En la siguiente demostración encontrarán información muy util sobre el tema referente a los Sistemas de Orden Superior.

1. Sistemas de primer,
segundo y orden superior
CHRISTOPHER TORO
ESCUELA #44 ING. ELECTRÓNICA
PROFESOR(A): AMDIE CHRINOS
CATEDRA: TEORÍA DE CONTROL
EXTENSIÓN MARACAIBO

2. Sistemas de Orden Superior
Los sistemas de Orden Superior contienen ceros y polos adicionales que afectan al
comportamiento tanto en régimen transitorio como permanente
 Respuesta transitoria de Sistemas de Orden Superior:
Partimos de una función de transferencia genérica del tipo:

3. Separando polos en el origen, polos reales y polos complejos queda:
Y descomponiendo en fracciones simples:
De esta manera estos sistemas pueden ser vistos como una combinación de sistemas
de primer y segundo orden.
La respuesta ante escalón vendrá dada por Y(s)=H(s)/s. Descomponiendo en
fracciones simples:

4. Por lo que al pasar al dominio temporal:

5. Sistemas de Primer Orden
 Los sistemas de primer orden por definición son aquellos que tienen un
solo polo y están representados por ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden, Quiere decir que el máximo orden de la
derivada es orden 1. Considerando el caso de las ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden, con coeficientes constantes y
condición inicial cero, tenemos:
 Los sistemas de primer orden tienen diversas aplicaciones para aproximar
y representar procesos y sistemas físicos cotidianos o industriales. Por
ejemplo tenemos sistemas físicos de primer orden de circuitos eléctricos
(circuito RC) donde el condensador es el componente encargado de
almacenar la energía del sistema.

6.  ¿Para qué sirven los sistemas de Primer Orden?
Es un tipo de representación que sirve para poder expresar de una forma
matemática y muy simple como se comporta un proceso o un sistema real
a lo largo del tiempo cuando se aplica algún estímulo en sus entradas.
De esa forma podremos hacer análisis para mejorar y optimizar nuestro
sistema.
 Función de Transferencia de Primer Orden
Características de un sistema de primer orden:

7. Donde:
• H(S) = Salida del sistema (Altura del tanque)
• α(s) = Entrada del sistema (Abertura de la válvula)
• K = Ganancia estática del sistema de primer orden
• τ = La constante de tiempo del sistema
• θ = Retardo de tiempo del sistema
 ¿Qué es la ganancia estática de un sistema?
 Se denomina ganancia estática de un sistema a la relación de ganancia
entre la entrada y la salida del proceso. Es decir, cuando la entrada es
constante (escalón) y la salida se estabiliza (régimen permanente), la
razón del cambio de la salida entre el cambio de la entrada nos da la
ganancia estática del sistema.

8. De lo anterior podemos intuir que la respuesta permanente o respuesta estacionaria
se refiere al comportamiento de la salida de nuestro proceso o sistema cuando el
tiempo tiende a infinito. Si la respuesta permanente es constante nuestro sistema es
clasificado como estable, por el contrario si tiende a infinito nuestro sistema se define
como inestable.
También podemos apreciar que la ganancia estática de un sistema de primer orden se
puede observar fácilmente directamente de la función de transferencia.
 ¿Qué es la constante de tiempo en un sistema de primer orden?
La constante de tiempo de un sistema de primer orden, generalmente denotada por la
letra griega τ (tau), se define como el tiempo requerido para que el sistema alcance
el 63,2% del valor final o de estado estable. Por lo tanto la constante muestra la
velocidad del sistema ante una determinada entrada para alcanzar el régimen
permanente.
Cuanto menor es la constante de tiempo, más rápida es la respuesta del sistema. Si
la constante de tiempo es mayor, el sistema se mueve lentamente en su respuesta
transitoria.

9.  Como identificar un sistema de primer orden
Esto se hace de forma muy simple, para eso basta con observar el valor del
máximo exponente de la derivada cuando el sistema es representado por
ecuaciones diferenciales. En este caso el máximo exponente debe ser 1.
Cuando es representado por función de transferencia, se observa el
denominador, donde el máximo exponente de la variable compleja s debe ser
igual a 1.
 Respuesta de un Sistema de Primer Orden
La respuesta de un sistema de primer orden en la ingeniería de control va a
depender del tipo de entrada que le coloquemos al sistema. Las señales de
prueba en ingeniería más comunes son:

10. Estos tipos de sistemas de primer orden en control son estudiados en carreras como la
instrumentación y control, ingeniería mecatrónica, eléctrica, control, química, electrónica
y afines.

11. Tipos de Sistemas de Primer Orden
 Sistema de Primer Orden SIN Retardo
 Sistema de Primer Orden con Retardo o Tiempo Muerto
 Sistema de Primer Orden Entrada Rampa
 Sistema de Primer Orden Entrada Impulso Unitario
Aquí dejo un link con una serie de ejemplos para una mejor guía:
https://dademuch.com/2020/09/04/sistemas-de-primer-orden-respuesta-
transitoria/

12. Sistemas de Segundo Orden
 Que es un sistema de Segundo Orden?
Los sistemas de segundo orden son todos aquellos que tienen dos polos y
están representados típicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias
de segundo orden. Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales
lineales de segundo orden, con coeficientes constantes y condición inicial
cero, tenemos:
 Función de Transferencia de Segundo Orden
Tomando la formula general para los sistemas de segundo orden tenemos:

13. • X(s) = Salida del sistema
• F(s) = Entrada del sistema
• K = Ganancia estática del sistema
• = La frecuencia natural no amortiguada del sistema (frecuencia a la que el
sistema mecánico seguirá vibrando, después que se quite la señal de
excitación)
• ζ = Factor de amortiguamiento
Tipos de sistemas de segundo orden
• Sub-amortiguado (0<ζ<1)
• Críticamente amortiguado (ζ=1)
• Sobreamortiguado (1<ζ)
• Oscilatorio (ζ=0)
• Inestable (ζ<0)

14. Polos de los Sistemas de Segundo Orden
Partiendo de la ecuación general de un sistema de segundo orden
Los polos del sistema están dados por:
Aplicando la ecuación general para encontrar las raíces de un polinomio
de segundo grado.

15. Los polos del sistema de segundo orden son:
A partir de la ecuación de los polos, vamos a sustituir por los diferentes valores que
puede tomar el factor de amortiguamiento y analizar la característica de los polos
ante la variación de este parámetro.
 Sistema Oscilatorio (ζ=0)
Un sistema oscilatorio es aquel que posee sus polos únicamente con componentes
imaginarias dentro de un sistema de segundo orden. Analizando el sistema ante una
entrada escalón, Cuando ζ=0:
El diagrama de polos y ceros viene dado por:

16. Sustituyendo en la ecuación de segundo orden y multiplicando por el escalón de
magnitud A:
Aplicando fracciones parciales al sistema de segundo orden con la transformada de
Laplace:
Aplicando transformada inversa de Laplace

17.  Sistema Subamortiguado (0<ζ<1)
Un sistema subamortiguado es aquel que posee un par de polos complejos
conjugados dentro de un sistema de segundo orden. Analizando el sistema ante
una entrada escalón, Cuando 0<ζ<1:
Donde, podemos llamar el segundo miembro de la ecuación anterior como:
es conocida como la frecuencia natural amortiguada del sistema de segundo
orden. Así, podemos resumir los polos del sistema de segundo orden
subamortiguado como:

18. El diagrama de polos y ceros viene dado por:
Del diagrama anterior, observamos que si incrementamos los polos tienden a
crecer radialmente. Por otro lado, si aumentamos próximo de uno los polos
tienden a acercarse al eje imaginario, y si disminuimos tendiendo hacia cero, los
polos se aproximan al eje imaginario.

19.  Sistema Críticamente Amortiguado (ζ=1)
Un sistema críticamente amortiguado es aquel que posee dos polos iguales (polos
con multiplicidad) ubicados en el mismo punto del plano complejo para un sistema
de segundo grado. Analizando el sistema ante una entrada escalón, Cuando ζ=1:
El diagrama de polos y ceros viene dado por:
Sustituyendo en la ecuación de segundo orden y multiplicando por el escalón de
magnitud A:

20. Aplicando fracciones parciales:
Aplicando la transformada inversa de Laplace al sistema de segundo orden
críticamente amortiguado:
 Sistema Sobreamortiguado (ζ>1)
Un sistema Sobreamortiguado es aquel que posee dos polos reales dentro de un
sistema de segundo orden, donde ya no existen oscilaciones. Analizando el sistema
ante una entrada escalón, Cuando ζ>1:

21. El diagrama de polos y ceros viene dado por:
Sustituyendo en la ecuación de segundo orden los dos polos del sistema
Si renombramos los polos como:
Podremos reescribir el sistema de segundo orden Sobreamortiguado de forma
compacta como:

22. Aplicando el escalón de magnitud A:
Expandiendo por fracciones parciales:
Aplicando transformada inversa de Laplace llegamos a la ecuación temporal del
sistema Sobreamortiguado:

23. Respuestas Transitorias:
 Sistema Oscilatorio:
 Sistema Subamortiguado:

24.  Sistema Críticamente
Amortiguado:
 Sistema Sobreamortiguado:

25. Muchas gracias!