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2. Tema: FUNCIONES EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA
Docente: PLANA DE ÁLGEBRA
ÁLGEBRA

3. 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥
; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
𝑓 𝑥 = 2𝑥
; 𝑥 ∈ ℝ
1 2
−2 −1 0 𝑋
𝑌
1
2
4
𝑥 𝑦
−2 1/4
−1 1/2
0 1
1 2
2 4
Tabulando
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏:
. Su gráfica es:
1 2
−2 −1 0 𝑋
𝑌
1
2
4
𝑥 𝑦
−2 4
−1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
Tabulando
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐:
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
; 𝑥 ∈ ℝ
Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ+
donde:
. Su gráfica es:
FUNCIÓN EXPONENCIAL

4. Funcióncreciente Funcióndecreciente
No cambiael sentido
de la desigualdad
Sí cambiael sentido
de la desigualdad
En general:
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥
; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1. Se tiene
Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
1 1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• 5𝑥
< 59
• 2𝑥
≤ 64
• 𝑥 > 7
• 3 < 𝑥 ≤ 5
⟷ 𝑥 9
<
⟷ 2𝑥
≤ 26
⟷ 𝑥 6
≤
⟷ 4 4
>
𝑥 7
1
2
𝑥
≥
1
2
11
• ⟷ 𝑥 11
≤
⟷ 0,2 0,2
>
3 𝑥
0,2
≥
5
• 𝑥 ≥ 5 ⟷
1
3
≤
𝑥 5
1
3
0 <
𝑏𝑥
< 𝑏𝑦 𝑏𝑥
< 𝑏𝑦
⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦
𝑥 < 𝑦 𝑦 = 𝑏𝑥
> 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
(Siendo 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1)
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:

5. 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
𝑓 𝑥 = log2 𝑥 ; 𝑥 > 0
𝑥 𝑦
1/4 −2
1/2 −1
1 0
2 1
4 2
Tabulando
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
. Su gráfica es:
𝑥 𝑦
1/4 2
1/2 1
1 0
2 −1
4 −2
Tabulando
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐:
𝑓 𝑥 = log1
2
𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ
1 2 3 4
0 𝑋
𝑌
1
2
−1
−2
1 2 3 4
0 𝑋
𝑌
1
2
−1
−2
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏:
Dom𝑓 = ℝ+ ∧ Ran𝑓 = ℝ
donde:
. Su gráfica es:
FUNCIÓN LOGARITMICAS

6. Funcióncreciente Funcióndecreciente
No cambiael sentido
de la desigualdad
Sí cambiael sentido
de la desigualdad
En general:
Sea 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 . Se tiene
Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
1
1
log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦
⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦
𝑥 < 𝑦
Son aquellas inecuaciones donde la variable se encuentra
afectada por el logaritmo.
𝐈𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫í𝐭𝐦𝐢𝐜𝐚𝐬
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬
• log2 𝑥 − 2 ≤ log2 3𝑥
• log1
5
2𝑥 − 1 > 3
• log 𝑥 < 1 + 𝑥
• log 𝑥 + log 2𝑥 + 1 ≥ 5
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐢𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫í𝐭𝐦𝐢𝐜𝐚
Tenga en cuenta los siguientes pasos:
1. Calcule el CVA (existencia de los logaritmos en los reales).
log𝑏 𝑥 ∈ ℝ 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0
2. Despeje 𝑥, usando el teorema según la base.
⟺
log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦
log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦
⟷
⟷ 𝑥 > 𝑦
𝑥 < 𝑦
Si 𝑏 > 1:
Si 0 < 𝑏 < 1:
3. Interceptelos resultados anteriores.
log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 𝑥 < 𝑏𝑛 log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 𝑥 > 𝑏𝑛

7. w w w. adu n i . e du . pe