pi

1. Algunas demostraciones
del Teorema de Pitágoras
Francisco Javier García Capitán
Introducci´on
Este art´ıculo presenta algunas de las muchas demostraciones del teorema
de Pit´agoras:
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tri´angulo rec-
t´angulo es equivalente a la suma de los cuadrados descritos sobre
los otros lados.
El teorema, atribuido a Pit´agoras (569-475 a.C.), o m´as bien a su es-
cuela, (los pitag´oricos), aparece como la Proposici´on I.471
. Por supuesto, la
demostraci´on de Euclides, con su figura del “molino de viento”no pod´ıa faltar
aqu´ı.
Muchas otras demostraciones, de varias clases, pueden encontrarse en
los art´ıculos de Yanney y Calderhead en la revista American Mathematical
Monthly ([1], [2], [3], [4]) y tambi´en en la p´aginas web de Alexander Bogo-
molny ([5]) y Eric Weisstein ([6]).
En todas las demostraciones, a menos que se especifique lo contrario, nos
referiremos a un tri´angulo ABC, rect´angulo en C con lados AB = c, BC = a
y CA = b.
1
Con esta notaci´on queremos indicar la Proposici´on 47 del Libro I de los Elementos de
Euclides.
1

2. 1. Demostraciones resultantes de relaciones
de semejanza entre tri´angulos rect´angulos
De este tipo de demostraciones, la m´as simple es la atribuda a Lagrange:
trazamos la perpendicular CD a AB. Obtenemos as´ı tres tri´angulos seme-
jantes.
A D B
C
ab
x
y c-y
y
b
=
b
c
c − y
a
=
a
c



⇒
yc = b2
c(c − y) = a2 ⇒ c2
= a2
+ b2
.
Una demostraci´on parecida consiste en trazar una perpendicular a AB
desde A que corta a la prolongaci´on de BC en D.
D C B
A
cx
b
y a
c
y + a
=
a
c
b
y
=
a
b



⇒
c2
= a2
+ ay
b2
= ay
⇒ c2
= a2
+ b2
.
Hay much´ısimas formas m´as de usar la semejanza de tri´angulos para ob-
tener el teorema de Pit´agoras, aunque no son tan simples como las anteriores.
Como tercer ejemplo, consideremos un punto E sobre el cateto AC de ma-
nera que si trazamos por E una paralela a BC, resulta EC = ED. Se forman
los tri´angulos semejantes ABC, ADE, AEF y EDF.
A DF B
C
E
Sean x = ED = EC, y = DF, v = AF.
Entonces:
AC
AE
=
BC
DE
⇒ bx = (b − x)a ⇒ x =
ab
a + b
,
BC
DF
=
AB
ED
⇒ ax = yc ⇒ y =
ac
c
=
a2
b
(a + b)c
.
2

3. AB
AE
=
AC
AF
⇒ cv = (b − x)b ⇒ v =
b3
(a + b)c
AB
AD
=
AC
AE
⇒ c(b − x) = (v + y)b ⇒ c ·
b2
a + b
=
b3
c(a + b)
+
a2
b
c(a + b)
b ⇒
⇒ c2
= a2
+ b2
.
Veamos una demostraci´on m´as que usa tri´angulos semejantes, que Yanney
y Calderhead asignan a Hoffman.
Consiste en suponer cierto el teorema que queremos demostrar.
Entonces AB2
= AC2
+ BC2
, AC2
= AD2
+ CD2
y BC2
= BD2
+ CD2
.
Por tanto,
A D B
C
AB2
=AC2
+ BC2
=
=AD2
+ CD2
+ BD2
+ CD2
=AD2
+ BD2
+ 2CD2
=
=AD2
+ BD2
+ 2AD · BD =
=(AD + BD)2
.
Y como la igualdad AB = AD + BD que se deduce es cierta, tambi´en lo
es lo supuesto, y el teorema queda demostrado.
Evidentemente esta forma de razonar es incorrecta, pues podemos partir
de la igualdad falsa −1 = 1, elevar al cuadrado y obtener una igualdad
cierta 1 = 1. Para demostrar el teorema de Pit´agoras usando la idea de la
demostraci´on de Hoffman, hagamos
AB2
=(AD + BD)2
= AD2
+ BD2
+ 2AD · BD =
=AD2
+ BD2
+ 2CD2
=
AC2
BC2
CD2
+ 2CD2
+
BC2
AC2
CD2
=
=
CD2
AC2BC2
AC4
+ 2AC · BC + BC4
=
(AC2
+ BC2
)
2
AB2
,
de donde, obtenemos AB2
= AC2
+ BC2
.
3

4. 2. Demostraciones basadas en propiedades
m´etricas de la circunferencia
A
B
C
D
E
L
Tomando como centro uno de los extremos de
la hipotenusa, por ejemplo B, y radio dicha hipo-
tenusa, trazamos una circunferencia.
Prolongamos el cateto AC a la cuerda AL y el
cateto BC al di´ametro CD. Entonces
AC · CL = DC · CE
b · b = (c − a) · (c + a)
b2
= c2
− a2
c2
= a2
+ b2
.
La igualdad AC ·CL = DC ·CE es v´alida para
cualquier punto C dentro de la circunferencia en virtud de la Proposici´on
III.35. Aunque la demostraci´on en los Elementos de esta proposici´on usa
el teorema de Pit´agoras (Proposici´on I.47), puede demostrarse f´acilmente
usando la semejanza de los tri´angulos ACD y ECL.
En efecto, los ´angulos inscritos ∠CAD y ∠CEL son iguales, por abarcar
el mismo arco. Igual les ocurre a los ´angulos ∠ADC y ∠ELC. Por tanto, los
tri´angulos ACD y ECL son semejantes y AC
DC
= EC
LC
, que es lo que hemos
usado.
B
A C
D
E
Si ahora trazamos una circunferencia con centro B y
radio el lado menor BC, resulta que el lado AC es tangente
a dicha circunferencia.
La Proposici´on III.37 nos dice que AD · AE = AC2
.
Entonces, b2
= (c − a)(c + a), es decir c2
= a2
+ b2
.
Podemos usar la semejanza de tri´angulos, en este caso
de ADC y ACE, para demostrar la igualdad AD·AE = AC2
. La clave est´a en
que el ´angulo inscrito AEC y el ´angulo semiinscrito ACD son iguales, por
abarcar el mismo arco.
4

5. Para terminar esta secci´on, veamos dos demostraciones m´as que usan la
Proposici´on III.37:
A
B C
D
En primer lugar, describamos circunferencias
con di´ametros AC y BC. Estas circunferencias se
cortar´an sobre un punto D del segmento AB.
AC2
=AB · AB
BC2
=BD · AB
AC2
+ BC2
=AB · (AD + BD) = AB2
.
A
B C
D
L
H
E
Para la otra demostraci´on dibujamos dos cir-
cunferencias, una centrada en A con radio AC
y otra centrada en B con radio BC. Tendremos
AC2
= AH · AD y BC2
= BL · BE. Por tanto,
AC2
+ BC2
= (AB − BC)(AB + BC)+
+ (AB − AC)(AB + AC) =
=2AB2
− AC2
− BC2
,
de donde es evidente el resultado buscado.
5

6. 3. Demostraciones basadas en la
comparaci´on de ´areas
La primera demostraci´on que incluimos de este tipo es la de Euclides, con
la conocida “figura del molinillo”:
A
BC
D
E
J
FG
H
I
K
Expresando las ´areas con par´entesis, y teniendo en cuenta que si en un
tri´angulo dejamos fija la base y movemos el otro v´ertice por una paralela a
la base, el ´area no var´ıa, es cierto que
(BKJE) = 2(BJE) = 2(BEC) = 2(BAF) = 2(BCF) = (BCGF).
De forma parecida obtenemos que (AKJD) = (ACIH). Por tanto,
(ABED) = (BKJE) + (AKJD) = (BCGF) + (ACIH),
como se pretend´ıa demostrar.
Seg´un Proclo, esta demostraci´on es del mismo Euclides, que la conci-
bi´o para que este teorema pudiera estar en el Libro I y no tuviera que esperar
hasta que se desarrollaran las teor´ıas de proporci´on y semejanza de los Libros
V y VI.
6

7. Veamos alguna de las much´ısimas variaciones de esta demostraci´on.
A
B
C
D
E
J
FGN O
H
I
K
L
M
Una de ellas, en la que intervienen paralelogramos, hace ver que
(BKJE) = (BCLE) = (BFMA) = (BFGC).
Del mismo modo se prueba que (AKJD) = (AHIC) y sumando obtenemos
el resultado buscado.
Otra forma parecida de obtener el mismo resultado es razonar que
(BKJE) = (BONC) = (BFGC)
y obtener (AKJD) = (AHIC) de forma similar.
7

8. 4. Demostraciones por disecci´on
Comencemos esta secci´on con la demostraci´on debida al matem´atico ´ara-
be Thabit Ibn Qurra (826-901):
A
A
B
B
Esta es otra, debida a H. Perigal (1873):
8

9. Referencias
[1] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Py-
thagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 3, 65-67, 110-
113, 169-171 y 299-300, 1896.
[2] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Py-
thagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 4, 11-12, 79-81,
168-170, 250-251 y 267-269, 1897.
[3] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Py-
thagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 5, 73-74, 1898.
[4] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Py-
thagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 6, 33-34 y 69-71,
1899.
[5] http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/
P´agina de Alexander Bogomolny dedicada al teorema de Pit´agoras y sus
muchas demostraciones.
[6] http://www.mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html
P´agina de Eric Weisstein, en la que adem´as de algunas demostraciones,
puede encontrarse una extensa bibliograf´ıa.
[7] http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/java/elements/elements.html
P´agina con los Elementos de Euclides. Adem´as de contener las demos-
traciones de todas las proposiciones, hay applets de Java que permiten
manipular las figuras.
[8] www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/java/html/pythagoras.html
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