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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
Este movimiento rectilíneo esta definido por la variación uniforme de su velocidad con
el tiempo, mejor dicho es un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Sus
características son:
 La aceleración es constante
(no cambia de modulo ni
dirección)
 La aceleración media es igual a
la aceleración instantánea
 Cuando la aceleración y la
velocidad tienen el mismo
sentido el movimiento es
acelerado, si tienen sentido
contrario el movimiento es
retardado
Si la aceleración instantánea es constante, entonces
a = am =
Esta ecuación se puede transformar en una relación lineal de la velocidad en función
del tiempo como se indica a continuación.
V = V0 + a t (1)
En la figura se muestra la representación de esta ecuación, en (a) la pendiente es
positiva correspondiente a aceleración positiva y en (b) la pendiente es negativa
t
O
a
a
a
0
vector constante
t t
−∆
= =
∆
v vv
4m
9m
1m
4m
correspondiente a una aceleración negativa. Nótese que en (b) para t mayor que t1
la velocidad es negativa, esto quiere decir que a partir de este instante la partícula se
mueve en sentido negativo
Deducción gráfica del desplazamiento en función del tiempo en el MRUV
Consideremos la representación gráfica de la ecuación V = V0 + a t para deducir
la ecuación del desplazamiento Δr
A1 = t (v0 )
A2 = (1/2) (t) (v – v0) = (1/2) (t) (a t)
A2 = (1/2) (t) (a t) = (1/2) at2
Deducción gráfica del desplazamiento en función del tiempo en el MRUV
Consideremos la representación gráfica de la ecuación V = V0 + a t para deducir
la ecuación del desplazamiento
A1 = t (v0 )
A2 = (1/2) (t) (v – v0) = (1/2) (t) (a t)
El área A2 se puede expresar en términos de la aceleración y el tiempo
A2 = (1/2) (t) (a t) = (1/2) at2
De esta manera el área A se puede expresar como sigue
Area = Δr = (t)(v0) + (1/2) a t2
Como se ha determinado, en la figura que el área entre la velocidad y el eje t
corresponde al desplazamiento, podemos concluir
r – r0 = v0 t + ½ a t2
Gráficos de la velocidad versus el tiempo para aceleración positiva y negativa
V = V0
+ a t
V = V0
- a t
0
m
v v
v
2
+
=
Si partícula se mueve en el eje X, la ecuación correspondiente a la posición x en
función del tiempo se transforma en:
x = x0 + v0 t + ½ a t2
(2)
Esta ecuación es cuadrática entre el tiempo “t“ y la posición “x” y por tanto
corresponde a una parábola tal como se ha visto en el capítulo de funciones y
gráficas. Esto nos indica que en el MRUV la relación x - t es una función parabólica
Combinando las ecuaciones (1) y (2) se deduce
También se puede deducir que la velocidad media es la semisuma de las velocidades
inicial y final, esto es
En resumen en el MRUV las ecuaciones son
v = v0 + a t (1)
x = x0 + v0 t + ½ a t2
(2)
Con estas tres ecuaciones es suficiente para resolver todo ejercicio o problema en el
tema del MRUV.
+a
-a
2 2
0v v 2 a x= + ∆ (3)
2 2
0v v 2 a x= + ∆ (3)
Ejemplo 1
Graficar la ecuación: x = 5 – 4 t + t2
y relacionar con x = x0 + v0 t + ½ a t2
Completando cuadrados, resulta
x – 1 = (t – 2)2
como se reconocerá, esta ecuación corresponde a la
parábola con parámetros h = 2, k = 1 y C = 1, la
cual se representa en la figura
La figura ilustra el movimiento de la particular sobre el
eje X, en t = 0 su posición inicial es x = 5m, en t = 2s
la posición es x = 1m y posteriormente se aleja del
origen en el sentido positivo del eje X. No olvide que
la gráfica representa la relación t – x y no es la
trayectoria de la partícula.
Ejemplo 2.
La figura muestra la relación v versus t para una partícula. Calcule (a) el
desplazamiento de la partícula hasta los 12s. (b) la longitud del camino recorrido
por la partícula en dicho intervalo. (c) ¿Cómo representaría el movimiento de la
partícula sobre el eje X.? Haga un esquema de la trayectoria e indique las
posiciones para t = 0s, 8 s, para el instante en que v = 0, para los 12 s y 14 s.
Solución
El desplazamiento se obtiene calculando el área entre la gráfica de v(t) y el eje t. El
área hasta 12 s se puede calcular por partes,
de 0 a 4s: de 4 s a 8 s:
2
)
s
m
20)(s4(
= 40 m (4 s)(20 m/s) = 80 m
De 8s a 10s: Para calcular esta área debemos considerar los triángulos semejantes I
y II Considerando que la base del triángulo I es t´ se tiene que
20
´
30
2 t
= de d
onde t´ vale 4/3 s. Así el triángulo I tiene como área
2
)s
3
4
)(
s
m
20(
=
m
3
40
y el del área del triángulo II es
2
)
m
10)(
3
4
2(
s
ss −−
=
m
3
10−
y de 10 s hasta el segundo 12 el área vale (-10 m/s)(2 s) = -20 m
El total el desplazamiento es: 40 m + 80 m + (40/3) m - (10/3) m - 20 m = 110 m
Este resultado se interpreta como que el desplazamiento hasta los 12 s es 110 m en
el sentido del semi-eje positivo de las X. Usualmente a la derecha del origen.
(b) Para calcular la longitud del camino recorrido tomamos el módulo de los
desplazamientos negativos: 40 m + 80 m + (40/3) m + (10/3) m + 20 m = 156
3
2
m
( c)
Ejemplo 3
La figura es una parábola en el plano t-X: Calcule (a) la velocidad en los instantes 0 s
y 2s (b) la posición en t=2s y (c)la velocidad media entre
t = 0 y t = 4 s.
SOLUCIÓN.
Un parábola en el plano t-X corresponde a un MRUV
sobre el eje X. Recuerde la ecuación para x(t) en este
movimiento. Haremos uso de la ecuación de la
parábola
A partir de la figura se deduce que (h,k) = (1,6),
entonces en la ecuación de la parábola en este plano
será:
x - k = c(t - h)2
x – 6 = c(t – 1)2
para determinar el valor de C consideramos el punto (0,4) que pertenece a la curva
4 – 6 = c(0 – 1)2
de donde se obtiene c = -2.
Así la ecuación es: x – 6 = -2 (t –1)2
y desarrollándola: x = -2t2
+ 4t + 4.
Comparándolo con la ecuación x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2
Deducimos que x0 = 4 m, v0 = 4 m/s y (1/2) a = -2, esto es a = - 4 m/s2
Con estos valores ya podemos determinar los resultados
v = v0 + at , remplazando datos v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2
) t
Si t = 0, v = 4( m/s ),
Si t = 2 s, v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2
)(2 s) = - 4 m/s, el movimiento es en el sentido
negativo del eje X.
(b) La posición para t = 2 s se determina mediante
x = x0 + v0 t + (1/2) a t2
x = 4 m + 4( m/s )( 2 s) + (1/2)(- 4 m/s2
)(2 s)2
= 4m
Este resultado indica que a los 2s la partícula se encuentra en el mismo punto de
partida, pero esta vez se esta dirigiendo al origen.
Gráfica x en función de t indicando el desplazamiento en el eje X
(c) Para hallar la velocidad media es necesario calcular x para t = 4 s.
En la ecuación x(t)
x = 4 m + (4 m/s)(4 s) + (1/2)(- 4 m/s2
)(4 s)2
= - 12 m
vm =
t
xx 0−
= s4
m4m12 −−
= - 4 m/s.
RESPUESTA. La velocidad media en dicho intervalo es vm = - 4 m/s i
4 – 6 = c(0 – 1)2
de donde se obtiene c = -2.
Así la ecuación es: x – 6 = -2 (t –1)2
y desarrollándola: x = -2t2
+ 4t + 4.
Comparándolo con la ecuación x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2
Deducimos que x0 = 4 m, v0 = 4 m/s y (1/2) a = -2, esto es a = - 4 m/s2
Con estos valores ya podemos determinar los resultados
v = v0 + at , remplazando datos v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2
) t
Si t = 0, v = 4( m/s ),
Si t = 2 s, v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2
)(2 s) = - 4 m/s, el movimiento es en el sentido
negativo del eje X.
(b) La posición para t = 2 s se determina mediante
x = x0 + v0 t + (1/2) a t2
x = 4 m + 4( m/s )( 2 s) + (1/2)(- 4 m/s2
)(2 s)2
= 4m
Este resultado indica que a los 2s la partícula se encuentra en el mismo punto de
partida, pero esta vez se esta dirigiendo al origen.
Gráfica x en función de t indicando el desplazamiento en el eje X
(c) Para hallar la velocidad media es necesario calcular x para t = 4 s.
En la ecuación x(t)
x = 4 m + (4 m/s)(4 s) + (1/2)(- 4 m/s2
)(4 s)2
= - 12 m
vm =
t
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= - 4 m/s.
RESPUESTA. La velocidad media en dicho intervalo es vm = - 4 m/s i

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  • 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Este movimiento rectilíneo esta definido por la variación uniforme de su velocidad con el tiempo, mejor dicho es un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Sus características son:  La aceleración es constante (no cambia de modulo ni dirección)  La aceleración media es igual a la aceleración instantánea  Cuando la aceleración y la velocidad tienen el mismo sentido el movimiento es acelerado, si tienen sentido contrario el movimiento es retardado Si la aceleración instantánea es constante, entonces a = am = Esta ecuación se puede transformar en una relación lineal de la velocidad en función del tiempo como se indica a continuación. V = V0 + a t (1) En la figura se muestra la representación de esta ecuación, en (a) la pendiente es positiva correspondiente a aceleración positiva y en (b) la pendiente es negativa t O a a a 0 vector constante t t −∆ = = ∆ v vv 4m 9m 1m 4m
  • 2. correspondiente a una aceleración negativa. Nótese que en (b) para t mayor que t1 la velocidad es negativa, esto quiere decir que a partir de este instante la partícula se mueve en sentido negativo Deducción gráfica del desplazamiento en función del tiempo en el MRUV Consideremos la representación gráfica de la ecuación V = V0 + a t para deducir la ecuación del desplazamiento Δr A1 = t (v0 ) A2 = (1/2) (t) (v – v0) = (1/2) (t) (a t) A2 = (1/2) (t) (a t) = (1/2) at2 Deducción gráfica del desplazamiento en función del tiempo en el MRUV Consideremos la representación gráfica de la ecuación V = V0 + a t para deducir la ecuación del desplazamiento A1 = t (v0 ) A2 = (1/2) (t) (v – v0) = (1/2) (t) (a t) El área A2 se puede expresar en términos de la aceleración y el tiempo A2 = (1/2) (t) (a t) = (1/2) at2 De esta manera el área A se puede expresar como sigue Area = Δr = (t)(v0) + (1/2) a t2 Como se ha determinado, en la figura que el área entre la velocidad y el eje t corresponde al desplazamiento, podemos concluir r – r0 = v0 t + ½ a t2 Gráficos de la velocidad versus el tiempo para aceleración positiva y negativa V = V0 + a t V = V0 - a t
  • 3. 0 m v v v 2 + = Si partícula se mueve en el eje X, la ecuación correspondiente a la posición x en función del tiempo se transforma en: x = x0 + v0 t + ½ a t2 (2) Esta ecuación es cuadrática entre el tiempo “t“ y la posición “x” y por tanto corresponde a una parábola tal como se ha visto en el capítulo de funciones y gráficas. Esto nos indica que en el MRUV la relación x - t es una función parabólica Combinando las ecuaciones (1) y (2) se deduce También se puede deducir que la velocidad media es la semisuma de las velocidades inicial y final, esto es En resumen en el MRUV las ecuaciones son v = v0 + a t (1) x = x0 + v0 t + ½ a t2 (2) Con estas tres ecuaciones es suficiente para resolver todo ejercicio o problema en el tema del MRUV. +a -a 2 2 0v v 2 a x= + ∆ (3) 2 2 0v v 2 a x= + ∆ (3)
  • 4. Ejemplo 1 Graficar la ecuación: x = 5 – 4 t + t2 y relacionar con x = x0 + v0 t + ½ a t2 Completando cuadrados, resulta x – 1 = (t – 2)2 como se reconocerá, esta ecuación corresponde a la parábola con parámetros h = 2, k = 1 y C = 1, la cual se representa en la figura La figura ilustra el movimiento de la particular sobre el eje X, en t = 0 su posición inicial es x = 5m, en t = 2s la posición es x = 1m y posteriormente se aleja del origen en el sentido positivo del eje X. No olvide que la gráfica representa la relación t – x y no es la trayectoria de la partícula. Ejemplo 2. La figura muestra la relación v versus t para una partícula. Calcule (a) el desplazamiento de la partícula hasta los 12s. (b) la longitud del camino recorrido por la partícula en dicho intervalo. (c) ¿Cómo representaría el movimiento de la partícula sobre el eje X.? Haga un esquema de la trayectoria e indique las posiciones para t = 0s, 8 s, para el instante en que v = 0, para los 12 s y 14 s. Solución El desplazamiento se obtiene calculando el área entre la gráfica de v(t) y el eje t. El área hasta 12 s se puede calcular por partes, de 0 a 4s: de 4 s a 8 s: 2 ) s m 20)(s4( = 40 m (4 s)(20 m/s) = 80 m
  • 5. De 8s a 10s: Para calcular esta área debemos considerar los triángulos semejantes I y II Considerando que la base del triángulo I es t´ se tiene que 20 ´ 30 2 t = de d onde t´ vale 4/3 s. Así el triángulo I tiene como área 2 )s 3 4 )( s m 20( = m 3 40 y el del área del triángulo II es 2 ) m 10)( 3 4 2( s ss −− = m 3 10− y de 10 s hasta el segundo 12 el área vale (-10 m/s)(2 s) = -20 m El total el desplazamiento es: 40 m + 80 m + (40/3) m - (10/3) m - 20 m = 110 m Este resultado se interpreta como que el desplazamiento hasta los 12 s es 110 m en el sentido del semi-eje positivo de las X. Usualmente a la derecha del origen. (b) Para calcular la longitud del camino recorrido tomamos el módulo de los desplazamientos negativos: 40 m + 80 m + (40/3) m + (10/3) m + 20 m = 156 3 2 m ( c) Ejemplo 3 La figura es una parábola en el plano t-X: Calcule (a) la velocidad en los instantes 0 s y 2s (b) la posición en t=2s y (c)la velocidad media entre t = 0 y t = 4 s. SOLUCIÓN. Un parábola en el plano t-X corresponde a un MRUV sobre el eje X. Recuerde la ecuación para x(t) en este movimiento. Haremos uso de la ecuación de la parábola A partir de la figura se deduce que (h,k) = (1,6), entonces en la ecuación de la parábola en este plano será: x - k = c(t - h)2 x – 6 = c(t – 1)2 para determinar el valor de C consideramos el punto (0,4) que pertenece a la curva
  • 6. 4 – 6 = c(0 – 1)2 de donde se obtiene c = -2. Así la ecuación es: x – 6 = -2 (t –1)2 y desarrollándola: x = -2t2 + 4t + 4. Comparándolo con la ecuación x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2 Deducimos que x0 = 4 m, v0 = 4 m/s y (1/2) a = -2, esto es a = - 4 m/s2 Con estos valores ya podemos determinar los resultados v = v0 + at , remplazando datos v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2 ) t Si t = 0, v = 4( m/s ), Si t = 2 s, v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2 )(2 s) = - 4 m/s, el movimiento es en el sentido negativo del eje X. (b) La posición para t = 2 s se determina mediante x = x0 + v0 t + (1/2) a t2 x = 4 m + 4( m/s )( 2 s) + (1/2)(- 4 m/s2 )(2 s)2 = 4m Este resultado indica que a los 2s la partícula se encuentra en el mismo punto de partida, pero esta vez se esta dirigiendo al origen. Gráfica x en función de t indicando el desplazamiento en el eje X (c) Para hallar la velocidad media es necesario calcular x para t = 4 s. En la ecuación x(t) x = 4 m + (4 m/s)(4 s) + (1/2)(- 4 m/s2 )(4 s)2 = - 12 m vm = t xx 0− = s4 m4m12 −− = - 4 m/s. RESPUESTA. La velocidad media en dicho intervalo es vm = - 4 m/s i
  • 7. 4 – 6 = c(0 – 1)2 de donde se obtiene c = -2. Así la ecuación es: x – 6 = -2 (t –1)2 y desarrollándola: x = -2t2 + 4t + 4. Comparándolo con la ecuación x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2 Deducimos que x0 = 4 m, v0 = 4 m/s y (1/2) a = -2, esto es a = - 4 m/s2 Con estos valores ya podemos determinar los resultados v = v0 + at , remplazando datos v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2 ) t Si t = 0, v = 4( m/s ), Si t = 2 s, v = 4( m/s ) + (- 4 m/s2 )(2 s) = - 4 m/s, el movimiento es en el sentido negativo del eje X. (b) La posición para t = 2 s se determina mediante x = x0 + v0 t + (1/2) a t2 x = 4 m + 4( m/s )( 2 s) + (1/2)(- 4 m/s2 )(2 s)2 = 4m Este resultado indica que a los 2s la partícula se encuentra en el mismo punto de partida, pero esta vez se esta dirigiendo al origen. Gráfica x en función de t indicando el desplazamiento en el eje X (c) Para hallar la velocidad media es necesario calcular x para t = 4 s. En la ecuación x(t) x = 4 m + (4 m/s)(4 s) + (1/2)(- 4 m/s2 )(4 s)2 = - 12 m vm = t xx 0− = s4 m4m12 −− = - 4 m/s. RESPUESTA. La velocidad media en dicho intervalo es vm = - 4 m/s i