Este documento describe la teoría de los estadios del desarrollo aritmético propuesta por Schaeffer. Se divide en 4 estadios basados en la edad de los niños, donde se realizaron experimentos para evaluar su comprensión de conceptos numéricos como el recuento, la cardinalidad y la comparación de cantidades. Los resultados mostraron que la capacidad de los niños para estas tareas aumenta con la edad y pasan por etapas de reconocimiento de pequeños números hasta comprender números mayores.

1. Fases iniciales del
desarrollo de las ideas
aritméticas.
Schaeffer y las teorías conductistas.
Virginia Cano España
Patricia Valera Bueno
Alberto Tendero López
Montserrat Rodríguez Amores
José Luis Buendía Jiménez
Mª Esther Requena Romero

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Las teorías conductistas
La idea de conductismo aparece tras la publicación de un trabajo de John Broadus
Watson (1924/1961), el cual propone que la psicología sea considerada como una ciencia
natural la cual está obligada a estudiar las interacciones del ser humano con los objetos. Otro
autor también importante en este campo es, J. R. Kantor que amplía la definición de
conductismo explicando que este renuncia del alma, la consciencia y la mente para así poder
centrarse en el estudio de las interacciones entre el ser humano y los objetos que lo rodean.
Pero sin duda el autor que acuña en último término la idea de conductismo es B.F.
Skinner, al crear una ciencia con la que tratar de controlar las mentes de sus enfermos
psíquicos.
En resumen el conductismo es una ciencia que estudia únicamente las relaciones entre
los seres humanos y el ambiente que los rodea. Por lo que no deja lugar a las asociaciones
dualistas entre mente y alma, ni tampoco toma prestados conceptos de la neurología, la
sociología o la lógica.
Un error bastante común es creer que esta ciencia “deja de lado los procesos
cognitivos” lo que no es cierto, lo que ocurre es que se producen una serie de
comportamientos sujetos a las mismas leyes que los comportamientos que se desencadenan,
los cuales son de tipo lingüista y sensorial. Estos comportamientos deben ser investigados
especificando los tipos de interacción y posteriormente deberán de ser amplificados mediante
aparatos o tratar de utilizar un auto informe. Por lo que los procesos cognitivos pierden
prácticamente su papel.
Aunque originariamente el conductismo se creó en el seno de la psicología, para
controlar a los pacientes y predecir sus acciones, también se puede aplicar al ámbito didáctico,
se utiliza principalmente en la educación superior. El conductismo utiliza la sociología, en
concreto la parte socio biológica, argumentando que los valores morales están arraigados en la
biología. El conductismo presenta cuatro premisas principales, de las cuales se desarrolla toda
la teoría conductista.
El conductismo es naturalista, es decir, postula el materialismo del mundo en cuanto a
que este puede ser explicado por una serie de leyes naturales. Esto anula toda creencia en el
alma o en la mente, por lo que deja al ser humano desprestigiado.
El conductismo degrada al ser humano a la categoría de máquina, esto se deduce
fácilmente de la primera premisa. Si el mundo, que es material, se rige por una serie de leyes
naturales el hombre deberá necesariamente hacer lo mismo por lo que se convierte así en una
maquina biológica, la cual responde a los estímulos del exterior. Esta idea entra en conflicto
directo con la religión, en cuanto que reniega de la parte espiritual del hombre.
Según el conductismo los seres humanos, al ser máquinas biológicas, no somos
responsables de nuestros actos, puestos que estos están condicionados enteramente por los

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estímulos y por nuestro entorno. La socio biología, que está considerada como un tipo de
conductismo, compara al hombre con un ordenador, en cuanto que “Basura entra, basura
sale”. Esta premisa también entra en conflicto con una visión conservadora de la religión, en
concreto con la religión católica, puesto que esta afirma que somos criaturas pactales, no
biológicas. Según la biblia Dios es nuestro entorno, por lo que respondemos principalmente a
él, puesto que todos nuestros actos se producen por obediencia hacia su palabra o por
desobediencia.
El conductismo es manipulador puesto que no pretende únicamente observar el
comportamiento de un sujeto sino que pretende predecirlo y controlarlo.
En resumen Skinner pretendía con la creación del conductismo controlar las mentes de los
sujetos, en especial la de los pacientes y los estudiantes, y en último término la de la sociedad
en general.
Como consecuencia de las anteriores premisas se crea un gran problema entorno al
conductismo, un problema ético. El conductismo postula el carácter mecánico del hombre, y la
carencia completa de libertad por parte de este, según el conductismo el hombre es un ser
sumamente manipulable en cuanto a que este responde a un medio, medio que podemos
manipular. En consecuencia el problema ético está claro, ¿Quién debe ostentar el poder de
controlar ese medio? Esta es una pregunta sin respuesta, puesto que cada persona responderá
de una forma, según Skinner que solamente alguien entrenado en la teoría y la práctica
conductista estaría calificado para “dar forma” a la conducta de otras personas.
Schaeffer. Teoría de los estadios.
INTRODUCCIÓN:
Schaeffer fue conocido, junto con Eggleston y Scott, por identificar en estadios el
aprendizaje de las matemáticas. Dichos estadios consisten en catalogar a los niños en grupos
en los cuales únicamente se contabiliza la edad del sujeto. Esta teoría, aunque se mantiene
vigente en la actualidad, es provisional, puesto que no explica de forma exacta el aprendizaje
de las matemáticas por parte de los alumnos.
La teoría de Schaeffer se divide en estadios, cada uno de los estadios cuales se compone de
una serie de experimentos con niños pertenecientes a una determinada edad.
Primer estadio. Logros previos al reencuentro.
En este estadio se realizan experimentos con niños con edades comprendidas entre los
dos años y los cinco años. Uno de los experimentos realizados consistía en tratar que los niños
metiesen un número exacto de caramelos en una copa, dicho experimento produjo unos datos

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muy interesantes puesto que los niños conseguían un alto número de aciertos, el 82%
mientras que el número de caramelos introducidos en la copa fuese de uno o dos, pero
cuando se les pidió que introdujesen entre tres y siete caramelos el porcentaje de aciertos
descendió hasta el 22%.
Schaeffer dedujo de este y otros experimentos de conteo similares que:
-Los niños pueden identificar sin necesidad de contar un número reducido de objetos,
las de uno y dos elementos y, a veces, las de tres o cuatro.
-Los niños obtuvieron un mayor grado de aciertos en los experimentos visuales que en
los auditivos por lo que se observa una mayor habilidad en este sentido.
Así mismo los hallazgos de Descoeudres, producidos con experimentos similares, apoyaron las
teorías de Schaeffer. Cabe destacar que Descoeudres puso nombre a este hallazgo,
catalogándolo como un síndrome, el “sindrome de un deux trois beacoup” (síndrome de uno,
dos, tres y muchos). La teoría de Schaeffer también fue apoyada por los experimentos de
Gelman y Gallistel aunque más tarde el propio Gelman atacó las afirmaciones de Schaeffer
exponiendo que, en experimentos paralelos (que aún ahora se cuestiona su valor) había
descubierto que los niños son capaces de reconocer por recuento, números muy pequeños,
mientras que el reconocimiento de grupos pertenece al estadio superior. Gelman vio que
algunos niños de dos años eran capaces de distinguir una hilera de dos o tres objetos
Schaeffer no está conforme con esta afirmación pues sostenía que según sus experimentos los
niños sí eran capaces de reconocer grupos, esta afirmación estaba respaldada por un
experimento producido por Donaldson y Wales que expusieron que los niños de tres años y
medio eran capaces de diferenciar entre grupos de objetos con un número diferente
componentes.
Este hecho se demuestra gracias a los estudios realizados por Gelman ya que 24 de 30 niños
aprendieron a distinguir entre tres y cinco objetos, si bien el vocabulario utilizado por los niños
es diferente, es decir, usaron palabras como ganador y perdedor en vez de grande y pequeño.
La conclusión que se alcanza con ello es que los niños de esta fase inicial logran distinguir cuál
de dos conjuntos es mayor o menor siempre y cuando uno de los números es menor a cinco a
pesar del hecho de que algunos no entienden el significado de mayor y menor

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Estos resultados obtenidos demuestran que los niños pequeños desarrollan códigos relativos
antes que absolutos, es decir, aprender a distinguir cuál de dos rectas es más corta o más
larga, si dos apuntan o no en la misma dirección, antes de valorar el tamaño absoluto, la
longitud, dirección…
También es importante valorar cómo son puestos los objetos, es decir, cuando hubo dos
colecciones iguales en fila pero de distinta longitud los niños optaron por decir que la hilera
más larga era la más numerosa. Sin embargo, como demostró Bryant, si dichos objetos se
encontraban a la misma distancia unos de otros, aun habiendo 20 objetos, los niños acertaban
en la decisión de cuál de ambas hileras contenía mayor números de objetos.
Wang, Resnick y Boozer hallaron que si no se les permitía contar los distintos elementos, sólo
el 24 por ciento de los niños de 4 años y 6 meses y los 6 años eran capaces de determinar cuál
de las dos colecciones era mayor.
Estadio dos. El aspecto ordinal.
En este estadio Schaeffer realiza sus experimentos con niños con edades
comprendidas entre los dos años y nueve meses y los cuatro años y seis meses. Cabe destacar
que estos niños poseían una media de edad menor que los niños del estadio uno, en parte por
su reducido número y en parte también por la elevada edad de algunos de los niños en el
estadio uno.
Después de realizar una serie de experimentos con los niños del estadio dos se
constató que:
- Reconocimiento de agrupaciones: Los niños de este estadio eran capaces de
reconocer números pequeños, reconociéndolos en agrupaciones. Schaeffer diría
que el niño del estadio dos domina el recuento y es capaz de reconocer las
diferentes agrupaciones numéricas.
- Recuento: Los niños eran capaces de reconocer correctamente las hileras (el 71%
lo conseguía, frente al 0% en el estadio uno). Tras estos resultados podemos
deducir que los niños del estadio dos comprenden el mecanismo necesario para
contar aunque son bastante imprecisos al efectuarlo.
De esta forma se hace presente los principios propuestos por Gelman, que son:
Principio de orden estable: contar necesita la repetición de una serie de
números, los cuales deberán de estar siempre en el mismo orden.

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Principio de biunivocidad o de correspondencia biunívoca. Cada número ha de
ser emparejado solo a uno de los objetos.
Este ultimo principio puede no cumplirse del todo por:
Errores de participación del conjunto de objetos en contados y no
contados.
Errores en asignación de nombres de números.
Errores en la coordinación de nombres y objetos nombrados.
Del mismo modo el principio de biunivocidad fue el más problemático, puesto que
los niños cometieron en él un gran número de errores.
Regla de la cardinalidad:
Uno de los criterios de Schaeffer para el estadio dos suponía que el niño habría de fallar al
menos un 50% de las veces en la aplicación de esta regla, es decir, una vez efectuado el
proceso de recuento, el niño no debería saber aplicar ese resultado para determinar el
tamaño de una colección.
Los datos de Schaeffer están respaldados por los de Gelman, a pesar de que los criterios de
este último son menos estrictos.
Los experimentos de Schaeffer nos ilustran nuevamente el fracaso en relacionar el proceso
de recuento con el tamaño de la colección.
Indiferencia del orden
Los niños del estadio dos les dan demasiada importancia al objeto con el que comienza a
contar y no se dan cuenta de que el resultado será el mismo indiferentemente del
objeto con el que se empiece el recuento. Según Gelman la mayoría de los niños de
tres años no comprenden este punto aunque se aprecian algunas excepciones. Los
niños de cuatro años lo comprenden la mayoría.
Estadio tres. Cardinalidad
En este estadio, Schaeffer realiza el estudio con 15 niños entre edades comprendidas
entre 3 años y 3 meses y 5 años y 3 meses. En este estadio el niño debe ser saber aplicar la

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regla de la cardinalidad, es decir, el empleo del recuento como instrumento con el cual el niño
deberá diferenciar el número de objetos presentes en un mismo grupo y considera esta
propiedad como característica del grupo.
Reconocimiento de agrupaciones : Los niños del estadio 3 tenían más capacidad de
reconocer el número de objetos de una colección pequeña que los del estadio 2, Gelman
afirma que durante el crecimiento de los niños estos van adquiriendo más soltura a la hora de
definir los objetos que hay en una colección.
Recuento: A pesar de que los niños del estadio 3 captan los elementos esenciales del proceso
de recuento los del estadio son más exactos en este proceso. Un ejemplo de ello :
- Los niños del estadio 3 contaron exactamente 10 golpes del tambor mientras que los
del estadio 2 alcanzaron una media 8,3.
Regla de la cardinalidad : en este experimento los niños debían de recordar las piezas
después estas se tapaban con un paño y se le preguntaba cuantas piezas había. Los del estadio
3 respondieron correctamente en el 99 % de los casos a diferencia de los del estadio 2.
Estos resultados concuerdan con los de Gelman, cuando mencionan que los niños de 3 años y
la mayoría de los de de 4 sabe que en una colección los objetos pueden variar su orden
aunque obtengan el mismo resultado.
Schaeffer puso en práctica este experimento a pesar de varios ejemplos, obtener un
determinado número de golosinas o mediante de los golpes de un tambor. Los niños del
estadio 3 contaban el tiempo en el cual desarrollaban la acción y acertaron respectivamente
en el 87% y en 75% de los casos.
Reconocimiento de números mayores y menores : En este experimento los niños del
estadio 3 razonan en el recuento . Cuando se le pregunta al niño cuantos caramelos quiere
tener este responde en el mayor de los casos.
Estadio cuatro. El tamaño relativo de los números.
En este estadio Schaeffer pretendía definir la capacidad de reconocer el mayor el
mayor de dos números mayores o iguales que 10.
En este experimento las edades de los 17 niños aspiraban entre 5 años exactos y 5
años y 11 meses. Las características de este experimento son muy parecidas a las del estadio 3
exceptuando que al contar hasta 10 los niños acertaron en el 98 % de las veces y también
sabían diferenciar el mayor entre distintos números.
Consecuencias didácticas:
Según Schaeffer en la etapa preescolar no es imprescindible poder contar, sino utilizar el
proceso de recuento para determinar los distintos tamaños.

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Los niños aprenden a contar, no espontáneamente, sino por imitación. Los padres y los
maestros pueden ayudarles a contar o también pueden influir en que el niño sepa aplicar la
actividad de recuento.
Una dificultad del niño es que debe recordar numerosos objetos mientras está contando, lo
cual hace que las primeras experiencias del niño sean negativas y a su vez sencillas e
inmediatas.
Con el tiempo el niño va adquiriendo agilidad a la hora de hacer recuento de objetos, por
ejemplo :
Freudenthal explica que esta ilustración es un conjunto cuyos miembros son todos iguales, lo
que hace que el niño no pueda diferenciarlos entre si, por lo tanto se llega a la cuestión
relativa : ¿Cuántos barquitos hay?
En cambio Fuson, relaciona el recuento de un grupo de objetos con el tamaño de una
colección.
Los trabajos de Schaeffer y Gelman señalan a través de esta ilustración que una de las facetas
más importantes para el niño es el aprendizaje de los números cardinales y ordinales.
Brained a partir de esto, realizó un proyecto en el cual expuso que los números deberían
unirse con otros para poder comparar el tamaño de las colecciones.
Para finalizar cabe destacar que aunque durante años las teorías de Schaeffer, y en
concreto la teoría de los estadios, estuvieron vigentes, estas terminaron por perder su valor al
implantarse nuevos modelos que explicaban mejor los pasos que daba el niño hasta conseguir
la habilidad matemática.