Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Introduce la notación para funciones exponenciales y logarítmicas, explora sus gráficas y propiedades, y muestra cómo resolver ecuaciones que involucran estas funciones.

1. Funciones Exponenciales y
Logarítmicas
MATE1500

2. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
 
La función exponencial con base es denotada por
, donde 0, 1,x
f a
f x a a a x   
x
y
(0,1)

3. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
 
La función exponencial con base es denotada por
, donde 0, 1,x
f a
f x a a a x   
x
y
(0,1)
Asíntota horizontal
y = 0

4. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = ax
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = 4x
x -2 -1 0 1 2 3
f (x)
g (x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

5. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = ax
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = 4x
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1/4
g (x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

6. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = ax
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = 4x
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1/4 1/2
g (x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

7. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = ax
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = 4x
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1/4 1/2 1
g (x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

8. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = ax
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = 4x
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1/4 1/2 1 2
g (x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

9. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = ax
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = 4x
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1/4 1/2 1 2 4
g (x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

10. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = ax
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = 4x
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1/4 1/2 1 2 4 8
g (x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

11. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = ax
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = 4x
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1/4 1/2 1 2 4 8
g (x) 1/16 1/4 1 4 16 64
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

12. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = a-x
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones F (x) = 2-x y G (x) = 4-x
x -3 -2 -1 0 1 2
F (x)
G (x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

13. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• Gráficas de y = a-x
– Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando
una tabla, las funciones F (x) = 2-x y G (x) = 4-x
x -3 -2 -1 0 1 2
F (x) 8 4 2 1 1/2 1/4
G (x) 64 16 4 1 1/4 1/16
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
x
y

14. Funciones Exponenciales y sus Gráficas
• La Base Natural e
• La Función Natural Exponencial
2.718281828459...e 
  x
f x e
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
x
y
(0,1)
(1, e)
(-2, 1/e2) (-1, 1/e)

15. Funciones Logarítmicas
 
Para 0, 0, 1
log si y solamente si
La función dada por
log
es llamada la función logarítmica con base
y
a
a
x a a
y x x a
f x x
a
  
 


16. Funciones Logarítmicas
• Evaluando Logaritmos
– Utiliza la definición de función logarítmica para
evaluar cada logaritmo en el valor indicado de x.
1. f (x) = log2x, x = 2
2. f (x) = log3x, x = 1
3. f (x) = log4x, x = 2
4. f (x) = log10x, x = 1/100

17. Funciones Logarítmicas
• Propiedades de Logaritmos
0
1
log
log 1 0 porque 1
log 1 porque
log y (propiedades inversas)
Si log log , entonces
a
a
a
xx
a
a a
a
a a a
a x a x
x y x y
 
 
 
 

18. Funciones Logarítmicas
• Utilizando Propiedades de Logaritmos
1. Resuelve por x: log2x = log23
2. Resuelve por x: log44 = x
3. Simplifica: log55x
4. Simplifica: 7log 14
7

19. Funciones Logarítmicas
• Gráficas de Funciones Exponenciales y
Logarítmicas
• Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando una
tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = log2x
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1/4 1/2 1 2 4 8
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y

20. Funciones Logarítmicas
• Gráficas de Funciones Exponenciales y
Logarítmicas
• Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando una
tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = log2x
x 1/4 1/2 1 2 4 8
g(x) -2 -1 0 1 2 3
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y

21. Funciones Logarítmicas
• Gráficas de Funciones Exponenciales y
Logarítmicas
• Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando una
tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = log2x
x 1/4 1/2 1 2 4 8
g(x) -2 -1 0 1 2 3
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y

22. Funciones Logarítmicas
• Gráficas de Funciones Exponenciales y
Logarítmicas
• Grafique en el mismo eje coordenado, utilizando una
tabla, las funciones f (x) = 2x y g (x) = log2x
x 1/4 1/2 1 2 4 8
g(x) -2 -1 0 1 2 3
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y

23. Funciones Logarítmicas
 
Para 0, 0, 1
ln si y solamente si
La función dada por
ln
es llamada la función logarítmica natural
y
x a a
y x x e
f x x
  
 


24. Funciones Logarítmicas
• Propiedades de Logaritmos Naturales
0
1
ln
ln1 0 porque 1
ln 1 porque
ln y (propiedades inversas)
Si ln ln , entonces
x x
e
e e e
e x e x
x y x y
 
 
 
 

25. Funciones Logarítmicas
• Utiliza las propiedades de logaritmos
naturales para reescribir cada expresión.
1. ln 1/e
2. eln 5
3. 4 ln 1
4. 2 ln e

26. Funciones Logarítmicas
• Encontrando el Dominio de Funciones
Logarítmicas
1. f (x) = ln(x – 2)
2. g (x) = ln(2 – x)
3. h (x) = ln x2

27. Propiedades de Logaritmos
• Fórmula de Cambio de Base
log
log
log
b
a
b
x
x
a


28. Propiedades de Logaritmos
• Calcula los siguientes logaritmos, utilizando
una calculadora.
1. log425
2. log212

29. Propiedades de Logaritmos
• Propiedad de Producto
• Propiedad de Cociente
• Propiedad de Potencia
 log log loga a auv u v 
log log loga a a
u
u v
v
 
log logn
a au n u

30. Propiedades de Logaritmos
• Escribe cada logaritmo en términos de ln 2 y
ln 3.
1. ln 6
2. ln 2/27

31. Propiedades de Logaritmos
• Utiliza las propiedades de logaritmos para
expandir cada expresión.
3
4a. log 5
3 5
b. ln
7
x y
x 

32. Propiedades de Logaritmos
• Utiliza las propiedades de logaritmos para
condensar cada expresión logarítmica.
 
 
 
10 10
2 2
1
a. log 3log 1
2
b. 2ln 2 ln
1
c. log log 4
3
x x
x x
x x
 
 
   

33. Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
y Logarítmicas
• Resuelve cada ecuación exponencial.
 
 
2
2 5
a. 72
b. 3 2 42
c. 4 3 2
d. 2 3 4 11
x
x
x
t
e
e



 
 

34. Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
y Logarítmicas
• Resolviendo una Ecuación Exponencial en
Forma Cuadrática.
1. e2x – 3ex + 2 = 0
2. e2x – 4ex – 5 = 0

35. Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
y Logarítmicas
• Resuelve cada ecuación logarítmica.
1. ln 3x = 2
2. log3 (5x – 1) = log3 (x + 7)
3. 5 + 2 ln x = 4
4. 2 log5 3x = 4

36. Resolviendo Ecuaciones Exponenciales
y Logarítmicas
• Resuelve cada ecuación logarítmica.
1. ln (x – 2) + ln (2x – 3) = 2 ln x
2. ln (x + 5) = ln (x – 1) – ln (x + 1)