Este documento describe la continuidad y discontinuidad de funciones. Explica que una función es continua si su gráfica se puede trazar de una sola vez sin levantar el lápiz y si cumple tres condiciones: que f(c) exista, que el límite cuando x se acerca a c exista y que f(c) sea igual al límite. También define la discontinuidad y dos tipos: removible cuando la expresión se puede modificar para ser continua, y no removible cuando los criterios no se pueden cambiar. Incluye ejemplos para ilustrar

2. CONTINUIDAD

3. TABLA DE CONTENIDO
• Continuidad.
• Discontinuidad puntual
• Tipos de discontinuidad

4. CONTINUIDAD
En algunos casos podemos afirmar que una función es continua si su grafica se realiza con un solo trazo, sin
levantar la mano. Esta es una forma coloquial de definir la continuidad,
Matemáticamente podemos decir que una función es continua en un punto si:
• 𝑓 𝑐 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
• lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 existe.
• 𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥

5. Ejemplo 1
Determine si la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 es continua para x= 2
1. Determinemos 𝑓 2 existe
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3
𝑓 2 = 2(2) − 3
𝑓 2 = 4 − 3
𝑓 2 = 1
2. Determinemos lim
𝑥→2
2𝑥 − 3 existe
lim
𝑥→2
2𝑥 − 3
= 2(2) -3
=4 – 3
= 1
3. Verifica que 𝑓 2 = lim
𝑥→2
2𝑥 − 3
𝑓 2 = lim
𝑥→2
2𝑥 − 3
1 = 1
Como vemos se cumplen las tres condiciones, con esto comprobamos que la función 𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 3 es continua para x= 2

6. Grafica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 la cual es continua para x= 2
Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows

7. DISCONTINUIDAD EN UN PUNTO
Cuando una función es discontinua es cuando se niega alguna de las tres afirmaciones anteriores así:
Una función es discontinua en un punto si:
• 𝑓 𝑐 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 o
• lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 𝑛𝑜 existe o
• 𝑓 𝑥 ≠ lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥

8. TIPOS DE DISCONTINUIDAD
Hay dos tipos de discontinuidad, las removibles y las no removibles.
La discontinuidad removibles es aquella cuya expresión puede transformase en sus
criterios 1 y 2 los cuales harán que esta sea continua.
La discontinuidad no removibles es aquella donde alguno des criterios 1 o 2 no es
posible modificarlos, o cuando estos no son iguales.

9. Ejemplo 2
Determine si la función 𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥−1
es continua para x= 1
1. Determinemos 𝑓 1 existe
𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥−1
𝑓 1 =
12 − 1
1 − 1
𝑓 1 =
0
0
𝑓 1 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
2. Determinemos lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
= lim
𝑥→1
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥−1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1
= 1+1
= 2
lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
existe
Esta función es discontinua para x= 1 , ya que f(1) no existe y no se puede modificar

10. grafica de la función 𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥−1
discontinua para x= 1
Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows

11. BIBLIOGRAFIA
• Calculo; Jorge B. Thomas Jr; ISBN Ebook: 9786073201650,
• Calculo Diferencial, Jorge Luis Gil Sevilla; Ebook: 9786073219495
• Introducción al cálculo diferencial; Garcia, Gomez y Larios; Ebook: ISBN
9781449227180
• Cálculo diferencial e integral; Luna, Mena, Violeta; Ebook: ISBN 9781456217433
• Cálculo diferencial; Camacho, Alberto; Ebook: ISBN 9788499690971