Este documento presenta los conceptos fundamentales de la semejanza en matemáticas. Explica el teorema de Tales, define figuras semejantes y analiza la semejanza de triángulos, incluyendo triángulos rectángulos. También describe la relación entre áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.

1. UNIDAD 05
AULA 360
Semejanza
1. Teorema de Tales
2. Figuras semejantes
3. Semejanza de triángulos
4. Semejanza de triángulos rectángulos
5. Relación entre áreas y volúmenes de cuerpos
semejantes
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2. SEMEJANZA
AULA 360
1. Teorema de Tales
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
secantes son proporcionales.
Les Luthiers
Consecuencias del teorema de Tales:
Si varias rectas paralelas determinan
segmentos iguales sobre una recta r,
determinan también segmentos iguales sobre
cualquier otra recta r’ a la que corten.
Toda paralela a un lado de un triángulo
determina con los otros dos un nuevo
triángulo cuyos lados son proporcionales a
los del primero.
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3. AULA 360
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4. AULA 360
TEOREMA DE TALES- Les Luthiers
Si tres o más paralelas
Si tres o más parale-le-le-las
Si tres o más paralelas
Si tres o más parale-le-le-las
son cortadas, son cortadas
por dos transversales, dos transversales,
son cortadas, son cortadas
por dos transversales, dos transversales,
Si tres o más parale-le-le-las
Si tres o más parale-le-le-las
son cortadas, son cortadas,
son cortadas, son cortadas
(Entre voces en son cortadas: "Son
transversales")
Dos segmentos de una de estas, dos
segmentos cualesquiera,
dos segmentos de una de estas son
proporcionales
a los dos segmentos correspondientes de
la otra.
Hipótesis:
A paralela a B,
B paralela a C,
A paralela a B, paralela a C, paralela a D.
O-P es a P-Q,
M-N es a N-T,
OP es a PQ como MN es a NT.
A paralela a B,
B paralela a C,
OP es a PQ como MN es a NT.
La bisectriz yo trazaré
y a cuatro planos intersectaré.
Una igualdad yo encontraré:
OP+PQ es igual a ST.
Usaré la hipotenusa.
Ay, no te compliques, nadie la usa.
Trazaré, pues, un cateto.
Yo no me meto, yo no me meto.
Triángulo, tetrágono, pentágono, hexágono, heptágono,
octógono, son todos polígonos.
Seno, coseno, tangente y secante, y la cosecante y la
cotangente.
Thales, Thales de Mileto
Thales, Thales de Mileto
Thales, Thales de Mileto
Thales, Thales de Mileto
Que es lo que queríamos demostrar.
Queesque loqueloque queriariamos demodemostrar!
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5. SEMEJANZA
AULA 360
2. Figuras semejantes
 Tienen la misma forma, pero distinto tamaño.
 Dos polígonos con el mismo número de lados son
semejantes cuando sus lados homólogos son
proporcionales y sus ángulos correspondientes son
iguales.
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6. SEMEJANZA
AULA 360
3. Semejanza de triángulos
Según el teorema fundamental de la semejanza de
triángulos, al trazar una paralela a un lado de un triángulo
se obtiene otro triángulo que es semejante al primero.
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7. SEMEJANZA
AULA 360
3. Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados
proporcionales:


Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales:
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual:

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8. SEMEJANZA
AULA 360
3. Semejanza de triángulos
Los criterios de semejanza anteriores se pueden resumir en un
único criterio:
Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes iguales,
podemos afirmar que son semejantes.
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9. SEMEJANZA
AULA 360
4. Semejanza de triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen,
al menos, un ángulo igual.
Consecuencias de esta semejanza de triángulos son:


Teorema del cateto:
h2 = m · n
Teorema de la altura:
c2 = a · n
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10. SEMEJANZA
AULA 360
5. Relación entre áreas y volúmenes de
cuerpos semejantes
 La razón o cociente entre las áreas de dos polígonos
semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza:
 La razón entre los volúmenes de dos poliedros
semejantes es igual al cubo de la razón:
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