Unefm Ciencias de la Salud Ingeniería Biomédica

1. Fuerza y Energía
Electrostática
Ecuación de Poisson
Realizado por: Joao Ferreira
Santa Ana de Coro, febrero de 2015
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
PROGRAMA DE INGENIERÍA BIOMÉDICA
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

2. Ecuación de Poisson. Ejercicio Resuelto
• 1. Dos placas conductoras paralelas
están separadas por una distancia 𝑑
y se mantienen a potenciales 0 y 𝑉0
tal como se ilustra en la figura. La
región entre las placas está llena con
una distribución continua de
electrones que tiene densidad
volumétrica de carga 𝜌𝑉 = −𝜌0 𝑦 𝑑.
Suponga que el efecto en los bordes
es insignificante y determine: (a) El
potencial en cualquier punto entre
las placas, (b) El campo eléctrico.
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+ + + + + + +
- - - - - - -
d
0
y
+
-
0
𝑉0
2

3. Ecuación de Poisson. Ejercicio Resuelto
• Por ser una situación en la que hay
una distribución continua de
cargas, utilizaremos la ecuación de
Poisson. Además hay que tener en
cuenta el sistema de coordenadas
de acuerdo a lo que se plantea. En
este caso, como son dos placas
paralelas y como refiere una
densidad de carga en el eje 𝑦
evidentemente, vamos a utilizar
coordenadas rectangulares
• Partiendo de la Ecuación de
Poisson, tenemos:
𝜕2
𝜑
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜑
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜑
𝜕𝑧2
= −
𝜌𝑉
𝜖0
La cual se simplifica a
𝜕2
𝜑 𝑦
𝜕𝑥2
=
𝜌0
𝜖0𝑑
𝑦
Esto surge de considerar que solo
hay variación en el eje 𝑦 y de haber
sustituido el valor de la densidad de
carga.
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4. Ecuación de Poisson. Ejercicio Resuelto
• Todo ello resulta en una
ecuación diferencial que puede
ser resuelta integrando dos
veces;
𝜕𝜑 𝑦
𝜕𝑦
=
𝜌0
2𝜖0𝑑
𝑦2 + 𝐶1 (1)
𝜑 𝑦 =
𝜌0
6𝜖0𝑑
𝑦3
+ 𝐶1𝑦 + 𝐶2 (2)
Ahora hay que encontrar los
valores de 𝐶1 y 𝐶2 tomando en
consideración las condiciones de
frontera
• Las condiciones en la frontera
sobre las dos placas conductoras
son:
En 𝑦 = 0; 𝜑 = 0 , sustituyendo
estos valores en (2) tenemos;
𝐶2 = 0
La otra condición de frontera está
en
𝑦 = 𝑑; 𝜑 = 𝑉0 , con estas
condiciones buscamos el valor de
𝐶1, al sustituir en (2)
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5. Ecuación de Poisson. Ejercicio Resuelto
𝑉0 =
𝜌0𝑑2
6𝜖0
+ 𝐶1𝑑
Despejando 𝐶1
𝐶1 =
𝑉0
𝑑
−
𝜌0𝑑
6𝜖0
Finalmente al sustituir el valor de 𝐶1
en (1) se obtiene el potencial
eléctrico para la zona confinada en
las placas conductoras
𝜑 𝑦 =
𝜌0
6𝜖0
𝑦3
+
𝑉0
𝑑
−
𝜌0𝑑
6𝜖0
𝑦
Eso resuelve el apartado (a). Para la
(b) aplicamos la relación;
𝐸 = −∇𝜑
Esto aplicado al potencial resultante
queda,
𝐸 𝑦 = −
𝜕𝜑
𝜕𝑦
𝑗
𝐸 𝑦 = −
𝜌0
2𝜖0𝑑
𝑦2 +
𝑉0
𝑑
−
𝜌0𝑑
6𝜖0
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6. Gracias por su atención…