1. Algunas demostraciones
del Teorema de Pitágoras
Francisco Javier García Capitán
Introducci´n
o
Este art´
ıculo presenta algunas de las muchas demostraciones del teorema
de Pit´goras:
a
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tri´ngulo reca
t´ngulo es equivalente a la suma de los cuadrados descritos sobre
a
los otros lados.
El teorema, atribuido a Pit´goras (569-475 a.C.), o m´s bien a su esa
a
1
cuela, (los pitag´ricos), aparece como la Proposici´n I.47 . Por supuesto, la
o
o
demostraci´n de Euclides, con su figura del “molino de viento”no pod´ faltar
o
ıa
aqu´
ı.
Muchas otras demostraciones, de varias clases, pueden encontrarse en
los art´
ıculos de Yanney y Calderhead en la revista American Mathematical
Monthly ([1], [2], [3], [4]) y tambi´n en la p´ginas web de Alexander Bogoe
a
molny ([5]) y Eric Weisstein ([6]).
En todas las demostraciones, a menos que se especifique lo contrario, nos
referiremos a un tri´ngulo ABC, rect´ngulo en C con lados AB = c, BC = a
a
a
y CA = b.
1
Con esta notaci´n queremos indicar la Proposici´n 47 del Libro I de los Elementos de
o
o
Euclides.
1

2. 1.
Demostraciones resultantes de relaciones
de semejanza entre tri´ngulos rect´ngulos
a
a
De este tipo de demostraciones, la m´s simple es la atribuda a Lagrange:
a
trazamos la perpendicular CD a AB. Obtenemos as´ tres tri´ngulos semeı
a
jantes.
C
y
b
=
b
c
c−y
=
a
a
b
x
y
A
c-y
D



yc = b2
⇒
a
c(c − y) = a2

c
⇒ c2 = a2 + b2 .
B
Una demostraci´n parecida consiste en trazar una perpendicular a AB
o
desde A que corta a la prolongaci´n de BC en D.
o
A
x
c
b
y
D
a
C
B
c
=
y+a
a
b
=
y
b
a

c
c2 = a2 + ay
⇒ 2

b = ay

⇒ c2 = a 2 + b2 .
Hay much´
ısimas formas m´s de usar la semejanza de tri´ngulos para oba
a
tener el teorema de Pit´goras, aunque no son tan simples como las anteriores.
a
Como tercer ejemplo, consideremos un punto E sobre el cateto AC de manera que si trazamos por E una paralela a BC, resulta EC = ED. Se forman
los tri´ngulos semejantes ABC, ADE, AEF y EDF .
a
Sean x = ED = EC, y = DF , v = AF .
Entonces:
BC
ab
AC
=
⇒ bx = (b − x)a ⇒ x =
,
AE
DE
a+b
BC
AB
ac
a2 b
=
⇒ ax = yc ⇒ y =
=
.
DF
ED
c
(a + b)c
2
C
E
A
F
D
B

3. AB
AC
b3
=
⇒ cv = (b − x)b ⇒ v =
AE
AF
(a + b)c
b3
AB
AC
b2
a2 b
=
⇒ c(b − x) = (v + y)b ⇒ c ·
=
+
b⇒
AD
AE
a+b
c(a + b) c(a + b)
⇒ c2 = a 2 + b2 .
Veamos una demostraci´n m´s que usa tri´ngulos semejantes, que Yanney
o
a
a
y Calderhead asignan a Hoffman.
Consiste en suponer cierto el teorema que queremos demostrar.
Entonces AB 2 = AC 2 + BC 2 , AC 2 = AD2 + CD2 y BC 2 = BD2 + CD2 .
Por tanto,
C
A
D
B
AB 2 =AC 2 + BC 2 =
=AD2 + CD2 + BD2 + CD2
=AD2 + BD2 + 2CD2 =
=AD2 + BD2 + 2AD · BD =
=(AD + BD)2 .
Y como la igualdad AB = AD + BD que se deduce es cierta, tambi´n lo
e
es lo supuesto, y el teorema queda demostrado.
Evidentemente esta forma de razonar es incorrecta, pues podemos partir
de la igualdad falsa −1 = 1, elevar al cuadrado y obtener una igualdad
cierta 1 = 1. Para demostrar el teorema de Pit´goras usando la idea de la
a
demostraci´n de Hoffman, hagamos
o
AB 2 =(AD + BD)2 = AD2 + BD2 + 2AD · BD =
BC 2
AC 2
CD2 + 2CD2 +
CD2 =
=AD2 + BD2 + 2CD2 =
2
2
BC
AC
2
(AC 2 + BC 2 )
CD2
=
AC 4 + 2AC · BC + BC 4 =
,
AC 2 BC 2
AB 2
de donde, obtenemos AB 2 = AC 2 + BC 2 .
3

4. 2.
Demostraciones basadas en propiedades
m´tricas de la circunferencia
e
Tomando como centro uno de los extremos de
la hipotenusa, por ejemplo B, y radio dicha hipotenusa, trazamos una circunferencia.
D
Prolongamos el cateto AC a la cuerda AL y el
cateto BC al di´metro CD. Entonces
a
B
AC · CL = DC · CE
b · b = (c − a) · (c + a)
b2 = c2 − a2
c2 = a 2 + b2 .
A
C
L
E
La igualdad AC ·CL = DC ·CE es v´lida para
a
cualquier punto C dentro de la circunferencia en virtud de la Proposici´n
o
III.35. Aunque la demostraci´n en los Elementos de esta proposici´n usa
o
o
el teorema de Pit´goras (Proposici´n I.47), puede demostrarse f´cilmente
a
o
a
usando la semejanza de los tri´ngulos ACD y ECL.
a
En efecto, los ´ngulos inscritos ∠CAD y ∠CEL son iguales, por abarcar
a
el mismo arco. Igual les ocurre a los ´ngulos ∠ADC y ∠ELC. Por tanto, los
a
AC
tri´ngulos ACD y ECL son semejantes y DC = EC , que es lo que hemos
a
LC
usado.
Si ahora trazamos una circunferencia con centro B y
radio el lado menor BC, resulta que el lado AC es tangente
E
a dicha circunferencia.
B
La Proposici´n III.37 nos dice que AD · AE = AC 2 .
o
2
Entonces, b = (c − a)(c + a), es decir c2 = a2 + b2 .
D
A
C
Podemos usar la semejanza de tri´ngulos, en este caso
a
de ADC y ACE, para demostrar la igualdad AD·AE = AC 2 . La clave est´ en
a
que el ´ngulo inscrito AEC y el ´ngulo semiinscrito ACD son iguales, por
a
a
abarcar el mismo arco.
4

5. Para terminar esta secci´n, veamos dos demostraciones m´s que usan la
o
a
Proposici´n III.37:
o
A
D
B
C
En primer lugar, describamos circunferencias
con di´metros AC y BC. Estas circunferencias se
a
cortar´n sobre un punto D del segmento AB.
a
AC 2 =AB · AB
BC 2 =BD · AB
AC 2 + BC 2 =AB · (AD + BD) = AB 2 .
Para la otra demostraci´n dibujamos dos ciro
cunferencias, una centrada en A con radio AC
y otra centrada en B con radio BC. Tendremos
AC 2 = AH · AD y BC 2 = BL · BE. Por tanto,
AC 2 + BC 2 = (AB − BC)(AB + BC)+
+ (AB − AC)(AB + AC) =
=2AB 2 − AC 2 − BC 2 ,
de donde es evidente el resultado buscado.
5
E
H
L
B
D
A
C

6. 3.
Demostraciones basadas en la
comparaci´n de ´reas
o
a
La primera demostraci´n que incluimos de este tipo es la de Euclides, con
o
la conocida “figura del molinillo”:
D
J
E
H
I
A
K
C
B
G
F
Expresando las ´reas con par´ntesis, y teniendo en cuenta que si en un
a
e
tri´ngulo dejamos fija la base y movemos el otro v´rtice por una paralela a
a
e
la base, el ´rea no var´ es cierto que
a
ıa,
(BKJE) = 2(BJE) = 2(BEC) = 2(BAF ) = 2(BCF ) = (BCGF ).
De forma parecida obtenemos que (AKJD) = (ACIH). Por tanto,
(ABED) = (BKJE) + (AKJD) = (BCGF ) + (ACIH),
como se pretend´ demostrar.
ıa
Seg´n Proclo, esta demostraci´n es del mismo Euclides, que la conciu
o
bi´ para que este teorema pudiera estar en el Libro I y no tuviera que esperar
o
hasta que se desarrollaran las teor´ de proporci´n y semejanza de los Libros
ıas
o
V y VI.
6

7. Veamos alguna de las much´
ısimas variaciones de esta demostraci´n.
o
D
J
E
L
H
A
I
C
K
B
M
N
G
O
F
Una de ellas, en la que intervienen paralelogramos, hace ver que
(BKJE) = (BCLE) = (BF M A) = (BF GC).
Del mismo modo se prueba que (AKJD) = (AHIC) y sumando obtenemos
el resultado buscado.
Otra forma parecida de obtener el mismo resultado es razonar que
(BKJE) = (BON C) = (BF GC)
y obtener (AKJD) = (AHIC) de forma similar.
7

8. 4.
Demostraciones por disecci´n
o
Comencemos esta secci´n con la demostraci´n debida al matem´tico ´rao
o
a
a
be Thabit Ibn Qurra (826-901):
B
A
A
B
Esta es otra, debida a H. Perigal (1873):
8

9. Referencias
[1] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 3, 65-67, 110113, 169-171 y 299-300, 1896.
[2] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 4, 11-12, 79-81,
168-170, 250-251 y 267-269, 1897.
[3] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 5, 73-74, 1898.
[4] Yanney, B. F. y Calderhead, J. A. “New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem.”American Mathematical Monthly 6, 33-34 y 69-71,
1899.
[5] http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/
P´gina de Alexander Bogomolny dedicada al teorema de Pit´goras y sus
a
a
muchas demostraciones.
[6] http://www.mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html
P´gina de Eric Weisstein, en la que adem´s de algunas demostraciones,
a
a
puede encontrarse una extensa bibliograf´
ıa.
[7] http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/java/elements/elements.html
P´gina con los Elementos de Euclides. Adem´s de contener las demosa
a
traciones de todas las proposiciones, hay applets de Java que permiten
manipular las figuras.
[8] www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/java/html/pythagoras.html
9