Este documento presenta un modelo de programación lineal para determinar el plan óptimo de promoción de medios para maximizar la audiencia total. Se identifican las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones de presupuesto, medios y cantidad mínima. El modelo se construye en una hoja de cálculo y se resuelve usando la herramienta Solver para encontrar la asignación óptima de unidades de publicidad en televisión, radio y prensa.

1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
NARVÁEZ RANGEL ERWIN ARTURO
SALDIVAR CORONA ERIC ALÁN
TOMAS CRUZ EDGAR
6 OCTUBRE 2011

2. C ONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 Para la construcción algebraica del modelo de
programación lineal, los pasos a seguir son los
siguientes:
1. En primer lugar hay que identificar las variables de
decisión del problema.
2. Buscar la función objetivo. Que es la función que
queremos optimizar
3. Encontrar las restricciones.
4. Condición de no negatividad.

3. C ONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 Ejemplo 1:

4. C ONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 El problema fundamental de la programación lineal consiste
en determinar una solución para un sistema de ecuaciones
lineales simultáneas (las desigualdades se transforman en
igualdades), que optimice una determinada función objetivo.
 Sea el sistema de ecuaciones lineales simultáneas, con m
ecuaciones y n variables (n > m):

5. C ONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 Podemos escribir de forma matricial: Ax = b
 Si suponemos que rango de A es r(A)=m, tomando cualquier
submatriz B de A no singular de orden m, y haciendo iguales a
cero las restantes n-m variables asociadas a los vectores
columna de A que no están en B, la solución del sistema
resultante:
 De m ecuaciones con m incógnitas, se denomina solución
básica y la representaremos por xB .

6. C ONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DEL
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 Definición.- Se denominan variables básicas a las variables del
vector xB formado por las m variables asociadas con la solución
básica y variables no básicas a las n-m restantes variables que se han
igualado a cero.
 Definición.- Se denomina base o matriz básica a toda matriz
cuadrada B no singular de orden m, formada por un conjunto de
vectores ai de A.
 Las variables básicas pueden tomar valores positivos, negativos o
cero, y si en particular una o más variables básicas toman el valor
cero, la solución básica de denomina degenerada.
 Notar que hay posibles soluciones básicas para el sistema de
ecuaciones A.x=b.

7. BASADO EN HOJA DE
CÁLCULO
 Una empresa va a lanzar al mercado un nuevo
producto. Los planes de promoción para el próximo
mes están en marcha. Los medios alternativos para
realizar la publicidad así como los costos y la audiencia
estimada por unidad de publicidad se muestran a
continuación :
TELEVISIÓN RADIO PRENSA
AUDIENCIA POR UNIDAD DE 100,000 18,000 40,000
PUBLICIDAD
COSTO POR UNIDAD DE 2,000 300 600
PUBLICIDAD

8. BASADO EN HOJA DE
CÁLCULO
 Para lograr un uso balanceado de los medios, la
publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades
de publicidad autorizadas.
 Además la cantidad de unidades solicitadas en
televisión debe ser al menos 10% del total autorizado.
 El presupuesto total para promociones se ha limitado a
Bs. 18.500,00.
 Se necesita determinar el plan óptimo para maximizar
la audiencia total o cantidad de personas que vean la
publicidad.

9. SOLUCIÓN
 Variables de decisión:
 T = Unidades de publicidad a contratar en
televisión.
 R = Unidades de publicidad a contratar en radio.
 P = Unidades de publicidad a contratar en
prensa.
 Objetivo : Maximizar la audiencia total o cantidad de
personas que vean la publicidad.
Z = 100.000 T + 18.000 R + 40.000 P

10. SOLUCIÓN
 Restricción 1 : Presupuesto total para promociones se ha
limitado a Bs. 18.500,00.
2.000 T + 300 R + 600 P ≤ 18.500
 Restricción 2 : La publicidad en radio debe ser igual al 50% de
unidades de publicidad autorizadas.
R = 0,50 (T+R+P)
Restricción que al ser simplificada quedará expresada como :
– 0,50 T + 0,50 R – 0,50 P = 0
 Restricción 3 : La cantidad de unidades solicitadas en
televisión debe ser al menos 10% del total autorizado.
T ≥ 0,10 (T+R+P)
Restricción que al ser simplificada quedará expresada como :
0,90 T – 0,10 R – 0,10 P ≥ 0

11. SOLUCIÓN
 Coloque en la FILA 3 los valores que acompañan las
incógnitas o variables de decisión en la función objetivo Z.

12. SOLUCIÓN
 Introduzca las restricciones que aparecen en el modelo
matemático. Sea muy cuidadoso en el uso de los signos.
 Nota: Para escribir el signo “=” en alguna celda se
recomienda presionar una vez la tecla espaciadora y
después “=”.

13. SOLUCIÓN
 Introduzca “ceros” en las celdas donde usted quiere que
se reflejen los resultados de “T”, “R” y “P” (en este caso
B10, C10 y D10).

14. SOLUCIÓN
 Introduzca las fórmulas en las celdas H5, H6 y H7 ; ellas
reflejarán los valores que adquieren las condiciones de
restricción una vez resuelto el problema.
Celda H5 =B5*B10+C5*C10+D5*D10
Celda H6 =B6*B10+C6*C10+D6*D10
Celda H7 =B7*B10+C7*C10+D7*D10

15. SOLUCIÓN
 Introduzca la fórmula de la función objetivo en la celda H10.
Celda H10 =B3*B10+C3*C10+D3*D10
 En ella se reflejará el valor de Z máximo una vez aplicado
“Solver”. Inicialmente reflejará cero.

16. SOLUCIÓN
 Una vez que se introduce el modelo en la hoja de cálculo, es
sencillo analizar soluciones potenciales. Cuando se dan
valores a las variables de decisión (celdas B10, C10 y D10), la
columna “H” muestra de inmediato los valores de cada
condición de restricción (celdas H5 hasta H7) y la celda H10
muestra la audiencia total.

17. SOLUCIÓN
 Para calcular el valor de Z máximo, se utiliza una herramienta
que incluye Excel llamada “ SOLVER”.
 Para correr el Solver primero haga “clic” en el menú “Datos” y
Posteriormente haga “clic” sobre el logotipo de “SOLVER” en
la parte superior derecha de la pantalla.

18. SOLUCIÓN
 Una vez seleccionado “Solver” se mostrará un cuadro
de diálogo “Parámetros de Solver”.

19. SOLUCIÓN
 En los círculos blancos donde se solicita el “Valor de la celda
objetivo” indique “Máximo”. El modelo matemático pide
maximizar Z.(haga clic sobre la palabra máximo).
 En el espacio central izquierdo, donde se solicita “Cambiando las
celdas” indique las celdas donde se propuso anteriormente que se
mostraran los resultados de cada incógnita. En este caso son las
celdas B10, C10 y D10, coloque $B$10:$D$10.

20. SOLUCIÓN
 En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda,
“Sujetas a las siguientes Restricciones” indique las
restricciones o condiciones del problema, para lo cual
haga clic en “Agregar”.

21. SOLUCIÓN
 Como ya se introdujeron todas las restricciones haga
“clic” en “Aceptar” y se presentará el cuadro de diálogo
que resume el modelo completo.

22. SOLUCIÓN
 Antes de pedir a ¨Solver” que resuelva el modelo, haga “clic” en el
recuadro “Opciones” (lado central derecho) y aparecerá el cuadro
de diálogo “Opciones de Solver”.
 Este cuadro permite especificar las opciones para resolver el modelo.
Lo más importante son las opciones “Adoptar Modelo Lineal” y
“Adoptar no negativos” (asegúrese de hacer clic sobre ellos y que
se enciendan los testigos).

23. SOLUCIÓN
 Ahora seleccionamos “Resolver” y después de unos segundos
Solver indicará los resultados en las celdas B10, C10 y D10, y
en la celda objetivo (H10) aparecerá el valor máximo de la
función objetivo (Zmáx). En el cuadro final “Resultados de
Solver”, haga clic en “Aceptar”. (Verifique primero si Solver
ha hallado una solución).

24. SOLUCIÓN
 Y aparecerá la hoja de resultados: