Este documento describe cómo se pueden representar transformaciones geométricas como traslaciones, rotaciones y escalaciones mediante matrices. Explica que las transformaciones individuales pueden representarse como matrices y que las secuencias de transformaciones pueden representarse como el producto de las matrices individuales. También cubre propiedades como que la multiplicación de matrices es asociativa pero no conmutativa, por lo que el orden de las transformaciones es importante.

1. Representación
matricial
Humberto Sosa Olea
Alejandro Rosas Flores
Karen González Paxtian
Carlos Uriel Ortiz Ramírez
Georgina Luna Telis

2. Representació
n Matricial
 En las aplicaciones de diseño y de creación de imágenes,
realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones para ajustar los
componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas. En este
tema consideramos cómo se pueden volver a formular las
representaciones de la matriz de modo que se pueden procesar de
manera eficiente esas secuencias de transformación. Es posible
expresar cada una de las transformaciones básicas en la forma de
matriz general con las posiciones de coordenadas P y P’
representadas como columnas de vector.
 Con las representaciones de matriz podemos establecer una
matriz para cualquier secuencia de transformaciones como una
matriz de transformación compuesta al calcular el producto de la
matriz de las transformaciones individuales. La creación de
productos de matrices de transformación a menudo se conoce
como concatenación o composición de matrices.

3. Traslaciones
 Se aplican dos vectores de traslación sucesivos (tx1, t y1) y (tx2 ,
t y2 ) en la posición de coordenadas P, la localización
transformada final P, la localización transformada final P’ se
calcula como: P'=T(t x2,t2)·T(tx1,ty1)·P}{=T(tx2, 2)·T(t x1,t y1)}{·P
 Donde se representan P y P’ como vectores de columna de
coordenadas homogéneas. Podemos verificar este resultado al
calcular el producto de la matriz para las dos agrupaciones
asociativas. Asimismo, la matriz de transformación compuesta
para esta secuencia de transformaciones.

4. Rotaciones
 Dos rotaciones sucesivas que se aplican en el punto P producen la
posición transformada P'=R(θ2)·R(θ1){·P}=R(θ2){· (θ1)}·P
 Al multiplicar las dos matrices de rotación, podemos verificar que
dos rotaciones sucesivas son aditivas

5. Escalamiento
 La siguiente figura ilustra una secuencia de transformación para
producir escalación con respecto de una posición fija seleccionada
(xf,f) al utilizar una función de escalación que sólo puede escalar
en relación con el origen de las coordenadas

6. Propiedades
de
concatenación
 La multiplicación de matrices es asociativa. Para tres matrices
cualesquiera A, B y C, el producto matricial A·B·C se puede llevar a
cabo al multiplicar primero a por B o multiplicar primero B por
C:2.35.A · BC=( A· B)·C =A·( B·C)
 Por tanto, podemos evaluar los productos matriciales al utilizar
una agrupación asociativa ya sea de izquierda a derecha o de
derecha a izquierda. Por otro lado, los productos de la
transformación tal vez no sean conmutativos. En general el
producto matricial A·B no es igual que B·A. Esto significa
queremos trasladar y girar un objeto, debemos tener cuidado
sobre el sentido en que se evalúa la matriz compuesta.