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Planificación del movimiento del
  brazo articulado de un robot




           Agustí Sancho Martínez

                                    1
Como es el brazo de robot que
    vamos a estudiar?




                         Así no....
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Como es el brazo de robot que
    vamos a estudiar?




            Este se parece más...
    Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   3
Nuestro objetivo




Configurar las articulaciones o “enlaces” del brazo de un robot,
asignando valores a los ángulos de rotación para alcanzar un
         punto “p” con el extremo del último enlace




           Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   4
Características del brazo y su
                  entorno
●   Las articulaciones del brazo o “enlaces” pueden rotar sin
    restricciones, es decir, los enlaces si se intersectan no
    colisionarán..... es decir..... podemos rotar los enlaces 360º
    siempre!!


●   El entorno carece de obstáculos


●   Solo disponemos de 2 dimensiones




               Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   5
Una “demo” vale más que mil
               palabras




http://weblogs.asp.net/frank_hileman/archive/2008/05/07/vg-net-5-1-released.aspx




                Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   6
Nomenclatura
●   Ji, junturas
●   Li, enlaces
●   ji, angulo que forma Li+1
    respecto Li




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   7
Alcance del brazo 1-enlace
●   Trivial


●   El brazo solo puede alcanzar
    los puntos de la frontera del
    circulo C de radio l1, es
    decir, ∂C




               Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   8
Alcance del brazo 2-enlaces
●   La zona que contiene los
    puntos accesibles al brazo
    viene determinada por un
    anillo


●   ri, radio de la circunferencia
    interior
●   ro, radio de la circunferencia
    exterior




               Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   9
Alcance del brazo 2-enlaces

●   Caso 1: l1 > l2


●   ro = l1 + l2
●   ri = l1 - l2




            Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   10
Alcance del brazo 2-enlaces
●   Caso 2: l2 > l1


●   ro = l1 + l2
●   ri = l2 - l1




                   Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   11
Alcance del brazo 2-enlaces
●   Podemos generalizar que para ambos casos:


●   ro = l1 + l2
●   ri = |l1 - l2|




                     Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   12
Alcance del brazo n-enlaces
                                             i=1
●   Podemos generalizar que r o =∑ l i
                                               n
●   ri > 0 depende de la relación entre la longitud del enlace más
    largo y la longitud del resto




Al ordenar los enlaces de mayor a menor longitud lo vemos más
claro, esto es posible gracias a que el orden de los enlaces es
independiente de la zona de alcance que determina un brazo,
gracias a la fantástica propiedad conmutativa de la adición de
vectores.

               Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   13
Alcance del brazo n-enlaces
●   Podemos generalizar que:
             i=1
    ●
        r o =∑ l i
              n

                     i≠ M
    ●   Si    l M≤ ∑ li      , entonces         ri =0
                            i≠ M
    ●   Sino       r i =l M − ∑ l i




                     Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   14
Llegaremos al punto “p”?
●   Tenemos un anillo determinado por dos circunferencias, de
    radio ro y ri.
●   Si “p” es interior a C o de radio r0 y exterior a C i de radio ri,
    esta dentro del anillo, reduciendo así el problema a la posición
    relativa de un punto respecto una circunferencia, ya explicado
    en clase.




               Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   15
Configuración del brazo
●   Ahora que sabemos que alcanzamos el punto “p” debemos
    configurar el brazo para que el extremo del último enlace
    coincida con éste



●   A continuación veremos como alcanzaremos ese punto para 2-
    enlaces y 3-enlaces y demostraremos como generalizar el
    proceso para n-enlaces




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   16
Configuración del brazo: 2-enlaces
●   Creamos una circunferencia C1 de radio l1 centrado en J0 y
    una C2 de radio l2 centrado en “p”


●   Obtenemos 4 posibles escenarios




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   17
Configuración del brazo: 2-enlaces
●   Si C1 y C2 no intersectan sus fronteras, tenemos 0 soluciones




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   18
Configuración del brazo: 2-enlaces
●   Si C1 y C2 se intersectan
    en un único punto
●   1 única solución




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   19
Configuración del brazo: 2-enlaces
●   Si C2 intersecta C1 en
    dos puntos
●   2 posibles soluciones




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   20
Configuración del brazo: 2-enlaces
●   Si J0 = p y l1 = l2
●   ∞ soluciones




                Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   21
Configuración del brazo: 3-enlaces
●   A3 = (l1, l2 , l3)
●   Nuestra estrategia será reducir el problema al de los 2-enlaces
●   Aplicaremos el mismo procedimiento anterior
    ●   Centraremos C en “p” con el radio de l3
    ●   Obtendremos el anillo R que representa la zona de
        accesibilidad de A2 = (l1,l2)
    ●   Comprobaremos como C intersecta R
         –   Obtenemos 2 escenarios posibles




                 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   22
Configuración del brazo: 3-enlaces
●   Caso 1:   ∂R ∩ C ≠ 0




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   23
Configuración del brazo: 3-enlaces
●   Caso 1:    ∂R ∩ C ≠ 0
    ●   ∂O ∩ C ≠ 0




Reducimos los 3 enlaces a (l1+l2 , l3)



               Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   24
Configuración del brazo: 3-enlaces
●   Caso 1:    ∂R ∩ C ≠ 0
    ●   ∂I ∩ R ≠ 0




Reducimos los 3 enlaces a (l1 , l2+l3)



               Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   25
Configuración del brazo: 3-enlaces
●   Caso 2:   ∂R ∩ C = 0




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   26
Configuración del brazo: 3-enlaces
   ●   Caso 2:     ∂R ∩ C = 0
       ●   C no rodea J0




Reducimos los 3 enlaces a (l1 , l2 + l3)



                    Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   27
Configuración del brazo: 3-enlaces
●   Caso 2:    ∂R ∩ C = 0
    ●   C rodea J0
    ●   El angulo j0 puede
        coger cualquier
        valor




Reducimos los 3 enlaces a l2,l3
ya que j0 puede coger cualquier valor

                Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   28
Configuración del brazo: 3-enlaces
●   En conclusión, podemos reducir 3-enlaces a 2-enlaces
    ●   (l1 + l2 , l3)
    ●   (l1 , l2 + l3)
    ●   j0 = 0 (l2 , l3)




                Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   29
Configuración del brazo: n-enlaces
●   Siguiendo la estrategia para resolver un 3-enlaces,
    procedemos para n-enlaces
    ●   R es ahora el anillo que detrmina la zona accesible de los
        n-1 enlaces
    ●   El circulo C centrado en “p” tiene radio ln


●   Partiendo de este escenario, aplicamos el algoritmo lineal
    para configurar el brazo que iterará sobre los enlaces y para
    cada uno, obtendrá un punto “t”, que será el “p” de la
    siguiente iteración



                Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   30
Configuración del brazo: n-enlaces
●   Algoritmo
    ●   Para cada ji, obtenemos R y C centrado en “p”
         –   Si ∂R ∩ C ≠ 0 , elegimos uno de los dos puntos de
             intersección como “t”
         –   Si R⊇C , elegimos cualquier punto de C como “t”

         –   “p” toma por valor “t”




                 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   31
Configuración del brazo: n-enlaces




      Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   32
Configuración del brazo: n-enlaces




      Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   33
Configuración del brazo: n-enlaces




      Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   34
Configuración del brazo: n-enlaces




      Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   35
Configuración del brazo: n-enlaces




      Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   36
Configuración del brazo: n-enlaces
●   Algoritmo
    ●   Determinar el anillo de alcance tiene coste O(n)
    ●   El coste de la iteración es O( n ), porque recorremos todos
        los enlaces que configuran el brazo del robot para
        determinar su posición y orientación
    ●   Para cada iteración, es decir, para cada enlace, determinar
        la posición de la juntura tiene coste constante O(1)

    ●   En conclusión, este algoritmo tiene coste O(n)




                Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   37
El algoritmo de las 2-vueltas
●   Es un algoritmo que supone una mejora respecto al algoritmo
    de n-links



●   Se basa en el teorema de las 2 vueltas, resultado de los
    estudios de Kutcher (1992)




               Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   38
El algoritmo de las 2-vueltas
●   Teorema
    ●   Si un brazo n-enlaces puede alcanzar un punto “p”, este
        puede realizar-lo solo con dos vueltas, es decir, que solo
        un par de junturas tienen angulo diferente de 0 entre J1 y
        Jn-1
    ●   Este enlace cuyas dos junturas se doblaran es el enlace
        medio L m tal que :
             m−1
                       l
         –   ∑ l i    2                                     Siendo
                                                                               n
                                                                         l =∑ l i
             i=1
             m                                                                i=1
                    l
         –   ∑ l i 2
             i=1


                   Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot    39
El algoritmo de las 2-vueltas
●   La búsqueda de L m está en función de r i
     ● Si r i 0
         –   Sabemos que el enlace más largo L M excede la suma
             del resto , con lo cual L m =L M

    ●   Si r i =0
         –   Seguimos la secuencia de enlaces hasta encontrar el
             primero que, al sumar su longitud con los anteriores
             exceda l , ese será L
                                              m
                       2


                 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   40
El algoritmo de las 2-vueltas
●   La búsqueda de L m está en función de r i
     ● Si r i 0




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   41
El algoritmo de las 2-vueltas
●   La búsqueda de L m está en función de r i
     ● Si r i =0




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   42
El algoritmo de las 2-vueltas
●   Algoritmo
    ●   Hemos reducido el problema de n-enlaces a uno que ya
        sabemos resolver de 3-enlaces




                Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   43
El algoritmo de las 2-vueltas
●   Algoritmo
    ●   Determinar el anillo de alcance y el enlace medio tiene
        coste O(n)
    ●   Determinar la posición de las junturas del enlace medio
        tiene coste constante O(1)

    ●   En conclusión, este algoritmo tiene coste O(n), al igual que
        el anterior, pero ahora determinar la configuración tiene
        coste constante, y puede resultar útil si dado un brazo
        robot requiere realizar N configuraciones



                Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   44
Referencias
●   Computacional Geometry in C; Second Edition, Joseph
    O'Rourke
●   Computational Geometry, Algorithms and Applications; M. de
    Berg, M. van Kreveld, M. Overmars, O. Schwarzkopf




              Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   45
Nota del autor :P
●   Ilustraciones geométricas realizadas con:
    ●   Ipe (http://tclab.kaist.ac.kr/ipe/)

●   Esta presentación se realizó dentro de la asignatura “Geometria
    Computacional” de la Facultat de Informàtica de Barcelona
    (FIB), Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)




                            http://www.fib.upc.edu/fib/

                Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot   46
Gracias por vuestra atención humanos!!!




                                          47

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Planificacion Movimiento Brazo Robot

  • 1. Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot Agustí Sancho Martínez 1
  • 2. Como es el brazo de robot que vamos a estudiar? Así no.... Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 2
  • 3. Como es el brazo de robot que vamos a estudiar? Este se parece más... Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 3
  • 4. Nuestro objetivo Configurar las articulaciones o “enlaces” del brazo de un robot, asignando valores a los ángulos de rotación para alcanzar un punto “p” con el extremo del último enlace Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 4
  • 5. Características del brazo y su entorno ● Las articulaciones del brazo o “enlaces” pueden rotar sin restricciones, es decir, los enlaces si se intersectan no colisionarán..... es decir..... podemos rotar los enlaces 360º siempre!! ● El entorno carece de obstáculos ● Solo disponemos de 2 dimensiones Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 5
  • 6. Una “demo” vale más que mil palabras http://weblogs.asp.net/frank_hileman/archive/2008/05/07/vg-net-5-1-released.aspx Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 6
  • 7. Nomenclatura ● Ji, junturas ● Li, enlaces ● ji, angulo que forma Li+1 respecto Li Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 7
  • 8. Alcance del brazo 1-enlace ● Trivial ● El brazo solo puede alcanzar los puntos de la frontera del circulo C de radio l1, es decir, ∂C Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 8
  • 9. Alcance del brazo 2-enlaces ● La zona que contiene los puntos accesibles al brazo viene determinada por un anillo ● ri, radio de la circunferencia interior ● ro, radio de la circunferencia exterior Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 9
  • 10. Alcance del brazo 2-enlaces ● Caso 1: l1 > l2 ● ro = l1 + l2 ● ri = l1 - l2 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 10
  • 11. Alcance del brazo 2-enlaces ● Caso 2: l2 > l1 ● ro = l1 + l2 ● ri = l2 - l1 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 11
  • 12. Alcance del brazo 2-enlaces ● Podemos generalizar que para ambos casos: ● ro = l1 + l2 ● ri = |l1 - l2| Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 12
  • 13. Alcance del brazo n-enlaces i=1 ● Podemos generalizar que r o =∑ l i n ● ri > 0 depende de la relación entre la longitud del enlace más largo y la longitud del resto Al ordenar los enlaces de mayor a menor longitud lo vemos más claro, esto es posible gracias a que el orden de los enlaces es independiente de la zona de alcance que determina un brazo, gracias a la fantástica propiedad conmutativa de la adición de vectores. Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 13
  • 14. Alcance del brazo n-enlaces ● Podemos generalizar que: i=1 ● r o =∑ l i n i≠ M ● Si l M≤ ∑ li , entonces ri =0 i≠ M ● Sino r i =l M − ∑ l i Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 14
  • 15. Llegaremos al punto “p”? ● Tenemos un anillo determinado por dos circunferencias, de radio ro y ri. ● Si “p” es interior a C o de radio r0 y exterior a C i de radio ri, esta dentro del anillo, reduciendo así el problema a la posición relativa de un punto respecto una circunferencia, ya explicado en clase. Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 15
  • 16. Configuración del brazo ● Ahora que sabemos que alcanzamos el punto “p” debemos configurar el brazo para que el extremo del último enlace coincida con éste ● A continuación veremos como alcanzaremos ese punto para 2- enlaces y 3-enlaces y demostraremos como generalizar el proceso para n-enlaces Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 16
  • 17. Configuración del brazo: 2-enlaces ● Creamos una circunferencia C1 de radio l1 centrado en J0 y una C2 de radio l2 centrado en “p” ● Obtenemos 4 posibles escenarios Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 17
  • 18. Configuración del brazo: 2-enlaces ● Si C1 y C2 no intersectan sus fronteras, tenemos 0 soluciones Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 18
  • 19. Configuración del brazo: 2-enlaces ● Si C1 y C2 se intersectan en un único punto ● 1 única solución Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 19
  • 20. Configuración del brazo: 2-enlaces ● Si C2 intersecta C1 en dos puntos ● 2 posibles soluciones Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 20
  • 21. Configuración del brazo: 2-enlaces ● Si J0 = p y l1 = l2 ● ∞ soluciones Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 21
  • 22. Configuración del brazo: 3-enlaces ● A3 = (l1, l2 , l3) ● Nuestra estrategia será reducir el problema al de los 2-enlaces ● Aplicaremos el mismo procedimiento anterior ● Centraremos C en “p” con el radio de l3 ● Obtendremos el anillo R que representa la zona de accesibilidad de A2 = (l1,l2) ● Comprobaremos como C intersecta R – Obtenemos 2 escenarios posibles Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 22
  • 23. Configuración del brazo: 3-enlaces ● Caso 1: ∂R ∩ C ≠ 0 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 23
  • 24. Configuración del brazo: 3-enlaces ● Caso 1: ∂R ∩ C ≠ 0 ● ∂O ∩ C ≠ 0 Reducimos los 3 enlaces a (l1+l2 , l3) Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 24
  • 25. Configuración del brazo: 3-enlaces ● Caso 1: ∂R ∩ C ≠ 0 ● ∂I ∩ R ≠ 0 Reducimos los 3 enlaces a (l1 , l2+l3) Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 25
  • 26. Configuración del brazo: 3-enlaces ● Caso 2: ∂R ∩ C = 0 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 26
  • 27. Configuración del brazo: 3-enlaces ● Caso 2: ∂R ∩ C = 0 ● C no rodea J0 Reducimos los 3 enlaces a (l1 , l2 + l3) Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 27
  • 28. Configuración del brazo: 3-enlaces ● Caso 2: ∂R ∩ C = 0 ● C rodea J0 ● El angulo j0 puede coger cualquier valor Reducimos los 3 enlaces a l2,l3 ya que j0 puede coger cualquier valor Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 28
  • 29. Configuración del brazo: 3-enlaces ● En conclusión, podemos reducir 3-enlaces a 2-enlaces ● (l1 + l2 , l3) ● (l1 , l2 + l3) ● j0 = 0 (l2 , l3) Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 29
  • 30. Configuración del brazo: n-enlaces ● Siguiendo la estrategia para resolver un 3-enlaces, procedemos para n-enlaces ● R es ahora el anillo que detrmina la zona accesible de los n-1 enlaces ● El circulo C centrado en “p” tiene radio ln ● Partiendo de este escenario, aplicamos el algoritmo lineal para configurar el brazo que iterará sobre los enlaces y para cada uno, obtendrá un punto “t”, que será el “p” de la siguiente iteración Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 30
  • 31. Configuración del brazo: n-enlaces ● Algoritmo ● Para cada ji, obtenemos R y C centrado en “p” – Si ∂R ∩ C ≠ 0 , elegimos uno de los dos puntos de intersección como “t” – Si R⊇C , elegimos cualquier punto de C como “t” – “p” toma por valor “t” Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 31
  • 32. Configuración del brazo: n-enlaces Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 32
  • 33. Configuración del brazo: n-enlaces Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 33
  • 34. Configuración del brazo: n-enlaces Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 34
  • 35. Configuración del brazo: n-enlaces Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 35
  • 36. Configuración del brazo: n-enlaces Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 36
  • 37. Configuración del brazo: n-enlaces ● Algoritmo ● Determinar el anillo de alcance tiene coste O(n) ● El coste de la iteración es O( n ), porque recorremos todos los enlaces que configuran el brazo del robot para determinar su posición y orientación ● Para cada iteración, es decir, para cada enlace, determinar la posición de la juntura tiene coste constante O(1) ● En conclusión, este algoritmo tiene coste O(n) Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 37
  • 38. El algoritmo de las 2-vueltas ● Es un algoritmo que supone una mejora respecto al algoritmo de n-links ● Se basa en el teorema de las 2 vueltas, resultado de los estudios de Kutcher (1992) Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 38
  • 39. El algoritmo de las 2-vueltas ● Teorema ● Si un brazo n-enlaces puede alcanzar un punto “p”, este puede realizar-lo solo con dos vueltas, es decir, que solo un par de junturas tienen angulo diferente de 0 entre J1 y Jn-1 ● Este enlace cuyas dos junturas se doblaran es el enlace medio L m tal que : m−1 l – ∑ l i 2 Siendo n l =∑ l i i=1 m i=1 l – ∑ l i 2 i=1 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 39
  • 40. El algoritmo de las 2-vueltas ● La búsqueda de L m está en función de r i ● Si r i 0 – Sabemos que el enlace más largo L M excede la suma del resto , con lo cual L m =L M ● Si r i =0 – Seguimos la secuencia de enlaces hasta encontrar el primero que, al sumar su longitud con los anteriores exceda l , ese será L m 2 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 40
  • 41. El algoritmo de las 2-vueltas ● La búsqueda de L m está en función de r i ● Si r i 0 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 41
  • 42. El algoritmo de las 2-vueltas ● La búsqueda de L m está en función de r i ● Si r i =0 Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 42
  • 43. El algoritmo de las 2-vueltas ● Algoritmo ● Hemos reducido el problema de n-enlaces a uno que ya sabemos resolver de 3-enlaces Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 43
  • 44. El algoritmo de las 2-vueltas ● Algoritmo ● Determinar el anillo de alcance y el enlace medio tiene coste O(n) ● Determinar la posición de las junturas del enlace medio tiene coste constante O(1) ● En conclusión, este algoritmo tiene coste O(n), al igual que el anterior, pero ahora determinar la configuración tiene coste constante, y puede resultar útil si dado un brazo robot requiere realizar N configuraciones Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 44
  • 45. Referencias ● Computacional Geometry in C; Second Edition, Joseph O'Rourke ● Computational Geometry, Algorithms and Applications; M. de Berg, M. van Kreveld, M. Overmars, O. Schwarzkopf Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 45
  • 46. Nota del autor :P ● Ilustraciones geométricas realizadas con: ● Ipe (http://tclab.kaist.ac.kr/ipe/) ● Esta presentación se realizó dentro de la asignatura “Geometria Computacional” de la Facultat de Informàtica de Barcelona (FIB), Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) http://www.fib.upc.edu/fib/ Planificación del movimiento del brazo articulado de un robot 46
  • 47. Gracias por vuestra atención humanos!!! 47