos. Además, describe brevemente los capítulos que componen el libro, los cuales cubren temas como la clasificación de edp, los métodos de solución para edp lineales y no lineales, y las funciones de Green. El objetivo general es proveer una panor
Este documento presenta 5 problemas relacionados con la mecánica de fluidos y el cálculo de fuerzas y centros de presión sobre superficies sumergidas. Se calculan las fuerzas resultantes, áreas y centros de presión para superficies planas rectangulares, triangulares, circulares y un aliviadero automático, así como un tanque de combustible horizontal.
Este documento presenta conceptos y definiciones básicas sobre elasticidad y análisis de esfuerzos. Introduce suposiciones como considerar los materiales como continuos, homogéneos e isótropos para simplificar cálculos. Explica que las fuerzas externas generan fuerzas internas en un cuerpo y define cuatro tipos de carga: fuerza normal, cortante, momento torsional y momento flexionante. Además, introduce el concepto de esfuerzo para describir la distribución de fuerzas internas.
El documento presenta 6 problemas de optimización resueltos utilizando el método de derivadas. Cada problema involucra hallar el valor máximo o mínimo de una función relacionada con áreas, volúmenes u otras cantidades. Se resuelve cada problema aplicando los pasos de identificar variables, derivar la función objetivo, igualar la derivada a cero y verificar el punto crítico.
El documento presenta una serie de ejercicios de cálculo integral correspondientes a un examen de matemáticas de 2o de bachillerato. Incluye 8 ejercicios que van desde encontrar la función primitiva de una función dada hasta calcular el área delimitada por diferentes funciones. El profesor explica brevemente cada ejercicio y proporciona la resolución detallada.
Este documento define transformaciones lineales y proporciona ejemplos de funciones que son y no son transformaciones lineales. Una transformación lineal T de un espacio vectorial U a otro V debe cumplir dos condiciones: T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) y T(αu) = αT(u). Se demuestra un teorema y se enumeran propiedades de las transformaciones lineales.
Cinematica Nivel Cero Problemas Resueltos Y PropuestosESPOL
Una partícula se encuentra inicialmente en la posición (4, 2, -2) m y 10 segundos después en la posición (8, 12, 20) m. Su velocidad media durante este intervalo de tiempo es de 0.4i + j - 2.2k m/s.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Este documento presenta conceptos clave de mecánica de fluidos como la ecuación de continuidad y ecuación de Bernoulli. Explica casos típicos de flujo como flujo natural, controlado y bombeo. Luego, proporciona seis ejercicios para practicar el cálculo de presiones, velocidades y alturas de fluidos en sistemas que incluyen tanques, tuberías y sifones.
El documento contiene varios ejercicios de física relacionados con el calor y la energía. El primer ejercicio involucra calcular el cambio de temperatura de una bala de plata o plomo después de impactar una pared. El segundo ejercicio involucra calcular la cantidad de escalones que una mujer debe subir para compensar las calorías de una dona. El tercer ejercicio calcula la temperatura final de una mezcla de agua, aluminio y cobre.
Este documento explica las derivadas parciales de una función de dos variables. Define las derivadas parciales de primer orden f_x y f_y y cómo se calculan. También cubre derivadas parciales de orden superior, notación, igualdad de derivadas parciales cruzadas, y la interpretación geométrica de las derivadas parciales como pendientes.
Este documento trata sobre conceptos fundamentales de mecánica como trabajo, energía, potencia y conservación de energía. Explica estas ideas a través de definiciones, fórmulas y ejemplos numéricos. El autor es Juan José Reyes Salgado y el tema general es el trabajo y la energía de una partícula.
Tabla de integrales (integrales trigonometricas)waltergomez627
Este documento presenta una tabla de integrales inmediatas y la fórmula de integración por partes, y proporciona ejemplos de su aplicación. También explica cómo calcular integrales de funciones racionales mediante la factorización del denominador en fracciones simples. Finalmente, resuelve un ejemplo aplicando estos métodos para calcular la integral 2x+1/(x5+x4−x−1)dx.
Este documento describe las transformaciones lineales en álgebra lineal. Define una transformación como un conjunto de operaciones que convierten un elemento de un espacio vectorial V en un elemento de otro espacio vectorial W. Explica que una transformación lineal preserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares. Proporciona ejemplos de diferentes transformaciones lineales y define sus dominios, codominios, recorridos y núcleos.
Este documento presenta un proyecto de ingeniería civil sobre la aplicación de cálculo diferencial para calcular la viga de madera con mayor resistencia que se puede obtener de un tronco. Primero introduce el proyecto y explica la importancia del cálculo diferencial en ingeniería civil. Luego, describe el problema a resolver, los objetivos y el marco teórico, incluyendo conceptos como derivadas, máximos, resistencia de vigas y métodos de cálculo. Finalmente, detalla la metodología y desarrollo del proyecto.
FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO SOBRE UN AREA PLANAJoSé G. Mtz Cruz
Cualquier pared plana que tenga un liquido (muros, compuertas, depósitos, etc.) soporta, en cada uno de sus puntos, una presión que ha sido definida como la altura de la superficie libre del liquido al punto considerado, siempre que se trate de recipientes abiertos, que es el caso mas frecuente en aplicaciones hidrostáticas. Por tanto, todas las fuerzas de presión paralelas, cuya magnitud y dirección se conocen, tendrán una resultante P, que representa el empuje del liquido sobre una superficie plana determinada, cuyo valor y punto de aplicación vamos a determinar
Aplicación de la integral para hallar longitud de arco, área bajo la curva y ...Leo Eduardo Bobadilla Atao
Este documento presenta el uso de integrales para resolver problemas relacionados con torres eléctricas de alta tensión en el distrito de Oyón. Se busca calcular la longitud de arco, tensión máxima, área bajo la curva y valor promedio del gasto anual usando el método de integrales. Adicionalmente, se busca determinar el costo del cableado eléctrico y la demanda de energía de la población. El documento revisa conceptos teóricos como catenarias, integrales y características del distrito de O
El documento presenta varios problemas sobre sistemas de poleas y bloques con rozamiento. En el primer problema, se pide determinar la aceleración, tensión en la cuerda y fuerza entre la carretilla y la superficie para un sistema de poleas y dos bloques. En el segundo problema, se analiza el equilibrio de dos bloques de masa igual sobre un carretón acelerado horizontalmente. En el tercer problema, se calcula la aceleración de dos bloques sobre un carretón acelerado a 2 m/s2 respecto al suelo.
El documento describe el método para encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Se explica que las trayectorias ortogonales son curvas que intersectan a las curvas originales en ángulos rectos. El método involucra derivar la ecuación de la familia de curvas para obtener su ecuación diferencial, y luego resolver la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales. Se proveen ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar el método a diferentes familias de curvas como círculos, pará
El documento describe un problema de vaciado de un tanque a través de un orificio en su base. La ecuación diferencial asociada es dt/dh = -hg^2ca/A(h), donde h es la altura del líquido, a es el área del orificio, g la gravedad, c el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. Esta ecuación permite determinar la variación de la altura del líquido con el tiempo al resolverse sujeto a condiciones iniciales.
El documento presenta varios problemas de estática que involucran el cálculo del centro de gravedad y la determinación de fuerzas de reacción y tensiones en sistemas mecánicos. Los problemas abarcan temas como barras, triángulos, sistemas de objetos, puentes, grúas, plataformas y más. Se pide determinar cantidades como distancias, fuerzas, tensiones y componentes de fuerza para diversas configuraciones.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Explica que las edp son relaciones que involucran una función desconocida y sus derivadas parciales, y que modelan una amplia variedad de fenómenos físicos y matemáticos. Además, describe brevemente los capítulos que componen el libro, los cuales cubren temas como la clasificación de edp, los métodos de solución para edp lineales y no lineales, y las funciones de Green. El objetivo general es proveer una panor
Este documento presenta 5 problemas relacionados con la mecánica de fluidos y el cálculo de fuerzas y centros de presión sobre superficies sumergidas. Se calculan las fuerzas resultantes, áreas y centros de presión para superficies planas rectangulares, triangulares, circulares y un aliviadero automático, así como un tanque de combustible horizontal.
Este documento presenta conceptos y definiciones básicas sobre elasticidad y análisis de esfuerzos. Introduce suposiciones como considerar los materiales como continuos, homogéneos e isótropos para simplificar cálculos. Explica que las fuerzas externas generan fuerzas internas en un cuerpo y define cuatro tipos de carga: fuerza normal, cortante, momento torsional y momento flexionante. Además, introduce el concepto de esfuerzo para describir la distribución de fuerzas internas.
El documento presenta 6 problemas de optimización resueltos utilizando el método de derivadas. Cada problema involucra hallar el valor máximo o mínimo de una función relacionada con áreas, volúmenes u otras cantidades. Se resuelve cada problema aplicando los pasos de identificar variables, derivar la función objetivo, igualar la derivada a cero y verificar el punto crítico.
El documento presenta una serie de ejercicios de cálculo integral correspondientes a un examen de matemáticas de 2o de bachillerato. Incluye 8 ejercicios que van desde encontrar la función primitiva de una función dada hasta calcular el área delimitada por diferentes funciones. El profesor explica brevemente cada ejercicio y proporciona la resolución detallada.
Este documento presenta un portafolio de álgebra que incluye temas como conjuntos de números reales, operaciones con expresiones algebraicas, fracciones algebraicas, ecuaciones lineales y cuadráticas, sistemas de ecuaciones, y depreciación. El portafolio fue desarrollado por el estudiante Diego Vizcaíno para su curso de álgebra en la Universidad Politécnica Estatal del Carchi en Ecuador. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada uno de los temas cubiertos.
Este documento es una guía de examen para la asignatura de Matemáticas 3. Contiene 13 secciones con diversos problemas y ejercicios de álgebra, geometría, funciones, probabilidad y estadística que los estudiantes deben resolver. Algunas secciones piden calcular operaciones, estructurar ecuaciones, resolver tablas, identificar figuras congruentes y semejantes, graficar funciones y calcular probabilidades. La guía provee problemas y ejercicios para que los estudiantes demuestren su comprensión de varios temas
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, grado de un término y expresión, operaciones con expresiones algebraicas, y reducción de términos semejantes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, grado de un término y expresión, operaciones con expresiones algebraicas, y reducción de términos semejantes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, grado de un término y expresión, operaciones con expresiones algebraicas, y reducción de términos semejantes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
primer parcial de analisis del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene información sobre clases de análisis matemático en la UBA y sobre un primer parcial de análisis de ingeniería. Incluye cuatro ejercicios de cálculo y una solución propuesta. También proporciona un número de teléfono para obtener clases de apoyo.
Este documento presenta conceptos sobre derivadas de funciones trigonométricas y la regla de la cadena. Explica fórmulas para derivar senos y cosenos y presenta ejemplos de aplicar estas fórmulas y la regla de la cadena para calcular derivadas de funciones compuestas. También cubre derivadas de orden superior y su cálculo usando derivadas primeras de funciones compuestas.
Este documento presenta una serie de funciones y pide hallar su derivada o derivadas con respecto a variables como x o t. También incluye ejercicios sobre máximos, mínimos, puntos críticos, concavidad, así como determinar ecuaciones de rectas tangentes y razones de cambio.
1. El problema busca maximizar la suma de los logaritmos neperianos de dos sumandos positivos cuya suma es e. La solución óptima es que cada sumando sea e/2, con una suma máxima de 2-2ln2.
2. Se busca minimizar la resta entre uno de los números (que suman 10) menos el inverso del otro. La solución óptima son 11 y -1.
3. Se busca maximizar el área de un cuadrilátero rectangular construido con 2 metros de alambre. El área máxima
El documento contiene 5 exámenes de matemáticas para primero de bachillerato que incluyen ejercicios de álgebra, ecuaciones, funciones y geometría. Los exámenes consisten en varios problemas matemáticos con instrucciones para los estudiantes sobre cómo completarlos correctamente.
Este documento presenta objetivos y conceptos básicos sobre inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales. Explica cómo resolver inecuaciones de diferentes tipos aplicando métodos como factorización, puntos críticos e intervalos. Incluye ejemplos resueltos de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales para ilustrar los métodos. Finalmente, propone algunos ejercicios prácticos sobre resolución de inecuaciones para que los estudiantes apliquen los conocimientos.
Este documento presenta cuatro problemas de programación lineal resueltos. El primer problema involucra maximizar las ganancias de una empresa que fabrica ventanas de madera y aluminio. El segundo problema busca maximizar las ganancias de una empresa que fabrica televisores de diferentes tamaños. El tercer problema intenta maximizar las ganancias al fabricar dos productos con recursos limitados. El cuarto problema trata de maximizar las ganancias al introducir nuevos seguros con recursos humanos limitados.
Este documento presenta una guía de trabajos prácticos para la asignatura Matemática 61 del Ciclo Básico Común de la Facultad de Agronomía de la UBA. La guía introduce los temas a estudiar, que incluyen conceptos de análisis matemático en una variable, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y nociones básicas de combinatoria y probabilidad. Además, proporciona una lista de libros de consulta y una serie de ejercicios prácticos para que los estudiantes practiquen y
Este documento describe los productos notables en álgebra, que son series de operaciones que siempre dan un resultado similar. Explica que los productos notables incluyen la suma y resta de binomios al cuadrado, binomios con término en común, y binomios conjugados. También incluye ejemplos resueltos de cada uno y cómo representarlos gráficamente como áreas de rectángulos.
El documento presenta una guía para resolver problemas de optimización que involucran funciones escalares de variables vectoriales. Explica los pasos a seguir como identificar lo que se pide optimizar, trazar un modelo geométrico, establecer un modelo matemático y resolver el problema para encontrar la solución óptima. Luego, aplica estos pasos para maximizar el volumen de un prisma rectangular y el volumen de un cilindro circular recto sujetos a restricciones de tamaño.
Matemáticas: Ejercicios recuperación 4º de ESO IIHacer Educación
Este documento contiene 7 temas de matemáticas para 4o de la ESO: 1) Números reales, 2) Polinomios y fracciones algebraicas, 3) Ecuaciones, inecuaciones y sistemas, 4) Semejanza, 5) Trigonometría, 6) Geometría analítica y 7) Funciones elementales. Incluye ejercicios de cada tema para practicar los conceptos clave.
finales de algebra del cbc ciencias economicasapuntescbc
1. El documento presenta 20 problemas de álgebra lineal y matemática discreta tomados de exámenes finales de 1999 y 2000. Los problemas incluyen sistemas de ecuaciones, programación lineal, subespacios vectoriales y matrices.
2. Se pide determinar puntos de equilibrio, bases de subespacios, ecuaciones paramétricas de rectas, soluciones de sistemas de ecuaciones y más.
3. El documento proporciona una guía de problemas de matemáticas comunes en exámenes finales para que los
Este documento presenta una guía para el examen de matemáticas del primer trimestre de noveno grado. Incluye ejercicios sobre productos notables e identificación, resolución y completado de expresiones algebraicas utilizando productos notables. También contiene ejercicios sobre factorización que involucran descomponer expresiones en factores y completar factorizaciones parciales. La guía deberá ser entregada resuelta el día del examen y tendrá un valor del 10% de la calificación total.
El documento describe la crisis ambiental actual y la necesidad de un desarrollo sostenible que integre la protección ambiental y el desarrollo económico. Plantea que se debe promover una mayor equidad, mejorar el conocimiento científico sobre el desarrollo sostenible, y proteger roles como los de las mujeres, jóvenes e indígenas. También advierte sobre la amenaza a la sustentabilidad planteada por problemas como la pérdida de biodiversidad y la disminución de los insectos polinizadores.
Este documento describe los pasos para configurar el enrutamiento inter-VLAN en una red de laboratorio utilizando switches y un router. Se prepara la red cableando los dispositivos según un diagrama de topología. Se configuran los switches para VTP, VLAN y puertos de acceso. También se configuran las subinterfaces del router para cada VLAN y se demuestra el enrutamiento entre las VLAN a través de pings.
El documento trata sobre el modelado y administración del conocimiento. Explica que el INEE en México está desarrollando sistemas como el Explorador EXCALE y Tablas Estadísticas del INEE para organizar y facilitar el acceso a la información sobre prácticas de evaluación educativa. Además, cubre temas como métodos de modelado, formalización del conocimiento y construcción y razonamiento.
El documento presenta varios modelos de inventarios, incluyendo: 1) el modelo de cantidad fija del pedido con existencia de reserva o inventario de seguridad, donde se calcula el punto de reorden considerando la demanda promedio diaria, la desviación estándar y el tiempo de entrega; 2) ejemplos numéricos ilustrativos de cómo aplicar este modelo; y 3) una comparación de los modelos de cantidad fija y periodo fijo.
Este documento explica los pasos para comprobar y ajustar la holgura de las válvulas en una motocicleta Yamaha YBR 125. Primero se retiran algunas piezas para acceder a las válvulas y poner el motor en el punto muerto superior de compresión. Luego se usan galgas para medir la holgura de las válvulas y determinar si necesitan ajuste. Finalmente, se muestra una alternativa para fijar más fácilmente el punto muerto de compresión retirando más piezas para acceder a la corona de le
El documento describe los problemas de concurrencia que surgen cuando múltiples transacciones acceden a una base de datos de forma concurrente, y los mecanismos utilizados para controlar la concurrencia, como bloqueos y estampas de tiempo. Explica que el objetivo del control de concurrencia es garantizar que las transacciones concurrentes produzcan resultados equivalentes a una ejecución secuencial, para evitar problemas como actualizaciones perdidas o análisis inconsistentes.
El documento describe los conceptos básicos de la cinemática, incluyendo el movimiento rectilíneo uniforme, el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y el movimiento parabólico. Explica que la cinemática estudia las propiedades geométricas de las trayectorias de los cuerpos en movimiento mecánico independientemente de las fuerzas involucradas. También define conceptos clave como sistema de referencia, velocidad media, desplazamiento, y aceleración.
1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
304
damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com.
PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
Los métodos para determinar los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a
la solución de problemas prácticos, para resolverlos tenemos que transformar sus
enunciados en fórmulas, funciones o ecuaciones.
Debido a que hay múltiples tipos de ejercicios no hay una regla única para sus soluciones,
sin embargo puede desarrollarse una estrategia general para abordarlos, la siguiente es de
mucha utilidad.
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS A LA OPTIMIZACIÓN.
a) Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tratan de
encontrar.
b) Realizar un croquis o diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo
variables para las cantidades desconocidas.
c) Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.
d) Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y
expresa resta variable como función de una de las otras variables.
e) Encontrar los valores críticos de la función obtenida.
f) Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos
valores críticos son máximos o mínimos.
g) Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se
obtuvo anteriormente.
h) MUCHA DEDICACIÓN Y PRÁCTICA.
1.) Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el
cuadrado el otro es máximo.
Según el enunciado Máximoyxyyx =⋅=+ 2
18
Despejemos una en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del máximo.
( ) ( )
2 2
18 ; 18 ( ) 18y x Máximo x x M x x x= − = − ⇒ = − , En esta ecuación hallamos el
valor de x que la hace máxima.
A.‐ Hallar la primera derivada, se iguala a cero y se resolve la ecuación resultante.
w
w
w
.LIB
R
O
SPD
F1.blogspot.com
www.MATEMATICASW.blogspot.comwww.GRATIS2.com
www.LIBROSPDF1.blogspot.com www.GRATIS2.com
2. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
305
damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com.
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2
1 2
´( ) 18 2 18 ´( ) 3 18 6
: ´( ) 0 3 18 6 0 18; 6( . .)
M x x x x M x x x
si M x x x x x v c
= − − − ⇒ = − −
= ⇒ − − − = ⇒ = =
B.‐ Calculamos la segunda derivada y hallamos su valor numérico para las raíces
anteriores.
( )( ) 6 12 (6) 36 0 ; (18) 36 0
6 12
M x x M máximo M mínimo
si x y
′′ ′′ ′′= − ⇒ = − < ⇒ ∃ = > ∃
= ⇒ =
2) Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 12 cm. de lado. Cortando cuadrados
iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando los laterales. Hallar las
dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máximo.
Volumen de la caja = ( )( )( ) ( )
2
12 2 12 2 12 2v x x x v x x= − − ⇒ = −
( )
2
( ) 12 2 ( ) 12( 2)( 6)
: ( ) 0 12( 2)( 6) 0 2; 6( . .)
( ) 24( 4) (2) 48 0 ; (6) 48
v x x x v x x x
si v x x x x x v c
v x x v máximo v mínimo
′= − ⇒ = − −
′ = ⇒ − − = ⇒ = =
′′ ′′ ′′= − ⇒ = − < ∃ = ∃
NOTA: Por la naturaleza del problema, se ve que x no puede valer 6 cm. Porque el
volumen sería 0, por lo tanto x = 2 cm.
3) ¿Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada igual a 2
36 Dm para que
sea cercado por una valla de longitud mínima?
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w
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Según el enunciado, área = 36.;. =yxyx
Mínimo = 2 2 ; 2 2x y Min x y+ = +
Despejamos y en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del mínimo.
2 2
36 36 2 72 2 72
( ) 2 2 ( )
x x
y Min x x Min x
x x x x
+ +⎛ ⎞
= ⇒ = + = ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
2 2
2
33
2 72 2 72
( ) ; : ( ) 0 0 6( . .)
144
( ) (6) 0 ( : 6)
x x
Min x si Min x x v c
x x
Min x Min mín nota no se toma en cuenta x
x
− −
′ ′= = ⇒ = ⇒ = ±
′′ ′′= ⇒ = > ⇒ ∃ = −
4) Se quiere cercar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado
que está junto al camino cuesta BF. 8 el metro y para los lados BF. 4 el metro, halla el
área del mayor campo que puede cercarse con BF.1.440.
Según el enunciado, área = x. y
8 4 4 4 1.440 12 8 1.440 3 2 360x x x y x y x y+ + + = ⇒ + = ⇒ + =
Despejando y en la segunda y llevando su valor al área, nos queda:
2
2
360 3 360 3 360 3
: ( ) ( )
2 2 2
360 6 360 6
( ) : ( ) 0 0 60( . .)
2 2
360 3 360 3(60)
90 . (60 )(90 ) 5.400
2 2
x x x x
si y A xy A x x A x
x x
A x si A x x v c
x
y y y y m A xy m m m
− − −⎛ ⎞
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
− −
′ ′= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− −
= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = =
NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada.
w
w
w
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5) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo
inscrito en ella.
En la figura x es el radio de la base del cilindro. Por Pitágoras 2
2
2
2
6 x
h
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= .
Volumen =
4
36..
2
22 h
xperohx −=π
( )
( )
( )
32
2
2
144
( ) 36 ( ) ( ) 144 3
4 4 4
12
( ) 0 144 3 0 4 3; : 4 3
4 3
h hh
V h h V h V h h
V h h h se toma h
π π
π
π
−⎛ ⎞
′= − ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
′ = ⇒ − = ⇒ = = ± =
NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada.
6) Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho
papel mide 9cm. Calcular la altura del cono que se forma para que el volumen sea
máximo.
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
22
3
2 2
9 81
81
( ) ( ) 81
3 3 3
9
( ) 81 3 ; : ( ) 0 81 3 0 3 3
3 3 3
h x x h
h hx h
v V h V h h h
V h h si V h h h h cm
ππ π
π π
= + ⇒ = −
−
= ⇒ = ⇒ = −
′ ′= − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =
w
w
w
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NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada.
7) Se dispone de una hoja de papel para un cartel que mide 2m2
. Los márgenes superior
e inferior, miden 20 cm. cada uno y los laterales 12 cm. cada uno. Hallar las dimensiones
de las hojas, sabiendo que la parte impresa es máxima.
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
: 40 24 ; : 2
2 40
( ) 40 24 ( ) 24
40 2 402 40 8(6 5 )
( ) 24 ( )
y
y
parteimpresa A x y además áreatotal xy x
y
A y y A y y
y
y yy y
A y y A y
y y y
= − − = ⇒ =
⎛ ⎞−
= − − ⇒ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞⎛ ⎞− −
′ ′= + − ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
30
52
30 30102
3 530
8(6 5 )
: ( ) 0 0 ( . .); 0 ( )
2 ;y
y
si A y y vc y A y
y
xy x x x y
−
′ ′= ⇒ = ⇒ = ± = ∃
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
8) De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar el de área máxima.
En la figura: área
2
.hy
= por Pitágoras ;
222
BDDCBC += 2
2
2
2
h
y
x +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
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w
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Perímetro: xyyx 212122 −=→=+
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
2
2
2
2
2 2 2
2
.
. 4;
4 2 2
12 2 4 144 48 4
12 2 2 6
4 4: 12 2 ; ( )
2 2
48 3 4 3 348 144
( ) 6 ( ) 6 ( ) 6
2 2 2
6 3 3 3
( ) 2 6 3 3 ( ) 2 2 3 3
3 3
3 3(4 )
( )
3
y
y x
y y h
h x Area Area
x x x x
x x x
si y x A x
x x xx
A x x A x x A x x
x x
A x x x A x x
x
x
A x
x
−
= − = ⇒ =
− − + −
− − −
= − = =
− −−
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒
⎡ ⎤− −
′ ⎢ ⎥= − − ⇒ = − − +
−⎢ ⎥⎣ ⎦
−
′ = ⇒
−
3 3(4 )
( ) 0 0 4( . .); 3 ( )
3
4 4
x
A x x vc x A x
x
para x y
−
′ ′= ⇒ = ⇒ = = ∃
−
= ⇒ =
El triángulo de área máxima es equilátero de lado igual a 4cm.
NOTA: Por la naturaleza del problema, se ve que para x = 3, el triangulo se transformaría
en una recta, por lo tanto x = 4, es la solución.
9) En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 20 cm. cada uno. Hallar la longitud
de la base para que el área sea máxima.
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( )
( )
2
2
2 2 2 22 2
2
2
4
2
2 2
2
2 22
22
2
: ; (20) 400
4
400 1600
: ( ) ( )
2 2 4
( 2 )
1600
2 1600 800
( ) ( )
4 2 1600
800 1600800
( ) 0 0
2 (1600 )2 1600
tan : 800
x
x
x
en la figura BC BD DC h h
x x xxh
Area A A x A x
x x
x
x x
A x A x
x
x xx
A x
xx
Por lo to x
= + = + ⇒ = −
− −
= ⇒ = ⇒ =
−
− −
− −
′ ′= ⇒ =
−
− −−
′ = ⇒ = =
−−
− 2 2
2
0 1600 0 ; 800 0 20 2
1600 0 40
y x x x
x x
= − = − = → =
− = → =
NOTA: Para la naturaleza del problema, para x = 40 el triángulo se transformarías en una
recta, por lo tanto .220 mx =
10) Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y
semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de
los extremos es el doble de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la
capacidad deseada es de 10 π . Pies?
( )
2
2
) : . 4 ; . sin 2
) cos : 2 4 2
a Tenemos que A esfera R A cilindro tapa R
b La función a optimizar es el to C R R
π π
π π
= =
= +
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w
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( ) ( )
( )
3
3 2 3 2
2
3 3
2 2
2
3 3 3
3 3 3 3
2
4 4 30 4
) . ; .
3 3 3
30 4 60 8
( ) 8 2 ( ) 8
3 3
24 60 8 16 60
( ) ( )
3 3
48 3 3 16 60 144 48 18
) ( ) ( )
3
total
R
c V esfera R V cilindro R V R R
R
R R
C R R R C R R
R R
R R R
C R C R
R R
R R R R R
d C R C R
R
π π π π
π π
π π π
π π π π π
π π π π π
−
= = ⇒ = + ⇒ =
⎛ ⎞− −
= + ⇒ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ − +
= ⇒ =
− + − −
′ ′= ⇒ =
( )
( ) ( )
2
3 3
3 3
2 2
2 2 3 3
33 3
5 3
3
3
0
3
96 180 96 180 180
( ) ; : ( ) 0 0 96 180 0
963 3
180 2 . 3 . 5 3.5 15 15
96 2 . 3 2 2 2
15
) : 2 15
2
R
R R
C R si C R R R
R R
R R ft
e Si R ft ft
π
π π π π π
π π
π
− −
′ ′= = ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
= = = = ⇒ =
= ⇒ =
11) Determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo
de radio “a” de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro.
Rectángulo tiene como:
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 ; 2
2 2 2 2 2 2 4
( ) 2 ( ) ( )
2
2 4 2 2
( ) 0 0 2 4 0
4 2
2 4 2 2
2 2 ;
2 4 2
= = − ⇒ = ⇒ = −
/ − − − −
′ ′ ′= − + ⇒ = ⇒ =
/ − − −
−
′ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =
−
−
= ⇒ = = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
ret retBase x Altura a x A bh A x a x
x x a x x a x
A x a x A x A x
a x a x a x
a x a a
Si A x a x x x
a x
a a a a
b x b a h a x h a h h
w
w
w
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12) Encuentre el punto de la gráfica 2
1y x= + más cercano al punto (3, 1).
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2 2
222 2 4 2
3 3
3
4 2 4 2
2 2
( , ) (3,1) : 3 1
: 1 3 1 1 6 9
2 3 2 3
( ) ; : ( ) 0 0 2 3 0
6 9 6 9
: 1 2 2 3 0 1( .
distanc
.); 2 2 3 0
iaLa entre los puntos x y y es d x y
pero y x d x x d x x x
x x x x
d x Si d x x x
x x x x x x
por Ruffini x x x x v c x x
Si
= − + −
= + ⇒ = − + + − ⇒ = + − +
+ − + −
′ ′= = ⇒ = ⇒ + − =
+ − + + − +
− + + = ⇒ = + + ≠
: 1 2. (1,2)x y Punto= ⇒ =
13) Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.
Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima,
si el perímetro de la misma debe ser 12 pies.
22 2 33
2 4 2
23
2
2
: ( ) ( )
( ) 3
:
2 2 4
:
: ,
12 3 12 3
2 3 12 2 3
ventana
( )
2 2
:
= − ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
=
− −
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
xx x
x
Cálculo de h h x h h
xxh x
Área del triángulo A A A
Área del rectángulo A xy
Para y en función de x usamos el perímetro de la
x x x
P y x y x y A x
Área total de la fig
( )
2 2
3 12 3
: ( )
4 2
3 12 6 3 12 6
( ) ( ) 0 3 6 12 0
2 2 2
−
= +
− + −
′ ′= + ⇒ = = ⇒ − + =
T
T T
x x x
ura A x
x x x x
A x A x x
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( ) ( )
12
6 312 12
3 6 6 3
12 3( )12 3
:
2 2
72 12 3 36 36 12 3 18 6 3
6 32 6 3 2 6 3
−−
− −
−−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
− − − −
= = ⇒ =
−− −
x
x x Base del rectángulo si y y
y y y Altura del rectángulo
14) Para que un paquete pueda enviarse por correo es necesario que la suma de su
longitud y el perímetro de su base no exceda de 108 pulgadas. Encuentre las
dimensiones de la caja con base cuadrada de mayor volumen que se puede enviar por
correo.
( )
( )
2 2 2 3
2
: 4
: 4 108 lg ,
4 108, 108 4
: 108 4 ( ) 108 4
( ) 215 12 ; : ( ) 0 4 54 3 0 0 ,
54
El perímetro de la base es P a
Condición a pu tomaremos el extremo máximo
a de donde a
El Volumen V aa V a V a a V a a a
V a a a Si V a a a a no es solución
=
+ ≤
+ = = −
= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = −
′ ′= − = ⇒ − = ⇒ =
− 3 0 18 lg 108 4 (18) 36 lga a pu Pu= ⇒ = ⇒ = − ⇒ =
15) La distancia R = OA (en el vacío) que cubre un proyectil, lanzando con velocidad
inicia, V0 desde una pieza de artillería que tiene un ángulo de evaluación φ respecto al
horizonte, se determina según la fórmula:
2
0 2V Sen
R
g
φ
= Determinar el ángulo φ con
el cual la distancia R es máxima dada la velocidad inicial V0.
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2
2 2
0 ´0
22 22 2 2 2
00 04
2 2 2 2
2
0
0 ( )
2 cos(2 ) 2 cos(2 )
0 0 cos(2 ) 0 ( . .)
4
(4 ) 2( )(4 ) (2 ) (4 )
. . . 0
(2 )
( ) (
4
condición
V VdR dR
vc
d g d g
V senV sen Vd R d R d R d R
sust vc en
d g d d g d g
V Sen
en máximo sust en R R
g
π
π
φ
φ φ π
φ φ
φ φ
φ
φ φ φ φ
φπ
φ φ
≤ ≤
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= − ⇒ ⇒ = − ⇒ = − <
⇒ = ∃ ⇒ = ⇒
2
0
)
V
g
φ =
16) ¿Qué dimensiones debe tener un cilindro para que sea mínima su área total, dado el
volumen V?
( )2
2 2
2
2 2 22
3
3 3
22 2
2 2
2 3
; 2 2 ;
2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2
2
2 2 0 2 0 2 0 ( . .); 0
2
2 2 . .
cilindro
V V V
r rr
v
V
r radio h altura S r rh V r h h
r
S r r S r r S r r
ds V ds r V
r r V r v c r
dr r dr r
d S V d S
sust v c
dr r
π
π
π π π
π
π π π π
π
π π
π
= = ⇒ = + = ⇒ =
= + ⇒ = + ⇒ = +
⎡ ⎤−⎡ ⎤
= − ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = = ∃⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
= + ⇒ ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]
2
2 2
2
3 3
2 2 2 23
2
2
2 2 2 2 4 12 0
:
( )
v
v v
v
V d S
dr dr
V V
r r si h h
r
π
π π
π
π π π π
π π
⎡ ⎤
= + ⇒ = + = >⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
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.LIB
R
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17) Un terreno rectangular se encuentra adyacente a un río y se debe cercar en 3 lados,
ya que el lado que da al río no requiere cerca. Si se dispone de 100 m de cerca,
encuentre las dimensiones del terreno con el área máxima.
( ) 2
2 2
2
2 2
0 50( ); 100 2 ( ) 100 2
100 4 0 100 4 0 25( . .)
4 0 25 25 50 1250
x condición A bh A x x A x x x
dA dA
x x x v c
dx dx
d A d A
en x máximo x h m b m A m
dx dx
< < = ⇒ = − ⇒ = −
= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
= − ⇒ < ⇒ = ∃ ⇒ = = ⇒ = ⇒ =
18) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una
semicircunferencia de radio r.
( ) ( )
[ ]
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1/22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
22 2
1 1 22 2 2 2
2 2
2 2
2
2
: ( ) ( ) 2
1
( ) 2 2 2 2
2
2 2 2 2
: 0 0 2 0
2
2 4
−
= ⇒ = + ⇒ = − ⇒ = −
⎡ ⎤
/= − ⇒ = − + − −⎢ ⎥/⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =
− −
− ⇒ = ∃/
− −
=
x x
rectángulo
r
A x y ABC r y r y x r y
da
A y y r y r y y r y y
dy
r y r yda da r
si r y y y
dy dyr y r y
r y r y
y r yd A
dy
( ) ( )
( )
1/22 2 2 21
2
2 2
2 2 2
−
⎡ ⎤⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
−
r y r y y
r y
w
w
w
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( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 2 2 2
1/22 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 23 32 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2 3
2 2
2 2 23 3 3
22 22 2
22 2
2
2
2 4
2 4 4 2 2 2 3
2( ) 2( ) 3 2 2
( )
−
−
⎡ ⎤− − − + −⎣ ⎦=
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ =
− −
⎡ ⎤− ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ = ⇒ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−
=
r r
r r r r
y r y r y r yd A
dy r y
y r y r y y y rd A d A
dy dyr y r y
r r rd A d A d A r
dy dy dyrr
d A r
dy 2 6
2 2
3 2 3 2 3 2
2 2 23
32 8
3
2
2 2
2 2 2 8
0
1( )
2
2
; 2 2 2
2 2
/
− − −
⇒ = ⇒ = ⇒ = <
= = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =
r r
r r
d A r d A r d A
dy dy dy r
r
r r
y x r x x x y
19) Un buque militar se encuentra anclado a 9 km. del punto más próximo de la costa.
Se precisa enviar un mensajero a un campamento militar situado a 15 km. del punto de
la costa más próximo al buque, medido a lo largo de la costa; el mensajero andando a
pie hace 5 km/h y remando 4 km/h; ¿En qué punto de la costa debe desembarcar el
mensajero para llegar al campamento en el mínimo tiempo posible?
w
w
w
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( ) ( )
2 2 2
2 2
2
2 2
1/ 221 1
4 2 2
.
:
9 ; 15
81 15
. . : ; . :
4 5
81 8115
( ) ( ) 3
4 5 4 5
1 1
81
Remando: A pi
2
5 4 81
e:
. R Pkm km
h h
t R P t t
por pítagoras AD AB BD
AD x DC x
xx x x
V t t remando t t a pie t
t V
x xx x
t t t t x t x
dt dt x
x x
dx
M RU
dx x
−
= +
= + = −
+ −
⇒ = ⇒ = ⇒ = =
+ +−
= + ⇒ = + ⇒ = − +
⎡ ⎤= + − ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
22 2 2 2
1/22 2
2 2
2 22 32
2
2 2
5 4 81
5 20 81
0 5 81 0 5 4 81 25 16 1296 12( . .)
81 81 2
1 812
4 81 4 81
81
0 12
4 81 (12)
x xdt
dx x
dt
x x x x x x x v c
dx
x
x x x
d t d t
dx dxx x
d t
x Km mínimotiempo empleado
dx
−
− +
⇒ =
+
= ⇒ − + = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
+ − +
= ⇒ =
+ +
= > ∴ = ∃
+
20) De un tronco redondo de diámetro d hay que cortar una viga de sección rectangular.
¿Qué ancho (x) y altura (y) deberá tener esta sección para que la viga tenga resistencia
máxima posible. A) A la compresión, B) A la flexión?
Nota: La resistencia de la viga a la compresión es proporcional al área de su sección
transversal mientras que la flexión es proporcional al producto del ancho de esta
sección por el cuadrado de su altura.
w
w
w
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( )( )( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2
2 2
1/22 2 2 2 2 21
2 2 2
2 2
2 2
22 2
2 2 2
2
2
: ; ; :
( ) 2
0 0 0; 2 0 ( . .); :
4
rectángulo
c c
c
c cd
c
A A bh b x h y Por pitágoras d x y y d x
k d xdR dR
R x kx d x k d x x d x x
dx dx d x
k d xdR dR
k d x x vc Si x d
dx dxd x
x d x dd R
k
dx
−
= ⇒ = = = + ⇒ = −
−⎡ ⎤= − ⇒ = − + − − ⇒ =
⎢ ⎥⎣ ⎦ −
−
= ⇒ = ⇒ ≠ − = ⇒ = = ∃/
−
− − − −
=
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
1/22 2 21 2 22
2
22 2 32 2
2 2 22 2 2
22 2 2
2 2 23 3
2 2 2
22
22 2 23
2
2 2 233
2
2 2 2 3
( ) 2( ) 3 ( ) 2( ) 3
. . .
( )
( ) 4 2
4 0
2
c
d d d d
c c c
d dd
d
dc c c
d
x d x x kx x dd R
dxd x d x
k d k dd R d R d R
sust vc en
dx dx dx
d
k dd R d R d Rkd
k en x
dx dx dxd
−
/
−
⎡ ⎤/− − −⎢ ⎥ ⇒ =
⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
− −
⇒ = ⇒ =
−
− −
= ⇒ = ⇒ =− < ⇒ =
( )( )
3
3 3
2
2 2 2 2
2
4 3
4 42 2 3
3 3 2 2
3 3
2 2 2
2
2
: ( ) ( ) ( )
2 2
3 4
3
3 4 3 4
2 4 ( ) 2 4 ( ) 2 4
3 3
12 3 42
3
d
r
r r
t
t t t
máximo
d d
si x ancho y d x y d y altura
V V r
V r h V r h h h
r r
V r V r
A rh r A r r r A r r
r r
r r V rdA
dr
π
π π π
π π
π π
π π
π π π π π
π
π π
∃
= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =
− −
= + ⇒ − = ⇒ = ⇒ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −
= + ⇒ = + ⇒ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− − −
=
( )3 3
2 2
3 3 3 3
2 2 2
33 3 3
4
2 8 3
8 8
3
16 6 24 6 68 6 68
; : 0 0
3 3 3
6
6 68 0 ( . .); 0
8
V
dA r V
r r
r dr r
dA r V r dA V r dA V r
si
dr r dr r dr r
V
V r r r vc rπ
π
π π
π π π π
π
π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− +
⎢ ⎥+ ⇒ = +⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
− − + − + − +
= ⇒ = = ⇒ =
− + = ⇒ = ⇒ = = ∃
w
w
w
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( )
3 2
2 2 2 3
2 2 2 2
2 2 2 23 33
4
33
433
4 2 233
4
2 2 2 2 2 2
6 68 2 8 4 8
3 3
4 8 16 8
. . . 6 0
3 3 3( )
3 4 ( )3 4
0
3 3
)
V
V
V
V
F
dA V r dA V r d A V
dr r dr r dr r
d A d A V d A V d A
sust v c en
dr dr dr V dr
VV r
en r mínimo h h h
r
R Kxy d x y y db
π
π
π
π
π π π
π π π
π
ππ
π π
− +
= ⇒ = − + ⇒ =− +
⇒ =− + ⇒ = + ⇒ = >
−−
= ∃ ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = + ⇒ = − ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 3
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2
2 2 2 2 3
2 2 2
2 2
3
( )
0 0 0; 3 0 ( . .)
6 6 ; . . . 6 ( ) 0 .
3
: ; :
3 33
F f
f f d
f f f f d
x R Kx d x R x K xd x
dR dR
K d x K d x K d x x v c
dx dx
d R d R d R d R
K x Kx sust v c en K máximo
dx dx dx dx
d d d d
Ancho x altura y d y y d
⇒ = − ⇒ = −
= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ ≠ − = ⇒ =
= − ⇒ =− ⇒ ⇒ =− < ∃
−
= = − ⇒ = ⇒ =
21) Un trozo de alambre de 10 m. de longitud se va a cortar en dos partes. Una parte
será doblada en forma de circunferencia y la otra en forma de cuadrado. ¿Cómo deberá
cortarse el alambre para que el área combinada de las dos figuras sean tan pequeñas
como sea posible.
2 2 2 2
2
2
10 2
10 4 2
4
; :
1
4
2
0 2 10 2
( ) 2
4 4
π
π
π π
π π
π
π
−
= + ⇒ =
= = ⇒ = + ⇒
− −⎡ ⎤ ⎡
/= + ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ /⎣ ⎦ ⎣
⇒ =
⇒ = ⇒
cuadrado circunferencia
r
x r x
A x A r Área combinad
Cuadrado de lado x longitud del alambre x
Circunferencia de radio r longitud del alambre r
a A x r
r dA r
A r r
dr
2
2 10 2
2 2
4 4
π π
π π
⎛ ⎞/− − +⎤⎛ ⎞
+ ⇒ = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ /⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dA r
r r
dr
w
w
w
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( )
[ ]
( ) ( )
2
2 2
5
42 2
25
4
5 ( 5 ( 4)) 5
2 ; : 0 ( . .)
2 2 4
( 4)
0
2
55 5 20 5 10
1.4
2 2 2 4 4
π
π
π π π π
π
π
π π
ππ π π
π π
+
+
− + − + +
= + ⇒ = = ⇒ =
+
+
= ⇒ = > ⇒ = ∃
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−− + −⎡ ⎤
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
dA r dA r dA
r si r vc
dr dr dr
d A d A
en r mínimo
dr dr
r
x x x x x
22) Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto, que se puede inscribir en el
cono de 12 cm de altura y 4 cm en la base, de manera que los ejes del cilindro y del cono
coincidan.
La figura representa una sección transversal del cono y del cilindro que pasa por el eje de
ambos.
( )
( ) ( )2 2 2
2 3 2
12
3 3 4
4 4 4
: ( ) 3 4 ( ) 3 4
: 0 4 ( )
( ) 3 4 3 8 3 ; :
π π π
π π
= ⇒ = ⇒ = −
− −
= ⇒ = − ⇒ = −⎡ ⎤⎣ ⎦
= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⇒ = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
por relación de triágulos semejntes
h h
h r
r r
Volumen del cilindro V r h V r r r V r r r
si r ó r volumen máximo no se alcanza en la frontera
dv dv
V r r r r r si
dr dr
[ ]
2
2
0 3 8 3 0
8
3 0; 8 3 0 8 3 0 0; ( . .)
3
π
π
⎡ ⎤⇒ − =⎣ ⎦
≠ − = ⇒ − = ⇒ = =
r r
r r r r r r vc
w
w
w
.LIB
R
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[ ]
( )
2 2
8
32 2
8
3
2 38
3
3 8 6 3 8 6( ) 0
: 3 4 4
: ( ) 4 89.4
π π
π
= − ⇒ = − < ⇒ ∃⎡ ⎤⎣ ⎦
= − ⇒ =
= ⇒ =
d V d V
r r máximo
dr dr
Calculamos la altura h h
El volumenmáximo del cilindro inscrito es V V cm
23) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo
inscrito en ella.
X = radio del cilindro
Volumen del cilindro: ( )
22 2 2
2; :6 h
V r h por pitágoras xπ= = +
2 2 2
2 2 3
2 2
2 2
2 2
144 144
36 ( ) 144
4 4 4 4
144
144 3 : 0 144 3 0 4 3
4 3
( 6 ) ( 6)(4 3) 0 4 3
4 4
h h h
x x V h h V h h
dv dv
h si h h h
dh dh
d v d v
h h máximo
dh dh
π
π
π
π π
⎡ ⎤− −
⎡ ⎤= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =⎣ ⎦
= − ⇒ = − < ⇒ = ∃
24) Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular de cartón de 16 c, de ancho
y 21 cm de largo, recortando un cuadrado de cada esquina y doblando los lados hacia
arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen
máximo.
Sean: x = longitud en cm de los cuadrados que van a cortarse, V = Volumen en cm3
El volumen de una caja es el producto de sus dimensiones.
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w
w
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NOTA: x no puede ser negativa debido a que el ancho del cartón mide 16 cm no puede
cortarse cuadrado cuyos lados midan 8 cm de largo.
( )( )
( )
3 2
2
2 2
2 2
( ) (21 2 )(16 2 ) ( ) 4 74 336
12 148 336 4 3 28 3 ; : 0 4(3 28)( 3) 0
9; 3( . .)
24 148 : 24(3) 148 0 3
V lah v x x x x V x x x
dv dv dv
x x x x si x x
dx dx dx
x x vc
d v d v
x sustituimos máximocuando x
dx dx
= ⇒ = − − ⇒ = − +
= − + ⇒ = − − = ⇒ − − =
= =
= − ⇒ = − < ∃ =
25) Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa, que tenga un volumen
de 24 π cm3
, el material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se
emplea para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia
material, evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo del material de
fabricación.
Donde: r = Radio de la base en (cm), h = la altura en (cm), V = 24 π cm3
Sustituyendo: 24 π = π r2
h
22
2424
r
h
r
h =→=
π
π
w
w
w
.LIB
R
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Para obtener la ecuación de Costo de Fabricación.
A = costo por cm2
para la parte curva
El costo para la base )(3 hraCB π=
El costo para la parte cilíndrica:
)(
)2(
cilindrodeláreaaC
hraC
C
C
=
= π
( )
( ) ( )( )
( )( )
2 2
2
3
2 2 224 24
3
2 48 48
2
3
2
96
2
cos
3 ( ) (2 ) (3 2 ) ( ) 3 2
8
( ) 3 6 6
: 0 8 0 2( . .); 0( )
6
B C
r r
r r
r
El to total C C C
C a r a rh C a r rh Como h C r a r r
dc dc r
C r a r a r a
dr dr r
dc
si r r v c si r no tiene sentido
dr
d c
a
dr
π π π π
π π π
π
= +
⎡ ⎤= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = +
⎣ ⎦
⎛ ⎞−
⎡ ⎤= + ⇒ = − ⇒ = ⎜ ⎟⎣ ⎦
⎝ ⎠
= ⇒ − = ⇒ = =
= + ( )( )3
2
96
2 (2)
2
. . . : 6 0 2
24
6
d c
sust v c en a en r mínimo
dr
como h h
r
π⇒ = + > ⇒ = ∃
= ⇒ =
26) Hallar dos números positivos que minimicen la suma del doble del primero más el
segundo, si el producto de los dos números es 288.
Sea: (x) El primer número, (y) el segundo número, S la suma de ellos.
2
288 288
2 2
2288
2 2
2 2
2 3 2 3
: 2 ; 288 ( ) 2
2 288 2 288
2 0 0 2 288 0 12
288 288
. . 0 12
(12)
: 12 24
x x
x
Delenunciado S x y xy y S x x
ds ds x ds x
x x
dx dx x dx x
d s d s
sustvc en en x mínimo
dx x dx
si x y
= + = ⇒ = ⇒ = +
− −
= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ±
= ⇒ = > ⇒ = ∃
= ⇒ =
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27) Un granjero dispone de 100 metros de valla, con los que desea construir un corral
rectangular de la máxima superficie posible.
2
2
2
; 2 2 100 50 ( ) (50 )
50 2 0 50 2 0 25( . .)
2 0 25 25 . : 6
(superficiedel corral):
25
S xy del enunciado x y y x S x x x
ds ds
x x x v c
dx dx
d s
en x máximo y S máxima es de S m
dx
= + = ⇒ = − ⇒ = −
= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
= − < ⇒ = ∃ ⇒ = ∴ =
28) Hallar un número positivo cuya suma con su inverso sea mínima.
2
2
2 2
2 2
2 3 2 3
1 1
: ( )
1 1
1 : 0 1 0 1( . .), ( )
2 2
. . . 0 1
(1)
Sea x unnúmero su inversoes S x x
x x
ds ds x ds
si x x vc peroel valor debe ser
dx x dx x dx
d s d s
sust vc en x mínimo
dx x dx
⇒ ⇒ = +
−
= − ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ± +
= ⇒ ⇒ = > ⇒ = ∃
29) Dado un círculo de radio 4 dm, inscribe en él un rectángulo de área máxima.
2 2 2 2 2
( ) 8 64 ( ) 64= ⇒ ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −S xy ABC xárea del rectá y y x S x xgul xo
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( )
( )
2
2
2
2 2
2 3 2 3
2
2(32 )
´( ) : ´( ) 0 32 0 4 2( . .) : ( )
64
2 ( 96) 2(4 2)((4 2) 96)
( ) . . . 4 2 ( ) 4 0
(64 ) (64 (4 2) )
: 4 2 64 4 2 4 2
−
= ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ± −
−
− −
′′ ′′= ⇒ = ⇒ = = − < ⇒∃
− −
= ⇒ = − =
x
S x si S x x x vc pero x ni y pueden ser
x
x x
S x sust vc x S x máximo
x
si x y
30) Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola 2
4y x= , tales que sus
distancias al punto A (4,0) sean mínimas.
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2
2 3 2 3
( , ) 4 : 4 .
2
( ) 4 (4 ) ( ) ( ) 0 2( . .)
4 16
12 12
( ) . . . ( ) 0 2
( 4 16) ((2) 4(2) 16)
2 2 2. 2,2 2 ;
d A P x y y la parábola y x sust end porq el punto ala parábola
x
d x x x d x d x x v c
x x
d x sust v c d x x mínimo
x x
si x y p
= − + = ⇒ ∈
−
′ ′= − + ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− +
′′ ′′= ⇒ = > ⇒ = ∃
− + − +
= ⇒ = ± ⇒ ( )´ 2, 2 2p −
31) De todas las parejas de números reales cuyas componentes tiene suma S dada
encontrar aquella para la cual el producto P de las mismas es máximo. Aplica lo anterior
al caso S = 40.
2
2
2
2 2 2 2 22
) : ;
. ( ) ( ) ( ) 2 0
2 0 ( , )
⇒ + = ⇒ = − =
⇒ = − ⇒ = − + ⇒ =− + ⇒ = ⇒ =
=− < ⇒ = ∃ ⇒ = ⇒ = ⇒
S
S S S S S
a sea x e ylas componentes x y S y S x además P xy
dP dP
Sust P x x S x P x x xS x S x
dx dx
d P
en x máximo si x y
dx
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2
2 2 4( )( )
) : 40 20, 20 400.
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = = ⇒ =
S S S
máx máx máx
máx
de P xy P P
b Si S x y P
32) De todas las parejas de números reales cuyas componentes positivas tienen
producto dado, encontrar aquella para la cual la sume de esas componentes es mínima.
Aplica lo anterior al caso P = 100.
( )
2
2
2
2
2 2
2 3 2 3
.) ( , ) ;
1 ; : 0 0 ( . .);
2 2
. . . 0
0
( )
: y ( , )
P P
x x
P
x
a Sea x y la pareja S x y además P xy y S x x
dS dS x P dS
si x P x P v c
dx dx x dx
d S p d S p
sust v
cond
c en x P mínimo
d
ici
x x dx P
p
si y p la pareja es p y
x
p
x
ón >
⇒ = + = ⇒ = ⇒ = +
−
= − ⇒ = = ⇒ − = ⇒ =
= ⇒ ⇒ = > ⇒ = ∃ ∴
= ⇒ = ⇒ : 2
) 100 (10,10) 20.
su suma S p
b Siendo P la pareja será y su suma S
=
= =
33) Una caja cerrada de base cuadrada debe tener un volumen de 2000 pulg3
. El material
del fondo y de la tapa de la caja tiene un costo de 0.03 dólares por pulg2
y el material de
los laterales cuesta 0.015 dólares por pulg2
. Determine las dimensiones de la caja para
que el costo total sea mínimo.
Sea x pulgadas la longitud de un lado de la base cuadrada y )(xC dólares el costo total
del material. El área de la base es 22
lgpux . Sea y pulgadas la profundidad de la caja. Ver
figura. Puesto que el volumen de la caja es el producto del área de la base por la
profundidad.
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( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2 2000
2 3
2
2 22000 12000
3
312000
2
3
2000
: ( ) ( ) =3 2 4
6 6 6 ; :(0, )
12 12000
12 : 0 0 1000 10( . .)
24000
´´ 12
x
total total
xx
x
x y y
Del enunciado C área tapa y fondo área laterales C x xy
C x x x C x x Dom
x
C x x si C x x x v c
x
C x
x
= ⇒ =
= + ⇒ +
= + ⇒ = + ∞
−
′ ′= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ ( ) 3
2
24000
. . . ´´ 10 12 0 10
(10)
: 10 lg; 20 lg 100 lgmín
sust v c C en x mínimo
C x pu y pu y el área de la base será de p
= + > ⇒ = ∃
⇒ = =
34) Demostrar que de todos los rectángulos de perímetro p dado, el de máxima área es
el cuadrado.
4
2
2
2
2
2
2 2
2( )
m x22
: 2( ) 2 2 ; :
2 4
. ( ) ( ) ; 0 4 0 ( . .)
2 2 4
2 0 :
4 4 16
p
p x
p x
p
á
perímetrodel rectángulo p x y x y p y y su área A xy
px x dA p x dA p
sust A x A x si p x x v c
dx dx
d A p p p
en x máximo y y esun cuadrado A
dx
−
−
−
= + ⇒ + = ⇒ = =
− −
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ − = ⇒ =
= − < ⇒ = ∃ ⇒ = ⇒ = ∴ =
35) Si una letra cerrada de estaño con un volumen de 16π.pulg3 debe tener la forma de
un cilindro circular recto, determinar la altura y el radio de dicha lata para utilizar la
mínima cantidad de material en su manufactura.
2 2 2
2 2 2
área superficial lateral: área de la parte superior:
área de la ba
2
s
( lg) lg
: ( lg) 2 2e
π π
π π π⇒ = +t
rh pu r pu
r pu S rh r
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
3
3 3
2 2
3
16
: 16
16 32
2 2 2 ; ( ): 0,
32 32 4
4 ; : 0 4 32 8 2( . .)
64
4 . . . 2
π π π
π
π π π
π π π
π π π
π
π
= ⇒ = ⇒ =
⎛ ⎞
= + ⇒ = + + ∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
− − +
′ ′ ′= + ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
′′ ′′= + ⇒ ⇒
El volumen del cilindro circular recto V r h r h h
r
S r r r S r r DomS r
r r
r
S r r S r si S r r r r v c
r r
S r sust v c S
r 3
64
4 0 2 4
(2)
π
π= + > ⇒ = ∃ ⇒ =r mínimo h
36) Se desean construir cajas de cartón sin tapa partiendo de cuadrados de lado 40 cm.
a los que se les recortan las esquinas como indica la figura y doblando a lo largo de las
líneas punteadas.
a) Determina la longitud x de los recortes para que el volumen de la caja sea máximo.
b) Determina el volumen máximo
( )( ) ( ) ( )( )
2
2
2 2
20
32 2
: (40 2 ) ( ) ( ) (40 2 ) ; :[0,20]
20
2 40 2 2 40 2 40 2 6 40 0 20; ( . .)
3
8(3 40) . . . 8(3( ) 40) 160 0
má
Base un cuadrado de lado x y la altura x V x x x dom
dV dV dV
x x x x x x x vc
dx dx dx
d V d V
x sust vc máximo
dx dx
v
− ⇒ = −
= − − + − ⇒ = − − + ⇒ = ⇒ = =
= − ⇒ = − = − < ∃
( )
2 3 320 20
x 3 340 2( ) ( ) 4,74.10 cm= − ≅
37) La resistencia de una viga de sección rectangular es proporcional al producto de su
ancho a por el cuadrado de su altura h.
a) Calcula las dimensiones de la viga de máxima resistencia que puede aserrarse
de un tronco de madera de forma cilíndrica de diámetro Ø dado.
b) Aplícalo al caso Ø = 15” (pulgadas)
c) Si el tronco tiene largo L expresa en porcentaje del volumen total de madera el
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d) volumen de la viga.
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
) : 0
( ) ( ); 0
3
( 3 ) 0 0.577 ( . .)
33
6 . . . 6 ( ) 0
3 3
a Sea R la resistencia de la viga y k una cte R kah
ABC a h R a ka a a
dR dR
k a a v c
da da
d R d R
ka sust v c k en x máxi
da da
φ
φ φ
φ φ
> ⇒ =
⇒ Φ − = ⇒ = Φ − ≤ ≤ Φ
= Φ − ⇒ = ⇒ = = ≅
= − ⇒ = − < ⇒ = ∃
2
1
1 2 2
2
0.816
33
) 15" 38 8.65" 22 ; 12,24" 31
) :
4
4
:
( )
4
mo
si x h
b Si cm a cm h cm
c El volumen del trono cilíndrico de londitud L será V L
V ahL ah
El volumen de la viga de longitud L será V ahL
V
L
φ
φ φ
φ
π
φ πφ
π
= ⇒ = ≅
Φ = ≅ ⇒ ≅ ≅ ≅ ≅
=
= ⇒ = = 0.6
% 60% .de madera utilizada en la viga es de la madera total
≅
38) Dos postes de 20 y 28 pies de altura respectivamente se encuentran a 30 pies de
distancia. Se han de sujetar con cables fijados en un solo punto, desde el suelo a los
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w
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extremos de los puntos. ¿Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de cable
a emplear sea mínima?
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2 2 22 2
2
2 2
T 1:
:
400 400
30 28 30 784 60 1684
( )
2
400 60 1684 ;
:
:0 30
Sea W longitud del cable W y z
y x y x Ec
z
Del riangulo
Del Triángulo x z x z x x Ec
w x x x x Siempre que x
= +
= + ⇒ = +
= − + ⇒ = − + ⇒ = − +
⇒ = + + − + ≤ ≤
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
22 2 2 2 2
302 2 60
2 400 2 60 1684 400 60 1684
60 1684 30 400
400 60 1684
0 60 1684 30 400 0
60 1684 30 400 60 1684 30 400
xdw x x dw x
dx dxx x x x x x
x x x x xdw
dx x x x
dw
x x x x x
dx
x x x x x x x x x x
x
−/ −
= + ⇒ = +
/ + − + + − +
− + + − +
=
+ − +
= ⇒ − + + − + =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + = − + ⇒ − + = − +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )4 3 2 2 2
4 3 2 2 3 4 2
4 3 2 2 3 4
2 2
2 2
60 1684 900 60 400
60 1684 900 60 360.000 24000 400
60 1684 1300 60 24000 360.000
1684 1300 24000 360000
(384 24.000 360.000 0) / 192 2 125 1875 0
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x x
x
⎡ ⎤− + = − + +⎣ ⎦
− + = − + + − +
− + = − + − +
= − +
+ − = ⇒ + − =
( )( )
[ ]
75 2 25 0 75 12.5
75 0,30 (12.5 . .)
x x ó x
Como x en y los extremos son soluciones factibles x v c
+ − = ⇒ = − =
= − ∉ =
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w
w
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39) Se desea construir un tanque con forma de paralelepípedo rectangular de 45 m3
de
volumen, con la parte superior abierta según indica la figura. El largo del rectángulo
base debe ser doble del ancho. El material de la base tiene un costo de 100
$
y el de las
paredes de 80
$
. Determina las dimensiones del recipiente para que el costo de los
materiales sea mínimo, así como el correspondiente precio del tanque.
sup. .
2 2
2
cos tan :
cos : 100. 100(2) 200
sup : 80 80(6 ) 480
200 480 ;
T base lat
base base base
lat lat lat
T
El to del que C C C
El to del material de la base será C Sup a C a
Costo de la erficie lateral C S ah C ah
C a ah como
= +
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= + 3 2 2
2
45
: 45 2 2 2 45
2
T T TV m V a ah V a h a h h
a
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
( ) 2
2
3 33
2 2
2 3 2 3
10800 10800
200 ; : 0 400
10800
0 400 10800 0 27 3( . .)
400
21600 21600
400 . . 400 0 3
(3)
: 3 2.5 dim : 3 ,
T
T
T
T T
dC
C a a donde a a
a da a
dC
a a a v c
da
d C d C
sust v c a un mínimo
da a da
si a h m Las ensiones a m h
= + > ⇒ = −
= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = =
= + ⇒ = + > ⇒ = ∃
= ⇒ = ⇒ = 2.5 , 6 .; (3) $5400.Tm L m C= = =
40) Los Puntos A y B están opuestos uno al otro y separados por el mar 3 Km. El punto C
está en la misma orilla que B y 6 Km a su derecha. Una compañía de teléfonos desea
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tender un cable de A a C. Si el costo por km de cable es 25% más caro bajo el agua que
en tierra. ¿Qué línea de cable sería menos costosa para la compañía?
2
.; 9
. 6
.; 0 6
cos .
cos .
AP Cantidad de cable bajo el agua ABP AP x
PC Cantidad de cable por tierra PC x
P Punto cualquiera entre BC donde x
Si a to en De cada km de cable bajo tierra
b to en Bs De cada km de cable
= ⇒ ⇒ = +
= ⇒ = −
= ≤ ≤
=
=
( )
( )
2
2 2
2
.
25 5 4
100 4 4 5
cos : 9; cos : 6
4
cos : ( ) 9 6 ( ) 9 (6 )
5
2 4
´( ) ´( )
52 9
por tierra
b b b a
a b a b a b
El to de cable bajo el agua a x El to de cable por tierra b x
a
El to total C x a x b x C x a x x
x
C x a C x
x
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
+ −
= + + − ⇒ = + + −
⎡ ⎤/
= − ⇒ =⎢ ⎥
⎢ ⎥/ +⎣ ⎦
2
2
5 4 9
5 9
x x
a
x
⎡ ⎤− +
⎢ ⎥
⎢ ⎥+⎣ ⎦
[ ] ( )
[ ]
( ) ( )
( )
2
22 2 2 2
2 2 2 2
1/ 2 1/ 22 2
2
´( ) 0 5 4 9 0 5 4 9 25 16 9
25 16 144 9 144 16 4 4 ( . .) 0,6
39 33
(0) ; (6) 3 5 ; (4) ( ) 4
5 5
9 9 (2 )
´´( ) ´´(
9
C x x x x x x x
x x x x x x v c
C a C a C a El valor menor es cuando x
x x x x
O también C x a C x
x
−
⎡ ⎤= ⇒ − + = ⇒ = + ⇒ = +
⎣ ⎦
= + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ∈
= = = ⇒ =
⎡ ⎤+ − +
⎢ ⎥= ⇒
⎢ ⎥+
⎣ ⎦
( )
( )
( )
1/ 22
2
2
9
) 9
9
9
´´( ) ´´(4) 0
9
x
a
x
a
C x C mínimo
x
⎡ ⎤+
⎢ ⎥=
⎢ ⎥+
⎣ ⎦
= ⇒ > ∃
+
w
w
w
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41) Se desea construir un silo de forma cilíndrica rematado por una bóveda
semiesférica. El costo de construcción por m2
es doble en la bóveda que en la parte
cilíndrica. Encuentra las dimensiones h y Ø del silo de volumen V dado, de forma que el
costo de construcción sea mínimo.
2 2
2
$ $
2
:
. 2 ; . 2
: ( )
;
; :2 ( )
2 2 (2 ) 2 (2 )
:
.
m m
T T
Sea
Sup lateral Rh Sup boveda R
Costo de Sup lateral A Costo de boveda A
C RhA R A C AR R h
si V esvolum
R radio de la base h la al
en dad
tura de la parte cil
o
indric
V
a
π π
π π π
= =
⇒
= + ⇒ = +
=
3
3 3
2
2 2
3 3
3 3
2
2 23
2 3 2
3
2
4 3 23
6 3
4 3 8 3 3
( ) 2 ( ) 2 0 3 8 0 ( . .)
3 3 8
4 (4 3 )
. . . 0 ( )
3
3
2
T T
T
T T
R
V
R v R
R h h h
R R
dC dCR V R v V
C R A A V R R vc
R dR R dR
d C d CA R v
sust vc mínimo
dR R dR
V
V
Como R h
π
π π
π
π π
π π
π
π
π
φ φ
π
−
−
+ ⇒ = ⇒ =
⎛ ⎞+ −
= ⇒ = ⇒ = ⇒− + = ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+
= ⇒ > ∃⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ⇒ = ⇒ =
3
2 2
3
2
2 2 3
3 3 8
9
64
V
R V
h
R V
π π
π
π
π
π
− −
⇒ =
42) Se va a construir un calentador para agua en el forma de un cilindro circular recto
con eje vertical, usando para ello una base de cobre y lados de hojalata; si el cobre
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w
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R
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cuesta 5 veces lo que la hojalata. Calcule la razón se la altura al radio r, que hará que el
costo sea mínimo cuando el volumen V es constante.
[ ] [ ]
2
2
2
2 2
( ) ( )
: ; ; ,
: 2 ; ,
5 2 ; 2 5 2 2
T tapas lados cilindro círculo
tapas cobre lados hojalata T
V
Sean r Radio h Altura V Volumen del cilindro V r h h
r
C C C si a rh a r además a el Costo del material
C a r C a rh C a r a rh
sus
π
π
π π
π π π π
= = = ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⇒ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 2 2
2
3
3 3
2 2 3
3 3
. ( ) 10 2 ( ) 10 2 ( ) 2 5
10
´( ) 2 10 ´( ) 2 : ´( ) 0 10 0 ( . .)
2
´´( ) 2 10 ´´( ) 4 5
V V V
t h C r a r a r C r a r a C r a r
r r r
V r V V
C r a r C r a si C r r V r vc
r r r
V V
C r a C r a
r r
π π π π
π
π
π π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤
⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤−⎡ ⎤
= − ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + ⇒ = + ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ]
( )
3
10 33
10
3 3 3
10 10 10
3
10 2
3
10
. . . ´´ 4 5
( )
10
´´ 4 5 ´´ 4 15 ´´ 60 0 .
:
V
V
V V V
V
V
V
sust vc C a
V
C a C a C a mínimo
V
V
si r h
π
π
π π π
π
π
π
π
π π π
π
/
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⇒ = +
⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⇒ = ⇒ = > ∴∃⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
= ⇒ =
43) Sobre la ribera de un río cuya orilla se supone rectilínea se desea alambrar una
superficie rectangular de 10 hectáreas. Admitiendo que el costo de alambrado es
proporcional a la longitud a alambrar, dimensionar el rectángulo para que el costo de
alambramiento sea mínimo. Se supone que no se alambra sobre la ribera. Recuerda que
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1 hectárea = 10.000 m2. Si el alambrado se construye con 5 hilos y el rollo de 1.000 m
vale U$S 35. Calcula además el costo del alambre necesario.
2
2 2
2 2
2 3 2
2
: ( ) 2 ; ( ) ; 0
2 2
1 0 2 ( . .)
4 2
.( . .) 0 : 2
22
: 1 10000 447,
A A
Sea L a su longitud m L x y y A el área A xy y L x x x
x x
dL A dL x A dL
x A vc
dx x dx x dx
d L A d L A A
sust vc mínimo si x A y
dx x dx A
como Hectaria m x
⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ≥
−
= − ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= ⇒ ⇒ > ⇒∃ ⇒ = ⇒ = =
= ⇒ ≅ 20 ; 223,60 ; 894,40
, 5 , 4472
cos $ 156,52.
total
m y m L m
Además el alambrado debe tener hilos L m
y el to total de alambre es de U S
≅ =
⇒ =
44) Un cilindro circular recto va a ser inscrito en una esfera con determinado radio.
Calcular la razón de la altura del radio de la base del cilindro que tenga la mayor área de
superficie lateral.
( )( )
( ) ( )2
2
: , : ; :
: 2 : sup .
: ; 2 cos 2 2 cos
( ) 4 cos ; 0,π
θ
π
θ θ π θ θ
θ π θ θ
=
= = ⇒ = ⇒
=
Sean el ángulo al centro de las esferas r radio del cilindro h altura
S S rh áreas de la erficie lateral del cilindro
De la figura r asen h a S asen a
S a sen Dom
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( )2 2 2
4 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 4 2
4 (2cos 1) 0 2cos 1 0 ( . .) 0,
16 cos 8 2 ; . . . 8 0
( ) ; 2 cos( ) 2 2( )
π π
π π
π θ θ θ
θ θ
π θ θ π θ π
θ θ θ
= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ∈
= − ⇒ =− = − < ∃
= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ =a a
dS dS
a v c Dom
d d
d S d S d S
a sen a sen sust v c a máximo
d d d
h
r asen r h a h h a razón buscada
r
45) Una fábrica necesita una superficie de piso de forma rectangular y área A m2
para
carga de materiales. Para cerrar esa superficie se construirán paredes de espesores fijos
de a metros y b metros como indica la figura.
Dimensiona el rectángulo de carga para que la superficie rectangular exterior necesaria
sea mínima.
( )( )
( )
: , ; , : .
:( 2 ) ( 2 ) : 2 2
: ( ) 2 2 ;
Sea x e y los lados del rectángulo de área A a b los espesores de las paredes
Los lados del rectángulo exterior x a e y b y su área S S x a y b
A A
además A xy y S x x a b Don
x x
+ + = + +
⎛ ⎞
= ⇒ = ⇒ = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
2
2 2
2 2
2 3 2 3
: 0
2 2
2 2 0 ( . .)
4 4
. . . 0 :
( )
: ( ) arg
aA
b
de x
dS A A dS bx aA dS aA
b x a x v c
dx x x dx x dx b
d S aA d S aA aA b
sust v c mínimo si x y A
dx x dx b a
se deduce que si a b el rectángulo dec a y el rectángulo
>
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + + − ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⇒ = > ⇒ ∃ ⇒ = ⇒ =
= .exterior serán cuadrados
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46) Encuentra las dimensiones r y h del cono recto de base circular de volumen máximo
que puede inscribirse en una esfera de radio R dado.
2
El cono de volumen maximo debe tener su base en la semiesfera inferior pues
todo cono tiene otro con base simetrica respecto al plano diametral de la
esfera ^AC, en la s
3
e
r h
V volumen del cono
π
=
( ) ( )
( )
( )
2 22 2 2 2 2 2
2 2 3
2
miesfera superior, pero de menor altura, lo que permite
variar h en [
2
( ) 2 ( ) 2 ; : 2
3 3
4
R ,
3
2 ]
0
3
R
:
Deltriángulo OCB R h R r r R h R r hR h
V h hR h h V h Rh h Donde R h R
dV dV
Rh h si h
dh dh
π π
π
⇒ = − + ⇒ = − − ⇒ = −
⎡ ⎤= − ⇒ = − ≤ ≤⎣ ⎦
= − ⇒ = ⇒
( ) ( )
2 2
4
32 2
4
0; ( . .)
3
4 2 2
4 6 . . 4 6( ) 0 :
3 3 3 3
R
R
h vc
d V d V R R
R h sustvc R máximo si h r
dh dh
π π
= =
= − ⇒ = − < ∃ ⇒ = ⇒ =
47) Se lanza un proyectil en el vacio desde un punto 0 (ver figura) con velocidad Vo y
ángulo de inclinación θ. En el sistema (XOY) indica, la trayectoria del proyectil responde
a la función: Y(x) =
.
. ; 0 ≤ θ ≤ ; g = 9.8 ;
a) Para Vo y θ
dadas, encuentra la altura máxima (hmáx) que alcanza el proyectil. b) Calcula el
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alcance L del proyectil y suponiendo Vo constante, indicando el valor θo que da máximo
alcance.
( ) ( )2
02 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2
4 2 2 2
m x 2 2 2
) ; 0 ;
2 cos 2
( cos )
0
cos cos
0
cos
cos cos
2 cos
o
o
o o
o
o o
á
o
g
a y x x tg x Siendo v y const
V
V sendy g dy g
x tg x tg x
dx V dx V g
d y g
máximo
dx V
V sen V seng
y tg
V g g
π
θ θ θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ
θ θ θ θ
θ
θ
−
= + ≤ ≤
−
= + ⇒ = ⇒ = ⇒ =
−
= < ⇒∃
⎛ ⎞ ⎛−
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
m x
2
22
222 2
2 2
y
2
) 2 2( cos ) ( ) 2 ; : 0
2
2 cos 2
cos 2 2 : 0 cos 2 0 (v.c.)
4
4 s 2(4 s 2
. . .
o
o
á
V o
g
oo
oo
V sen
g
V
b Sea L alcance L x L sen L sen Para
g
VVdL dL dL
si
d g d g d
V enV end L d L
sust vc
d g d
π
θ
π
θ θ θ θ θ
θ π
θ θ θ
θ θ θ
θ
θ θ
⎞
⇒ =⎜ ⎟
⎠
⇒ = ⇒ = ⇒ = ≤ ≤
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
−−
= ⇒ ⇒ =
( ) 2
4 ) 4
0
:
4
oV
máximo
g g
en
π
θ
= − < ⇒∃
=
48) Un tanque de 2 m. de altura apoyado en el piso se mantiene lleno de agua mientras
que por un orificio practicado en una de sus paredes escapa un chorro que golpea el piso
en el punto A, a una distancia x de la pared. Admite que el chorro tiene forma
parabólica y que en el sistema (XY) indicado su ecuación es: Y =
.
. ,
Donde Vo es la velocidad del chorro a la salida del orificio y g la aceleración de la
gravedad. Sabiendo que Vo = . . , se pide que determines la profundidad h a que
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debe encontrarse el orificio para que el chorro golpee el piso a máxima distancia del
tanque.
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
0 0
2 2
: ; . : ( ,2 ) 2
2 2
( ) : 2 2 2
2(2 ) 4
4 2 2 2 : 0; 0 2
2(1 )
0
(2 )
o o
gx gx
Dada y de la Fig el punto Aes A x h h
V V
gx x
la velocidad de salida del líquido V V gh h h
gh h
x h h x h h h Donde x h
dx h dx
si
dh dhh h
= − ⇒ − =
= ⇒ − = ⇒ − =
= − ⇒ = − ≥ ≤ ≤
−
= ⇒ =
−
( )
2
2
2 3
1( . .)
2
0 1 2 2 2
( (2 ))
h v c
d x
en h máximo x h h h x
dh h h
⇒ =
−
= < ⇒ = ∃ ⇒ = − ⇒ =
−
49) Considera una circunferencia de radio R dado. Se inscriben en ella triángulos
isósceles ABC. a) Calcula el perímetro de los triángulos en función del ángulo θ. b) Halla
el triangulo de perímetro máximo.
( )
.) .
: : 2 ( )
2 2( (2 ))
a sea p el perimetro ABC
Del OMB MOB ángulo central e inscrito correspondientes
MB R sen AB R sen
θ
θ θ
=
⇒ = ⇒ =
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w
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2 2
(2 ) 2 (2 )
: 2 cos( )
2 (2 ) 2(2 cos ) 2 (2 ) 2cos 4 cos 1
.) 4 1 cos cos 4 cos : 0
2
4 2
MB Rsen Rsen
CMB BC BC BC R
sen sen sen
p Rsen R p R sen p R sen
dp dp
b R sen sen R sen sen Para
d d
dp
R
d
θ θ
θ
θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ
π
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ
= = ⇒ = ⇒ =
= + ⇒ = + ⇒ = +
= − + + ⇒ = − − ≤ ≤⎡ ⎤⎣ ⎦
= −( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2
62 2
6 6 6
1 1 8
1 ; 0 2 1 0
4
1
( . .) 0
2 6 2
12 cos . . . 12 cos 6 3 0
4 cos 1 3 3
dp
sen sen si sen sen sen
d
sen vc en
d p d p
R sust vc R R máximo
d d
p R sen R El triángulo es equiláter
π
π π π
θ θ θ θ θ
θ
π π
θ θ θ
θ
θ θ
± +
− + = ⇒− − + = ⇒ =
−
= ⇒ = ≤ ≤
=− ⇒ =− =− < ⇒∃
= + = ⇒ .o
50) Un generador de fuerza electromotriz constante ε y resistencia interna r se conecta a
una resistencia de carga R. en esas condiciones la potencia P disipada por la resistencia R
esta expresada por la relación: P =
.
, R y r en Ω, V en voltios. Determine el valor de
R en función de r para que la potencia sea máxima.
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 22
2 2
2 4 4
2 2
2 22 2 2
m x4 42 2
.2
( )
0 0 ( . .)
2 2 2 2
. . . 0
4
á
R rR r R R rR dP dP
P R
dR dRR r R r R r
dP
R r R r v c
dR
R r R Rd P d P
sust v c máximo P
dR dR RR r R R
ε
ε ε
ε ε ε
⎡ ⎤ − ++ − +
= ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥
+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
= ⇒ − + = ⇒ =
− −
= ⇒ = < ⇒ ∃ ⇒ =
+ +
51) Determine los valores de las constantes a, b, y c para la curva 2
ax
y
b cx
=
+
presente
extremos relativos en ( ) ( )1 1
2 21, 1,y−
La derivada correspondiente a la función objeto de estudio está dada por:
( )
( )
.´ 22
2
cxb
cxba
y
+
−
=
La existencia de extremos relativos en 1±=x indica que en este par de valores ,0´=y
esto es, ( ) .0=− cba De aquí, .,0 cboa == De acá sólo es admisible b = c. Como los
puntos dados satisfacen la ecuación dada y usando la última relación obtenida, se tiene:
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w
w
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.
2
1
22
1
ba
b
a
cb
a
=⇒=⇒−=
+
−
De esta forma, si ,cba == la ecuación en cuestión se puede escribir como
( ) .
11 222
x
x
xa
ax
axa
ax
y
+
=
+
=
+
= Por lo tanto, es irrelevante el valor de a, lo
verdaderamente importante es la relación obtenida entre las constantes.
52) Un vehículo debe trasladarse desde el punto A hasta el punto B de la figura. El punto
A dista 36 Km de una carretera rectilínea. Sobre la carretera el vehículo puede
desarrollar una velocidad de 100 , mientras que sobre el terreno puede desarrollar
una velocidad de 80 . a) Se desea saber cual es el recorrido que debe realizar el
conducto para que el tiempo empleado en ir desde A hasta B sea mínimo. b) Calcula ese
tiempo.
( )
1 2
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
: 80 , 100 .
, 100 , 36
:
100 100
. . . ; ; [0,100]
km km
h h
MN NB AM
AN
AN NB
sea v rapidez en el terreno v rapidez en lacarretera
MN d x NB d x d d km
Del AMN d d x
d x x d x x
Por M RU t t t x
v v v v
dt x
dx v
= =
= = = = − = =
= +
+ − + −
= = ⇒ = +
= 2 2
2 12 2 2 2
2 21 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
2 2 2
2 22 2 3
1
1 1
=0 0
(36)(80)
48( . .)
(100) (80)
. . . 0 48
( )
.)
dt x
v x v d x
v dx vd x v d x
d v dv
v x v x d v x x x x v c
v v v v
d t d d t
sust v c mínimoen x
dx dxv d x
b El tiempo d
− ⇒ ⇒ − = ⇒ = +
+ +
±
− = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− − −
= ⇒ > ⇒ ∃ =
+
: 1 16e recorrido sera t h m=
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53) Demuestre que la curva de ecuación 2a
y x
x
= − no tiene mínimo relativo para
ningún valor de a.
El dominio de la curva está dado por, { }.0−R De donde existe una asíntota vertical en
0,
( )
( )
3
3 3
2
3
3
3 3
2
´ ´ 0 2 0 ( . )
2
2
2 22
" 2 " . . " 6 0
2
2
a x a
y si y a x x v c
x
a
a
a xa a
y y sust v c y máximoen x
ax x
− + −
= ⇒ = ⇒ + = ⇒ =
⎡ ⎤⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠⎣ ⎦= − ⇒ = ⇒ ⇒ = =− < ⇒ =
−
54) Se considera un cuadrado de lado 1 m. En tres vértices consecutivos, de él se toman
los centros de tres circunferencias de forma que los radios de las que tienen centros en
vértices consecutivos, sumen 1 m. a) Encuentra los valores extremos de los radios de
forma que los cuadrantes de círculo sombreados no se solapen. b) calcular los radios de
las circunferencias para que el área sombreada sea mínima. c) calcula dicha área.
.) ,
, .
2
1 :
2
máx m
a Como los círculos de centros A y C son de igual radio x el máximo valor para
que aquellos no se solapen será la mitad de la diagonal del cuadrado
L
siendo el lado L del cuadrado de m x x⇒ = ⇒
2
2
áx m=
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w
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( )
2
2
.)
1
1 ( ) 2 1
4 4
b El área a considerar se compone de dos cuadrantes de círculo de radio x y un
x
cuadrante de radio x A x x
π
π
⎛ ⎞
− ⇒ = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
min
3
( ) ( ) 3 2 1 ; 0,
4 2 4 4
1
6 2 0 6 2 0 (v.c.)
4 3
6 3 1
0
4 2 3
.)
6
x x
A x A x x x
dA dA
x x x
dx dx
d A d A
mínimoen x
dx dx
c área mínima será A
π π π π
π
π π
π
⎡ ⎤= − + ⇒ = − + ⎣ ⎦
= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
= ⇒ = > ⇒ ∃ =
=
55) Calcule los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la curva de ecuación
3 2
y ax bx cx d= + + + tiene extremos relativos en ( ) ( )11
21, 2, 8y− − .
De .23´ 223
cbxaxydcxbxaxy ++=⇒+++= Usando los hechos de que los
puntos dados satisfacen la ecuación de la curva y que ,210´ =−== xyxeny
se tiene el sistema de ecuaciones.
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=+−
−=+++
=+−+−
)4(0412
)3(023
)2(8248
)1(
2
11
cba
cba
dcba
dba
Haciendo (2)‐(1), sigue: ).5(
2
9
3 −=++ cba De (5)‐(3), queda:
.
2
3
2
9
3 −=⇒−= bb a partir de (4)‐(3), obtenemos: .1023 =⇒=+ aba
sustituyendo los valores calculados en (3) y luego en (1), se tiene: .2,6 =−= dc
55) Se desea colocar una escalera apoyada en el suelo y en la pared de un galpón como
se muestra en la figura. Paralelamente a la pared del galpón y a 1 m. de distancia corre
una cerca de 1.50 m de altura. La escalera se apoyara también sobre la cerca. a) Calcula
la longitud mínima que deberá tener la escalera para cumplir con las condiciones
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pedidas (se sugiere expresar la longitud de la escalera en función del ángulo que la
misma forma con el piso). b) ¿A que altura de la pared del galpón apoyara la escalera?
c) ¿A que distancia de la cerca apoyara la escalera sobre el suelo?
( ) ( )
( ) ( )
( )
1.5
2
2
2
2
2 3 3
1.5 1 1
: 1.5( ); :cos
cos
1 1.5
; 0
cos
sec 1.5 + cos
0 1 1.5 cos
1 1.5 1.5 1.5 1
tg
x x
Del ECD tg x tg Del ABD L
x L
tg
L L
sen
sen tgdL dL
tg sen tg
d sen d
tg tg tg tg Arctg
θ π
θ θ θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ θ θ
+ +
= ⇒ = = ⇒ =
+ +
= ⇒ = < <
−
= ⇒ = ⇒ + = +
+ = + ⇒ = ⇒ = =
2 5 3 5 3 2
min2 3 3 2
,14 0.85 49º( . .)
3cos 3cos 2 2
. . 0 3.51
2 cos
.) " " : 2.65
1.5
.) " " : 1.30
rad v c
d L sen sen d L
sust v c mínimo L m
d sen d
b Del ABD La altura y es y Lsen m
c Del ECD x es x m
tg
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ
θ
⇒ ≅ ≅
+ + +
= ⇒ > ⇒ ∃ ⇒ ≅
= ≅
= ≅
56) Determine los valores de a y b en la ecuación 2 33
,2y ax bx= + asumiendo que la
curva en cuestión tiene un extremo relativo en ( )3
4, 2 4 , donde además existe la
primera derivada.
A partir de las coordenadas del punto dado, se tiene:
( ) ( ) .124224.2422.4.242.44.2 33 33 233 32 3
=+⇒=+⇒=+⇒=+ babababa
Como en .03:,0´,4 =+== basigueyx Resolviendo el sistema formado por estas
ecuaciones, resulta: .1,3 −== ba
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57) ¿Cuál es la relación que debe existir entre los coeficientes a, b, y c para que la curva
4 3 2
y ax bx cx dx e= + + + + pueda tener puntos de inflexión?
( ).3622612"234´ 2223
cbxaxcbxaxydcxbxaxy ++=++=⇒+++= La
posibilidad de puntos de inflexión se asocia a ,0" =y esto es,
,
12
833
12
2493
036
22
2
a
acbb
a
acbb
xcbxax
−±−
=
−±−
=⇒=++ y estos
posibles puntos de inflexión existen si .083 2
≥− acb
58) Se considera un circuito serie R–L–C, al que se le aplica un voltaje V(t) de variación
sinusoidal dada por la expresión: La intensidad I de la corriente que
circula por el circuito viene dada por la expresión , El valor
máximo Io esta dado por la expresión: Io = . Donde Z es la impedancia del circuito y
vale: Z = a) Expresa Io como función de . b) Suponiendo que la
función angular de la fuente puede variarse, halla el valor de que corresponde al
máximo valor de Io. (El valor que hallaras se conoce como “Frecuencia de resonancia”)
( )
( )
2
2
2
2
2 2
1
.) ; :
1
.) tan , max min
1 1 1 1 1
min
o o
o o
o
V V
a I como Z R L I
Z C
R L
C
b Dado que el voltaje V es cons te para imizar Io bastará imizar el
deno ador L C
C L LC LC LC
Z
ω ω
ω
ω
ω
ω ω ω ω ω
ω
ω
⎛ ⎞
= = + − ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
2
2 2
min
1
0R L Z R R
C
ω ω
ω
⎛ ⎞
= + − > = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
59) Dada ( ) ( )1
nm
f x x x= − donde m y n son enteros positivos mayores que 1,
verifique que: a) f tiene un valor mínimo relativo en x = 0, si m es par. b) f tiene un valor
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máximo relativo en ,
m
x
m n
=
+
siendo m y n pares o impares. c) f tiene un valor mínimo
relativo en x = 1, si n es par.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xnmmxxnxxmxxxnxxmxf
nmnmnmnm
+−−=−−−=−−+−=
−−−−−− 111111
111111´
Como puede observarse, ( ) .,1,0,0´
nm
m
xxxsixf
+
===== Además, como m y n
son enteros positivos mayores que, 1 entonces .10,01,01 <
+
<>−>−
nm
m
nm De
aquí, podemos construir la siguiente tabla, con un resumen correspondiente a la gráfica
en cuestión.
Intervalos f f´ Conclusión
0<x ‐ f es decreciente
0=x ( ) 00 =f Mín. (0,0)
nm
m
x
+
<<0
+
f es creciente
nm
m
x
+
=
( ) nm
nm
nm
nm
nm
m
f +
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Máx.
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++ +nm
nm
nm
nm
mm
m
,
1<<
+
x
nm
m
‐ f es decreciente
1=x ( ) 01 =f Mín. (1,0)
1>x + f es creciente
60) Se dispone de una chapa metálica de forma rectangular de 1,20 m x 3 m. Se desea
construir con ella un bebedero para animales procediendo a doblar la chapa como indica
la figura, para formar la superficie lateral y el fondo. Las bases se confeccionan de
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madera dura. a) Determina el ángulo θ para que el volumen del bebedero sea máximo.
b) Calcula dicho volumen en litros.
( )
( )
( )
( ) ( )
0.40 0.40 2
.) :
2
. (0.40) ; cos 0.40 cos
0.40 0.40
0.40 0.40 0.80cos
. (0.40 ) 0.16 0.16cos
2
:
a
a Superficie del trapecio base es S h
h a
De la fig sen h sen a
sust S sen S sen
Sea V volumendel bebedero V SL pe
θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ θ
+ +
=
= ⇒ = = ⇒ =
+ +
⇒ = ⇒ = +
⇒ = ⇒
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3
2 2 2
: 3
3 0.16 0.16cos ; :0
2
3 0.16 0.16 0.16 cos cos 3 0.16 cos cos
ro L m
V sen m Para
dV dV
sen sen
d d
π
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ
= ⇒
= + ≤ ≤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + + ⇒ = − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )2 2 2
2 2
3 3
2 2
1 9
0.48 2 cos cos 1 0 2 cos cos 1 0 cos
4
1 1
cos cos ( . .) 0
2 2 3 2
12 ( )(4 cos( ) 1)12 (4 cos 1) 18 3
. . 0
25 25 25
3
.)
3
dV dV
si
d d
Arc v c en
send V sen d V
sust v c
d d
máximo en
b V
π π
θ θ θ θ θ
θ θ
π π
θ θ θ θ
θ θ
θ θ
π
θ
π
− ±
= + − = ⇒ + − = ⇒ =
⎛ ⎞
= ⇒ = ⇒ = ≤ ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
− +− + −
= ⇒ ⇒ = = <
⇒ ∃ =
⎛
⎜
⎝
3
3 0.16 0.16 cos 0.623 623 .
3 3
sen m lt
π π⎞ ⎛ ⎞
= + ≅ ≅⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠
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61) Determine los valores de a y b en la ecuación
4 1
3 3
y ax bx= + si la gráfica
correspondiente presenta un punto de inflexión en ( )3
2, 6 2 .
( ) ( )
3 5
9
22
2
9
2
9
2
9
4
3
1
3
4 3
5
3
5
3
2
3
2
3
1
x
bax
baxxbxaxybxaxy
−
=−−=−=⇒+=
−−−−
"´ La
ecuación dada de la curva puede escribirse como: ( ) ( ).baxxbaxxy +=+= 33
1
Como el
punto satisface la ecuación la ecuación de la curva, se tiene,
( ) .622622 33
=+⇒=+ baba
Como la gráfica tiene un punto de inflexión en el punto dado, en ,", 02 == yx es decir,
4a ‐ b = 0. Resolviendo el sistema planteado, sigue: a = 1, b = 4.
62) La intensidad de iluminación E en luz que produce un foco luminoso puntual en
cualquier punto es directamente proporcional a la intensidad del foco I en candelas e
inversamente proporcional al cuadrado de su distancia d al foco expresada en metros.
.
Si dos focos luminosos se encuentran a una distancia L y tienen intensidades I1
e I2. Halla el punto del segmento que los une donde la iluminación sea mínima. Se
supondrá que la iluminación en cualquier punto es la suma de las iluminaciones
producidas por cada foco.
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 3 3
1 2
3 3
2 2
( )
: 1 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −
= + ⇒ = + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
= + ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
KI KI I I I IdE dy
E E K k
x y x y dx x y dx
I Idy dE
además L x y y L x k
dx dx x y
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( )3 31 2 2 2 2
3 3
3 3
1 1 1
2 2
3 3
1 1
2 2
3 3
1 1
: 0 0
; 1 .
1 1
⎛ ⎞−
= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= <
+ +
I I I I IdE
si x y x y x L x
dx x y I I I
I I
I I
x L Como el valor de x hallado corresponde a un mínimo
I I
I I
63) Si 3 2
( ) ,f x ax bx cx d= + + + determine a, b, c y d si se sabe que la gráfica de f tiene
un mínimo relativo en (2,‐1) y un punto de inflexión en (1,1).
.)(")´( baxxfcbxaxxf 2623 2
+=⇒++= Como los puntos dados satisfacen la
ecuación de la curva, entonces, se tienen las ecuaciones;
11248 =+++−=+++ dcbadcba ,
La existencia de un extremo relativo en (2, ‐1) implica que: .0412 =++ cba De igual
manera la existencia de un punto de inflexión en (1,1) los lleva a: ,0326 =+=+ baba
el sistema conformado por estas ecuaciones admite la solución: a = 1, b = ‐3, c = 0, d = 3.
64) Dos tanques A y B situados entre si a una distancia de d Km. se encuentran ubicados
a un mismo lado de la orilla rectilínea de un río y a una distancia de este de a Km y b Km
respectivamente. Se desea ubicar sobre la orilla una bomba para alimentar de agua a los
tanques mediante tuberías rectilíneas PA y PB. Demuestra que la longitud de tubería
será mínima cuando se cumpla que: θ1 = θ2 (Admite que el punto crítico que encontraras
corresponde a un mínimo)
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w
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( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 12 2
2 22 2
1 2 22 2
22 2 2
2
:
. : ; cos cos
; cos cos
; : 0
total total
AP
BP
Sea L la longitud total L PA PB
x
De la fig del AA P d x a x x a
x a
k x
Del BB P d k x b k x k x b
k x b
dL x
L x x a k x b para x k
dx x
θ θ
θ θ
⇒ = +
= + = ⇒ = +
+
−
= − + = ⇒ − = − +
− +
= + + − + ≤ ≤ ⇒ =
+
( )
( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1
. : cos cos : 0 cos cos 0 cos cos
: .
2
k x
a k x b
dL dL
sust los valores si
dx dx
Como y la igualdad implica
θ θ θ θ θ θ
π
θ θ θ θ
− −
+
− +
= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
≤ ⇒ =
65) De un ejemplo de una función que tenga infinitos extremos relativos e infinitos
puntos de inflexión a lo largo de todo su dominio. Explique.
Consideremos ,)( xsenxf = cuyo dominio es R. En tal caso,
.cos,)´(cos)´( 00 ==⇒= xxfxxf Así, los números críticos son:
.,,,
2
5
2
3
2
πππ
±±±=x Estos números críticos pueden escribirse en forma general
como: ( ) ., Znnx ∈+=
2
12
π
Ahora bien, el entero n puede ser par o impar. Si n es
par, ,, Zkkn ∈= 2 entonces ( ) ., Zkkx ∈+=
2
14
π
Si n es impar,
,, Zkkn ∈+= 12 ( ) ., Zkkx ∈+=
2
34
π
Es decir, se tienen 2 tipos de números críticos dados por las dos últimas expresiones, con
las cuales vamos a estudiar la posibilidad de existencia de extremos relativos usando el
criterio de la primera derivada.
Para estudiar los signos de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de los
números críticos se siguió el siguiente proceso: En la región ( ) ,
2
14
π
+< kx se tomó
,πkx 2= para tener ( ) .cos 012 >=πk
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En ( ) ( ) ,
2
34
2
14
ππ
+<<+ kxk se tomó ( ) ,π12 += kx con lo cual, ( ) .cos 0112 <−=+ πk
En ( ) ,
2
34
π
+> kx se tomó ( ) ,π12 += kx de lo cual, ( ) .cos 0112 >=+ πk
Al evaluar la función en ( ) ( ) ,
2
34
2
14
ππ
+=+= kxykx se tiene, respectivamente,
( ) ( ) .1
2
341
2
14 −=+=+
ππ
ksenyksen
Este análisis permitió conformar la siguiente tabla resumen, donde efectivamente se
muestra la existencia de infinitos extremos relativos.
Intervalos f f´(x) Conclusión
( )
2
14
π
+< kx
+ f es creciente
( )
2
14
π
+= kx
( ) 1
2
14
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + πk
f Máx.
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
1
2
14
,
πk
f
( ) ( )
2
34
2
14
ππ
+<<+ kxk
‐
f es decreciente
( )
2
34
π
+= kx
( ) 1
2
34
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + πk
f Mín.
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
1
2
14
,
πk
f
( )
2
34
π
+> kx
+
f es creciente
Por otro lado, .,)(")(" 00 ==⇒−= xsenxfxsenxf De aquí, los posibles
puntos de inflexión son: .,,,, πππ 320=x en general se pueden escribir como:
., Znnx ∈= π De esta forma podemos conformar la tabla siguiente que muestra la
existencia de infinitos puntos de inflexión.
Intervalos f F” Conclusión
πnx < ‐ f es cóncava hacia abajo
πnx = ( ) 0=πnf P.I. ( )0,πn
πnx > + f es cóncava hacia arriba
w
w
w
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R
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49. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
352
damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com.
66) Se desea iluminar un estanque de sección circular de radio R mediante una lámpara
de altura ajustable colocada sobre la vertical que pasa por el centro de aquél. La
iluminación en el borde del estanque, que es la zona de menor iluminación de la
superficie, esta expresada por la relación:
.
Donde E es la iluminación
expresada en luz, I la intensidad del foco luminoso supuesto puntual, expresada en
candelas y θ al ángulo indicado en la figura. Verifica que existe un valor de θ para el cual
la iluminación E es máxima y determina la altura a la que debe colocarse la lámpara para
obtenerla.
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
3 2 2 2 2
2 2 2
2 2
cos
cos
. . ; 0
2
2 cos 2cos 2 3
2
0 0( . ); 2 3 0
3
I
E
d
r I sen
Del AOF de la fig d sust E
sen r
dE I dE Isen dE Isen
sen sen sen sen
d r d r d r
sen v c sen sen Arcse
θ
θ θ π
θ θ
θ
θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ θ θ
=
= ⇒ = ≤ ≤
= − + ⇒ = − + ⇒ = −
= ⇒ = − = ⇒ = ⇒ =
2
0.95 54,5º
3
2
. 1,41
0.95
o
o
n rad
r r
Del AOF de la fig h h m
tg tg tg
θ
θ θ
⇒ ≅ ≅
= ⇒ = ≅ ≅
67) Pruebe que la curva 2
4
4
x
y
x
=
+
tiene tres puntos de inflexión y que estos se
encuentran sobre una misma recta.
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
22
2 22 2
2 2 2 22 2 2
2 22 2
4 44( 4) 4 (2 )
´ ´
4 4
2 4 4 2 42 4 2 4 2 . 4
" (4) (4)
4 4
−+ −
= ⇒ =
+ +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤− + + + −− + − + − ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
xx x x
y y
x x
x x x xx x x x x
y
x x
w
w
w
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( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
2 2
3 3 32 2 2
8 2 3 2 38 12 8 12
" "
4 4 4
− +− − −
= = ⇒ =
+ + +
x x xx x x x
y y
x x x
Calculemos los posibles puntos de inflexión, la única alternativa surge de y” = 0, esto es:
( )( ) ., 32003232 ±==⇒=+− xxxxx
Intervalos f f”(x) Conclusión
32−<x f es cóncava hacia abajo
32−=x
( ) 2
3
32
−
=−f P.I. ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
2
3
32 ,
032 <<− x
F es cóncava hacia arriba
0=x 00 =)(f P.I. (0,0)
320 << x f es cóncava hacia abajo
32=x
( ) 2
3
32 =f P.I.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
3
32 ,
32>x f es cóncava hacia arriba
De acá se desprende, obviamente, que la curva tiene 3 puntos de inflexión; probemos que
estos se encuentran sobre una misma recta, para ello, utilizamos el cálculo de
dependientes tomando los puntos dos a dos, es decir:
( ) ( ) .;;
4
1
3232
2
3
2
3
4
1
032
0
2
3
4
1
320
2
3
0
=
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
==
−
−
==
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
= mmm
Estos últimos cálculos corroboran que los 3 puntos están sobre una misma recta.
DÁMASO ROJAS
MARZO 2008
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