matemáticas frágiles

1. COLEGIO BOLÍVAR
Trabajo de recuperación primer período 2007
Área: Matemáticas
Tema: sistemas de numeración
Grado: 6º
Profesor:
Alumno: Juan Camilo Martín
1. Justificación.
Nuestra actividad académica, durante el primer período, estuvo centrada en la necesidad de
conocer algunos instrumentos básicos en relación con el desarrollo del pensamiento
matemático. Un ejercicio, de conformidad con el PEI del Colegio Bolívar, que permite acceder a
una noción amplia del significado que adquiere el hecho de identificar los orígenes de la
nomenclatura numérica en el desarrollo de sus aplicaciones. No solo en lo que respecta a las
Operaciones básicas; sino también en lo que hace referencia a procedimientos más complejos
que las involucran.
Siendo así, entonces, abordar la evolución de la nomenclatura numérica, como parte de la
historia de la humanidad; como insumo trascendental en el proceso inherente a la configuración
de los diferentes grupos sociales, vinculados con la diferenciación racial, étnica y cultural;
constituye un paso decisivo, en la perspectiva antes anotada.
Ahora bien, como quiera que tuve algunas dificultades para responder de manera adecuada al
esfuerzo realizado por el profesor (en la orientación) y por el grupo (en la colectivización y
desarrollo); asumo el reto propuesto por el profesor, en términos de realizar este trabajo
orientado a la descripción de los sistemas de numeración. Pero, como es apenas obvio
tratándose de profundizar el hilo conductor que los soporta, con la intención de no circunscribir
el trabajo a la sola descripción. También, y fundamentalmente, con el propósito de identificar y
precisar algunas de sus diferencias; desde el punto de vista conceptual.
2. Marco Teórico.
1

2. El progreso de la humanidad, ha estado fundamentado en dos aspectos básicos. De un lado, el
dominio de la naturaleza, en términos relativos. Si se quiere, este aspecto, ha sido uno de los
más difíciles. En razón a que ha exigido constantes esfuerzos, durante largos periodos de
tiempo. De por sí, adquiere una connotación vinculada con el crecimiento mismo de la
humanidad, en la escala evolutiva; de tal manera que marca la diferencia con respecto a otras
especies animales. En concreto, a manera de ejemplo, el trabajo, es la resultante y, a la vez, el
comienzo de todo el proceso. En una interacción permanente y con diferenciaciones precisas,
de conformidad con la división racial y de género.
El otro aspecto, aunque relacionado íntimamente con el anterior, requiere de una visión
separada. Tiene que ver con el avance en lo que implican los conceptos de grupos sociales,
autoridad, organización social, gobierno y cultura. Esto no es otra cosa que el tránsito, desde
esa posición de dominio relativo sobre la naturaleza y la racionalización del mismo, por la vía
de acceder a instrumentos de interacción entre los humanos. Es tanto como entender que era
preciso trascender esa posición de dominio relativo primario y transformarla en agregado y
acumulados que pudieran ser transferidos de manera sucesiva, para que se constituyeran en
algo así como patrimonio de la humanidad. La aparición de grupos sociales primarios y su
evolución hacia formas mucho más complejas (como el Estado, por ejemplo), permitió ese
objetivo.
Ahora bien, desde el punto de vista de lo que entendemos por cultura, es relevante señalar que
los agregados sucesivos y el acumulado de conocimiento relacionado con el desarrollo (en
veces traumático y siempre dispendioso) del dominio relativo de la naturaleza; constituyen un
insumo trascendental. Visto en términos concretos, prácticos y efectivos, es algo así como
vincular todo este proceso con aquellos logros individuales y colectivos alcanzados en
deferentes momentos y espacios. Y, al mismo tiempo, relacionados con necesidades
específicas. Lo que, en términos coloquiales, se define como ir de lo simple a lo complejo.
Es, en ese escenario global, cambiante y de diferenciación; en el cual se inscribe el concepto
de número, numeración, operaciones y, en general, el pensamiento matemático. Ante la
necesidad específica concreta de conocer, validar y acumular el conocimiento de aspectos
particulares de los logros adquiridos en el proceso de dominio relativo de la naturaleza, el
conteo como instrumento vinculado con el inventario de esos logros y la posibilidad de
abstraerlos hacia posiciones de generalización. Pero, también, el hecho de requerir elementos
para entender fenómenos naturales (por el ejemplo la relación con el Sol, y con el universo en
genera. La explicación del origen o soporte del día y de la noche, etc.), constituía una exigencia
que era necesario atender.
Pero, la evolución y desarrollo del concepto de sistema de numeración hacia formas más
complejas (por ejemplo hacia el concepto de matemáticas, entendidas como abstracción
2

3. vinculada con la solución de problemas inherentes a la relación con la naturaleza y que implica,
entre otras cosas, la necesidad de demostraciones y verificaciones). Esto traduce que, el solo
hecho de acceder a un instrumento que permita contar, no constituye, de por sí, un concepto
amplio y complejo acerca de lo que conocemos hoy como matemáticas. Pero si constituyó un
punto de comienzo en esa perspectiva. Vale la pena, en este sentido, consignar el siguiente
aparte del escrito del profesor Luis Vega (“Matemáticas y demostración: las vicisitudes actuales
de una antigua Liaison”), recogido en el texto “El velo y la trenza”.
“…2. Quien dice matemáticas, ¿dice demostración?
La demostración clásica, entendida como una prueba deductiva lógicamente concluyente que
nos hace saber la necesidad (o la imposibilidad) de que algo sea el caso, parece guardar desde
los griegos una afinan singular con el conocimiento matemático – según testifica Bourbaki -. La
historia de la idea clásica de la demostración también da fe de una especie de suerte
compartida en la fortuna y en la adversidad: en líneas generales, las épocas de exaltación de
las matemáticas como arquetipo del conocimiento racional han sido épocas de apogeo de la
demostración y de sus métodos deductivos, mientras que los períodos más críticos o
escépticos frente a la demostración se han mostrado así mismo los menos entusiasmados con
las matemáticas y los menos dispuestos a conceder un estatuto especial a sus métodos de
conocimiento. (Ejemplos concretos en el primer sentido podrían ser los diversos programas del
more geométrico, desde el primero alentado en círculos helenísticos alejandrinos; ejemplos
concretos en el segundo sentido podrían ser varios escepticismos a partir del Adversus
mathematicos del Sexto Empírico). Con las imagen moderna de las matemáticas que nos lega
el siglo XIX, la afinidad deviene identificación: ‘La matemática, en su sentido más amplio, es el
desarrollo de todos los tipos de razonamiento formal, necesario, deductivo’ (Alfred N.
Whitehead 1898, A treatise on Universal Algebra, with Application, Cambridge, Cambridge
University Press, p.vi)…”
1
La expresión anterior, nos sitúa ante una opción del conocimiento que convoca a una reflexión
importante, en términos del significado y alcances que adquiere el desarrollo del pensamiento
matemático. Por lo tanto, este trabajo, apunta a señalar algunos aspectos relacionados con esa
tendencia. Fundamentalmente, porque precisa elementos relacionados con la simbología
matemática, en momentos históricos diversos del desarrollo del conocimiento y que constituyen
acumulados culturales susceptibles de ser apropiados en el curso de la historia de la
humanidad.
3. Objetivo general.
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Garciadiego, Alejandro y otros “El velo y la trenza”. Editorial Universidad Nacional de Colombia, 1997,
páginas 54-55.
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4. -Aportar algunos insumos descriptivos acerca del desarrollo de los sistemas de numeración,
incluida una comparación en términos de sus afinidades y diferencias.
4. Objetivos específicos
- Reseñar los sistemas de numeración vistos en el primer período académico.
- Presentar un breve análisis de estos sistemas numeración, a partir de la interacción entre los
conceptos de sistemas de numeración y sistemas numéricos; en el contexto del desarrollo de
las matemáticas.
5. Los sistemas de numeración.
5.1 Definición.
En matemáticas, varios sistemas de notación que se han utilizado para representar cantidades
abstractas, denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que se
utiliza. La base de un sistema numérico, es el número de símbolos diferentes o guarismos
necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema A lo
largo de la historia, se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.
Sin embargo, es necesario precisar: En estricto, existe diferencia entre sistema de numeración
(como los símbolos que se utilizan para expresar números y cantidades) y sistemas numéricos
(como la forma expresa la derivación de uno de los sistemas de numeración – arábigo- y en
nexo con el concepto de valor posicional que está definido más adelante en este trabajo).
Entendido en este último sentido, existen los siguientes sistemas numéricos:
-Decimal
-Binario (0,1)
-Octal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
-Hexadecimal (0, 2, 3, 4, , 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.)
Sistema de numeración babilónico.
Las primeras formas de notación numérica consistían, simplemente, en líneas rectas, verticales
u horizontales. Cada una de ellas representaba el número 1. Este sistema era extremadamente
engorroso para manejar grandes cifras y para efectuar operaciones. En el año 3400 A.de C., en
Egipto y Mesopotamia, se utilizaba un símbolo específico para representar el número 10.
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5. Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia, se desarrollaron
distintos sistemas de numeración. Algunos siglos antes de Cristo, se inventó un sistema de
base 10, aditivo, hasta 60 y posicional para números superiores.
Para la unidad se usaba una marca vertical que se hacía con el punzón, en forma de uña. Se
ponían tantos como fuera necesario, hasta llegar a 10, el cual tenía su propio signo. De este se
usaban tantos como fuera necesario, hasta llegar a 60.
A partir de ahí, se utilizaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban
representando, sucesivamente, el número de unidades: 60; 60x60; 60x60x60…y así
sucesivamente. Ejemplos:
1x60 + 2x10 + 3 = 83; 12x60 + 3x10 + 5 = 755; 32x3600 + 21x60 + 43 = 116503.
En la notación cuneiforme de Babilonia, el símbolo utilizado para el 1, era el mismo para 60 y
sus potencias; el valor del símbolo venía dado por su contexto.
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5.1.2. Sistema de numeración griego.
En la antigua Grecia coexistieron dos sistemas de numeración paralelos. El primero de ellos
estaba basado en las iniciales de los números. El número 5, se indicaba con la letra ∏ (pi); el
10 con la letra ∂ (delta): el 1000 con la letra € (xi); el 10000 con la letra µ (mu). En el segundo
sistema, eran utilizadas todas las letras del alfabeto griego más otras tres, tomadas del alfabeto
fenicio, como guarismos. La ventaja de este sistema era que, con poca cantidad de números,
se podían expresar grandes cifras. Pero había que aprenderse de memoria un total de 27
símbolos.
El primer sistema de numeración griego, se desarrolló hacia el año 600 A.de C. Era un sistema
de base decimal que usaba los símbolos (como se anotó arriba y ver anexo) para representar
las cantidades inherentes a los mismos. Se utilizaban tantos de ellos como fuera necesario;
según el principio de las numeraciones aditivas.
Para representar la unidad y los números hasta el 4, se usaban trazos verticales. Para el 5, 10
y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (delta) y mil
(khilus). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000, se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5;
usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático (es lo mismo que
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Tomado de: www.mongrafias.com
5

6. acrofónico) fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego, junto
con algunos otros símbolos (ver anexo).
De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras y, a su vez,
las palabras tienen un valor numérico. Basta sumar las cifras que corresponden a las letras que
las componen. Esta circunstancia hizo aparecen una nueva suerte de disciplina mágica que
estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades, como la judía y
la árabe que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido gran
importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y
adivinatorios.
5.1.3 Sistema de numeración romano.
Este sistema tuvo el mérito de expresar los números del 1 al 1000000 con sólo 7 símbolos: I
para el 1, V para el 5; X para el 10; L para el 50; C para el 100; D para el 500 y M para el 1000.
Es importante acotar que una pequeña línea sobre el símbolo, multiplica el valor por mil.
Tenía el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez.
5.1.4 Sistema de numeración arábigo.
Es el sistema corriente de notación numérica utilizado, hoy por hoy, en casi todo el mundo.
Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y, luego, por los árabes que introdujeron
la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor, según so
posición.
La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0, permite
distinguir entre 11, 101 y 1001 (a manera de ejemplo), sin tener que utilizar símbolos
adicionales. Además, todos los números, se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al
9, más el 0. La notación posicional ha facilitado todos los tipos de cálculos escritos.
En la intención de precisar al respecto, es pertinente anotar lo siguiente: se define como
valores posicionales, a la posición de una cifra en función de los valores exponenciales de la
base. En el sistema decimal, la cantidad representada por cada uno de los diez dígitos (0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7,8 y 9) depende de la posición del número completo.
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5.1.5 Sistema de numeración maya.
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Tomado de: www.monografias.com
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7. Los mayas idearon un sistema de base 20, con el 5 como base auxiliar. La unidad se
representaba por un punto. Dos, tres y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 , era una raya
horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10,
se utilizaban dos rayas y, de la misma forma, se continuaba hasta el 20, con cuatro rayas.
Hasta aquí, parecía ser un sistema de base 5 aditivos. Pero, en realidad, considerado cada uno
un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema base 20, en el que hay que
multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20; 20x20; 20x20x20…; según el lugar que ocupe y
sumar el resultado. Es, por tanto, un sistema posicional que se escribe arriba-abajo,
empezando por el orden de magnitud mayor.
21 = 1x20 + 1
41 = 2x20 + 1
61 = 3x20 + 1
401 = 1x20(2) + 0X20 + 1
8000 = 1X20(3) + 0X20 + 0X20 + 0
Al tener, cada cifra, un valor relativo, según el lugar que ocupa; la presencia de un signo para el
0, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hacía imprescindible. Y los
mayas lo usaron; aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Como
los babilónicos, lo usaron simplemente para expresar la ausencia de otro número.
Pero los científicos mayas eran, a la vez, sacerdotes ocupados en la observación astronómica
y, para expresar los números correspondientes a las fechas, utilizaron unas unidades de tercer
orden irregulares para la base 20. Así, la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo, se
multiplicaba por 20: 20x18 = 360; para completar una cifra muy próxima a la duración de un
año. 361 = 1x (18x20) + 1 = 1x360 + 1.
El año lo consideraban dividido en 18 uinal, que constaba cada uno de 20 días. Se añadían
algunos festivos (nayeb) y, de esta forma, se conseguía que durara justo lo que una de las
unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de este calendario solar, utilizaron otro
de carácter religioso; en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema; este se hace poco práctico para el cálculo y, aunque los
conocimientos astronómicos y de otro tipo fueran notables, los mayas no desarrollaron una
matemática más allá del calendario.
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5.1.6 Sistema de numeración egipcio.
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Tomado del trabajo realizado por Santiago Casado (santiago@airastur.es
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8. Nota: Para ver como es la forma de representación aditiva, consideremos el sistema jeroglífico
egipcio. Por cada unidad, un trazo vertical; por cada decena, un símbolo en forma de arco y por
cada centena, millar, decena y centena de millar y millón, un jeroglífico específico. Así, para
escribir 754, usaban 7 jeroglíficos de centenas, 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma, tdas
las unidades están físicamente presentes.
Los sistemas aditivos son, pues, aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades,
decenas…, como sean necesarios, hasta completar el número. Una de sus características es,
por tanto, que se pueden colocar los símbolos en cualquier orden. Aunque, en general, se ha
preferido una determinada posición.
Han sido de este tipo, las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca
(de base 20), romano y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.
Desde el tercer milenio A. de C., los egipcios usaron un sistema de escribir los números en
base diez; utilizando jeroglíficos para representar los distintos ordenes de unidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de
izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras, según
el caso.
Al ser diferente el orden, se escribían, a veces, según criterios estéticos y solían ir
acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros,
vasijas, etc.), cuyo número indicaban.
Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso
quedó reservado a las inscripciones monumentales. En el uso diario, fue sustituido por la
escritura hierática y demónica; formas más simples, que permitían mayor rapidez y comodidad
a los escribas.
En estos sistemas de escritura, los grupos de signos, adquirieron una forma propia. Y así
introdujeron símbolos particulares para 20, 30…90…200, 300…90, 2000, 3000…; con lo que
disminuyeron el número de signos para escribir una cifra.
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