El documento presenta una introducción al uso de Geogebra para trabajar con conceptos de cálculo como la integral de funciones. Explica cómo representar sumas inferiores y superiores usando comandos y cómo calcular el valor de una integral definida. Incluye dos ejemplos detallados de hallar áreas bajo curvas y entre curvas.

1. INICIANDO GEOGEBRA
HACIA UNA MATEMÁTICA DINÁMICA
PRIMEROS PASOS
Juan Coronel 1

2. Integral de una función
Geogebra permite de manera sencilla, no solo obtener el valor de una integral
(definida o indefinida), sino además, representar las sumas inferiores y superiores,
para exponer y desarrollar el concepto de área bajo una curva. Para representar las
sumas inferiores y superiores utilizamos los comandos:
𝐒𝐮𝐦𝐚𝐈𝐧𝐟𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐟 𝐱 , 𝐱 𝟏, 𝐱 𝟐, 𝐧
𝐒𝐮𝐦𝐚𝐒𝐮𝐩𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐟 𝐱 , 𝐱 𝟏, 𝐱 𝟐, 𝐧
Donde 𝑥1 y 𝑥2 representan los límites de integración y 𝑛 el número de particiones.
Para obtener el valor de la integral definida, utilizamos el comando:
𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥 𝐟 𝐱 , 𝐱 𝟏, 𝐱 𝟐
Juan Coronel 2

3. Integral de una función
Ejemplo 1. Hallar la suma inferior, superior y la integral de la función 𝑓 𝑥 =
𝑥2
4
+ 1 en
el intervalo 0, 4
Comencemos definiendo un deslizador 𝑛 para el número de particiones y luego
aplicamos los comandos anteriores.
Juan Coronel 3

4. Integral de una función
Ejemplo 1. Hallar la suma inferior, superior y la integral de la función 𝑓 𝑥 =
𝑥2
4
+ 1 en
el intervalo 0, 4
Incrementando el valor de 𝑛
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5. Integral de una función
Ejemplo 1. Hallar la suma inferior, superior y la integral de la función 𝑓 𝑥 =
𝑥2
4
+ 1 en
el intervalo 0, 4
Calculando ahora la integral
Juan Coronel 5

6. Integral de una función
Ejemplo 2. Hallar el área encerrada entre las parábolas 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 1 y 𝑔 𝑥 = −𝑥2
+ 1
Graficamos las funciones y hallamos los puntos de intersección que serán los límites de
integración.
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7. Integral de una función
Ejemplo 2. Hallar el área encerrada entre las parábolas 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 1 y 𝑔 𝑥 = −𝑥2
+ 1
Utilizamos el comando 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐄𝐧𝐭𝐫𝐞
Para el texto matemático
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8. Integral de una función
Ejemplo 2. Hallar el área encerrada entre las parábolas 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 1 y 𝑔 𝑥 = −𝑥2
+ 1
Utilizamos el comando 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐄𝐧𝐭𝐫𝐞
Juan Coronel 8

9. Una aplicación (suma y secuencia)
El desarrollo formal de una serie de Fourier para una función 𝒇(𝒙) con período 𝟐𝒄 se obtiene de:
𝒇 𝒙 ~
𝟏
𝟐
𝒂 𝟎 +
𝒏=𝟏
∞
𝒂 𝒏 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝒄
+ 𝒃 𝒏 𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝒄
Con
𝒂 𝒏 =
𝟏
𝒄 −𝒄
𝒄
𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝒄
𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
𝒃 𝒏 =
𝟏
𝒄 −𝒄
𝒄
𝒇 𝒙 𝒔𝒊𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝒄
𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
𝒂 𝟎 =
𝟏
𝒄 −𝒄
𝒄
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
Se ha obtenido la serie de Fourier sobre el intervalo −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 para la función definida por:
𝑓 𝑥 =
2, −2 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑥, 0 < 𝑥 ≤ 2
𝑓 𝑥 ~
3
2
−
2
𝜋
𝑛=1
∞
1 − −1 𝑛
𝑛2 𝜋
𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
2
+
1
𝑛
𝑠𝑖𝑛
𝑛𝜋𝑥
2
Construir la función y luego la serie
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10. Comencemos graficando la función, para ello usemos un deslizador y
generar la función periódica.
Observe que la función aun no es periódica
Juan Coronel 10

11. Comencemos graficando la función, para ello usemos un deslizador y
generar la función periódica, note que el período es 4 (active rastro de 𝑔
y mueva el deslizador)
Definamos otro deslizador 𝑚 para la sumatoria, por ejemplo
de 1 a 30 con incrementos de 1
Juan Coronel 11

12. Ahora usemos el comando Secuencia para hallar los términos de la
sumatoria.
Note que todavía no se realiza la Suma
Secuencia[(((1-(-1)^n)/(n^2*π))* cos(n*π*x/2)+1/n* sin(n*π*x/2) ),n,1,m]
Juan Coronel 12

13. Ahora usemos el comando Suma para hallar la sumatoria (se formó la
lista1).
Falta agregar los términos que están antes de la sumatoria
Juan Coronel 13

14. Por último
Juan Coronel 14

15. Juan Coronel 15

16. Actividades para desarrollar
Actividad 1. Representar las siguientes funciones y utilizar una casilla de control para presentar
las funciones
• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1
• 𝑔 𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥
• ℎ 𝑥 = 𝑒−2𝑥
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
Actividad 2. Graficar la siguiente curva, utilizar deslizadores para a y b
𝑥 𝑡 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑡)
Actividad 3. Hallar el polinomio de interpolación de los puntos siguientes
𝐴 −2,1 , 𝐵 0,3 , 𝐶 1,1 𝑦 𝐷 2,3 , para este polinomio hallar la suma inferior y superior para 𝑛
rectángulos.
Actividad 4. Hallar el área de la región sombreada.
Actividad 5. Hallar la solución de la ecuación 𝑥𝑙𝑛 𝑥 = 2
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