1) El documento presenta la resolución de 7 ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas de funciones trigonométricas. 2) En el primer ejercicio se prueba que la derivada de sec(x) es sec(x)tan(x). 3) El segundo ejercicio encuentra el intervalo en el que una función dada es cóncava hacia arriba.

1. Universidad ICESI
Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica
Ejercicios resueltos de C´alculo de una variable
Tema: Derivadas de las funciones trigonom´etricas Ejercicios: a
EJERCICIO 1. Pruebe que:
d
dx
sec x = sec x tan x
SOLUCION: A partir de las bien conocidas identidades trigonom´etricas sec x =
1
cos x
y tan x =
sen x
cos x
, aplicando la
regla del cociente, se obtiene:
d
dx
sec x =
d
dx
1
cos x
=
0 × cos x − (− sen x) × 1
cos2 x
=
0 + sen x
cos2 x
=
sen x
cos2 x
=
1
cos x
×
sen x
cos x
∴
d
dx
sec x = sec x tan x
EJERCICIO 2. Considere la funci´on f definida en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2π de la siguiente manera:
f(x) = x − sen x
¿En qu´e intervalo es f c´oncava hacia arriba?
SOLUCION: Derivando dos veces la funci´on dada se obtiene:
f (x) = 1 − cos x ∴ f (x) = 0 − (− sen x) ∴ f (x) = sen x
-1
1
0 π 2π
En la gr´afica de f (x) = sen x, la derivada segunda de la funci´on f dada, que se presenta en la figura anterior se observa que
es positiva ´unicamente en el intervalo abierto (0, π). Se concluye, entonces, que la respuesta a este ejercicio es:
La funci´on f dada es c´oncava hacia arriba solamente en el intervalo abierto (0, π) de su dominio
EJERCICIO 3. Encuentre la derivada solicitada, hallando unas cuantas de las primeras derivadas y observando el patr´on
que se presenta.
d 99
dx99
sen x
1

2. SOLUCION: Derivando cuatro veces la funci´on dada se obtiene:
d
dx
sen x = cos x ∴
d2
dx2
sen x = − sen x ∴
d3
dx3
sen x = − cos x ∴
d4
dx4
sen x = −(− sen x) = sen x
Estos resultados se clasifican en la siguiente tabla:
orden 0 1 2 3 4
derivada sen x cos x − sen x − cos x sen x
Como despu´es de derivar cuatro veces se vuelve a la funci´on inicial sen x, se deduce que estos resultados se siguen repitiendo
de tal manera que para encontrar la derivada de orden n todo lo que se debe hacer es determinar el residuo r en la divisi´on
larga de n por cuatro y como r es no negativo y menor que cuatro, se busca en la tabla la derivada que corresponde a r.
Entonces, con n = 99 se tiene:
4
2 4
9 9
1 9
3
De que en la tabla al residuo 3 le corresponde la derivada − cos x, se concluye que la respuesta a este ejercicio es:
La derivada solicitada es
d 99
dx99
sen x = − cos x
EJERCICIO 4. Utilice la f´ormula lim
θ→0
sen θ
θ
= 1 e identidades trigonom´etricas para evaluar el l´ımite:
lim
θ→0
sen θ
θ + tan θ
SOLUCION: Dividiendo numerador y denominador por θ y empleando la bien conocida identidad trigonom´etrica
tan θ =
sen θ
cos θ
, se obtiene:
lim
θ→0
sen θ
θ + tan θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
θ + tan θ
θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
1 +
tan θ
θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
1 +
sen θ
θ cos θ
= lim
θ→0
sen θ
θ
1 +
sen θ
θ
×
1
cos θ
=
1
1 + 1 ×
1
1
=
1
1 + 1
=
1
2
∴
lim
θ→0
sen θ
θ + tan θ
=
1
2
EJERCICIO 5.
a) Eval´ue lim
x→∞
x sen
1
x
b) Eval´ue lim
x→0
x sen
1
x
2

3. SOLUCION:
a) Para resolver esta parte del ejercicio podemos emplear el cambio de variable x =
1
θ
que implica θ =
1
x
.
x
θ
El gr´afico anterior muestra el cambio de variable mencionado. En el se observa que, cuando la variable θ se acerca a
cero por la derecha la variable x se acerca a m´as infinito, por tanto:
lim
x→∞
x sen
1
x
= lim
θ→0+
1
θ
sen θ = lim
θ→0+
sen θ
θ
= 1 ∴
lim
x→∞
x sen
1
x
= 1
b) Empleando una bien conocida propiedad de la funci´on trigonom´etrica seno, una propiedad de las desigualdades, varias
propiedades del valor absoluto y el teorema de la compresi´on, se obtiene:
|sen x| ≤ 1 ∴ |x||sen x| ≤ |x| × 1 ∴ |x sen x| ≤ |x| ∴ −|x| ≤ x sen x ≤ |x| ∴
lim
x→0
x sen
1
x
= 0
EJERCICIO 6. En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una cuerda de longitud d, los dos subtendidos por
un ´angulo central θ.
θ
d
s
Encuentre:
lim
θ→0+
s
d
3

4. SOLUCION: Denominemos r al radio del c´ırculo y, bajando una perpendicular a la cuerda AB desde el centro O, dividamos
el ´angulo central θ en dos partes iguales, como se muestra en la figura.
θ/2
d/2
r
s
O
PA B
Como la longitud del arco circular s es directamente proporcional al ´angulo central θ (medido en radianes) con constante de
proporcionalidad igual al radio r del c´ırculo, resulta:
s = rθ (1)
Adem´as, en el tri´angulo rect´angulo OPA se tiene:
sen θ/2 =
d/2
r
∴ d/2 = r sen θ/2 ∴ d = 2r sen θ/2 (2)
Como la variable θ/2 va a cero por la derecha cuando la variable θ va a cero por la derecha, empleando (1) y (2) se concluye:
lim
θ→0+
s
d
= lim
θ→0+
rθ
2r sen θ/2
= lim
θ→0+
θ
2 sen θ/2
= lim
θ→0+
1
2 sen θ/2
θ
= lim
θ→0+
1
sen θ/2
θ/2
=
1
1
= 1 ∴
limθ→0+
s
d
= 1
EJERCICIO 7. Un semic´ırculo con di´ametro PQ descansa sobre un tri´angulo is´osceles PQR para formar una regi´on
sombreada semejante a un sorbete, como se muestra en la figura.
P Q
θ
R
A(θ)
B(θ)
Si A(θ) es el ´area del semic´ırculo y B(θ) la del tri´angulo, halle:
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
4

5. SOLUCION: Bajemos una perpendicular desde el punto R hasta el di´ametro PQ y tomemos el tri´angulo rect´angulo de la
izquierda de los dos en que queda dividido el tri´angulo original. El ´angulo θ queda dividido en dos partes iguales lo mismo
que el di´ametro PQ. Denominemos r a la mitad del di´ametro, es decir al radio del semic´ırculo, a a la hipotenusa y y al otro
cateto, como aparece en la figura.
r
y
a
θ
2
Entonces se tiene:
sen
θ
2
=
r
a
∴ r = a sen
θ
2
cos
θ
2
=
y
a
∴ y = a cos
θ
2
Por tanto:
A(θ) =
πr2
2
=
π
2
a2
sen2 θ
2
∴ A(θ) =
π
2
a2
sen2 θ
2
B(θ) =
2ry
2
= ry = a sen
θ
2
× a cos
θ
2
= a2
sen
θ
2
cos
θ
2
∴ B(θ) = a2
sen
θ
2
cos
θ
2
Como la variable
θ
2
va a cero por la derecha cuando la variable θ va a cero por la derecha, de lo anterior se concluye:
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
= lim
θ→0+
π
2
a2
sen2 θ
2
a2 sen
θ
2
cos
θ
2
= lim
θ→0+
π
2
sen
θ
2
cos
θ
2
=
π
2
× 0
1
=
0
1
= 0 ∴
lim
θ→0+
A(θ)
B(θ)
= 0
5