1. Universidad Nacional Experimental
Francisco de Miranda
Decanato de Acción Social
Especialización Enseñanza de la Matemática
FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA
Lcdo. Luís Eduardo Arias Hernández (MSc))

2. T
L
R
O
I
S
Á N G U L O S

5. TRIÁNGULOS
Es un polígono formado por la unión de tres segmentos
de recta
ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO.
a
b LADOS
c
ÁNGULOS

6. Lo rojo es la región interior del triángulo
Lo azul es la región exterior del triángulo
El triángulo mismo es la frontera separadora entre
las dos regiones

7. ¿Cómo pueden ser los lados de un triángulo?
CASO I
a
b IGUALES
c

8. ¿Cómo son los ángulos de un triángulo con lados
iguales?
LOS TRES
ÁNGULOS
IGUALES
LOS TRES
ÁNGULOS
AGUDOS

9. LADOS IGUALES
EQUILATERO

10. CASO II
a
b
c
DOS IGUALES
a
b
c

11. ¿Cómo son los ángulos de un triángulo con dos lados
iguales?
LOS TRES ÁNGULOS
AGUDOS, DOS DE
ELLOS IGUALES
DOS ÁNGULOS
AGUDOS IGUALES Y
UNO OBTUSO

12. DOS ÁNGULOS
AGUDOS Y
UNO RECTO

13. DOS LADOS
IGUALES
ISOSCELES
DOS AGUDOS Y
UNO OBTUSO
+ = OBTUSÁNGULO
DOS LADOS
IGUALES

14. DOS AGUDO DOS LADOS
Y UN RECTO + IGUALES = ISORECTANGUL
O

15. CASO III
a
b DISTINTOS
c

16. ¿Cómo son los ángulos de un triángulo con dos lados
distintos?
DOS AGUDOS TRES LADOS
Y UN RECTO + DISTINOS =
RECTANGULO
DOS AGUDOS
TRES LADOS
Y UN OBTUSO + DISTINOS =
ESCALENO

17. TRES
TRES LADOS
ÁNGULOS
AGUDOS
+ DISTINOS = ACUTÁNGULOS

18. Es una verdad que
Teorema
necesita ser demostrada
Hipótesis Tesis Demostración
Es un
Es lo que Es la que
razonamiento
conocemos dice que
basado en
mediante el es lo que
definiciones,
enunciado vamos a
axiomas y
del teorema demostrar
teoremas

19. Es una verdad evidente
Axioma
por si misma
Axioma No necesita demostración

20. TEOREMA: LA SUMA DE LOS 3 ANGULOS INTERIORES DE TODO
TRIÁNGULO ES 1800
Dibujamos un triángulo cualquiera y
por C; trazamos una paralela a AB
C R
α‘ β‘
χ
α β
A B

21. ABC es un
Hipótesis triángulo R // AB
cualquiera
Tesis α + β + χ = 1800

22. Demostración
Ángulos
α‘ + χ + β‘ = 180 0
Suplementarios
Ángulos alterno interno
α = α‘ entre rectas paralelas
β = β‘ Ángulos alterno interno
entre rectas paralelas
α + β + χ = 1800

23. TEOREMA EL ÁNGULO EXTERIOR DEL VERTICE, ES IGUAL
A LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES NO ADYACENTES A EL.
Dibujamos un triángulo cualquiera y
por C; trazamos una paralela a AB
C α‘ ε‘ R
ε β‘
α β
A B

24. ABC es un
Hipótesis triángulo R // AB
cualquiera
Tesis ε‘ = α + β

25. Demostración
α = α‘
β = β‘
α + β = β‘ + α‘

26. β‘ + α‘ = ε‘
ε‘ = α + β

27. ALTURAS DE UN TRIÁNGULO. P
Perpendicular bajada desde un vértice
al lado opuesto
A B
Cuantas alturas tiene un triángulos?
Los puntos de intersección de las alturas
de todo triángulo se llaman ORTOCENTRO.

28. Donde se ubica el Ortocentro en un triángulo
acutángulo?
Como las tres alturas se intersectan en un sólo punto
dentro del triángulo.
El Ortocentro se ubica dentro del triángulo

29. Donde se ubica el Ortocentro en un triángulo
rectángulo?
Como las tres alturas se intersectan en un solo punto, el
vértice del ángulo recto.
El Ortocentro se ubica en ese vértice

30. Donde se ubica el Ortocentro en un triángulo
obtusángulo?
Si prolongamos las alturas, se intersectan en un
punto fuera del triángulo.
El Ortocentro se ubica fuera del triángulo

31. Mediana de un triángulos
Es un trazo que une los puntos medios de los lados.
Que podemos concluir de sobre las medianas?
Cada mediana es paralela a uno de los lados
Es equivalente a 1/2 de dicho lado

32. EJEMPLO: SEA EL TRIÁNGULO ABC, DONDE DE, DF, y FE SON
MEDIANAS, ADEMÁS AB =24 cm, BC = 20 cm y AC = 27 cm.
DETERMINE: DE, EF y FD.
C
F E
A D B

33. Solución
 AB =24 cm, BC = 20 cm y AC = 27 cm.
SABEMOS
QUE  DE, DF, y FE SON MEDIANAS
D es el punto medio del
AD = DB = 12 cm. segmento AB
E es el punto medio del
AF = FC = 10 cm. segmento BC

34. F es el punto medio del
CE = EB = 13,5 cm. segmento AC
AF // ED , AD// EF ; EF , FD y ED son medianas
FD // EB , EF // DB y del triángulos ABC
ED // AF , EF // AD
ED = AF = 13,5 cm Distancias entre rectas
FD = EB = 10 cm paralelas son iguales
EF = AD = 12 cm
ED = 13,5 cm; FD = 10 cm y EF = 12 cm

35. EJEMPLO: SEA EL TRIÁNGULO ABC, DONDE DE, DF, y FE SON
MEDIANAS, ADEMÁS α = 75º y β = 46º.
DETERMINE: γ, , , y
C
γ
F E
α β
A D B

36. Solución
 α = 75º y β = 46º.
SABEMOS
QUE  DE, DF, y FE SON MEDIANAS
α+ β + γ = 180º
γ = 59º
= α = 75º
= 75º

37. = = 75º
= 75º
+ + β = 180º
= 65º
= = 65º
= 65º

38. GRACIAS...
..