Problemas solucionados de estadística descriptiva

TALLER No 1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA
1. Dada la lista de puntuaciones en una prueba de Sistemas en los siguientes datos y utilizando un intervalo
de clase de 5, establecer una distribución de frecuencia. Empezar el intervalo inferior de clase con una
puntuación de 35. Graficar las distribuciones absolutas y acumuladas. Encontrar la Media, Mediana,
Moda, la Desviación Estándar, coeficientes de: Variación, de Asimetría y Curtosis.
59 48 53 47 57 64 62 62 65 57 57 81 83
48 65 76 53 61 60 37 51 51 63 81 60 77
71 57 82 66 54 47 61 76 50 57 58 52 57
40 53 66 71 61 61 55 73 50 70 59 50 59
69 67 66 47 56 60 43 54 47 81 76 69

Solución:

a. Tabla de distribución de Frecuencias para los datos agrupados
Frecuencia
Intervalo (absoluta)
f
35-39 1
40-44 2
45-49 6
50-54 11
55-59 12
60-64 11
65-69 8
70-74 4
75-79 4
80-84 5

b. Distribuciones de frecuencia absoluta y acumulada

Frecuencia
Frecuencia
Intervalos acumulada
f
FI
35-39 1 1
40-44 2 3
45-49 6 9
50-54 11 20
55-59 12 32
60-64 11 43
65-69 8 51
70-74 4 55
75-79 4 59
80-84 5 64
y mayor... 0

Yohana Bonilla G. Página 1

14 Distribución de frecuencia absoluta
12 Frecuencia
12 11 11
10
8
Frecuencia

8
6
6 5
4 4
4
2
2 1
0
0
35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 y
mayor...
Intervalos
Gráfico: Distribución de frecuencia absoluta.

Distribución de frecuencia acumulada
70 64
Frecuencia acumulada 59
60 55
51
50
Frecuencia acumulada

43
40
32
30
20
20
9
10
1 3
0
35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84
Intervalos
Gráfico: Distribución de frecuencia acumulada.

c. Media :
60,453

Mediana: d. Asimetría:
59,5 0,29252031
Moda: Curtosis:
57
-0,36653649

Desviación estándar s:

Coeficiente de variación:


Coeficiente de asimetría:

En este caso tenemos Asimetría positiva de los datos.

Curtosis:

2. Dada una lista de puntuaciones, cada una de las cuales es el porcentaje de palabras consideradas
agradables por una persona (Coeficientes de Afectividad) entre 64 palabras, elaborar una distribución de
frecuencia haciendo la mejor elección de intervalo de clase y límite de clase.
43 62 52 48 46 65 43 48 52 51 57 48 48
38 42 44 46 43 35 42 45 45 44 46 40 40
47 52 38 51 45 38 51 40 46 45 54 55 41
50 59 42 39 56 44 43 47 51 43 50 34 40
53 42 31 44 51 43 48 41 43 48 41 55
 Calcule la media aritmética, la mediana y la moda
 Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y Curtosis

Solución:

a. Empezaremos por presentar los datos ordenados de menor a mayor en una tabla:

Tabla de datos ordenados menor a mayor, (64 datos)
No. Datos No. Datos
1 31 33 45
2 34 34 46
3 35 35 46
4 38 36 46
5 38 37 46
6 38 38 47
7 39 39 47
8 40 40 48
9 40 41 48
10 40 42 48
11 40 43 48
12 41 44 48
13 41 45 48
14 41 46 50
15 42 47 50
16 42 48 51
17 42 49 51


18 42 50 51
19 43 51 51
20 43 52 51
21 43 53 52
22 43 54 52
23 43 55 52
24 43 56 53
25 43 57 54
26 44 58 55
27 44 59 55
28 44 60 56
29 44 61 57
30 45 62 59
31 45 63 62
32 45 64 65

Si se tienen N datos u observaciones podemos usar la fórmula de Sturges que propone tomar como número k
de intervalos el valor:

En este caso N=64

Tomaremos 7 intervalos.

 Para determinar la amplitud o intervalo de clase que llamaremos a sabemos que:

Para nuestros datos:

Con k=7 y la amplitud a=5 generamos la siguiente distribución de frecuencias:

Intervalo Frecuencia
1. 31-35 3
2. 36-40 8
3. 41-45 22
4. 46-50 14
5. 51-55 12
6. 56-60 3
7. 61-65 2

Y graficamos la distribución a partir de la tabla anterior:
Distribución de frecuencia absoluta
25 22
Frecuencia
20

Frecuencia
14
15 12
10 8

5 3 3 2
0
31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65
Intervalo

b.
Media
46,15625
Mediana
45
Moda
43
c.
Desviación
estándar
6,508160323
Asimetría
0,473309993
Curtosis
0,553124035

3. Representar un polígono de frecuencia y un histograma para la distribución de puntuaciones de aptitud
para la química de un curso de primer año.

Sacar conclusiones referentes a estos datos según se presenten los gráficos y además, graficar las
frecuencias relativas acumuladas.
Puntuaciones Frecuencias
90 – 94 4
85 – 89 10
80 – 84 14
75 – 79 19
70 – 74 32
65 – 69 31

60 – 64 40
55 – 59 28
50 – 54 29
45 – 49 21
40 – 44 18
35 – 39 10
30 – 34 6
25 – 29 1
20 – 24 3

Solución:

a. Total de datos N=266

Frecuencia Frecuencia
Puntuaciones Frecuencias acumulada relativa
(Fi) acumulada=Fi/N
20 – 24 3 3 0,0113
25 – 29 1 4 0,0150
30 – 34 6 10 0,0376
35 – 39 10 20 0,0752
40 – 44 18 38 0,1429
45 – 49 21 59 0,2218
50 – 54 29 88 0,3308
55 – 59 28 116 0,4361
60 – 64 40 156 0,5865
65 – 69 31 187 0,7030
70 – 74 32 219 0,8233
75 – 79 19 238 0,8947
80 – 84 14 252 0,9474
85 – 89 10 262 0,9850
90 – 94 4 266 1,0000
Total de datos
N 266


Histograma
45 40 Frecuencias (f)
40
35 29 31 32
30 28
Frecuencias

25 21
18 19
20
14
15 10 10
10 6
3 4
5 1
0
20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94

Puntuaciones

Polígono de frecuencias
45
Frecuencias…
40 40
35
29 31 32
30
Frecuencias

28
25
20 21
18 19
15 14
10 10 10
5 6
3 4
0 1
20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94

Puntuaciones


Frecuencia relativa acumulada 0,98501,0000
1,0000 0,9474
Frecuencia relativa … 0,8947
Frecuencia relativa acumulada 0,9000 0,8233
0,8000
0,7030
0,7000
0,5865
0,6000
0,5000 0,4361
0,4000 0,3308
0,3000 0,2218
0,2000 0,1429
0,0752
0,1000 0,01130,01500,0376
0,0000
20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94
Puntuaciones

b.

 Media aritmética para datos agrupados:

es la frecuencia de cada clase.
es el punto medio de cada clase.
es el número total de datos igual a la suma de las frecuencias de todas las clases.

Para calcularla usamos la siguiente tabla:

Punto
medio f.M
(Clase) (f)
(M)
20 – 24 3 22 66
25 – 29 1 27 27
30 – 34 6 32 192
35 – 39 10 37 370
40 – 44 18 42 756
45 – 49 21 47 987
50 – 54 29 52 1508
55 – 59 28 57 1596
60 – 64 40 62 2480
65 – 69 31 67 2077
70 – 74 32 72 2304
75 – 79 19 77 1463

80 – 84 14 82 1148
85 – 89 10 87 870
90 – 94 4 92 368
Totales 266 16212

 Mediana para datos agrupados:

Para calcular la mediana usamos la tabla de frecuencias acumuladas.

La clase mediana es la clase cuya frecuencia es mayor o igual que N/2.

Donde N siempre denota el número de datos o suma de frecuencias absolutas.

La mediana puede determinarse entonces como:

En donde:

es el límite inferior de la clase de la mediana.
es la frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana
es la frecuencia absoluta de la clase mediana.
es la amplitud o Intervalo de Clase.


Tabla para calcular la mediana

Frecuencia Clase mediana:
Puntuaciones Frecuencias acumulada  Moda para datos agrupados:
frecuencia acumulada 156
(Fi)
Lmed= 60
20 – 24 3 3
F=116
25 – 29 1 4 fmed= 40
30 – 34 6 10 a=5
35 – 39 10 20
40 – 44 18 38
45 – 49 21 59
50 – 54 29 88
55 – 59 28 116
60 – 64 40 156
65 – 69 31 187
70 – 74 32 219
75 – 79 19 238
80 – 84 14 252
85 – 89 10 262
90 – 94 4 266
Total de datos
N 266

 Moda para datos agrupados:

Ya que por definición la moda es la observación que ocurre con mayor frecuencia, se hallará en la
clase que tenga la mayor frecuencia, llamada la clase modal.

Para estimar la moda en el caso de datos agrupados, se utiliza la fórmula:

En donde:

es el límite inferior de la clase modal.
es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase anterior.
es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase siguiente.
es el intervalo de clase.

De la tabla inmediatamente anterior usada para calcular la Mediana, tenemos que


c. Desviación estándar para los datos agrupados:

Usamos los resultados anteriores obtenidos para y y los puntos medios :

Punto
medio f.M^2
(Clase) (f)
(M)
20 – 24 3 22 1452
25 – 29 1 27 729
30 – 34 6 32 6144
35 – 39 10 37 13690
40 – 44 18 42 31752
45 – 49 21 47 46389
50 – 54 29 52 78416
55 – 59 28 57 90972
60 – 64 40 62 153760
65 – 69 31 67 139159
70 – 74 32 72 165888
75 – 79 19 77 112651
80 – 84 14 82 94136
85 – 89 10 87 75690
90 – 94 4 92 33856
Totales 266 1044684

 Coeficiente de variación CV:

Asimetría:

La asimetría puede medirse mediante el Coeficiente de Karl Pearson

En este caso la distribución será asimétrica negativa.


Curtosis:

Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula:

4. Para decidir acerca del número de mostradores de servicio que serán necesarios en las tiendas que se
construirán en el futuro, una cadena de supermercados quería obtener información sobre el tiempo (en
minutos) requerido para atender a los clientes. Para obtener información acerca de la distribución de los
tiempos de atención a los clientes, se obtuvo una muestra de 60 clientes y se anotó el tiempo empleado en
atender a cada uno de ellos.
3.6 1.9 2.1 0.3 0.8 0.2 1.0 1.4 1.8 1.6 1.1 1.8
0.3 1.1 0.5 1.2 0.6 1.1 0.8 1.7 1.4 0.2 1.3 3.1
0.4 2.3 1.8 4.5 0.9 0.7 0.6 2.8 2.5 1.1 0.4 1.2
0.4 1.3 0.8 1.3 1.1 1.2 0.8 1.0 0.9 0.7 3.1 1.7
1.1 2.2 1.6 1.9 5.2 0.5 1.8 0.3 1.1 0.6 0.7 0.6
 Construya un histograma de frecuencias relativas para estos datos.
 Qué fracción de los tiempos de atención es menor o igual que un minuto?

Solución:

a. Presentamos los datos ordenados de menor a mayor:

Tabla de datos de tiempo de atención.
No. Datos No. Datos No. Datos
1 0,20 21 0,80 41 1,60
2 0,20 22 0,90 42 1,60
3 0,30 23 0,90 43 1,70
4 0,30 24 1,00 44 1,70
5 0,30 25 1,00 45 1,80
6 0,40 26 1,10 46 1,80
7 0,40 27 1,10 47 1,80
8 0,40 28 1,10 48 1,80
9 0,50 29 1,10 49 1,90
10 0,50 30 1,10 50 1,90
11 0,60 31 1,10 51 2,10
12 0,60 32 1,10 52 2,20
13 0,60 33 1,20 53 2,30
14 0,60 34 1,20 54 2,50
15 0,70 35 1,20 55 2,80
16 0,70 36 1,30 56 3,10
17 0,70 37 1,30 57 3,10
18 0,80 38 1,30 58 3,60


19 0,80 39 1,40 59 4,50
20 0,80 40 1,40 60 5,20

Los dividimos en 8 intervalos de clase 7:

Frecuencia Frecuencia
Clase f relativa=f/N=f/60
0,2-0,8 21 0,350
0,9-1,5 19 0,317
1,6-2,2 12 0,200
2,3-2,9 3 0,050
3,0-3,6 3 0,050
3,7-4,3 0 0,000
4,4-5,0 1 0,017
5,1-5,7 1 0,017
Total 60

Frecuencia relativa
0,400
0,350 Frecuencia relativa
0,350 0,317
0,300
Frecuencia relativa

0,250
0,200
0,200
0,150
0,100
0,050 0,050
0,050 0,017 0,017
0,000
0,000
0,2-0,8 0,9-1,5 1,6-2,2 2,3-2,9 3,0-3,6 3,7-4,3 4,4-5 5,1-5,7
Clase

b. De la Tabla de datos de tiempo de atención es claro que hay 25 datos de tiempo, menores o iguales
a un minuto.
Por lo tanto la fracción de los tiempos de atención menor o igual que un minuto es:


c. Media aritmética

Mediana: 1,10

Moda: 1,10

d. Desviación estándar:


Asimetría:

Curtosis:

5. En la siguiente tabla se muestra el tiempo transcurrido (en meses) entre la aparición de una enfermedad y
su recurrencia, para 50 pacientes.
2.1 4.4 2.7 32.3 9.9 9.0 2.0 6.6 3.9 1.6 14.7 9.6 16.7 7.4
8.2 19.2 6.9 4.3 3.3 1.2 4.1 18.4 0.2 6.1 13.5 7.4 0.2 8.3
0.3 1.3 14.1 1.0 2.4 2.4 18.0 1.6 3.5 11.4 18.0 26.7 3.7 12.6
23.1 5.6 0.4 8.7 24.0 1.4 8.2 5.8
 Construya un polígono de frecuencias relativas para estos datos.
 Obtenga la fracción de los tiempos de recurrencia menores o iguales que 10.
Solución:
a.


Tabla de Datos ordenados de menor a mayor

No. Datos No. Datos
1 0,2 26 6,6
2 0,2 27 6,9
3 0,3 28 7,4
4 0,4 29 7,4
5 1,0 30 8,2
6 1,2 31 8,2
7 1,3 32 8,3
8 1,4 33 8,7
9 1,6 34 9,0
10 1,6 35 9,6
11 2,0 36 9,9
12 2,1 37 11,4
13 2,4 38 12,6
14 2,4 39 13,5
15 2,7 40 14,1
16 3,3 41 14,7
17 3,5 42 16,7
18 3,7 43 18,0
19 3,9 44 18,0
20 4,1 45 18,4
21 4,3 46 19,2
22 4,4 47 23,1
23 5,6 48 24,0
24 5,8 49 26,7
25 6,1 50 32,3

En amarillo: tiempos de recurrencia menores o iguales que 10, total=36.

Datos agrupados en intervalos de clase 5:
Frecuencia
Clases Frecuencia relativa


0,1-5,0 22 0,44
5,1-10,0 14 0,28
10,1-15,0 5 0,10
15,1-20,0 5 0,10
20,1-25,0 2 0,04
25,1-30,0 1 0,02
30,1-35,0 1 0,02
Total 50

Polígono de frecuencias relativas:

Frecuencia relativa
0,50
0,45 0,44 Frecuencia relativa
0,40
Frecuencia relativa

0,35
0,30
0,28
0,25
0,20
0,15
0,10 0,10 0,10
0,05 0,04
0,02 0,02
0,00
0,1-5,0 5,1-10,0 10,1-15,0 15,1-20,0 20,1-25,0 25,1-30,0 30,1-35,0
Clases

b. Fracción de los tiempos de recurrencia menores o iguales que 10:

c. Media:

Mediana: 6,35

Moda: 0,2

6. Veintiocho solicitantes interesados en trabajar para un programa de construcción de viviendas de interés
social, rindieron un examen diseñado para medir su aptitud para las obras civiles. Los resultados fueron
los siguientes:
79 97 86 76 93 87 98 68 84 88 81 91 86 87
70 94 77 92 66 85 63 68 98 88 46 72 59 79


Construya un polígono y un histograma de frecuencias relativas para estas puntuaciones. (Use
intervalos de clase de ancho 9, empezando en 44.5).
 Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y Curtosis.

Solución:

a. Frecuencia Frecuencia
Clases
f relativa=f/28
44,5-53,4 1 0,036
53,5-62,4 1 0,036
62,5-71,4 5 0,179
71,5-80,4 5 0,179
80,5-89,4 9 0,321
89,5-98,4 7 0,250
Total 28
Histograma de frecuencias relativas
Frecuencia relativa=f/28
0,350 0,321
Frecuencia relativa=f/28
0,300
0,250
Frecuencia relativa

0,250

0,200 0,179 0,179

0,150

0,100

0,050 0,036 0,036

0,000
44,5-53,4 53,5-62,4 62,5-71,4 71,5-80,4 80,5-89,4 89,5-98,4
Clases

Polígono de frecuencias relativas


Polígono de frecuencias relativas
0,350
Frecuencia… 0,321
0,300

Frecuencia relativa
0,250 0,250

0,200
0,179 0,179
0,150

0,100

0,050
0,036 0,036
0,000
44,5-53,4 53,5-62,4 62,5-71,4 71,5-80,4 80,5-89,4 89,5-98,4
Clases

b. Media:

Mediana: 84,5

Moda: 68

c. Desviación estándar:


Coeficiente de asimetría:

Curtosis:

7. Una empresa de ventas lleva registros sobre la inversión en publicidad, expresada en términos del
porcentaje de los gastos totales; estos se presentan a continuación:
2.6 3.6 3.1 2.6 2.7 3.9 2.4 2.7 2.5 2.3 4.0 3.2 2.5 1.7
0.3 3.1 2.6 1.3 4.3 1.5 2.8 1.8 4.2 3.5 2.4 2.2 3.4 3.7
0.8 2.3 1.9 4.5 1.2 2.2 2.2 3.0 2.1 1.8 2.9 3.8 3.5 1.6
3.2 4.4 1.4 0.7 2.8 3.3 0.5 2.3

Solución:

a. Agrupar la información en intervalos de clase y construya una tabla de frecuencias completa.

Usamos la fórmula de Sturges para determinar el número de intervalos:

En este caso N=50

Y el intervalo de clase a

Puesto que hemos ordenado los datos de menor a mayor en la siguiente tabla:

No. Datos No. Datos
1 0,3 26 2,6
2 0,5 27 2,6
3 0,7 28 2,7
4 0,8 29 2,7
5 1,2 30 2,8
6 1,3 31 2,8
7 1,4 32 2,9
8 1,5 33 3
9 1,6 34 3,1
10 1,7 35 3,1
11 1,8 36 3,2
12 1,8 37 3,2
13 1,9 38 3,3
14 2,1 39 3,4
15 2,2 40 3,5
16 2,2 41 3,5
17 2,2 42 3,6
18 2,3 43 3,7
19 2,3 44 3,8
20 2,3 45 3,9
21 2,4 46 4
22 2,4 47 4,2
23 2,5 48 4,3
24 2,5 49 4,4
25 2,6 50 4,5

En amarillo: 33 datos inferiores a 3.1


Tomamos el intervalo de clase: 0,6 y agrupamos los datos en una tabla de frecuencias, empezando en 0,3:

Tabla de frecuencias
Frecuencia acumulada
Frecuencia Frecuencia relativa
Clase Frecuencia acumulada relativa=(frecuencia
f
acumulada)/50
0,3-0,8 4 4 0,08 0,08
0,9-1,4 3 7 0,14 0,14
1,5-2,0 6 13 0,26 0,26
2,1-2,6 14 27 0,54 0,54
2,7-3,2 10 37 0,74 0,74
3,3-3,8 7 44 0,88 0,88
3,9-4,4 5 49 0,98 0,98
4,5-5,0 1 50 1 1
Total 50

b. Graficar el histograma y el polígono de frecuencias.

Con las frecuencias absolutas f de la Tabla de frecuencias anterior construimos el histograma y el polígono
de frecuencias:

Histograma
16
14
14
Frecuencia
12
10
Frecuencia

10
8 7
6
6 5
4
4 3
2 1
0
0,3-0,8 0,9-1,4 1,5-2,0 2,1-2,6 2,7-3,2 3,3-3,8 3,9-4,4 4,56-5,0
Clase


Polígono de frecuencias
16
14 14
Frecuencia
12

Frecuencia
10 10
8
7
6 6
5
4 4
3
2
1
0
0,3-0,8 0,9-1,4 1,5-2,0 2,1-2,6 2,7-3,2 3,3-3,8 3,9-4,4 4,56-5,0
Clase

c. Calcular el porcentaje de registros que son inferiores a 3.1%
 A partir de la tabla de frecuencias:

Usamos la tabla de frecuencias acumulada. En este caso el porcentaje de registros inferiores a 3,1% estaría
determinado por la frecuencia 27, previa a la clase 2,7-3,2

 Por conteo directo de la muestra bruta, viendo la tabla.

 Usando la gráfica:

Sumamos las frecuencias absolutas antes de la clase: 2,7-3,2

d. Estime el porcentaje de registros que son mayores que 1.5 pero menores de 3.5.

De la tabla obtenemos directamente esta información:
Del dato 9 al 39, tenemos la condición buscada, por lo tanto

e. Calcule la media aritmética, la mediana y la moda

Media:

Mediana: 2,6

Moda: 2,2


f. Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y Curtosis.

Desviación estándar

Variación:

Asimetría:

Curtosis:


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