Rebeca

AVANCE DE INVESTIGACIÓN TESIS DE MAESTRÍA. REBECA FLORES GARCÍA MAYO 2009 UNA CONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADO DE LA OPERATIVIDAD DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS

DE LOS OBJETIVOS Caracterizar los significados surgidos a partir del estudio de las fracciones en el ámbito escolar. Determinar cuántos y cuáles de esos significados trascienden en la operatividad con los números fraccionarios buscando establecer una propuesta que integre los distintos significados para su enseñanza. Utilizar algunos de los resultados que han sido generados a lo largo de las investigaciones para intentar proponer una posible ruta que guíe la enseñanza y el aprendizaje.

DE LAS PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN ¿CUÁLES SON LOS SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN? ¿CÓMO UTILIZARLOS PARA CONSTRUIR UN SIGNIFICADO EN LA OPERATIVIDAD DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS? ¿EXISTE ALGÚN MODELO QUE LOGRE INTEGRAR LOS DISTINTOS SIGNIFICADOS PARA SU ENSEÑANZA?

MARCO TEÓRICO Cantoral y Farfán (2003) caracterizan los enfoques teóricos desarrollados en la Matemática Educativa a través de cuatro visiones para plantear una problemática didáctica: una didáctica sin alumnos, una didáctica sin escuela, una didáctica sin escenarios y una didáctica en escenarios socioculturales. Éstas dan cuenta de las distintas formas de entender los fenómenos que sobre la enseñanza y el aprendizaje se manifiestan dentro de la Matemática Educativa. Nuestra atención se centra en la última de las visiones, ya que ha dado lugar al surgimiento de un nuevo enfoque sistémico planteado en la Matemática Educativa a través de investigaciones que añaden la dimensión social del conocimiento matemático para estudiar el entorno y las circunstancias ligadas a la aparición y construcción de conocimiento matemático.

MARCO TEÓRICO Dicha perspectiva es llamada “una didáctica en escenarios socioculturales” situando así el nacimiento de la aproximación socioepistemológica, en el que se propone una manera diferente de mirar una problemática didáctica a través de un estudio sistémico empleando cuatro dimensiones de estudio: la dimensión epistemológica, la didáctica, la cognitiva y la social. Como lo menciona Cantoral (2002), la aproximación socioepistemológica se plantea como tarea fundamental el examen del conocimiento situado, aquél que mira y atiende a las circunstancias y escenarios socioculturales particulares, caracterizando al conocimiento como el fruto entre la epistemología y los factores sociales.

METODOLOGÍA De acuerdo con Lezama (2008): “ A la búsqueda de evidencias empíricas que den explicación o respuesta a las preguntas que establecemos, le denominaremos metodología .” “ Podemos preguntarnos por aquello que estamos haciendo, para qué lo hacemos y por qué lo hacemos; estas preguntas en el contexto de la tesis constituyen elementos de la metodología. Son actos guiados por la teoría y estamos obligados a hacer interpretaciones de los resultados experimentales desde ella.” De acuerdo con Rodríguez, G. et al (1999) “ La investigación cualitativa implica la utilización y recogida de una gran variedad de materiales – entrevista, experiencia personal, historias de vida, observaciones, textos históricos, imágenes, sonidos – que describen la rutina y las situaciones problemáticas y los significados en la vida de las personas” Centrándose en: Suministrar un marco dentro del cual los sujetos respondan de forma que se representen fielmente sus puntos de vista respecto al mundo y su experiencia

METODOLOGÍA Este estudio por su naturaleza, posee tanto elementos de carácter teórico, de carácter curricular, así como de carácter exploratorio. En lo teórico se rescatan componentes desarrolladas por Kieren y Brousseau, entre otros; en lo curricular se ha realizado una revisión y análisis tanto del programa como de libros de textos vigentes del nivel secundaria y en el aspecto exploratorio se ha considerado una profundización a través de entrevistas a estudiantes y profesores acerca del objeto de estudio en referencia, así como de la aplicación a estudiantes de cuestionarios que incluyan situaciones, problemas o actividades propuestos en los libros de textos revisados. Los resultados obtenidos habrán de ser confrontados con aquellos reportados por investigadores con la finalidad de construir respuestas a las preguntas formuladas y que le dan sentido al trabajo que se expone.

D’Amore (2005): Hace referencia a comprender el concepto, ya que habrá de ser reflexionado como el acto de adquirir su significado , resaltando que tal acto será posiblemente un acto de generalización y de síntesis de significados en relación con elementos particulares de la ‘estructura’ del concepto, siendo ésta una red de significados de los enunciados considerados. En los que estos significados particulares habrán de ser adquiridos con actos de comprensión. La metodología de los actos de comprensión se preocupa por el proceso de construir el significado de los conceptos. un concepto se halla… continuamente en fase de construcción y en esta misma construcción se halla la parte más problemática y por lo tanto más rica de su significado: ALGUNOS REFERENTES CONCEPTUALES “… de cualquier manera el apropiarse de un concepto (independientemente de lo que eso signifique) requiere siempre de algo más que nombrarlo…”

Retomando a Duval, citado en D’Amore (2005) C itando a Vygotsky, Duval declara que no existe concepto sin signo (sistema de signos). Al signo se le confieren los símbolos convencionales que connotan directa e aisladamente unos objetos. También señala que: La adquisición conceptual de un objeto pasa necesariamente a través de la adquisición de una o varias representaciones semióticas: No existe noética sin semiótica Recurriendo a lo señalado por Armella en 1999 y citado en D’Amore 2005: … toda acción cognitiva es una acción mediada por instrumentos materiales o simbólicos” , esto implica que el conocimiento dependerá de los instrumentos de mediación puestos en acción para su construcción, así como del conjunto y tipo de significaciones que tales instrumentos reciben del entorno social. Tesis de la epistemología constructivista: “ Cada estudiante construye su propia versión del conocimiento” ALGUNOS REFERENTES CONCEPTUALES

Capítulo 2: Una visión estructural desde la matemática.

Propiedades fundamentales del sistema de los números reales

Capítulo 3: Fenómenos didácticos ligados al estudio de las fracciones.

Los contenidos referidos a Matemáticas para la Escuela Secundaria quedan enmarcados en un total de 103 contenidos distribuidos en 5 bloques. Se observa que en primer grado 16 de los 38 temas corresponden tanto a la noción de fracción como a sus operaciones, para segundo son 9 de 35 y para tercero son 6 de 30, esto permite aproximarnos a la importancia que adquiere esta noción dentro del programa de estudio. PROGRAMA DE SECUNDARIA MEDIDA Propiedad de densidad Orden de fracciones Fracciones equivalentes partición Números decimales Recta numérica Uno de los significados identificado Fracciones reducibles e irreducibles conversiones

Se hace alusión desde un principio a fracciones y decimales Recta numérica escritura fraccionaria Valor posicional Igualdad de fracciones Conversión de fracciones a decimales y viceversa Comparación de fracciones Fracciones equivalentes Propiedad de densidad Partición Parte todo LIBROS DE TEXTO Cantoral, R. et al (2008) Block, D. et al. (2008) Bosch, C. et al (2008) Fracciones equivalentes Recta numérica Comparación de fracciones Suma de fracciones Propiedad de densidad Partición Números decimales (profundización) División de fracciones Parte todo Define desde el inicio lo que es una fracción desde la matemática Proporciona un método para dividir segmentos en partes iguales. Recta numérica Fracciones equivalentes Partición Comparación de fracciones Fracciones decimales Orden en las expresiones decimales Fracciones mixtas División de fracciones Propiedad de densidad Parte todo MEDIDA

Capítulo 4: La noción de fracción en su contexto de origen

Egipto Grecia La civilización que por encima de cualquier otra se dedicó al estudio de las fracciones fue la egipcia; en muchos papiros y rótulos, ya entre los milenios III y II a. C., se encuentran estudios sobre fracciones, aunque en forma banal. No se puede fijar con exactitud la fecha en que surge la teoría griega de las proporciones, anterior al descubrimiento de la inconmensurabilidad de las líneas correspondientes a cantidades irracionales. Toda la estructura de su aritmética se basa en dos principios: El primero es inherente a su capacidad para multiplicar y dividir por 2 El segundo a su capacidad para calcular dos tercios de cualquier número, entero o fraccionario. Época pitagórica Teoría numérica de las proporciones Comienza con Pitágoras. En el libro VIII de los Elementos de Euclides, definición 20: “Los números son proporcionales si el primero es el mismo múltiplo, o la misma parte, o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto ”. Por su parte Nicómaco enumera las diversas razones numéricas: razones múltiples (doble, triple y razones submúltiplo), razones muy particulares, razones epímeras.

Capítulo 5: Hacia una construcción social de la noción de fracción

DE 1960 A 1980 DE 1980 A 1990 DE 1990 A LA ACTUALIDAD CONCEPTO DE FRACCIÓN OPERACIONES ENTRE FRACCIONES Y DIFICULTADES CON ELLAS DIFERENTES INTERPRETACIONES DE LA IDEA DE FRACCIÓN APRENDIZAJE EN GENERAL APRENDIZAJE DE OPERACIONES CON FRACCIONES COMPARACIONES ENTRE FRACCIONES Y/O NÚMEROS DECIMALES Y DIFICULTADES EN LA EXPANSIÓN DE NATURALES A FRACCIONES O DECIMALES PROBLEMAS RELACIONADOS CON DIFERENTES INTERPRETACIONES DEL TÉRMINO “FRACCIÓN” KIEREN HART, KIEREN GUY BROUSSEAU THE RATIONAL NUMBER PROYECT FRACCIONES NÚMEROS DECIMALES NÚMEROS RACIONALES FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES CHIAPPINI PEDEMONTE, MOLINARI trabajo significativo trabajo significativo trabajos significativos FANDIÑO (2005)

SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LA NOCIÓN DE FRACCIÓN De acuerdo con Fandiño (2005) La fracción como parte de un todo a veces continuo a veces discreto. La fracción como cociente. La fracción como razón. La fracción como operador. La fracción en probabilidad. La fracción en puntajes. La fracción como número racional. La fracción como punto de una recta orientada. La fracción como medida. La fracción como indicador de una cantidad de elección en el todo. La fracción y el porcentaje. La fracción en el lenguaje cotidiano. La conceptualización de la fracción en la teoría de Vergnaud La conceptualización signo – objeto de Duval. 15. La conceptualización de la fracción en la Fenomenología Didáctica de Freudenthal, la cual no es señalada en la obra de Fandiño

KIEREN (inicia en 70’s) Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5 Nivel 6

BROUSSEAU (inicia en 70’s) PARTE 1 PARTE 2 PARTE 3 Secuencias de enseñanza Concepto con al menos ocho “objetos” distintos 65 lecciones PARTE 4 15 módulos Módulos 1 a 3 Módulos 11 a 15 Módulos 8,9 y 10 Módulos 4 a 7 comprende Se introducen medidas Razones de escala como + – x División por un natural con comprende Orden de Q Propiedades de los decimales Los números decimales Notación decimal Se estudian incluye incluye Funciones lineales como números racionales Estudio de una familia completa de alargamientos racionales Exploración de los mapeos lineales racionales Porcentajes Tasas Escalas Se estudian Estructura del conjunto de los mapeos lineales racionales (inversión, composición y descomposición) Homogeneización de los diferentes usos de las fracciones con Distribuidas en NÚMEROS RACIONALES

LAMON (1999) Red de significados conectados para los números racionales. 1. COMPARACIONES PARTE - TODO 2. OPERADORES 3. COCIENTES 4. MEDIDAS 5. RAZONES

1. COMPARACIONES PARTE - TODO En ocasiones la unidad no se divide en partes del mismo tamaño. Aun cuando saben que sus dibujos son inexactos, los niños los utilizan para obtener conclusiones incorrectas. Las decisiones acerca de la equivalencia y del orden se llevan a cabo cuando las fracciones se refieren a unidades diferentes o a unidades similares que no son del mismo tamaño . Dificultades de los niños Se utiliza Para comparar una o más porciones iguales de una unidad con el número total de porciones iguales en las cuáles se divide a la unidad. Una porción no es lo mismo que una pieza. Una porción no es de algún tamaño fijo. Una comparación parte – todo utiliza notación fraccionaria. Los números forman un par ordenado. El número de las porciones y el tamaño de las porciones depende de cómo la unidad este unificada. Características

noción Es acerca de reducir o alargar, contraer o expander o multiplicar y dividir. 2. OPERADORES Son transformadores que : Alargan o recortan los segmentos Aumentan o disminuyen el número de ítems en un conjunto de objetos discretos o Toman una figura en el plano geométrico, como un triángulo o un rectángulo y mapearla en otra figura más pequeña o más grande con la misma forma. Es un conjunto de instrucciones para llevar a cabo un proceso Composición Comprensión del estudiante Cuando puede interpretar un multiplicador fraccionario en una diversidad de formas. Cuando se realizan dos operaciones (multiplicación y división) una sobre el resultado de la otra. Cuando puede identificar el efecto de un operador y puede establecer una regla que relacione las entradas con las salidas. Cuando puede utilizar modelos para identificar una composición simple que caracteriza una composición de composiciones Realizar una operación, y después realizar otra operación sobre el resultado de la primera operación, es posible “componer” operaciones, o realizar alguna operación simple la cual es una combinación de dos.

Significado Un número racional puede verse como un cociente; es decir, como resultado de una división. 3. COCIENTES Partición Es el proceso de dividir un objeto u objetos en un número de partes ajenas y exhaustivas. Surgen en actividades de reparto en niveles básicos. El uso de la palabra en relación a las fracciones, es con la estipulación adicional de que las partes deberán ser del mismo tamaño. Proceso en el que descansa el corazón de la comprensión de los números racionales. Es una acción fundamental para la producción de números, de conceptos matemáticos, de razonamiento y de operaciones. Una de las metas de la enseñanza al enseñar la partición es generar repartos de una manera tan eficiente como sea posible.

Significado Una unidad de medida siempre puede dividirse en subunidades más y más finas de tal manera que puedes tomar una medida tan exacta como lo requieras. Una comprensión de la composición de operadores juega un importante papel en la determinación del resultado de particiones sucesivas de un intervalo. 4. MEDIDAS En los números racionales como medidas, el centro de atención está sobre la partición sucesiva de la unidad. ideas y mecanismos con las comparaciones: comparte Proporcionan el lenguaje y los símbolos utilizados en contextos de medición. La partición Es el mecanismo que proporciona la experiencia para comprender cocientes juega un papel principal en nombrar distancias a partir de cero en la recta numérica. Problemas de enseñanza Las rectas numéricas se utilizan de la misma manera que otras unidades continuas se utilizan en las comparaciones parte – todo El uso de cintas o cuerdas fraccionarias y patrones de bloqueo (modelos de longitud y área) les proporcionan a los estudiantes alguna experiencia con diferentes unidades y subunidades de medida, pero ellos tienen severas limitaciones Densidad de Q interpretación La partición sucesiva nos ayuda a nombrar a otras fracciones entre dos fracciones dadas. Parte – todo cocientes operadores

Significado En algunos sentidos las razones son como otras interpretaciones del número racional, pero en algunos otros, son muy diferentes. 5. RAZONES Tipos Las razones no son siempre números racionales, pero las fracciones parte – todo, operador, medida y cociente siempre son números racionales. Una dificultad Para propósitos de enseñanza, el lenguaje cotidiano y el uso de las tasas y de las razones está fuera de control.

Notación y simbología En ocasiones una razón es escrita en forma de fracción, pero no siempre; las comparaciones parte – todo, operadores, medidas y cocientes son con mucha frecuencia escritas en la forma de fracción a/b 5. RAZONES La razón de a cosas a cosas b puede escribirse en varias formas: Tanto las razones como las fracciones parte – todo son comparaciones, pero una comparación parte – todo es un tipo más restringido de comparación que la razón. Las razones no son reversibles en las forma en que los operadores lo son. extendibilidad. reducibilidad. Al determinar si o no hacer referencia a una característica que es homogénea o uniformemente distribuida en un cierto contexto. Una razón dividida puede ser un índice, significando que éste indica algún tipo de condición o puede ser más como una descripción. La divisibilidad de las razones las conecta a la interpretación cociente de los números racionales. conexiones operaciones La diferencia más grande entre las razones y las otras interpretaciones de los números racionales está en la forma en que se combinan a través de operaciones aritméticas. Parte – todo operadores medidas cocientes

Aplicado a estudiantes de secundaria Una visión desde la experiencia El instrumento incluyó 6 preguntas, una para cada una de las nociones: matemáticas, número, fracción, decimal, porcentaje y equivalencia; en un formato que demandaba a cada estudiante el escribir 5 palabras que vinieran a su mente al leer la noción escrita. El instrumento incluyó 3 problemas de mezclas ; los cuales fueron tomados de tres libros de texto autorizados por la Secretaría de Educación Pública . Algunas derivaciones obtenidas de los datos reportados guardan relación con el hecho de que la Aritmética es una de las ramas de la Matemática reconocida por los estudiantes de la escuela secundaria; y en ésta sobresale (implícitamente) la noción de estructura; entendiéndola como un conjunto de números en las que se incluyen operaciones entre ellos. Los números reconocidos son los naturales y los fraccionarios, así como las operaciones básicas entre éstos. Los significados asignados a la noción de fracción; por parte de los estudiantes, son: cociente, parte todo, razón, operador, medida, porcentaje y racional (esto último de manera sutil). RESULTADOS RESULTADOS En proceso Cuestionario 1 Cuestionario 2

REFERENCIAS Ayres, F. (2003). Algebra moderna. Mc Graw Hill. México. Brousseau, G., Brousseau, N., &Warfield, V (2008). Rationals and decimals as required in the school curriculum. Part 3. Rationals and decimals as linear functions . The Journal of Mathematical Behavior, 27, 153- 176 Cantoral, R. (2002). La sensibilidad a la contradicción: Un estudio sobre la noción de logaritmo de números negativos y el origen de la variable compleja . En C. Crespo Crespo (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa . Volumen 15, Tomo 1, (pp. 35 - 42). México: Grupo Editorial Iberoamérica. Collete, J. P. (2002). Historia de las matemáticas I. Siglo XXI, Argentina. D’Amore, B. (2005). Bases filosóficas, pedagógicas, epistemológicas y conceptuales de la didáctica de la matemática . México. Reverté. Elguero, C (2008). Construcción social de ideas en torno al número racional en un escenario sociocultural del trabajo. Tesis de Maestría no publicada CICATA – IPN. Fandiño, M.I. (2005 ). Le frazioni, aspetti concettuali e didattici. Tesis de doctorado no publicada. Universidad de Bologna, Italy. Gayle M. Millsaps, M.A. (2005). Interrelationships between teacher’s content knowledge of rational number, their instructional practice, and students’ emergent conceptual knowledge of rational number. Tesis de doctorado no publicada, Ohio. Lamon, S. (1999). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers. Marquette University. Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey. Rodríguez, G., et al (1999). Metodología de la investigación cualitativa. Aljibe. SEP, (Secretaría de Educación Pública) (2006). Programas de Estudio 2006 . Educación básica, Secundaria, Matemáticas. México. (Algunas )

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