Los triángulos son semejantes si cumplen uno de tres criterios: 1) tienen ángulos iguales, 2) tienen un ángulo igual y lados proporcionales opuestos a ese ángulo, 3) tienen lados proporcionales. La semejanza es una relación de equivalencia entre triángulos que implica ángulos iguales y lados proporcionales.

1. Semejanza de triángulos

2. Definición:
Dos triangulos son semejantes si tienen sus lados correspondientes proporcionales
y si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente.
Los ángulos congruentes y los lados proporcionales de dos triángulos que son
semejantes, se llaman homólogos.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de
semejanza.
Si se concluye que dos triángulos son semejantes se usa el signo “~” para indicar
dicha semejanza y se expresa de la siguiente forma:
Ejemplo: Δ ABC ~ Δ DEF

3. Criterios Básicos de semejanza de
triángulos
Existen tres criterios básicos para determinar si dos triángulos son semejantes,
estos son:
1. Criterio ángulo, ángulo (a,a)
2. Criterio lado, ángulo, lado (l,a,l)
3. Criterio lado, lado, lado (l,l,l)

4. Primer criterio
Ángulo, ángulo (a,a) : Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
respectivamente iguales
B B’
A C A’ C’
Si se trazan dos triángulos, Δ ABC y Δ A’B’C’ y se tiene que dos ángulos son
songruentes respectivamente, en este caso <A’ = <A y <C’= <C se concluye
entonces que los dos triángulos son semejantes.

5. Segundo criterio
Lado, ángulo, lado (l,a,l): Dos triángulos son semejantes si tiene dos lados
proporcionales respectivamente y el ángulo que forman es congruente.
Si < A= < D se tiene que Δ ABC y Δ DEF son semejantes ya que tienen 2 lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.
En este caso la proporción de los triángulos es 2

6. Tercer criterio
Lado, lado, lado (l,l,l): Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son
respectivamente proporcionales.
Δ ABC ~ Δ DEF al tener sus lados proporcionales respectivamente con una razón de
semejanza = 5
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7. Propiedades de la semajanza de
triángulos
 Idéntica o reflexiba: Todo triángulo es semejante a sí mismo
Δ ABC ~ Δ ABC
 Recíproca o simétrica: si un triángulo es semejante a otro, este es
semejante al primero
Si Δ ABC ~ Δ DEF, entonces Δ DEF ~ Δ ABC
 Transitiva: si dos triángulos son semejantes a un tercero, entonces son
semejantes entre sí
Si Δ ABC ~ Δ DEF y Δ DEF ~ Δ GHI, entonces Δ ABC ~ Δ GHI

8. Teoremas
 Si tenemos dos triángulos ABC y A´B´C´ con un ángulo común y los lados
opuestos a ese vértice son paralelos, podemos situarlos de tal forma que
el triángulo pequeño esté totalmente encajado en el grande. Diremos
entonces que esos dos triángulos se encuentran en posición de Thales.
 Los elementos homólogos de los triángulos semejantes, como alturas,
bisectrices, etc., son proporcionales a lados homólogos y también
proporcionales entre sí
 Si se traza una paralela a cualquiera de los lados de un triángulo, se
definen dos triángulos semejantes